Lista de Exercicios Funcoes injetoras, sobrejetoras, bijetoras, axiomas de Peano, principios de inducao, definicoes recursivas

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica– IE
A´lgebra 1 - Turma C
Semana 2 – Lista de exerc´ıcios
Temas abordados: Func¸o˜es: injetoras, sobrejetoras, bijetoras, axiomas de Peano,
princ´ıpios de induc¸a˜o, definic¸o˜es recursivas.
1) Seja A = {1, 2, 3}. Considerem-se as seguintes relac¸o˜es em A:
R1 = {(1, 2); (1, 1); (2, 2); (2, 1); (3, 3)}
R2 = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (1, 2); (2; 3)}
R3 = {(1, 1); (2, 2); (1, 2); (2, 3); (3; 1)}
R4 = A×A
R5 = ∅
Quais sa˜o reflexivas? Sime´tricas? Transitivas? Anti-sime´tricas?
2) Pode uma relac¸a˜o sobre o conjunto E 6= ∅ ser sime´trica e anti-sime´trica? Pode
uma relac¸a˜o sobre E na˜o ser sime´trica nem anti-sime´trica? Justifique.
3) Quais das relac¸o˜es abaixo sa˜o de equivaleˆncia sobre E = {a, b, c}?
R1 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)}
R2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c)}
R3 = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)}
R4 = E × E
R5 = ∅
4) Seja A o conjunto das retas de um plano α e seja P um ponto fixo de α. Quais
das relac¸o˜es abaixo definidas sa˜o relac¸o˜es de equivaleˆncia em A?
a) xRy ⇔ x ‖ y
b) xRy ⇔ x ⊥ y
c) xRy ⇔ P ∈ x ∩ y
5) Seja A = {x ∈ Z | 0 ≤ x ≤ 10} e R a relac¸a˜o sobre A definida por xRy ⇔ ∃k ∈
Z | x− y = 4k. Determinar o conjunto quociente A/R.
6) Sejam E = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3} e R = {(x, y) ∈ E × E | x + |x| = y + |y|}.
Mostrar que R e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia e descrever E/R.
7) Provar que se R e´ uma relac¸a˜o de ordem sobre E, enta˜o R−1 tambe´m e´.
Nota: R−1 e´ neste caso, a ordem oposta de R.
8) Sendo E = {a, b, c, d} e F = {1, 2, 3}, decida quais das relac¸o˜es abaixo sa˜o
aplicac¸o˜es de E em F .
a) R1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}
b) R2 = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}
c) R3 = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}
d) R4 = {a, 2), (b, 2), (c, 2), (d, 2)}
9) Determinar todas as aplicac¸o˜es de E = {0, 1, 2} em F = {3, 4}.
1
2
10) A aplicac¸a˜o f : R→ R e´ tal que:
f(x) =

2x+ 5, quando x < −1;
x2 − 1, quando −1 ≤ x ≤ 1;
5x, quando x > 1
Determinar f(0), f(53), f(
−7
2 ), f(
√
2) e f(−2pi5 ).
11) Seja a func¸a˜o f : R → R dada por f(x) = cos(x). Determine as imagens
f([0, pi2 ]), f([0, pi]), f(R), f
−1({12}), f−1([12 , 1]) e f−1(R−).
12) Abaixo esta˜o indicadas algumas aplicac¸o˜es de E = {a, b, c, d} em F = {0, 1, 2, 3, 4}.
Quais sa˜o injetoras?
f1 = {(a, 0), (b, 1), (c, 2), (d, 4)}
f2 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 1)}
f3 = {(a, 2), (b, 4), (c, 3), (d, 0)}
f4 = {(a, 3), (b, 0), (c, 0), (d, 4)}
13) Quais das seguintes aplicac¸o˜es de E = {a, b, c} em F = {0, 1} sa˜o sobrejetoras?
f1 = {(a, 0), (b, 0), (c, 0)}
f2 = {(a, 0), (b, 0), (c, 1)}
f3 = {(a, 1), (b, 0), (c, 1)}
f4 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}
14) Classificar (se poss´ıvel) em injetora ou sobrejetora as seguintes func¸o˜es de R em
R:
a) y = x3
b) y = x2 − 5x− 6
c) y = 2x
d) y = |sen(x)|
e) y = x+ |x|
f) y = x+ 3
g) y =
{
tg(x), x 6= pi2 + kpi, k ∈ Z
0, x = pi2 + kpi, k ∈ Z
15) Mostrar que f : R→ R definida por f(x) = ax+ b, com a e b constantes reais,
a 6= 0, e´ uma bijec¸a˜o. Obter f−1.
16) Considere a aplicac¸a˜o f : Z × Z → Z × Z tal que f(x, y) = (2x + 3, 4y + 5).
Prove que f e´ injetora. Verifique se f e´ bijetora.
17) Sejam A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} e C = {8, 9, 0}.
Seja f : A→ B dada por f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6.
Seja g : B → C dada por g(4) = 8, g(5) = 8, g(6) = 9 e g(7) = 0.
Quais sa˜o os pares ordenados de g ◦ f? A func¸a˜o g ◦ f e´ injetora ou sobrejetora?
18) Sejam as func¸o˜es f, g e h dadas pelos diagramas abaixo. Determinar as func¸o˜es
compostas g ◦ f , f ◦ g, g ◦ h, h ◦ f e h ◦ h.
3
19) Sejam f , g e h func¸o˜es reais definidas por f(x) = x − 1, g(x) = x2 + 2 e
h(x) = x+ 1.
a) Determinar f ◦ g, f ◦ h, g ◦ f , g ◦ h, h ◦ f , h ◦ g.
b) Verificar que (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).
20) Prove por induc¸a˜o que:
a) 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2 , ∀n ∈ N, n ≥ 1
b) 12 + 22 + · · ·+ n2 = n(n+1)(2n+1)6 ,∀n ∈ N, n ≥ 1
c) 0 < a⇒ 0 < an,∀n ∈ N
Obs.: ar e´ definida assim: a0 = 1 e ar = ar−1 · a,∀r > 0.
d) 7 | 32n+1 + 2n+2,∀n ∈ N
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica – IE
A´lgebra 1 - Turma C
Semana 2 – Soluc¸o˜es
Temas abordados: Func¸o˜es: injetoras, sobrejetoras, bijetoras, axiomas de Peano,
princ´ıpios de induc¸a˜o, definic¸o˜es recursivas.
1) Sime´tricas: R1, R4, R5;
Anti-sime´tricas: R2, R3, R5;
Reflexivas: R1, R2, R4, e;
Transitivas: R1, R4, R5.
2) Ha´ relac¸o˜es sime´tricas e anti-sime´tricas ao mesmo tempo, como R = {(a, a), (b, b)}
em E = {a, b}, e ha´ relac¸o˜es que na˜o sa˜o nem uma coisa nem outra, como por
exemplo R = {(a, b), (b, a), (b, c)} em E = {a, b, c}.
3) R1 e R4.
4) Apenas a alternativa (a) e´ relac¸a˜o de equivaleˆncia em A. As relac¸o˜es em (b) e
(c) na˜o sa˜o reflexivas: uma reta na˜o e´ perpendicular a ela mesma e nem sempre o
ponto P pertence a` reta x em questa˜o.
5) A/R = {{0, 4, 8}, {1, 5, 9}, {2, 6, 10}, {3, 7}}.
6) R e´ claramente uma relac¸a˜o de equivaleˆncia: e´ reflexiva pois x+ |x| = x+ |x| para
todo x ∈ E ; e´ sime´trica pois xRy ⇒ x+ |x| = y + |y| ⇒ y + |y| = x+ |x| ⇒ yRx;
e´ transitiva, pois xRy e yRz ⇒ x + |x| = y + |y| e y + |y| = z + |z| ⇒ x + |x| =
z + |z| ⇒ xRz. O conjunto quociente e´ E/R = {{−3,−2,−1, 0}, {1}, {2}, {3}}.
7) Exerc´ıcio deixado ao aluno. Dica: trabalhe com as definic¸o˜es de relac¸a˜o inversa
e relac¸a˜o de ordem.
8) (b) e (d).
9) • f1 = {(0, 3)(1, 3)(2, 3)};
• f1 = {(0, 3)(1, 3)(2, 4)};
• f1 = {(0, 3)(1, 4)(2, 3)};
• f1 = {(0, 4)(1, 3)(2, 3)};
• f1 = {(0, 4)(1, 4)(2, 3)};
• f1 = {(0, 4)(1, 3)(2, 4)};
• f1 = {(0, 3)(1, 4)(2, 4)}, e;
• f1 = {(0, 4)(1, 4)(2, 4)}.
10) f = {(0,−1), (53 , 253 ), (−72 ,−2), (
√
2, 5
√
2), (−2pi5 ,
−4pi
5 + 5)}.
11) f([0, pi2 ]) = [0, 1], f([0, pi]) = [−1, 1], f(R) = [−1, 1], f−1({12}) = {pi3 + 2kpi | k ∈
Z} ∪ {5pi3 + 2kpi | k ∈ Z}, f−1([12 , 1]) = {x ∈ R | −pi3 + 2kpi ≤ x ≤ pi3 + 2kpi, k ∈ Z} e
f−1(R−) = {x ∈ R | pi2 + 2kpi ≤ x ≤ 3pi2 + 2kpi, k ∈ Z}.
12) Sa˜o injetoras f1 e f3.
13) Sa˜o sobrejetoras f2 e f3.
14) (a) Bijetora; (b) Nenhuma; (c) Injetora; (d) Nenhuma; (e) Nenhuma; (f) Bije-
tora; (g) Sobrejetora.
1
2
15) A func¸a˜o f e´ injetiva: f(x) = f(y)⇒ ax+ b = ay + b⇒ x = y. E´ importante
frisar que so´ podemos dividir a equac¸a˜o por a porque temos a 6= 0. Tambe´m e´
sobrejetiva, pois dado c ∈ R, c = f( c−ba ). A inversa de f e´ f−1(x) = x−ba .
16) Seja f : Z× Z→ Z× Z definida por
f((x, y)) = (2x+ 3, 4y + 5).
Provaremos que f e´ injetora. Sejam (x1, y1) e (x2, y2) ∈ Z×Z tais que f((x1, y1)) =
f((x2, y2)). Enta˜o temos que
(2x1 + 3, 4y1 + 5) = (2x2 + 3, 4y2 + 5),
ou seja, temos que 2x1 + 3 = 2x2 + 3 e que 4y1 + 5 = 4y2 + 5. Em particular, segue
que x1 = x2 e que y1 = y2, e conclu´ımos que (x1, y1) = (x2, y2), como quer´ıamos
demonstrar.
Se f fosse bijetora, ter´ıamos que, para todo (a, b) ∈ Z×Z, existiria um elemento
(x, y) ∈ Z×Z tal que (a, b) = f(x, y) = (2x+3, 4y+5), ou seja, existe (x, y) ∈ Z×Z
tal que a = 2x+ 3 e b = 4y + 5. Isso implica que para todo (a, b) ∈ Z× Z teria que
existir um elemento (x, y) ∈ Z×Z tal que x = a−32 e y = b−54 , mas isso em geral na˜o
vale. Por exemplo, considerando (a, b) = (2,−1), temos (x, y) = (−12 ,−64) /∈ Z× Z!
Dessa forma, fica claro que f na˜o e´ bijetiva.
17) {(1, 8), (2, 8), (3, 9)}
18) Deixado para o aluno.
19) a) (f◦g)(x) = x2+1, (f◦h)(x) = x, (g◦f)(x) = x2−2x+3, (g◦h)(x) = x2+2x+3,
(h ◦ f)(x) = x, (h ◦ g)(x) = x2 + 3.
b) Deixado para o aluno
20)
a) Vamos provar por induc¸a˜o (I forma) sobre n ∈ N que:
1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
, ∀n ≥ 1. (∗)
Se n = 1, vale que 1 = 1(1+1)2 . Por hipo´tese indutiva temos que
1 + 2 + 3 + · · ·+ n− 1 = (n− 1)(n− 1 + 1)
2
.
Vamos provar que (∗) vale. Note que, usando a hipo´tese indutiva:
[1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1)] + n = (n− 1)(n− 1 + 1)
2
+ n =
n(n+ 1)
2
,
como quer´ıamos demonstrar.
b)Deixado ao aluno.
c) Vamos provar por induc¸a˜o (I forma) que, se 0 < a, enta˜o 0 < an, ∀n ∈ N.
Se n = 0, enta˜o a0 = 1, e e´ obvio que 0 < a0. Por hipo´tese indutiva vamos
supor que se 0 < a, enta˜o 0 < an−1. Agora, temos que an = an−1a, e usando
a hipo´tese indutiva e o fato que 0 < a temos que 0 < an, como desejado.
d) Provaremos por induc¸a˜o (I forma) sobre n ∈ N que:
7|32n+1 + 2n+2.
Se n = 0, enta˜o 31 + 22 = 7 e´ obviamente divis´ıvel por 7. Por hipo´tese
indutiva vamos supor que 32(n−1)+1 + 2n−1+2 seja divis´ıvel por 7.
3
Note que
32n+1 + 2n+2 =3(2(n−1)+1)+2 + 2(n−1+2)+1 = 32(32(n−1)+1 + 2n−1+2)− 9(2n−1+2) + 2n+2 =
32(32(n−1)+1 + 2n−1+2)− 7(2n−1+2).
Como, por hipo´tese indutiva, (32(n−1)+1 + 2n−1+2) e´ divis´ıvel por 7, e obvia-
mente −7 tambe´m e´ divis´ıvel por 7, conclu´ımos que 32n+1 + 2n+2 e´ divis´ıvel
por 7 para todo n.