Conteúdos e Metodologia da Matemática

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LUIZ GONZAGA PIRES 
 
 
 
 
 
CONTEÚDOS E 
METODOLOGIA DA 
MATEMÁTICA PARA O 
ENSINO FUNDAMENTAL 
(6º AO 9º ANO) E MÉDIO 
 
 
 
Módulo “IV” 
 
 
 
 
TERESINA/ 2010 
 
2 
 
PRESIDENTE DA REPÚBLICA 
Luis Inácio Lula da Silva 
MINISTRO DA EDUCAÇÃO 
Fernando Haddad 
GOVERNADOR DO ESTADO DO PIAUÍ 
Wilson Martins 
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
Luiz Sousa Santos Junior 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DOPIAUÍ 
Antonio José Medeiros 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃOA DISTÂNCIA DO MEC 
Carlos Eduardo Bielschowsky 
DIRETOR DE POLÍTICAS PÚBLICAS PARA EaD 
Hélio Chaves 
COORDENADOR GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
Celso Costa 
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTO A DISTÂNCIA DA UFPI 
Gildásio Guedes Feranandes 
SUPERINTENDENTE DA EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO 
Eliane Mendonça 
DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA EDUCAÇÃO 
José Augusto de Carvalho Mendes Sobrinho 
COORDENADORA DO CURSO DE MATEMATICA NA MODALIDADE EAD 
João Benicio de Melo Neto 
COORDENADORA DO MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI 
Cleidinalva Maria Barbosa de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pires, Luiz Gonzaga 
 
 CONTEÚDOS E METODOLOGIA DA MATEMÁTICA / Luiz Gonzaga 
Pires. – Teresina: UFPI/CEAD, 2010. _____ p. 
 
 
 
 
 
1. Educação –. 2. Educação Básica – 3. Ensino Infantil e 
ensino fundamental nos anos iniciais – 4 Raciocínio lógico 
matemático. I título 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
O presente texto destina-se aos estudantes do Programa de Educação à 
Distância da Universidade Aberta do Piauí – UAPI, vinculados ao consórcio formado 
pela Universidade Federal do Piauí – UFPI, Universidade Estadual do Piauí – UESPI e 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Piauí – IFET, com apoio do 
Governo do Estado do Piauí, através da Secretaria de Educação. 
O Texto está estruturado em três unidades. Na primeira unidade adotamos 
uma lógica para situar o ensino da matemática, situando-o historicamente e 
localizando-o dentro das correntes pedagógicas da educação brasileira as tendências 
atuais do ensino da matemática. Tratamos também do projeto pedagógico/currículo 
em ação, complementando com a formação dos professores e caracterização dos 
alunos que, de posse do saberes, vão influenciar a sociedade para enfrentar os 
desafios relativos ao ensino da matemática, considerando sua contribuição no avanço 
das tecnologias e interligação do mundo através das redes de comunicação. 
A unidade II apresenta um estudo sobre os parâmetros curriculares 
nacionais para matemática (anos finais do ensino fundamental e ensino médio), 
seguido de um texto sobre a formação do pensamento pelo caminho da 
simbolização. 
Na unidade III, 
 
Esperamos que este material possa ser útil para professores e alunos que 
fazem parte do processo de formação continuada na modalidade de educação à 
distância. 
 
 Paz e Luz. 
 
 Luiz Gonzaga Pires 
5 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
UNIDADE 1 - FUNDAMENTOS 
TEÓRICO-METODOLÓGICOS 
PARA O ENSINO DA 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 RESUMO 
 
Nesta unidade adotamos uma lógica para situar o ensino da matemática, 
situando-o historicamente e localizando-o dentro das correntes pedagógicas da 
educação brasileira as tendências atuais do ensino da matemática. Tratamos também 
do projeto pedagógico/currículo em ação, complementando com a formação dos 
professores e caracterização dos alunos que, de posse do saberes, vão influenciar a 
sociedade para enfrentar os desafios relativos ao ensino da matemática, 
considerando sua contribuição no avanço das tecnologias e interligação do mundo 
através das redes de comunicão. 
7 
 
I - CONTRIBUIÇÕES TEÓRICAS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA 
 
1.1 - Breve histórico do ensino da Matemática 
 
 A história da matemática nos indica que, no Brasil, a formação do 
matemático voltada para pesquisa tem seu marco na década de 30, conforme 
comenta D’Ambrósio (2007, p. 56). 
 (...) Em 1933 foi criada a Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras 
da Universidade de São Paulo e logo em seguida a Universidade do 
Distrito Federal, transformada em Universidade do Brasil em 1937. 
Nessas instituições inicia-se a formação dos primeiros pesquisadores 
modernos de matemática no Brasil. (...) 
 
Reconhece-se também que foram através da criação das Faculdades de 
Filosofia, Ciências e Letras que surgiram os primeiros cursos de licenciatura 
para professores de matemática do antigo ginásio correspondente ao 6° e 9° 
ano na estrutura do ensino atual. Nesta época as séries iniciais eram de 
responsabilidade de professores normalistas oriundos do curso normal 
equivalente ao ensino médio atual, com a disciplina matemática nas três séries. 
Enquanto o modelo adotado para licenciatura era de três anos dedicados ao 
estudo da matemática onde o formando recebia o título de bacharel. Com mais 
um ano de matérias pedagógicas como didática geral, didática especial da 
matemática e psicologia da criança e do adolescente o mesmo adquiria o grau 
de licenciado para ensinar matemática. 
Nesta época, a literatura utilizada para o estudo da matemática era de 
origem francesa mesclada com algumas produções didáticas brasileiras, dentre 
elas destaca-se a de Julio Cesar de Melo e Souza que, inspirado na literatura 
árabe, passou a escrever com o pseudônimo de Malba Tahan. Outros livros de 
importância para história da matemática no Brasil são as coleções de Jácomo 
Stávale, Ary Quintella e Algacyr Munhoz Maeder. 
Com base na organização dos conteúdos destes livros, o ensino da 
matemática processou-se por três décadas, no Brasil, nos moldes tradicionais 
sem propostas metodológicas de inovação. Somente na década de 60, surgiu 
o primeiro grupo de educação matemática, sob a liderança de Osvaldo 
8 
 
Sangiorgi no Estado de São Paulo. Em seguida surgiram também outros 
grupos precisamente no estado do Rio Grande do Sul e Rio de Janeiro, 
justamente no momento em que diferentes países do mundo passaram a 
discutir questões relativas à educação matemática, influenciada pelo 
movimento da Matemática Moderna. 
Segundo D’ Ambrosio(2007), o movimento da Matemática Moderna 
serviu para mudar, sem dúvida para melhor, o estilo das aulas e das avaliações 
além de introduzir a linguagem moderna de conjuntos para trabalhar os 
princípios da lógica matemática com alunos em diferentes níveis de ensino. 
Assim, o movimento da Matemática Moderna marcou o início de 
mudanças na metodologia do ensino da matemática. Estas eram compatíveis 
as exigências da política de modernização econômica que exigia nas décadas 
de 60/70, um avanço das ciências exatas com o fim de disseminar o 
pensamento científico e tecnológico dos países centrais e periféricos em 
desenvolvimento. 
Desse modo, a Matemática a ser ensinada passou a conceber uma 
lógica de organização das operações realizadas dentro do universo de 
conjuntos numéricos em consonância com teoremas, fórmulas, axiomas e 
demonstrações peculiares ao conhecimento matemático. 
Como conseqüência, os currículos de matemática dessa época 
passaram a ser construídos com intenções de responder à necessidade de 
uma reforma pedagógica, incluindo a pesquisa de materiais e métodos de 
ensino apropriados. Este fato desencadeou a preocupação com a Didática da 
Matemática, intensificando estudos e pesquisa nessa área. 
Neste contexto de preocupação com a educação matemática, em 1980, 
o National Council of Teachers of Mathematics( Comselho Nacional de 
Professores de Matemática), NCTM, dos Estados Unidos, apresentourecomendações para o ensino de Matemática no documento “Agenda para 
Ação”. Nesta o maior destaque era colocado na resolução de problemas com 
situações matemáticas. Ela também enfatizava a relevância dos aspectos 
sociais, antropológicos e lingüísticos no aprendizado da Matemática. 
9 
 
As idéias oriundas das discussões em torno da educação matemática 
influenciaram as reformas que ocorreram no mundo, a partir de então. As 
propostas elaboradas no período 1980/1995, apresentam pontos de 
convergência, como, por exemplo: 
• Direcionamento do ensino fundamental para a 
aquisição de competências básicas necessárias ao 
cidadão e não apenas voltadas para a preparação de 
estudos posteriores; 
• Importância do desempenho de um papel ativo do 
aluno na construção do seu conhecimento; 
• Ênfase na resolução de problemas, na exploração 
da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano 
e encontrados nas várias disciplinas; 
• Importância de se trabalhar com um amplo espectro 
de conteúdos, incluindo-se, já no ensino fundamental, 
elementos de estatística, probabilidade e combinatória, 
para atender à demanda social que indica a necessidade 
de abordar esses assuntos; 
• Necessidade de levar os alunos a compreenderem a 
importância do uso da tecnologia e a acompanharem sua 
permanente renovação. (Brasil, 1997, p.22 ) 
 
Essas pontos passaram a fazer parte da preocupação dos professores 
de matemática e especialistas de educação que vinham discutindo em nosso 
país as propostas curriculares das Secretarias dos Estados e dos Municípios 
brasileiros. 
Neste contexto, é possível verificar mudanças que ocorreram e 
continuam ocorrendo nas propostas curriculares no sentido de introduzir 
concepções matemáticas, metodologias e forma de avaliação na prática 
pedagógica dos professores. Essas têm chegado aos envolvidos com o 
processo ensino-aprendizagem de matemática através de cursos de 
capacitação, ciclos de estudos, congressos e outros. 
10 
 
Atualmente do Professor de Matemática das séries iniciais é formado 
pelos cursos de Licenciatura Plena em Pedagogia, enquanto os de 6º ao 9º ano 
do ensino fundamental e médio são oriundos da Licenciatura Plena em 
Matemática. 
 Os estudos e pesquisas sobre educação matemática continuam 
apresentando resultados relevantes para concretizar novas alternativas e 
tendências pedagógicas relacionadas com o ensino e aprendizagem deste 
campo do saber. Dentre várias se destaca a etnomatemática, modelagem 
matemática, história da matemática, uso de recursos tecnológicos e jogos 
matemáticos. Estes tópicos serão tratados no próximo item. 
 
1.2 - Tendências atuais do ensino da matemática 
 
 
As tendências pedagógicas que se referem às concepções teóricas dos 
modelos pedagógicos com base nas concepções teóricas e modelos 
pedagógicos, são estruturadas para qualquer tipo de saber inclusive o 
matemático. As mesmas foram elaboradas por Dermeval Saviani (1991), que 
desenvolveu um esquema lógico fundamentado na criticidade. Assim, 
classificou-as em dois grupos denominados de “teorias não-críticas” e “teorias 
críticas”. 
Tomando como base as idéias de Dermerval Saviani (1991), vários 
autores expressaram de forma literal ou sintética conforme o quadro abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
Classificação 
das Teorias 
Concepções Teóricas Modelos Pedagógicos 
Não –Críticas 
(liberais) 
Pedagogia Tradicional Ensino Tradicional 
Concepção Humanista Moderna Escola Nova (Pedagogia 
Renovada) 
Concepção Humanista Moderna Tecnicismo 
Crítico 
Reprodutivistas 
Violência Simbólica Não apresentam propostas 
pedagógicas, visto que entendem 
a escola como instrumento de 
reprodução das condições sociais 
impostas pela organização 
capitalista. 
Aparelhos Ideológicos de Estado 
Escola Dualista 
Dialéticas 
(Progressistas) 
Pedagogia Histórico-Crítica 
(Pedagogia Crítico-Social dos 
Conteúdos) 
Em sua proposta trabalha com os 
conteúdos culturais universais 
que são incorporados pela 
humanidade frente à realidade 
social. 
 
O método parte de uma relação 
direta da experiência do aluno 
como participador e do professor 
como mediador entre o saber e o 
aluno. 
 
Seus representantes são: 
Makarenko; B. Charlot; 
Demerval Saviani; Suchodoski; 
Manacorda e G. Snyders 
 
Pedagogia Libertadora Tem sido empregada com êxito 
em vários setores dos 
movimentos sociais (sindicatos, 
associações de bairro, 
comunidades religiosas e 
alfabetização de adultos). 
Autor desconhecido. 
Diante dos conhecimentos sobre as tendências pedagógicas, os 
educadores responsáveis pelo ensino da matemática, ao tomar consciência de 
que o mesmo não poderia mais continuar nos moldes tradicionais, partiram 
para busca de alternativa que colocasse a prática pedagógica do processo 
ensino-aprendizagem de matemática em sintonia com as propostas modernas 
de educação. 
Assim, existem atualmente cinco tendências para o ensino da 
Matemática, denominadas de Etnomatemática, História da Matemática, 
Matemática Crítica, Modelagem Matemática e Resolução de Problemas. 
12 
 
Neste item será abordada, de forma sintética, cada uma dessas 
tendências. 
 
• Etnomatemática 
 
 
Etnomatemática é uma tendência denominada de Programa 
Etinomatemática que, segundo D’Ambrósio (1993, p. 1), “teve sua origem na 
busca de entender o fazer e o saber matemático de culturas periféricas e 
marginalizadas, tais como colonizados, indígenas e classe trabalhadora”(...) e 
(...) também o conhecimento da cultura dominante” (...). 
Partindo da etimologia da palavra etnomatemática, etno (ambiente 
natural e cultural) + matema ( explicar, entender, lidar com o ambiente) + tica 
(artes, técnicas,modos e maneiras de), D’Ambrósio (1993) conceitua o termo 
como um corpo de artes, técnicas, modo de conhecer, explicar e entender em 
ambientes com diferentes culturas as competências e habilidades de comparar, 
classificar, ordenar, medir, contar, inferir e transcender através do saber 
matemático e outros que fluem do ambiente natural e cultural dos seres 
humanos. 
A proposta do Programa Etnomatemática rompe com os parâmetros do 
ensino tradicional quando propõe adequação sócio cultural através de 
metodologias que estejam alinhadas com o cotidiano das mais diferentes 
espaços naturais de sobrevivência humana. 
 
O Programa Etnomatemática tem importantes implicações 
pedagógicas. Educação é, em geral, um exercício de criatividade. 
Muito mais de transmitir ao aprendente teorias e conceitos feitos, 
para que ele as memorize e repita quando solicitado em exames e 
testes, a educação deve fornecer ao aprendente os instrumentos 
comunicativos, analíticos e tecnológicos necessários para sua 
sobrevivência e transcendência. Esses instrumentos só farão sentido 
se referidos à cultura do aprendente ou explicitados como tendo sido 
adquiridos de outra cultura ou inserido num discurso crítico. O 
programa Etnomatemática destaca a dinâmica e a crítica dessa 
aquisição. (D’Ambrósio, 1993, p.3) 
 
13 
 
O Programa Etnomatemática é um campo de pesquisa com aplicação na 
prática pedagógica do ensino da matemática que foge dos moldes tradicionais 
quando abre espaço para metodologias que utilizam tecnologia de informação 
e comunicação, enquadrando-se nas exigências de aplicação dos saberes 
matemáticos no contexto sócio cultural dos espaços naturais dos seres 
humanos. 
 
• História da Matemática 
 
A História da Matemática, é uma tendência da Educação Matemática 
que visa colocar a construção histórica do conhecimento matemático como 
instrumento de compreensão da evolução dos conceitos, dando ênfase às 
dificuldades epistemológicas inerentes à sua evolução. 
 
A metodologia que utiliza a História da Matemática na sala de aula ou 
pesquisas, conduz alunos ou pesquisadores a perceber que as teorias 
apresentadas como acabadas resultaram sempre de desafios da sociedade 
para os matemáticos enfrentarem com grande esforçoe, quase sempre, numa 
ordem bem diferente da que os resultados são apresentadas após o processo 
de descoberta. 
Neste contexto, o conhecimento matemático apresenta-se como uma 
criação humana em diferentes culturas e momentos históricos da evolução 
humana no planeta terra. Este fato poderá ser usado pelos professores para 
desenvolver junto aos alunos atitudes e valores propensos ao desenvolvimento 
do interesse pelos estudos matemáticos. 
 
Ao revelar a matemática como uma criação 
humana, ao mostrar necessidades e preocupações de 
diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao 
estabelecer comparações entre os conceitos e processos 
matemáticos do passado e do presente, o professor tem a 
possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais 
favoráveis do aluno diante do conhecimento matemático. 
BRASIL (1997, p.45) 
 
 
14 
 
 
Um dos valores a ser desenvolvimento é o de conceber a Matemática 
como um conhecimento em construção, com passado, presente, erros. E 
acertos, sem ser considerada verdade absoluta de forma acabada. 
 
Assim, a tendência História da Matemática por um lado permite a 
contextualização do saber, mostrando que seus conceitos e algoritmos 
surgiram numa época histórica, dentro de um contexto cultural, social e político, 
por outro, pode proporcionar um ensino motivador e mais agradável aos 
alunos, proporcionando uma visão crítica e reflexiva do conhecimento 
Matemático. 
 
Em termos metodológicos a tendência história da matemática deve 
chegar às salas de aulas onde os professores adotem uma conduta de 
orientador das atividades, permitindo ao educando a construção do próprio 
conhecimento de forma ativa e crítica, em consonância com as necessidades 
históricas, sociais e culturais do contexto onde o processo educativo se 
desenvolve. 
 
Em síntese, a tendência História da Matemática possibilita o aluno a 
perceber que a Matemática é um conjunto de conhecimentos em contínua 
evolução que desempenha um importante papel na sua formação. Neste 
sentido permite também a interdisciplinaridade com outros conhecimentos, 
apresentando-se como parte da cultura universal indispensável sobrevivência 
humana. 
 
 
• Matemática Crítica 
 
No século vinte, o mundo foi abalado pela Segunda Guerra Mundial e 
continuou em conflito diante das ameaças alimentadas pelas armas nucleares, 
domínio ideológico e econômico. Esse processo teve influência do socialismo 
marxista, que fundamentou a teoria histórico-crítica. 
 
Esta teoria influenciou os mais diferentes setores da sociedade. Um 
delas foi a educação nas diferentes áreas do saber. Com relação ao ensino de 
matemática surge a vertente denominada de “Educação Matemática Crítica. 
15 
 
Esta vertente trouxe novas coordenadas ao currículo de Matemática do então 
ensino primário e secundário. Ela tinha como principal ideal à reestruturação 
do ensino de Matemática frente às grandes e rápidas transformações da 
ciência e da sociedade. 
 
Elevar o nível científico da população escolarizada era uma das 
intenções dessa vertente que foi atropelado por um movimento internacional 
comandado pelos Estados Unidos da América, denominado de Matemática 
Moderna que contribuiu com a organização dos conteúdos através da tepria 
dos conjuntos, mas ao mesmo tempo introduziu uma linguagem lógica em 
todos níveis de ensino que gerou problemas de aprendizagem principalmente 
no nível elementar. 
 
Este fato desencadeou críticas que fizeram surgir novas idéias para o 
ensino da matemática dentre eles o que teve maior impacto, inclusive 
repercussão internacional, foi a Etnomatemática liderado por Ubiratan 
D’Ambrósio. 
 
Neste contexto, ressurge também a Educação Matemática Crítica. Esta 
vertente tem como base as relações estabelecidas entre progresso e 
tecnologia, em coerência com as idéias difundidas pela teoria dialética ou 
histórico-crítica. 
 
O professor dinamarquês Ole Skovsmose é um dos principais 
responsáveis por divulgar o movimento da “educação matemática crítica” ao 
redor do mundo. Com mestrado em Filosofia e Matemática pela Universidade 
de Copenhague e doutorado em Educação Matemática pela Royal Danish 
School of Education Studies, Skovsmose defende em seus trabalhos o direito à 
democracia e o ensino de matemática a partir de trabalho com projetos. 
 
 
16 
 
 Para ele, a Educação Matemática 
crítica possui um importante papel no 
mundo Skovsmose questiona as 
práticas tradicionais, muitas vezes 
realizadas sem reflexão, como a ênfase 
excessiva na realização de listas de 
exercícios, que pode comprometer a 
qualidade da aula de matemática, e 
acredita que “mai s importante atual, 
sobretudo em função do avanço 
tecnológico. 
 
Skovsmose sempre se preocupou com 
os países localizados fora dos centros 
de poder, o que o levou a viajar pelo 
mundo orientando e desenvolvendo pesquisas. Está sempre em contato com 
professores e pesquisadores da África do Sul, Colômbia e Brasil. 
 
Em nosso país, ele visita anualmente o programa de Pós -Graduação da 
UNESP, em Rio Claro, São Paulo. Atualmente, Skovsmose é professor do 
Departam ento de Educação, Aprendizagem e Filosofia da Universidade de 
Aalborg, na Dinamarca. Tem livros publicados em português, como Educação 
matemática crítica: a questão da democracia (2001) e Desafios da reflexão em 
educação matemática crítica (2008), ambos publicados pela editora Papirus, 
Educação Crítica – incerteza, matemática, responsabilidade (2007) pela editora 
Cortez e Diálogo e aprendizagem em educação matemática (2006) em parceria 
com Helle Alroe publicado pela editora Autêntica. Recentemente, em uma d e 
suas visitas ao Brasil, falou para um grupo de professores na Universidade 
Federal de Minas Gerais, ocasião em que conversou ele visita anualmente o 
programa de Pós -Graduação da UNESP, em Rio Claro, São Paulo. 
 
 (Este texto é a introdução de uma entrevista concedida a JULIANA ÂNGELO 
GONÇALVES, JUSSARA LOIOLA ARAÚJO e SAMIRA ZAIDAN. A mesma foi 
17 
 
publicada na íntegra na revista PresençaPedagógica nº83, volume 14, 
setembro/outubro de 2008.) 
 
Em síntese, a Educação Matemática Crítica requer uma prática 
pedagógica de sala de aula baseada em um cenário para investigação que 
convida os alunos a formular questões e a procurar explicações. Dessa forma, 
os alunos se envolvem no processo de exploração expresso através de 
desafios que buscam explicações. 
 
• Modelagem Matemática 
A Modelagem Matemática é uma metodologia alternativa para o ensino 
da Matemática que pode ser utilizada em qualquer nível de ensino, tendo como 
objetivo interpretar e compreender os mais diversos fenômenos do nosso 
cotidiano. Ela consiste em construir um modelo (matemático) da realidade que 
queremos estudar e interpretar os resultados obtidos no sentido de responder 
as questões ou problemas inicialmente apresentados em função das hipóteses 
levantadas. 
 
 
Vamos aprender com maquetes? 
Como exemplo: Existem formas geométricas na maqueta de uma casa? 
Levar os alunos a construir a maquete identificando as formas geométricas é 
realizar atividades de Modelagem Matemática para trabalhar os conceitos 
geométricos tendo como suporte a construção de maquetes, de plantas baixas, 
18 
 
etc. Dependendo do nível, o aluno pode calcular áreas das figuras geométricas, 
termos desconhecidos através da resolução de equações e outros. 
No final da atividade a aluno deve ser levado à reflexão com o fim de 
responder a questão inicialmente formulada. 
Através deste exemplo percebe-se a existência do procedimento de 
modelagem matemática que compreende etapas fundamentais expressas 
através da escolha do tema, seleção de variáveis e validação. 
 Primeiramente, devemos escolher um tema central para ser 
desenvolvido pelos alunos, e recolher dados gerais e quantitativos que possam 
ajudar a levantar hipóteses com objetivo de elaborar questões ouproblemas 
conforme interesse dos grupos de alunos. 
 A etapa seguinte consiste em selecionar as variáveis essenciais 
envolvidas nas questões ou problemas e formular as hipóteses. Neste torna-se 
necessário à sistematização dos conceitos que serão usados na resolução dos 
modelos e a interpretação da solução (analítica, e se possível, graficamente). 
Para finalizar, dependendo do objetivo, fazer a validação dos modelos, 
confrontando os resultados obtidos com os dados coletados. 
Em síntese, a modelagem matemática constitui-se em ferramenta para 
enfrentar o desafio de fazer o aluno compreender a importância do raciocínio 
matemático no dia-a-dia da sua formação de cidadão crítico da sociedade. 
 
• Resolução de Problemas 
 
 
A resolução de problemas em matemática é um recurso metodológico 
em que o professor propõe ao aluno situações direcionadas para 
interpretação, esquematização, investigação, aplicação e exploração de 
conceitos matemáticos direcionados para solução de determinada situaçã 
 
 
19 
 
 A resolução de problemas faz parte das buscas que levaram a espécie 
humana a originar a matemática e ampliar seus conhecimentos em busca de 
melhores condições para garantia da sobrevivência. Assim, desde as épocas 
mais remotas, em todo e qualquer nível de sua atuação, o conhecimento 
matemático apresenta-se ligado à resolução de problemas que, na maioria das 
vezes, envolve outras áreas do conhecimento. Nesse sentido, a Matemática 
tem um papel significativo no desenvolvimento da ciência, da tecnologia e da 
sociedade. 
 
 O Ser humano comumente depara-se com situações problemas em seu 
dia a dia, desde problemas simples aos elaborados com rigor científico. Este 
pressuposto faz como a metodologia de resolução de problemas seja colocada 
sempre como eixo organizador do processo ensino aprendizagem. Por isto que 
esta atividade tem que ser bem planejada e executada com rigor para render 
resultados positivos em termos de aprendizagem. 
 
Neste sentido, pode ser colocado em prática os princípios sugeridos 
pelos PCN de Matemática 5ª a 8ª série, com o seguinte teor: 
 
A situação problema é o ponto de partida da atividade matemática e 
não a definição. No processo ensino aprendizagem, conceitos, idéias 
e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração 
de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem 
desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; 
O problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de 
forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só 
há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da 
questão que lhe é apresentada; 
Aproximações sucessivas de um conceito são construídas para 
resolver certo tipo de problemas: num outro momento, o aluno utiliza 
o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferência, 
retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode 
observar na História da Matemática; 
Um conceito matemático se constrói articulando com outros 
conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações. 
Assim, pode-se afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos 
que toma sentido num campo de problemas, e não um conceito 
isolado em resposta a um problema particular; 
A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida 
em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma 
orientação para aprendizagem, pois proporciona o contexto em que 
20 
 
se podem aprender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. 
( BRASIL, 1998, p. 40 e 41) 
 
Com base nestes princípios a metodologia de Resolução de Problemas 
no ensino da Matemática, propicia o desenvolvimento do pensamento criador 
do aluno necessário para enfrentar as exigências do mundo contemporâneo, 
tendo em vista que as transformações da sociedade se dão de maneira 
surpreendente e imprevisível, exigindo cada vez mais do ser humano a 
capacidade de criar diante das situações problemas do cotidiano. 
 
A resolução de problemas no ensino-aprendizagem de matemática 
segue princípios e etapas. Para caracterizar as etapas retiramos do trabalho 
dos alunos RAMOS, Agnelo Pires e outros, do Instituto de Matemática e 
estatística da Universidade de são Paulo, orientandos do Prof. Antonio Luiz 
Pereira, as sugestões das etapas de reolução de problemas matemático 
proposta por George Polya. 
 
 
 
A heurística de resolução de problrmas de 
George Polya. 
 
 “Resolver problemas é uma 
habilidade prática, como nadar, esquiar ou 
tocar piano: você pode aprendê-la por meio 
de imitação e prática. 
 
(...) se você quer aprender a nadar você tem 
de ir à água e se você quer se tornar um 
bom ‘resolvedor de problemas’, tem que 
resolver problemas”.9 
George Polya (1897 – 1985), filósofo 
e matemático húngaro. 
 
_____________________________ 
8 Fonte: site http://www.pbs.org/wgbh/aso/databank/entries/bhskin.html 
 9 POLYA, George. Mathematical Discovery: on Understanding, Learning, and 
Teaching Problem Solving. 2 vols. John Wiley,1962-65, p. ix. 
21 
 
 
Biografia de Polya 
 
George Polya (1897 – 1985) foi um dos matemáticos mais importantes 
do século XX. Nascido na Hungria, ele passou a maior parte do seu tempo 
pesquisando na universidade de Stanford nos Estados Unidos devido à 
situação política da 
 
Europa na época da Segunda Guerra Mundial. Pesquisou em vários ramos da 
matemática, como probabilidade e equações diferenciais parciais; sua maior 
contribuição, no entanto, está relacionada à heurística de resolução de 
problemas matemáticos com várias publicações relacionadas ao assunto, em 
especial How To Solve It – que vendeu mais de um milhão de cópias - em 
1957. Polya é um dos matemáticos do nosso século que considera a 
Matemática uma “ciência observacional” na qual a observação e a analogia 
desempenham um papel fundamental; afirma também a semelhança do 
processo criativo na Matemática e nas ciências naturais. 
 
Polya foi o primeiro matemático a apresentar uma heurística de 
resolução de problemas específica para a matemática. Por isso, Polya 
representa uma referência no assunto, uma vez que suas idéias representam 
uma grande inovação em relação às idéias de resolução de problemas 
existentes até então (vide Descartes, Wallas, Skinner). Muitas de suas idéias 
são razoáveis até os dias atuais, servindo de alicerce para trabalhos de outros 
pesquisadores contemporâneos a Polya na área nesta área como Schoenfeld e 
Thompson. 
 
Etapas de resolução de problemas, segundo Polya 
 
Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, 
Polya o dividiu em quatroetapas. É importante ressaltar que Polya nunca 
pretendeu que a sua divisão correspondesse a uma seqüência de etapas a 
serem percorridas uma depois da outra sem que nunca seja conveniente ou 
22 
 
necessário voltar atrás ou que a sua divisão funcionasse como uma ‘poção 
mágica’ para resolver problemas matemáticos. 
 
As quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya são: 
 
1ª etapa: compreensão do problema 
O primeiro passo é entender o problema. É importante fazer perguntas. 
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições? É possível 
satisfazer as condições? Elas são suficientes ou não para determinar a 
incógnita? Existem condições redundantes ou contraditórias? Construir figuras 
para esquematizar a situação proposta no exercício pode ser muito útil, 
sobretudo introduzindo-se notação adequada. 
 
Sempre que possível, procurar separar as condições em partes. 
 
2ª etapa: construção de uma estratégia de resolução 
 
Encontrar conexões entre os dados e a incógnita. 
 
Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares 
caso uma conexão não seja encontrada em tempo razoável. 
 
É importante fazer perguntas. Você já encontrou este problema ou um 
parecido? 
Você conhece um problema semelhante?Você conhece teoremas ou fórmulas 
que possam ajudar? 
 
Olhe para a incógnita e tente achar um problema familiar e que tenha 
uma incógnita semelhante. 
 
Caso você encontre um problema relacionado ao seu e que você sabe 
resolver, tente aproveitá-lo. Você pode usar seu resultado ou método? É 
necessário introduzir algum elemento auxiliar de modo a viabilizar esses 
objetivos? 
23 
 
Você consegue enunciar o problema de uma outra maneira? 
 
Caso você não consiga resolver o problema dado, tente resolver um 
problema parecido! Você consegue imaginar um caso particular mais 
acessível? E um caso mais geral e/ou mais acessível? Você consegue resolver 
alguma parte do problema? Mantenha apenas parte das condições do 
problema e observe o que ocorre com a incógnita: como ela varia agora? Você 
consegue obter alguma coisa desde os dados? Você consegue imaginar outros 
dados capazes de produzir a incógnita? Você consegue alterar a incógnita ou 
os lados, ou ambos, de modo que a nova incógnita e os novos dados fiquem 
mais próximos? 
 
Não se esqueça de levar em conta todos os dados e todas as condições. 
 
3ª etapa: executando a estratégia 
 
Freqüentemente, esta é a etapa mais fácil do processo de resolução de 
um problema. Contudo, a maioria dos principiantes tende a pular esta etapa 
prematuramente e acabam se dando mal. Outros elaboram estratégias 
inadequadas e acabam se enredando terrivelmente na execução (e, deste 
modo, acabam sendo obrigados a voltar para a etapa anterior e elaborar uma 
nova estratégia). 
 
Ao executar a estratégia, verifique cada passo. Você consegue mostrar 
que cada um deles está correto? 
 
4ª etapa: revisando a solução 
 
Você deve examinar a solução obtida, verificando os resultados e os 
argumentos utilizados. 
 
Você pode obter a solução de algum outro modo? 
 
24 
 
Qual a essência do problema e do método de resolução aplicado? Em 
particular, você consegue usar o resultado – ou o método – em algum outro 
problema? 
 
Qual a utilidade deste resultado? 
 
A importância de revisar a solução 
 
Conforme vimos anteriormente, Polya dividiu o processo de resolução de 
problemas matemáticos em quatro etapas: entendimento do problema, 
invenção de estratégia de resolução, execução e revisão. 
 
A revisão da solução é a etapa mais importante segundo Polya, pois 
esta etapa propicia uma depuração e uma abstração da solução do problema: 
 
- Depuração: o objetivo é verificar a argumentação usada, procurando 
simplificá-la; pode-se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de resolver 
o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas e só agora 
acessíveis ao resolvedor. Há uma crítica generalizada aos matemáticos 
pesquisadores por publicarem demonstrações muito artificiais ou abstratas e 
que certamente não representam a maneira como o resultado em 
demonstração foi descoberto. Contudo, é inegável que a revisão de depuração 
é muito proveitosa. 
 
- Abstração: agora, o objetivo é refletir no processo de resolução procurando 
descobrir a essência do problema e do método de resolução empregado; 
tendo-se sucesso nessa empreitada, poder-se-á resolver outros problemas 
mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela representa a possibilidade 
de aumento do ‘poder de fogo’ do resolvedor. Feito por um matemático 
talentoso, esse trabalho de abstração representa a possibilidade de fertilização 
da Matemática. 
 
25 
 
Em síntese, a Resolução de problemas, como tendência da Educação 
Matemática, considera os alunos como participantes ativos do processo de 
aprendizagem com potencial para construção do conhecimento. 
 
1.3 - O projeto pedagógico / o currículo em ação na área de matemática 
 
O projeto político-pedagógico mostra a visão macro do que a instituição 
escola pretende ou idealiza fazer, seus objetivos, metas, estratégias 
permanentes e processos avaliativos, tanto no que se refere às suas atividades 
pedagógicas, como às administrativas na âmbito das políticas implementadas. 
Assim, compete ao projeto político-pedagógico a operacionalização do 
planejamento escolar, em um movimento constante de avaliação. 
Neste sentido o projeto político-pedagógico passa a ser uma direção, um 
rumo para as ações da escola, através de uma ação intencional que deve ser 
construída coletivamente. Ele é denominado de político porque reflete as 
opções e escolhas de caminhos e prioridades na formação do cidadão, como 
membro ativo e transformador da sociedade em que vive. Pedagógico porque 
direciona as atividades pedagógicas e didáticas da escola. A separação entre o 
político e pedagógico é apenas formal, na realidade as ações apresentam-se 
formando uma totalidade. 
Assim, o projeto político pedagógico é um instrumento de fundamental 
importância para definição do currículo da escola e neste a parte referente à 
área de matemática da educação infantil e séries iniciais, tendo em vista que 
trata-se de um ramo do saber caracterizado pela abstração, precisão, rigor 
lógico nos seus resultados e conclusões. 
Desta forma, é na parte do currículo referente ao ensino de matemática 
onde delimita-se as competências e habilidades, conteúdos, metodologias e 
critérios de avaliação da ação pedagógica, bem como o encaminhamento para 
discussão de temas voltados para contribuir com a formação de uma cultura 
que reflita as necessidades e os anseios do cidadão. Competência, segundo 
26 
 
Guiomar Namo de Mello (2003), “é a capacidade de mobilizar conhecimentos, 
valores e decisões para agir de modo pertinente numa determinada situação”. 
É também através do currículo que se caracteriza a clientela que vai 
estudar matemática entendida como ciência que estuda todas possíveis 
ralações e interdependências quantitativas entre grandezas, comportando um 
vasto campo de teorias, modelos e procedimentos de análise. 
 
Finalmente, é seguindo o rumo dado pelo Projeto Político Pedagógico e 
as diretrizes curriculares da escola na sua totalidade e do ensino da 
matemática na sua especificidade destinado a desenvolver competências e 
habilidades intelectuais necessárias a agilização do raciocínio para resolver 
problemas do cotidiano dos alunos. 
1.4 – Formação do professor para o ensino de matemática 
 
A formação do docente para o ensino de matemática na educação 
infantil e as séries iniciais do ensino fundamental tem sido discutida em função 
das propostas de formação inicial trabalhadas pelas agências formadores de 
profissionais para este ramo do saber. Para D’Ambrósio (2007), as qualidades 
de um Professor de Matemática está sintetizada em três categorias: 1. 
Emocional/afetiva; 2. Política; 3. Conhecimento. 
Neste sentido, várias questões são evidenciadas no processo de 
formação do educador para trabalhar o ensino de matemática. Dentre vários, o 
de indagar sobre o domínio do saber matemático que possui caráter abstrato, 
onde seus conceitos e resultados tem origem no mundo real, destinado a 
muitas aplicações em outras ciências e inúmeras aplicações práticas do 
cotidiano. 
Ainda com relação à formação do professor de matemática, a 
racionalidade formativa aponta para competências e habilidades capaz de 
responder as exigências e à multiplicidade de situações que permeiam o 
exercício da docência na sociedade do conhecimento, da informação, ciência 
e tecnologia. 
27 
 
 Essas competências e habilidades devem ainda responder também as 
exigências para formação do professor reflexivo de matemática relativa à 
necessidade do enfoque interdisciplinar, investigação do cotidiano da prática 
pedagógica pela pesquisa e o domínio dos saberes intrínsecos à profissão 
docente. 
Pensar a formação de professores implica, portanto, 
pensar que o exercício da docência, conforme Tardif 
(1991), requer a mobilização de vários tipos de saberes: 
saberes pedagógicos (reflexão sobre a prática educativa 
mais ampla), saberes dasdisciplinas (envolvem vários 
campos do conhecimento e concretizam-se pela 
operacionalização dos programas), saberes curriculares 
(selecionados no contexto da cultura erudita) e os saberes 
da experiência (constituem-se saberes específicos no 
exercício da atividade profissional.(BRITO, 2006, p.45) 
 
Em síntese, fica claro que, em uma sociedade complexa, onde a 
velocidade das informações e as mudanças proporcionadas pelo avanço das 
ciências e tecnologias são constantes, a formação do Professor de Matemática 
requer reflexões e ações dinâmicas destinadas a construir e reconstruir 
saberes necessários à gerência de uma prática pedagógica reflexiva. 
 
1.5 – O aluno de matemática e o processo ensino-aprendizagem 
 
Geralmente os Professores concentram parte de suas energias com 
questões relacionadas ao planejamento da aula, procurando elaborar bem as 
competências e habilidade, selecionar conteúdos, escolher métodos e técnicas 
de ensino, montar estratégias para desenvolver as aulas e avaliar a 
aprendizagem, mas nem sempre procuram saber quem são seus alunos. 
No desenvolvimento do processo ensino-aprendizagem é importante que 
os Professores vejam o aluno como sujeito da aprendizagem, é ele quem 
realiza a ação de aprender. Não existem meios de ensinar alguém que não 
28 
 
tenha tomado a decisão de aprender, tendo em vista que a aprendizagem é um 
processo interno que depende da vontade de cada pessoa. Ainda nesta linha 
de pensamento faz-se necessário entender que a aprendizagem é resultado de 
ações interativas do sujeito com seu meio social e natural circundante. 
Este referencial requer o reconhecimento do aluno como centro do 
processo ensino-aprendizagem onde o Professor tem a função de auxiliar o 
desenvolvimento do aluno percebendo em que zona proximal se encontra para 
oferecer subsidio necessário ao alcance de outra mais avançada. 
Para tanto, os alunos de matemática devem ser reconhecidos pelas 
características internas e externas que apresentam com maiores evidências. 
Assim, são classificados como crianças, adolescentes e jovens, das mais 
diferentes origens sociais, que vivem do ponto de vista da prática 
simbolizadora, construindo explicações sobre o mundo natural e social no qual 
está inserido. São geralmente possuidores de uma inteligência essencialmente 
prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações e 
tomar decisões diante de situações que exigem raciocínio matemático. 
Assim, é de fundamental importância para o Professor manter-se 
informado sobre a cultura primeira1 dos alunos, tradição cultural étnica e 
religiosa, grupos sociais que pertence e rede de comunicação social da qual 
faz parte, para facilitar o seu trabalho e conseqüentemente a aprendizagem do 
conhecimento matemático. 
Desta forma, saber as características do aluno de matemática e 
confrontar com quem realmente ele é constitui-se no primeiro passo para o 
Professor tornar-se um facilitador da aprendizagem do saber matemático. O 
segundo é entender que este aluno está inserido em um universo simbólico, 
mediado por interações que podem ser aproveitadas no aprimoramento dos 
conceitos, procedimentos e atitudes que contribuem para aprendizagem do 
aluno. 
 
1
 A denominação cultura prevalente ou primeira está incluindo, portanto: palavras que são 
resultado de sensações orgânicas, de experiências de ações diretas sobre os objetos, artefatos 
e fenômenos; explicações aprendidas em relações diretas com outras pessoas e/ou com os 
meios de comunicação social e outras produções culturais, como explicações de origem 
religiosa, da tradição oral étnica ou de uso específico de um grupo social particular. 
29 
 
 
 
1.6 - Desafios para o ensino de matemática 
 
Os desafios do mundo contemporâneo, principalmente os gerados pelas 
transformações advindas do avanço das ciências e tecnologias, são 
transferidos para escola em formas de saberes a serem discutidos, avaliados e 
aperfeiçoado pela reflexão sobre suas origens, causas e conseqüências. 
Nesse contexto situamos o ensino de matemática, com uma boa parte 
da parcela de contribuição referente à formação humana no sentido orientar 
para o enfrentamento dos desafios relativos às transformações requisitadas 
para sobrevivência no planeta terra. 
Na dimensão do ensino de matemática, necessitamos superar o 
desafios de fazer chegar os conhecimentos matemáticos a todos, através da 
superação do estigma de ciência lógica comunicativa complexa, de difícil 
acesso e restrita apenas a uma pequena parcela privilegiada da humanidade. 
Assim, os desafios do ensino de matemática serão desenvolvidos com 
base nos questionamentos a seguir: 
• Como fazer chegar a o saber matemático a todos os indivíduos do 
planeta terra? 
• Como formar os Professores de Matemática para enfrentar o desafio de 
levar o conhecimento matemático a todos? 
• Como aplicar os resultados das pesquisas em educação matemática na 
prática pedagógica dos Professores? 
 
a) Matemática para todos. 
 
Enquanto os habitantes do Brasil eram “pacificados” e “alfabetizados” 
segundo os princípios e costumes europeus, a matemática era apropriada por 
30 
 
uma pequena elite que compreendia o valor do seu aprendizado para o 
desenvolvimento e progresso da humanidade. Este fato gerou um 
distanciamento entre a elite, principalmente os militares e o “povo brasileiro” e 
os “portugueses” menos esclarecidos que acompanhavam a corte para 
realização de serviços domésticos ou braçais. Assim, foi instalado o ensino de 
matemática no Brasil destinado para poucos que despertavam interesse por 
esta área do saber. 
Com base nos informes históricos do ensino de matemática no Brasil, 
este teve inicio com os cursinhos preparatórios para o ingresso nas academias 
militares e cursos superiores. Este teve novo impulso na década de trinta com 
a criação das primeiras faculdades de filosofia destinada à formação de 
Professores. Neste sentido destaca-se o esforço de Euclides Roxo que fundiu 
as disciplinas aritmética, álgebra e geometria em uma denominada de 
matemática, mas mesmo assim continuou com acesso a uma pequena fatia da 
população. 
Diante deste quadro o desafio para educação é colocar o saber 
matemático ao alcance de todos através da escola e outros meios de 
comunicação de massa que possam levar a maior parcela da sociedade. No 
que diz respeito à educação escolar, cabe aos Professores e Professoras de 
matemática desencadear uma campanha de popularização dos conteúdos 
conceituais, procedimentais e atitudinais através de incentivos como: 
olimpíadas, clubes de matemática, exposições e outros. 
 
b) Como formar Professores de Matemática para enfrentar o desafio 
de levar o conhecimento matemático a todos? 
 
É unânime nos discursos sobre a formação de professores matemática a 
idéia de que eles precisam ter o domínio dos saberes matemático, mas tem 
ficado também muito claro a necessidade de serem desenvolvidas 
competências e habilidades do fazer pedagógico, comprometido com a 
proposta que conduza os alunos ao desenvolvimento do raciocínio lógico-
31 
 
matemático associado à crítica e criatividade desta área do saber, bem como 
sua aplicação no cotidiano da sociedade. 
Dentre as competências e habilidades do fazer pedagógico destaca-se 
como um dos principais desafios na formação dos professores de matemática, 
a utilização das novas tecnologias de comunicação e informação que circulam 
no cotidiano da sociedade atual. Esta lacuna pode ser gerada tanto pela falta 
de equipamentos e materiais didáticos nas instituições formadoras, como pela 
influência da prática pedagógica de Professores que rejeitam a aplicação de 
novas técnicas para discussão dos conceitos e resoluções de problemas que 
envolvam a realidade social e continuam trabalhando de forma tradicional, 
utilizando métodosobsoletos que tornam difícil despertar interesse dos alunos 
pelo procura de novas alternativas para o ensino da matemática. 
Outro desafio encontra-se na relação professor e aluno no processo de 
formação. Assim, os alunos, futuros Professores de matemática, devem ser 
formados com a orientação de que o saber matemático é algo para ser 
assimilado, discutido, compreendido, reconstruído e construído junto com os 
alunos visando a aplicação no contexto social do qual faz parte. 
Na superação deste desafio centra-se os mecanismos melhoria do 
processo ensino-aprendizagem e o compromisso de levar a todos o 
conhecimento matemático. 
 
c) Como aplicar os resultados das pesquisas em educação 
matemática na prática pedagógica dos Professores? 
 
O processo ensino-aprendizagem de matemática tem sido, 
principalmente após a década de 60, alvo de muitas pesquisas na área 
pedagógica relativa à produção de materiais áudio visual com utilização das 
novas tecnologias, métodos e técnicas do fazer pedagógico. A intensificação 
do interesse para esta área de estudo teve como ponto de partida o momento 
em que o mundo foi surpreendido com conquista do universo através da ida do 
homem a lua. Esse fato deu-se em meio a uma disputa de forças ideológicas 
32 
 
entre o bloco dos países socialistas liderados pela União das Repúblicas 
Socialistas (URSS) e os capitalistas sob a liderança dos Estados Unidos da 
América (USA). Foi justamente os Estados Unidos quem sentiu necessidade de 
mudança na área do ensino, onde o marco principal foi a proposta 
denominada de “matemática moderna” com a introdução da teoria dos 
conjuntos e aplicação do método de resolução de problemas. Esta influenciou 
diretamente o Brasil que, neste período, importava conhecimento e tecnologia 
dos norte-americanos. 
As pesquisas na área da educação matemática continuam sendo 
realizadas pelos alunos da graduação através dos trabalhos de conclusão de 
curso TCC e especialização lato e stricto senso com monografias, 
dissertações, teses e ainda livros publicados por pesquisadores de renome 
desta área. Neste sentido, o desafio é trazer para sala de aula os estudos 
acumulados sobre a educação matemática, com o fim ser de colocado a 
disposição dos Professores para serem aplicados no cotidiano da prática 
pedagógica. 
No desafio de aproximar o ensino de matemática dos resultados das 
pesquisas pedagógicas, qualquer mecanismo é valido, mas um dos mais 
eficientes encontra-se nas salas de aulas dos cursos de formação de 
Professores e sua extensão na prática pedagógica dos docentes das escolas 
de ensino fundamental e médio, tende em vista que é nelas onde se encontram 
os principais agentes de articulação deste processo. 
Neste cenário são de fundamental importância os cursos de formação 
continuada em nível de graduação e pós-graduação, tendo em vista que os 
mesmos se constituem em canais de comunicação e troca de experiências 
entre as escolas de ensino fundamental ou médio e as instituições de ensino 
superior, pesquisa e extensão, permitindo atingir outros professores, alunos e 
pais com idéias ou práticas inovadoras relativas ao ensino da matemática. 
 
 
 
33 
 
 
 
ATIVIDADES DA UNIDADE “I” 
TEMA: CONTRIBUIÇÕES TEÓRICAS PARA O ENSINO DA MATEMÁTICA 
a) Atividade “1” – obrigatória – fórum de participação. 
Os conteúdos para o ensino da matemática, no Brasil, foram trabalhados 
nos moldes tradicionais, sem propostas metodológicas de inovação por muito 
tempo. Somente na década de 60, surgiu o primeiro grupo de educação 
matemática, sob a liderança de Osvaldo Sangiorgi no Estado de São Paulo. 
Em seguida surgiram também outros grupos precisamente no estado do Rio 
Grande do Sul e Rio de Janeiro, justamente no momento em que diferentes 
países do mundo passaram a discutir questões relativas à educação 
matemática, influenciada pelo movimento da Matemática Moderna. 
Com base no parágrafo acima podemos concluir que a preocupação 
com a metodologia do ensino da matemática é recente. Este fato pode ter 
contribuído para impedir o avanço de propostas metodológicas nesta área de 
ensino e aprendizagem? 
Faça a leitura do texto na íntegra, forme sua opinião e poste no fórum de 
participação. Leia a opinião de colega e faça seus comentários. 
CONHECIMENTOS 
 
Atividade “2” – obrigatória – correio eletrônico. 
Diante dos conhecimentos sobre as tendências pedagógicas, os 
educadores responsáveis pelo ensino da matemática, ao tomar consciência de 
que o mesmo não poderia mais continuar nos moldes tradicionais, partiram 
para busca de alternativa que colocasse a prática pedagógica do processo 
ensino-aprendizagem de matemática em sintonia com as propostas modernas 
de educação. 
34 
 
Assim, existem atualmente cinco tendências para o ensino da 
Matemática, denominadas de Etnomatemática, História da Matemática, 
Matemática Crítica, Modelagem Matemática e Resolução de Problemas. 
Destas tendências qual você acha mais apropriada para trabalhar 
matemática na atualidade? Justifique. 
Escreva um pequeno texto colocando sua posição e envie pelo correio 
eletrônico ou entregue para o monitor presencial. 
 
Atividade “3” – obrigatória - fórum de discussão 
Para D’Ambrósio (2007), as qualidades de um Professor de Matemática 
está sintetizada em três categorias: 1. Emocional/afetiva; 2. Política; 3. 
Conhecimento. 
Dentre estas categorias, com base nas suas observações, qual a mais 
presente na prática pedagógica do Professor de matemática? 
Em sua opinião, o Professor de matemática pode ser um excelente 
profissional possuindo apenas uma destas categorias? 
Atividade “4” – obrigatória – correio eletrônico. 
Dos desafios apresentados no texto, qual,na sua opinião, o mais difícil 
de ser enfrentado? Justifique sua resposta. 
Elabore um pequeno e poste no correio eletrônico ou entregue para 
monitor(a) presencial. 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
BRASIL, Ministério de Educação e do Desporto. Secretaria de Educação 
Fundamental, Parâmetros Curriculares Nacionais; MATEMÁTICA.Brasilia: 
MEC, 1997. 
35 
 
BRASIL. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros 
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília: MEC, 1999. 
 
BRASIL. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN+: Ensino Médio 
– orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares 
Nacionais. Brasília: MEC, 2006. 
 
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: 
Papirus, 2007. 
KAMII, Constance. A criança e o número.Campinas: Papirus, 2004 
MELO, Guiomar Namo de. Afinal, o que é competência ?.Brasilia: Nova Escola, 
v.18, n. 160, p. 14, março de 2003 
SAVIANI, D. Escola e Democracia. 2ª edição. São Paulo: Cortez editora e Editora 
Autores Associados, 1984. 
SAVIANI, D. Pedagogia histórico-crítica: primeiras aproximações. 2ª edição. São 
Paulo: Cortez editora e Editora Autores Associados, 1991. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
UNIDADE 2 - PARÂMETROS 
CURRICULARES NACIONAIS PARA 
MATEMÁTICA (ANOS FINAIS DO 
ENSINO FUNDAMENTAL E ENSINO 
MÉDIO) E A FORMAÇÃO DO 
PENSAMENTO PELO CAMINHO DA 
SIMBOLIZAÇÃO. 
 
 
 
 
 
RESUMO 
A unidade II apresenta um estudo sobre os parâmetros curriculares 
nacionais para matemática (anos finais do ensino fundamental e ensino médio), 
seguido de um texto sobre a formação do pensamento pelo caminho da 
simbolização. 
 
 
 
 
 
37 
 
II - PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA MATEMÁTICA 
(ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL E ENSINO MÉDIO) E A 
FORMAÇÃO DO PENSAMENTO PELO CAMINHO DA SIMBOLIZAÇÃO. 
. 
 
 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN’s, tem se constituído em 
instrumento norteador de reformas e inovações metodológicas para áreas dos 
diversos conhecimentos curriculares do ensino fundamental e médio, 
constituindo-se em carta de intenções oficiais para sociedade brasileira. 
 
No campo da matemática estas intençõessão expressas nos PCN 
através de sua finalidade, objetivo e, como decorrência, orientação para 
formação inicial de professores. 
 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática têm 
como finalidade fornecer elementos para ampliar o debate nacional 
sobre o ensino dessa área do conhecimento, socializar informações e 
resultados de pesquisas, levando-as ao conjunto dos professores 
brasileiros. 
 
Visam à construção de um referencial que oriente a prática 
escolar de forma a contribuir para que toda criança e jovem 
brasileiros tenham acesso a um conhecimento matemático que lhes 
possibilite de fato sua inserção, como cidadãos, no mundo do 
trabalho, das relações sociais e da cultura. 
 
Como decorrência poderá nortear a formação inicial e 
continuada de professores, pois à medida que os fundamentos do 
currículo se tornam claros fica implícito o tipo de formação que se 
pretende para o professor, como também orientar a produção de 
livros e de outros materiais didáticos, contribuindo dessa forma para a 
configuração de uma política voltada à melhoria do ensino 
fundamental. (BRASIL, 1998, p.15) 
 
Muitos são os motivos que justificam a preocupação com o ensino da 
matemática no nível fundamental, dentre vários se encontram no contexto da 
convivência humana, as mudanças sociais aceleradas, a globalização, os 
38 
 
impactos tecnológicos e o compromisso da educação diante das exigências do 
povo brasileiro 
Essas razões e outras mais específicas, associadas às condições 
econômicas, culturais e científicas do país, neste início de século XXI, 
justificam a implementação de reforma curricular nos sistemas de ensino 
fundamental e médio, em especial no currículo de matemática por se tratar de 
um saber indispensável à sustentação das transformações tecnológicas 
aceleradas que afetam o mundo do trabalho, das comunicações, das 
informações e das ciências. 
A presença dos PCN de matemática ao longo de sua existência trouxe à 
tona a discussão sobre o currículo de matemática para o ensino fundamental e 
médio, rompendo com a idéia de que o mesmo se constituía apenas de uma 
lista de tópicos e objetivos a serem alcançados a qualquer custo. Ao contrário, 
ele ofereceu uma proposta centrada em objetivos acompanhados com o 
tratamento das informações, bem como orientações em torno das abordagens 
metodológicas e modo de avaliar o desempenho da aprendizagem dos alunos. 
 
Como documento oficial norteador da prática pedagógica do ensino de 
matemática, os Parâmetros Curriculares Nacionais, embora mantenha a 
seqüência de saber sistematizado, apresentam indicação de propostas 
diferenciadas para o ensino fundamental e médio em função da suas 
peculiaridades. Isto fez com que, neste trabalho, sejam comentadas de forma 
separada as proposições referentes a cada nível de ensino. 
 
 
2.1 - PCN DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL 
 
A proposta do ensino fundamental dos PCN de matemática, apresenta 
na sua primeira parte uma breve análise dos mais recentes movimentos de 
reforma curricular do ensino de Matemática no Brasil, apoiada na necessidade 
de reverter o quadro em que a Matemática se configura como um filtro de 
seleção social dos alunos que ingressam neste nível de ensino, bem como a 
necessidade de oferecer um ensino de Matemática de qualidade capaz de 
39 
 
contribuir com o desenvolvimento do raciocínio lógico matemática 
indispensável à formação do cidadão brasileiro. 
 
Para tanto, os PCN de matemática do ensino fundamental traz como 
ponto inovador de seu conteúdo as principais características do conhecimento 
matemático e seu papel na construção da cidadania. Para reforçar esta 
intenção, apresenta uma proposta de trabalho interdisciplinar com base nos 
temas transversais que aborda como sugestão, a ética, orientação sexual, meio 
ambiente, saúde, pluralidade cultural, trabalho, consumo e outros que venham 
surgir de acordo com as necessidades do meio onde se processo a formação 
do cidadão brasileiro. 
 
Essa análise abre uma discussão sobre o papel da Matemática na 
construção da cidadania - eixo orientador dos Parâmetros 
Curriculares Nacionais-, enfatizando a participação crítica e a 
autonomia do aluno. Sinaliza a importância do estabelecimento de 
conexões da Matemática com os conteúdos relacionados aos Temas 
Transversais - Ética, Pluralidade Cultural, Orientação Sexual, Meio 
Ambiente, Saúde, Trabalho e Consumo -, uma das marcas destes 
parâmetros.(BRASIL, 1998, p. 15) 
 
 
Este processo de formação realiza-se na escola com a participação das 
áreas de conhecimento que proporcionam meios para o desenvolvimento das 
competências e habilidades especificas de cada uma delas. Com relação à de 
matemática, os PCN do ensino fundamental oferece informações sobre o 
professor e o saber matemático, o aluno e o saber matemático, as relações 
professor-aluno e aluno-aluno e alguns caminhos para “fazer matemática” na 
sala de aula através da resolução de problemas, recursos à história da 
matemática, recursos às tecnologias da comunicação e recursos aos jogos. 
 
Com base no eixo norteador de formação do aluno para construção da 
cidadania, os PCN do ensino fundamental apresentam como os componentes 
não pessoais do processo ensino aprendizagem os objetivos, seguidos dos 
conteúdos selecionados, orientações didáticas e formas de avaliação. 
 
Desta forma, os objetivos para o ensino fundamental de matemática 
ficaram assim delineados: 
 
 
40 
 
• Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para 
compreender e transformar o mundo à sua volta e perceber o caráter 
de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que 
estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o 
desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; 
• Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e 
qualitativos do ponto de vista do conhecimento e estabelecer o maior 
número possível de relações entre eles, utilizando para isso o 
conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, 
estatístico, combinatório, probabilístico); selecionar, organizar e 
produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las 
criticamente; 
• Resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e 
resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como 
dedução, indução, intuição, analogia, estimativa, e utilizando 
conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos 
tecnológicos disponíveis; 
• Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, 
representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre 
suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo 
relações entre ela e diferentes representações matemáticas; 
• Estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes 
campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas 
curriculares; 
• Sentir-se seguro da própria capacidade de construir 
conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a 
perseverança na busca de soluções; 
• Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando 
coletivamente na busca de soluções para problemas propostos, 
identificando aspectos consensuais ou não na discussão de um 
assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo 
com eles. (BRASIL, 1998, p. 47 e 48) 
 
 
Com base nos objetivos educacionais para o ensino fundamental de 
matemática foram selecionados os conteúdos e organizados em blocos 
alinhados com base no caráter de essencialidade ao desempenho das funções 
básicas do cidadão brasileiro. Segundo os PCN de matemática para o ensino 
fundamental (1998): 
 
Há um razoável consenso no sentido de que os currículos de 
Matemática para o ensino fundamental devam contemplar o estudo 
dos números e das operações (no campo da Aritmética e da Álgebra), 
o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e o 
estudo das grandezas e das medidas (que permite interligações entre 
os camposda Aritmética, da Álgebra e da Geometria). 
O desafio que se apresenta é o de identificar, dentro de cada um 
desses vastos campos, de um lado, quais conhecimentos, 
competências, hábitos e valores são socialmente relevantes; de 
outro, em que medida contribui para o desenvolvimento intelectual do 
aluno, ou seja, na construção e coordenação do pensamento lógico-
matemático, da criatividade, da intuição, da capacidade de análise e 
41 
 
de crítica, que constituem esquemas lógicos de referência para 
interpretar fatos e fenômenos. 
Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de 
acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão 
"tratar" as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a 
lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando 
idéias relativas à probabilidade e à combinatória. 
Embora nestes Parâmetros a Lógica não se constitua como bloco de 
conteúdo a ser abordado de forma sistemática no ensino 
fundamental, alguns de seus princípios podem ser tratados de forma 
integrada aos demais conteúdos, desde as séries iniciais. Tais 
elementos, construídos através de exemplos relativos a situações-
problema, ao serem explicitados, podem ajudar a compreender 
melhor as próprias situações. 
Assim, por exemplo, ao estudarem números, os alunos podem 
perceber e verbalizar relações de inclusão, como a de que todo 
número par é natural; mas, observarão que a recíproca dessa 
afirmação não é verdadeira, pois nem todo número natural é par. No 
estudo das formas, mediante a observação de diferentes figuras 
triangulares, podem perceber que o fato de um triângulo ter ângulos 
com medidas idênticas às medidas dos ângulos de um outro triângulo 
é uma condição necessária, embora não suficiente, para que os dois 
triângulos sejam congruentes.(BRASIL, 1998, p. 49 e 50 ) 
 
Os conteúdos são organizados nos blocos “números e operações” 
“espaço e forma” e “grandezas e medidas”, para serem trabalhados ao longo 
do ano letivo, levando em consideração as conexões que podem ser 
estabelecidas entre os diferentes blocos, as possibilidades de seqüenciar os 
conteúdos e as oportunidades de aprofundamento em função das condições 
apresentadas pelos alunos. 
A título de exemplo será apresentado o item “espaço e forma” e os 
demais procurem ler no PCN de matemática para o ensino fundamental. 
 
 
• Espaço e Forma 
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de 
Matemática no ensino fundamental, porque, através deles, o aluno desenvolve 
um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e 
representar, de forma organizada, o mundo em que vive. 
42 
 
A Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações-
problema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar 
naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a 
aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, 
perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa. 
Além disso, se esse trabalho for feito a partir da exploração dos objetos 
do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, 
ele permitirá ao aluno estabelecer conexões entre a Matemática e outras áreas 
do conhecimento. 
As sugestões de atividades encontram-se sempre embutidas nas 
orientações destinadas ao desenvolvimento de cada bloco, conforme o 
exemplo abaixo, com tópicos do PCN de matemática para o ensino 
fundamental (1998) 
Finalmente, a avaliação proposta pelos PCN do ensino fundamental 
recomenda que seja parte integrante do processo ensino-aprendizagem, 
realizada de forma continua com base em dados coletados através de 
observações das situações de aprendizagem, como resolução de problema 
coleta de informações sobre o desempenho dos alunos. 
 
2.2 - PCN DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO O MÉDIO 
Enquanto o PCN do ensino fundamental apresenta com uma abertura 
para interdisciplinaridade com outras áreas do conhecimento, o ensino médio 
apresenta uma proposta interdisciplinar que envolve ciências, desmembrado 
em Física, Química, Biologia, Matemática e suas tecnologias. 
No sentido desses referenciais, este documento procura 
apresentar, na secção sobre o sentido do aprendizado na área, uma 
proposta para o Ensino Médio que, ser profissionalizante, 
efetivamente propicie um aprendizado útil à vida e ao trabalho, no 
qual as informações, o conhecimento, as competências, as 
habilidades e os valores desenvolvidos sejam instrumentos reais da 
percepção, satisfação, interpretação, julgamento, atuação, 
desenvolvimento pessoal ou de aprendizado permanente, evitando 
tópicos cujos sentidos só possam ser compreendidos em outra etapa 
de escolaridade.(BASIL, 1999, p.203) 
43 
 
 Nesta proposta, a matemática é reconhecida como uma ciência, 
linguagem, bem como instrumento para informação e comunicação social que 
ocupa uma posição singular nesta área do saber. 
A matemática, por sua universidades de quantificação e 
expressão, como linguagem portanto, ocupa uma posição singular. 
No ensino médio, quando nas ciências torna-se essencial uma 
construção abstrata mais elaborada, os instrumentos matemáticos 
são especialmente importantes. Mas não é só nesse sentido que a 
matemática é fundamental. Possivelmente não existe nenhuma 
atividade da vida contemporânea, da música à informática, do 
comércio a meteorologia, da medicina à cartografia, das engenharias 
às comunicações, em que a matemática não compareça de maneira 
insubstituível para codificar, ordenar, quantificar e interpretar 
compassos, taxas, dosagens, coordenadas, tensões, freqüências e 
quantas outras variáveis houver.(...) (BRASIL, 1999, p. 211) 
 A matemática do ensino médio tem o papel de formar os alunos através 
da estruturação do pensamento, desenvolvimento lógico e se constitui em 
instrumento para as tarefas específicas das atividades humanas. Assim a 
matemática apresenta-se com um caráter formativo e instrumental. 
Em seu papel formativo a Matemática contribui para o 
desenvolvimento de processos de pensamento e a aquisição de 
atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria 
Matemática, podendo formar no aluno capacidade de resolver 
problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, 
proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar 
situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e 
científica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o 
desenvolvimento da criatividade e outras capacidades pessoais. 
No que diz respeito ao caráter instrumental da matemática no 
ensino médio, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de 
técnicas e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do 
conhecimento, assim como para a atividade profissional. Não se trata 
de os alunos possuírem muitas e sofisticadas estratégias, mas sim de 
desenvolverem a iniciativa e a segurança para adaptá-las a diferentes 
contextos, usando-as adequadamente no momento oportuno. 
(BRASIL, 1999, p.251) 
 O caráter formativo e instrumental não se processa de forma separada, 
eles acontecem ao mesmo tempo através de uma simbologia própria, um 
sistema de códigos, regras que dão corpo a linguagem destinada a possibilitar 
informações e comunicação de idéias, conceitos e relações estruturadas em 
consonância com a lógica matemática. 
44 
 
 Neste processo de aprendizagem da ciência lógica matemática 
destinada a se constituir em ferramenta informação e comunicação sempre foi 
lançada mão da tecnologia, iniciando com ábaco que transferiu idéias para 
invenção das calculadoras e computadores. 
Neste sentido, vale salientar que a contribuição da matemática vai além 
do uso das máquinas, tendo em vista que contribui com a formação de 
competências e habilidades indispensáveis ao raciocínio exigido para 
sobrevivência no mundo das tecnologias de informação e comunicação exigida 
pela sociedade informática. 
Esse impacto datecnologia, cujo instrumento mais relevante é 
hoje o computador, exigirá do ensino da matemática um 
redirecionamento sob uma perspectiva curricular que favoreça o 
desenvolvimento sob uma perspectiva curricular que favoreça o 
desenvolvimento o desenvolvimento de habilidades e procedimentos 
com os quis o indivíduo possa se reconhecer e se orientar nesse 
mundo do conhecimento em constante movimento. 
Para isso, habilidades como selecionar informações obtidas e, 
a partir disso, tomar decisões exigirão linguagem, procedimentos e 
formas de pensar matemáticos que devem ser desenvolvidos ao 
longo do Ensino Médio, bem como a capacidade de avaliar limites, 
possibilidades e adequação das tecnológicas em diferentes 
situações.(BRASIL, 1999, p.252) 
 Assim, os PCN de matemática para o ensino médio estabelece objetivos 
gerais para aprendizagem significativa neste nível, ao tempo que alerta para 
revisão das metodologias e seleção de conteúdos, conforme citação abaixo. 
De fato não basta revermos a forma ou metodologia de ensino, 
se mantivermos o conhecimento matemático restrito à informação, 
com as definições e os exemplos, assim como a exercitação, ou seja, 
exercícios de aplicação ou fixação. Pois, se os conceitos são 
apresentados de forma fragmentada, mesmo que de forma completa 
e aprofundada, nada garante que o aluno estabeleça alguma 
significação para as idéias isoladas e desconectadas umas das 
outras. Acredita-se que o aluno sozinho seja capaz de construir as 
múltiplas relações entre os conceitos e formas de raciocínio 
envolvidas nos diversos conteúdos; no entanto, o fracasso escolar e 
as dificuldades dos alunos frente à Matemática mostram claramente 
que isso não é verdade. ( BRASIL, 1999, p. 255) 
 Fica bem claro no texto dos PCN de matemática que o critério central 
para organização do currículo é a contextualização e interdisciplinaridade, tanto 
de forma interna com os diferentes temas do saber matemático como em 
relação a outras áreas do conhecimento. 
45 
 
O critério central é o da contextualização e da 
interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial de um tema permitir 
conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes 
formas de pensamento matemático, ou ainda, a relevância cultural do 
tema, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da 
matemática, como sua importância histórica no desenvolvimento da 
própria ciência. (BRASIL, 1999, p.255) 
 Desta forma, associado aos conceitos trabalhados nas aulas de 
matemática do ensino médio deve ser levado em conta os procedimentos e as 
atitudes indispensáveis para o aluno aprender a aprender os conteúdos 
necessários ao enfrentamento do mundo do conhecimento e trabalho na era 
das novas tecnologias de informação e comunicação. 
A seleção dos conteúdos deve ser criteriosa, levando em consideração 
uma seqüencia lógica que propicie ao “fazer matemático” possibilidades para 
investigação e outros meios que auxilie na apropriação de conhecimento. A 
título de sugestão, os conteúdos básicos para o ensino médio devem ser 
organizados em quatro blocos: Números e operações; Funções; Geometria; 
Análise de dados e probabilidade. 
 
Segundo os PCN+ de matemáticas, estes conteúdos devem ser 
trabalhados de forma articulada e formativa, descartando a memorização, dicas 
e regras desprovidas de explicações e resolução de exercícios mecânicos sem 
mecanismo lógico matemático. 
 
 Isso não significa que os conteúdos desses blocos devam ser 
trabalhados de forma estanque, mas, ao contrário, deve-se buscar 
constantemente a articulação entre eles. Algumas vezes, de forma 
intencional, são retomados assuntos já tratados no ensino 
fundamental – é o momento de consolidar certos conceitos e idéias 
da matemática escolar que dependem de explicações cuja 
compreensão exige uma maior maturidade. Sugestões quanto à 
forma de trabalhar os conteúdos acompanham o detalhamento 
sempre que possível, destacando-se o valor formativo agregado e 
descartando-se as exigências de memorização, as apresentações de 
“regras” desprovidas de explicações, a resolução de exercícios 
repetitivos de “fi-xação” ou a aplicação direta de fórmulas. (BRASIL, 
P. 70, 2006) 
Maiores informações sobre questão de conteúdo, de metodologia, uso 
de tecnologia, organização curriculares e projeto político pedagógico, poderão 
ser encontradas nos “orientações curriculares para o ensino médio, volume 2: 
46 
 
Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias: Conhecimento de 
Matemática, capítulo 3, no texto em anexo. 
2.3 - A FORMAÇÃO DO PENSAMENTO PELO CAMINHO DA 
SIMBOLIZAÇÃO. 
 Com relação à formação do pensamento pelo caminho da simbolização 
deve iniciar na educação infantil com a introdução dos símbolos associados as 
idéias de maior, menor, igual e diferente. 
 A medida que a criança se aprimora passando para séries iniciais, 
quando é introduzido a resolução de problemas matemática passam a lidar 
com os termos desconhecidos que inicialmente é apresentado com uma 
simbolização familiar, quadrado ou triângulo, para posteriormente serem 
substituídos pelos símbolos denominados de incógnitas “x”, “y” e “z”, para 
trabalhar com cálculo de áreas e perímetros. 
 Os símbolos em matemática representam idéias, conceitos e relações. 
Como exemplo o símbolo “+” da adição representa a idéia de juntar enquanto 
o símbolo “-“ da subtração representa a idéia de retirar; os símbolos menor 
que, igual, maior que, menor igual e maior igual, expressam o conceito de 
objetos ou valores nestas condições “<” “=” “>” “≤” “≥”. 
 Como pode ser constatado o símbolo que surgiu historicamente com a 
humanidade expressando a sua forma de pensar, sendo aprimorado para 
comunicar resultados ou bens materiais que ao adotar uma lógica originou a 
matemática como ciência que utiliza os símbolos para indicar o raciocínio 
lógico necessário ao cálculo, análise, síntese e emitir parecer avaliativo sobre 
situações concretas ou abstratas do cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
 
ATIVIDADES DA UNIDADE “II” 
TEMA: PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA MATEMÁTICA 
(ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL E ENSINO MÉDIO) E A 
FORMAÇÃO DO PENSAMENTO PELO CAMINHO DA SIMBOLIZAÇÃO. 
Atividade “1” – obrigatória – correio eletrônico 
“Muitos são os motivos que justificam a preocupação com o ensino da 
matemática no nível fundamental, dentre vários se encontram no contexto da 
convivência humana, as mudanças sociais aceleradas, a globalização, os 
impactos tecnológicos e o compromisso da educação diante das exigências do 
povo brasileiro”. 
 Com base no parágrafo acima, escreva um pequeno texto 
contextualizando a situação do seu compromisso e envie através do correio 
eletrônico ou monitor(a) presencial. 
Para realização deste estudo sugerimos a leitura do texto introdutório do 
assunto, o texto em anexo “Ciências da Natureza, Matemática e suas 
Tecnologias”. 
CONHECIMENTOS 
 
Atividade “2” – obrigatória – fórum de participação 
Os conteúdos são organizados nos blocos “números e operações” “espaço e 
forma” e “grandezas e medidas”. Excluindo o “espaço e forma”, procure tecer 
comentário sobre os demais blocos e coloque sua opinião em um texto para 
ser depositado no fórum de participação ou entregue à monitora presencial. 
Atividade “3” – obrigatória – fórum de discussão 
“Segundo os PCN+ de matemáticas, estes conteúdos devem ser trabalhados 
de forma articulada e formativa, descartando a memorização, dicas e regras 
desprovidas de explicações e resolução de exercícios mecânicos sem 
mecanismo lógico matemático.” 
48 
 
 Com base neste parágrafo procure expressar em um pequeno texto sua 
opinião sobre esta questão e em seguida deposito no fórum de discussão ou 
entregue ao monitor(a) presencial. 
 
Atividade “4” – obrigatória. 
Descreva sua experiência sobre a formação do pensamento pelo 
caminho da simbolização no seu processo de formação para docência em 
matemática. 
 Produzaum pequeno texto e deposite no correio eletrônico ou entregue para 
monior(a) presencial. 
BIBLIOGRAFIA DA UNIDADE ‘II’ 
 
BRASIL. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros 
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental. Brasília: MEC, 1998. 
 
BRASIL. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros 
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília: MEC, 1999. 
 
BRASIL. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN+: Ensino Médio 
– orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares 
Nacionais. Brasília: MEC, 2006. 
 
CÂMARA, Marcelo. Algumas concepções sobre o ensino-aprendizagem em 
Matemática. Educação Matemática em Revista, n. 12, São Paulo, SBEM, 
2002. 
 
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. 
Campinas: Papirus, 1996. 
 
GRAVINA, Maria Alice. A aprendizagem da Matemática em ambientes 
informatizados. IV Congresso Ibero-Americano de Informática na Educação. 
Brasília, 1998. Disponível em http://www.edumatec.mat.ufrgs.br. 
49 
 
 
 
KUENZER, Acácia Z. (Org.). Ensino Médio: construindo uma proposta para os 
que vivem do trabalho. São Paulo: Cortez, 2000. 
 
 
LIMA, Elon; CARVALHO, Paulo Cezar; WAGNER, Eduardo; MORGADO, 
Augusto. A Matemática do Ensino Médio, volumes 1, 2, 3. Coleção do 
Professor de Matemática, SBEM, 2000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Ciências da Natureza, 
Matemática e suas Tecnologias 
CONHECIMENTOS 
ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO 
Obs. Esta formatação foi realizada por Luiz Gonzaga Pires, autor deste trabalho. 
 
INTRODUÇÃO 
 
De acordo com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº 
9.394/96), o ensino médio tem como finalidades centrais não apenas a 
consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos durante o 
nível fundamental, no intuito de garantir a continuidade de estudos, mas 
também a preparação para o trabalho e para o exercício da cidadania, a 
formação ética, o desenvolvimento da autonomia intelectual e a compreensão 
dos processos produtivos. 
 
Nessa definição de propósitos, percebe-se que a escola de hoje não 
pode mais ficar restrita ao ensino disciplinar de natureza enciclopédica. De 
acordo com as Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio, deve-se considerar 
um amplo espectro de competências e habilidades a serem desenvolvidas no 
conjunto das disciplinas. O trabalho disciplinar pode e deve contribuir para esse 
desenvolvimento. Conforme destacam os PCNEM (2002) e os PCN+ (2002), o 
ensino da Matemática pode contribuir para que os alunos desenvolvam 
habilidades relacionadas à representação, compreensão, comunicação, 
investigação e, também, à contextualização sociocultural. 
 
Visando à contribuição ao debate sobre as orientações curriculares, este 
documento trata de três aspectos: a escolha de conteúdos; a forma de 
trabalhar os conteúdos; o projeto pedagógico e a organização curricular. 
 
Para a escolha de conteúdos, é importante que se levem em 
consideração os diferentes propósitos da formação matemática na educação 
básica. Ao final do ensino médio, espera-se que os alunos saibam usar a 
Matemática para resolver problemas práticos do quotidiano; para modelar 
51 
 
fenômenos em outras áreas do conhecimento; compreendam que a 
Matemática é uma ciência com características próprias, que se organiza via 
teoremas e demonstrações; percebam a Matemática como um conhecimento 
social e historicamente construído; saibam apreciar a importância da 
Matemática no desenvolvimento científico e tecnológico. 
 
A forma de trabalhar os conteúdos deve sempre agregar um valor 
formativo no que diz respeito ao desenvolvimento do pensamento matemático. 
Isso significa colocar os alunos em um processo de aprendizagem que valorize 
o raciocínio matemático – nos aspectos de formular questões, perguntar-se 
sobre a existência de solução, estabelecer hipóteses e tirar conclusões, 
apresentar exemplos e contra-exemplos, generalizar situações, abstrair 
regularidades, criar modelos, argumentar com fundamentação lógico-dedutiva. 
Também significa um processo de ensino que valorize tanto a apresentação de 
propriedades matemáticas acompanhadas de explicação quanto a de fórmulas 
acompanhadas de dedução, e que valorize o uso da Matemática para a 
resolução de problemas interessantes, quer sejam de aplicação ou de natureza 
simplesmente teórica. 
 
1 QUESTÕES DE CONTEÚDO 
 
No que se segue, partimos do princípio de que toda situação de ensino e 
aprendizagem deve agregar o desenvolvimento de habilidades que 
caracterizem o “pensar matematicamente”. Nesse sentido, é preciso dar 
prioridade à qualidade do processo e não à quantidade de conteúdos a serem 
trabalhados. A escolha de conteúdos deve ser cuidadosa e criteriosa, 
propiciando ao aluno um “fazer matemático” por meio de um processo 
investigativo que o auxilie na apropriação de conhecimento. 
 
Neste documento, os conteúdos básicos estão organizados em quatro 
blocos: Números e operações; Funções; Geometria; Análise de dados e 
probabilidade. Isso não significa que os conteúdos desses blocos devam ser 
trabalhados de forma estanque, mas, ao contrário, deve-se buscar 
constantemente a articulação entre eles. 
52 
 
 
Algumas vezes, de forma intencional, são retomados assuntos já 
tratados no ensino fundamental – é o momento de consolidar certos conceitos 
e idéias da matemática escolar que dependem de explicações cuja 
compreensão exige uma maior maturidade. Sugestões quanto à forma de 
trabalhar os conteúdos acompanham o detalhamento sempre que possível, 
destacando-se o valor formativo agregado e descartando-se as exigências de 
memorização, as apresentações de “regras” desprovidas de explicações, a 
resolução de exercícios repetitivos de “fixação” ou a aplicação direta de 
fórmulas. 
 
No trabalho com Números e operações deve-se proporcionar aos alunos 
uma diversidade de situações, de forma a capacitá-los a resolver problemas do 
quotidiano, tais como: operar com números inteiros e decimais finitos; operar 
com frações, em especial com porcentagens; fazer cálculo mental e saber 
estimar ordem de grandezas de números; usar calculadora e números em 
notação científica; resolver problemas de proporcionalidade direta e inversa; 
interpretar gráficos, tabelas e dados numéricos veiculados nas diferentes 
mídias; ler faturas de contas de consumo de água, luz e telefone; interpretar 
informação dada em artefatos tecnológicos (termômetro, relógio, velocímetro). 
Por exemplo, o trabalho com esse bloco de conteúdos deve tornar o aluno, ao 
final do ensino médio, capaz de decidir sobre as vantagens/desvantagens de 
uma compra à vista ou a prazo; avaliar o custo de um produto em função da 
quantidade; conferir se estão corretas informações em embalagens de 
produtos quanto ao volume; calcular impostos e contribuições previdenciárias; 
avaliar modalidades de juros bancários. 
 
Também é preciso proporcionar aos alunos uma diversidade de 
problemas geradores da necessidade de ampliação dos campos numéricos e 
suas operações, dos números naturais para contar aos números reais para 
medir. Os números irracionais devem ser entendidos como uma necessidade 
matemática que resolve a relação de medidas entre dois segmentos 
incomensuráveis, sendo apropriado tomar o caso dos segmentos lado e 
diagonal de um quadrado como ponto de partida. Alguns números irracionais 
53 
 
devem ser colocados em destaque: as raízes quadradas de números naturais 
que não são quadrados perfeitos e o número , por exemplo. É pertinente, 
nesse nível de escolaridade, caracterizar os números racionais/irracionais por 
meio de suas expansões decimais e localizar alguns desses números na reta 
numérica. 
 
As propriedades relativas às operações com números reais devem ser 
trabalhadas de modo que permitam ao aluno a compreensão das estruturasdos algoritmos, prevenindo recorrentes erros na resolução de problemas que 
envolvam manipulações algébricas. Por exemplo, os alunos devem entender o 
que acontece com uma desigualdade quando ambos os lados são 
multiplicados por um mesmo número negativo, ou por que o quadrado de um 
número nem sempre é maior que o próprio número, ou como resolver 
inequações que envolvam quocientes. É recomendável que o professor retome, 
nesse momento, as “regras de sinais” para multiplicação de números inteiros 
acompanhadas de justificativas; as definições de multiplicação e divisão de 
frações; as explicações que fundamentam os algoritmos da multiplicação e da 
divisão de números inteiros e decimais. Mesmo que as operações e os 
algoritmos já tenham sido estudados no ensino fundamental, é importante 
retomar esses pontos, aproveitando a maior maturidade dos alunos para 
entender os pontos delicados dos argumentos que explicam essas operações e 
algoritmos. 
 
Os números complexos devem ser apresentados como uma histórica 
necessidade de ampliação do conjunto de soluções de uma equação, tomando-
se, para isso, uma equação bem simples, a saber, 2x +1 = 0. 
 
“...é preciso dar prioridade à qualidade do processo e não à quantidade 
de conteúdos a serem trabalhados.” 
 
O estudo de Funções pode ser iniciado com uma exploração qualitativa 
das relações entre duas grandezas em diferentes situações: idade e altura; 
área do círculo e raio; tempo e distância percorrida; tempo e crescimento 
populacional; tempo e amplitude de movimento de um pêndulo, entre outras. 
54 
 
Também é interessante provocar os alunos para que apresentem outras 
tantas relações funcionais e que, de início, esbocem qualitativamente os 
gráficos que representam essas relações, registrando os tipos de crescimento 
e decrescimento (mais ou menos rápido). É conveniente solicitar aos alunos 
que expressem em palavras uma função dada de forma algébrica, por 
exemplo, f(x) = 2 x + 3, como a função que associa a um dado valor real o seu 
dobro, acrescido de três unidades; isso pode facilitar a identificação, por parte 
do aluno, da idéia de função em outras situações, como, por exemplo, no 
estudo da cinemática, em Física. É importante destacar o significado da 
representação gráfica das funções, quando alteramos seus parâmetros, ou 
seja, identificar os movimentos realizados pelo gráfico de uma função quando 
alteramos seus coeficientes. 
 
O estudo de Funções pode prosseguir com os diferentes modelos que 
devem ser objeto de estudo na escola – modelos linear, quadrático e 
exponencial. O modelo periódico será discutido no tópico referente às funções 
trigonométricas, mais adiante. É recomendável que o aluno seja apresentado a 
diferentes modelos, tomados em diferentes áreas do conhecimento (queda livre 
de um corpo, movimento uniforme e uniformemente acelerado, crescimento de 
uma colônia de bactérias, quantidade de medicamento na corrente sangüínea, 
rendimentos financeiros, consumo doméstico de energia elétrica, etc.). Sempre 
que possível, os gráficos das funções devem ser traçados a partir de um 
entendimento global da relação de crescimento/decrescimento entre as 
variáveis. A elaboração de um gráfico por meio da simples transcrição de 
dados tomados em uma tabela numérica não permite avançar na compreensão 
do comportamento das funções. 
 
As idéias de crescimento, modelo linear (f(x) = a.x) e proporcionalidade 
direta devem ser colocadas em estreita relação, evidenciando-se que a 
proporcionalidade direta é um particular e importante modelo de crescimento. 
Nesse momento, também é interessante discutir o modelo de decrescimento 
com proporcionalidade inversa (f(x) = a/x). O professor deve estar atento ao 
fato de que os alunos identificam sistematicamente, de forma equivocada, 
crescimento com proporcionalidade direta e decrescimento com 
55 
 
proporcionalidade inversa, e aqui é interessante trazer situações do quotidiano 
para ilustrar diferentes tipos de crescimento/decrescimento de grandezas em 
relação. Situações em que se faz necessária a função afim (f(x) = a.x + b) 
também devem ser trabalhadas. 
 
“O estudo de Funções pode ser iniciado com uma exploração qualitativa das 
relações entre duas grandezas em diferentes situações: idade e altura” 
 
O estudo da função quadrática pode ser motivado via problemas de 
aplicação, em que é preciso encontrar um certo ponto de máximo (clássicos 
problemas de determinação de área máxima). O estudo dessa função – 
posição do gráfico, coordenadas do ponto de máximo/mínimo, zeros da função 
– deve ser realizado de forma que o aluno consiga estabelecer as relações 
entre o “aspecto” do gráfico e os coeficientes de sua expressão algébrica, 
evitando-se a memorização de regras. O trabalho com a forma fatorada (f(x) = 
a. (x - m)2 + n) pode ser um auxiliar importante nessa compreensão. Nesse 
estudo, também é pertinente deduzir a fórmula que calcula os zeros da função 
quadrática (a fórmula de Baskara) e a identificação do gráfico da função 
quadrática com a curva parábola, entendida esta como o lugar geométrico dos 
pontos do plano que são eqüidistantes de um ponto fixo (o foco) e de uma reta 
(a diretriz). 
 
No que se refere ao estudo das funções trigonométricas, destaca-se um 
trabalho com a trigonometria, o qual deve anteceder a abordagem das funções 
seno, co-seno e tangente, priorizando as relações métricas no triângulo 
retângulo e as leis do seno e do co-seno como ferramentas essenciais a serem 
adquiridas pelos alunos no ensino médio. Na introdução das razões 
trigonométricas seno e co-seno, inicialmente para ângulos com medida entre 
00 e 900, deve-se ressaltar que são as propriedades de semelhança de 
triângulos que dão sentido a essas definições; segue-se, então, com a 
definição das razões para ângulos de medida entre 900 e 1800. A partir das 
definições e de propriedades básicas de triângulos, devem ser justificados os 
valores de seno e co-seno relativos aos ângulos de medida 300, 450 e 600. 
 
56 
 
A apresentação das leis dos senos e dos co-senos pode ser motivada 
com questões relativas à determinação das medidas de elementos de um 
triângulo. 
Por exemplo: conhecendo-se a medida de dois lados de um triângulo e a 
medida do ângulo formado por esses lados, sabe-se que esse triângulo é único 
e, portanto, é possível calcular a medida dos demais elementos do triângulo. 
Também é recomendável o estudo da razão trigonométrica tangente pela sua 
importância a resolução de diversos tipos de problemas. Problemas de cálculos 
de distâncias inacessíveis são interessantes aplicações da trigonometria, e 
esse é um assunto que merece ser priorizado na escola. Por exemplo, como 
calcular a largura de um rio? Que referências (árvore, pedra) são necessárias 
para que se possa fazer esse cálculo em diferentes condições – com régua e 
transferidor ou com calculadora? 
 
“... é recomendável o estudo da razão trigonométrica tangente pela sua 
importância na resolução de diversos tipos de problemas.” 
 
Alguns tópicos usualmente presentes no estudo da trigonometria podem 
ser dispensados, como, por exemplo, as outras três razões trigonométricas, as 
fórmulas para sen (a+b) e cos (a+b), que tanto exigem dos alunos para serem 
memorizadas. 
 
É preciso atenção à transição do seno e do co-seno no triângulo 
retângulo (em que a medida do ângulo é dada em graus), para o seno e o co-
seno, definidos como as coordenadas de um ponto que percorre um arco do 
círculo de raio unitário com medida em radianos. As funções trigonométricas 
devem ser entendidas como extensões das razões trigonométricas então defi 
nidas para ângulos com medida entre 0º e 180º. Os alunos devem ter a 
oportunidade de traçar gráficos referentes às funções trigonométricas, aqui se 
entendendo que, quando se escreve f (x) = seno (x), usualmente a variável x 
corresponde à medida de arco de círculotomada em radianos. As funções 
trigonométricas seno e co-seno também devem ser associadas aos fenômenos 
que apresentam comportamento periódico. O estudo das demais funções 
trigonométricas pode e deve ser colocado em segundo plano. 
57 
 
 
As funções polinomiais (para além das funções afim e quadrática), ainda 
que de forma bastante sucinta, podem estar presentes no estudo de funções. 
Funções do tipo f (x) = xn podem ter gráficos esboçados por meio de uma 
análise qualitativa da posição do ponto (x, xn) em relação à reta y = x, para isso 
comparando-se x e xn nos casos 0 < x < 1 ou x > 1 e usando-se simetria em 
relação ao eixo x ou em relação à origem para completar o gráfico. Funções 
polinomiais mais gerais de grau superior a 2 podem ilustrar as dificuldades que 
se apresentam nos traçados de gráficos, quando não se conhecem os “zeros” 
da função. Casos em que a função polinomial se decompõe em um produto de 
funções polinomiais de grau 1 merecem ser trabalhados. Esses casos 
evidenciam a propriedade notável de que, uma vez se tendo identificado que o 
número c é um dos zeros da função polinomial y = P(x), esta pode ser 
expressa como o produto do fator (x - c) por outro polinômio de grau menor, por 
meio da divisão de P por (x - c). 
 
É pertinente discutir o alcance do modelo linear na descrição de 
fenômenos de crescimento, para então introduzir o modelo de 
crescimento/decrescimento exponencial (f(x) = a x). É interessante discutirem 
as características desses dois modelos, pois enquanto o primeiro garante um 
crescimento à taxa constante, o segundo apresenta uma taxa de variação que 
depende do valor da função em cada instante. Situações reais de crescimento 
populacional podem bem ilustrar o modelo exponencial. Dentre as aplicações 
da Matemática, tem se o interessante tópico de Matemática Financeira como 
um assunto a ser tratado quando do estudo da função exponencial – juros e 
correção monetária fazem uso desse modelo. Nos problemas de aplicação em 
geral, é preciso resolver uma equação exponencial, e isso pede o uso da 
função inversa – a função logaritmo. O trabalho de resolver equações 
exponenciais é pertinente quando associado a algum problema de aplicação 
em outras áreas de conhecimento, como Química, Biologia, Matemática 
Financeira, etc. Procedimentos de resolução de equações sem que haja um 
propósito maior devem ser evitados. Não se recomenda neste nível de ensino 
um estudo exaustivo dos logaritmos. 
 
58 
 
As progressões aritmética e geométrica podem ser definidas como, 
respectivamente, funções afim e exponencial, em que o domínio é o conjunto 
dos números naturais. Não devem ser tratadas como um tópico independente, 
em que o aluno não as reconhece como funções já estudadas. Devem-se evitar 
as exaustivas coletâneas de cálculos que fazem simples uso de fórmulas 
(“determine a soma...”, “calcule o quinto termo...”). 
 
O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento 
da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por 
exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias 
percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber 
usar diferentes unidades de medida. Também é um estudo em que os alunos 
podem ter uma oportunidade especial, com certeza não a única, de apreciar a 
faceta da Matemática que trata de teoremas e argumentações dedutivas. Esse 
estudo apresenta dois aspectos – a geometria que leva à trigonometria e a 
geometria para o cálculo de comprimentos, áreas e volumes. 
 
O trabalho de representar as diferentes figuras planas e espaciais, 
presentes na natureza ou imaginadas, deve ser aprofundado e sistematizado 
nesta etapa de escolarização. Alguns conceitos estudados no ensino 
fundamental devem ser consolidados, como, por exemplo, as idéias de 
congruência, semelhança e proporcionalidade, o Teorema de Tales e suas 
aplicações, as relações métricas e trigonométricas nos triângulos (retângulos e 
quaisquer) e o Teorema de Pitágoras. 
 
“O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da 
capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano.” 
 
Durante o ensino médio, o trabalho do aluno em outras disciplinas, como 
a Física e a Química, por exemplo, pode servir como motivação para a 
consolidação da idéia de grandezas, particularmente aquelas formadas por 
relações entre outras grandezas (densidade, aceleração, etc.). 
 
59 
 
Em relação às grandezas geométricas, as atividades propostas deverão 
proporcionar a consolidação dos conceitos aprendidos nas etapas anteriores, 
como área, perímetro e volumes. Nessa fase, o aluno já apresenta as 
condições necessárias para a compreensão de certas demonstrações que 
resultem em algumas fórmulas, por exemplo, a área do círculo. 
 
Quanto ao trabalho com comprimentos, áreas e volumes, considera-se 
importante que o aluno consiga perceber os processos que levam ao 
estabelecimento das fórmulas, evitando-se a sua simples apresentação. Um 
conteúdo a ser trabalhado com cuidado são as fórmulas de comprimento e de 
área do círculo: se representa a razão constante entre comprimento e 
diâmetro do círculo, deve-se explicar como esse número aparece na 
fórmula da área do círculo; ou se é introduzido via a área do círculo, deve-
se explicar como aparece na expressão de seu comprimento. O Princípio de 
Cavalieri deve ser tomado como ponto de partida para o estudo de volumes de 
sólidos 
(cilindro, prisma, pirâmide, cone e esfera), permitindo ao aluno compreender o 
significado das fórmulas. 
 
No trabalho com as áreas das superfícies de sólidos, é importante 
recuperar os procedimentos para determinar a medida da área de alguns 
polígonos, facilitando a compreensão das áreas das superfícies de prismas e 
pirâmides. As expressões que permitem determinar a medida da área das 
superfícies do cilindro e do cone podem ser estabelecidas facilmente a partir de 
suas planificações. A geometria analítica tem origem em uma idéia muito 
simples, introduzida por Descartes no século XVII, mas extremamente original: 
a criação de um sistema de coordenadas que identifica um ponto P do plano 
com um par de números reais (x, y). Partindo-se disso, podemos caracterizá-la 
como: a) o estudo das propriedades geométricas de uma figura com base em 
uma equação (nesse caso, são as figuras geométricas que estão sob o olhar 
da álgebra); b) o estudo dos pares ordenados de números (x, y) que são 
soluções de uma equação, por meio das propriedades de uma figura 
geométrica (nesse caso, é a álgebra que está sob o olhar da geometria). Esses 
dois aspectos merecem ser trabalhados na escola. 
60 
 
 
“A geometria analítica tem origem em uma idéia muito simples, 
introduzida por Descartes no século XVII ...” 
 
O trabalho com a geometria analítica permite a articulação entre 
geometria e álgebra. Para que essa articulação seja significativa para o aluno, 
o professor deve trabalhar as duas vias: o entendimento de figuras geométricas 
via equações, e o entendimento de equações, via figuras geométricas. A 
simples apresentação de equações sem explicações fundadas em raciocínios 
lógicos deve ser abandonada pelo professor. Memorizações excessivas devem 
ser evitadas; não vale a pena o aluno memorizar a fórmula da distância de um 
ponto a uma reta, já que esse cálculo, quando necessário, pode ser feito com 
conhecimento básico de geometria analítica (retas perpendiculares e distância 
entre dois pontos). 
 
Uma vez definido o sistema de coordenadas cartesiano, é importante 
trabalhar com os alunos o significado de uma equação. Por exemplo: fazê-los 
entender que a equação x = 3 corresponde a uma reta paralela ao eixo y ou 
que qualquer ponto que tenha segunda coordenada negativa não pode estar na 
curva y = x2. O entendimento do significado de uma equação e de seu conjunto 
de soluções não é imediato, e isso é natural,pois esse significado não é 
explícito quando simplesmente se escreve uma equação. 
 
Entendido o significado de uma equação, deve-se iniciar o estudo das 
equações da reta e do círculo. Essas equações devem ser deduzidas, e não 
simplesmente apresentadas aos alunos, para que, então, se tornem 
significativas, em especial quanto ao sentido geométrico de seus parâmetros. 
As relações entre os coeficientes de pares de retas paralelas ou coeficientes de 
pares de retas perpendiculares devem ser construídas pelos alunos. Posições 
relativas de retas e círculos devem ser interpretadas sob o ponto de vista 
algébrico, o que significa discutir a resolução de sistemas de equações. Aqui 
estamos tratando do entendimento de formas geométricas via álgebra. 
 
61 
 
É desejável, também, que o professor de Matemática aborde com seus 
alunos o conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico (coleção dos 
segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido) quanto 
algébrico (caracterizado pelas suas coordenadas). Em particular, é importante 
relacionar as operações executadas com as coordenadas (soma, multiplicação 
por escalar) com seu significado geométrico. A inclusão da noção de vetor nos 
temas abordados nas aulas de Matemática viria a corrigir a distorção causada 
pelo fato de que é um tópico matemático importante, mas que está presente no 
ensino médio somente nas aulas de Física. 
 
No estudo de sistemas de equações, além de trabalhar a técnica de 
resolução de sistemas, é recomendável colocar a álgebra sob o olhar da 
geometria. A resolução de um sistema 2 X 2 de duas equações e duas 
variáveis pode ser associada ao estudo da posição relativa de duas retas no 
plano. Com operações elementares simples, pode-se determinar a existência 
ou não de soluções desse sistema, o que significa geometricamente os casos 
de intersecção/coincidência de retas ou paralelismo de retas. A resolução de 
sistemas 2 X 3 ou 3 X 3 também deve ser feita via operações elementares (o 
processo de escalonamento), com discussão das diferentes situações 
(sistemas com uma única solução, com infinitas soluções e sem solução). 
Quanto à resolução de sistemas de equação 3 X 3, a regra de Cramer deve ser 
abandonada, pois é um procedimento custoso (no geral, apresentado sem 
demonstração, e, portanto de pouco significado para o aluno), que só permite 
resolver os sistemas quadrados com solução única. Dessa forma, fica também 
dispensado o estudo de determinantes. 
 
Os conteúdos do bloco Análise de dados e probabilidade têm sido 
recomendados para todos os níveis da educação básica, em especial para o 
ensino médio. Uma das razões desse ponto de vista reside na importância das 
idéias de incerteza e de probabilidade, associadas aos chamados fenômenos 
aleatórios, presentes de forma essencial nos mundos natural e social. O estudo 
desse bloco de conteúdo possibilita aos alunos ampliarem e formalizarem seus 
conhecimentos sobre o raciocínio combinatório, probabilístico e estatístico. 
Para dar aos alunos uma visão apropriada da importância dos modelos 
62 
 
probabilísticos no mundo de hoje, é importante que os alunos tenham 
oportunidade de ver esses modelos em ação. Por exemplo, é possível simular 
o que ocorre em certa pesquisa de opinião estimando, com base em uma 
amostra, a fração de balas de determinada cor em uma caixa. 
 
O estudo da estatística viabiliza a aprendizagem da formulação de 
perguntas que podem ser respondidas com uma coleta de dados, organização 
e representação. Durante o ensino médio, os alunos devem aprimorar as 
habilidades adquiridas no ensino fundamental no que se refere à coleta, à 
organização e à representação de dados. Recomenda-se um trabalho com 
ênfase na construção e na representação de tabelas e gráficos mais 
elaborados, analisando sua conveniência e utilizando tecnologias, quando 
possível. Problemas estatísticos realísticos usualmente começam com uma 
questão e culminam com uma apresentação de resultados que se apóiam em 
inferências tomadas em uma população amostral. 
 
“Durante o ensino médio, os alunos precisam adquirir entendimento 
sobre o propósito e a lógica das investigações estatísticas ...” 
 
Durante o ensino médio, os alunos precisam adquirir entendimento 
sobre o propósito e a lógica das investigações estatísticas, bem como sobre o 
processo de investigação. Deve-se possibilitar aos estudantes o entendimento 
intuitivo e formal das principais idéias matemáticas implícitas em 
representações estatísticas, procedimentos ou conceitos. Isso inclui entender a 
relação entre síntese estatística, representação gráfica e dados primitivos. Por 
exemplo, os estudantes precisam ser capazes de explicar como o ponto médio 
é influenciado por valores extremos num intervalo de dados, e o que acontece 
com o ponto médio e a mediana em relação a esses valores. 
 
Vale destacar a necessidade de se intensificar a compreensão sobre as 
medidas de posição (média, moda e mediana) e as medidas de dispersão 
(desvio médio, variância e desvio padrão), abordadas de forma mais intuitiva 
no ensino fundamental. 
 
63 
 
Os alunos devem exercitar a crítica na discussão de resultados de 
investigações estatísticas ou na avaliação de argumentos probabilísticos que 
se dizem baseados em alguma informação. A construção de argumentos 
racionais baseadas em informações e observações, veiculando resultados 
convincentes, exige o apropriado uso de terminologia estatística e 
probabilística. É também com a aquisição de conhecimento em estatística que 
os alunos se capacitam para questionar a validade das interpretações de dados 
e das representações gráficas, veiculadas em diferentes mídias, ou para 
questionar as generalizações feitas com base em um único estudo ou em uma 
pequena amostra. 
 
O estudo da combinatória e da probabilidade é essencial nesse bloco de 
conteúdo, pois os alunos precisam adquirir conhecimentos sobre o 
levantamento de possibilidades e a medida da chance de cada uma delas. A 
combinatória não tem apenas a função de auxiliar o cálculo das probabilidades, 
mas tem inter-relação estreita entre as idéias de experimento composto a partir 
de um espaço amostral discreto e as operações combinatórias. Por exemplo, 
ao extrair aleatoriamente três bolas de uma urna com quatro possibilidades, 
esse experimento aleatório tem três fases, que podem ser interpretadas signifi 
cativamente no espaço amostral das variações. 
 
A utilização do diagrama de árvores é importante para clarear a conexão 
entre os experimentos compostos e a combinatória, pois permite que 
visualizemos a estrutura dos múltiplos passos do experimento. 
 
Ao estudar probabilidade e chance, os alunos precisam entender 
conceitos e palavras relacionadas à chance, incerteza e probabilidade, que 
aparecem na nossa vida diariamente, particularmente na mídia. Outras idéias 
importantes incluem a compreensão de que a probabilidade é uma medida de 
incerteza, que os modelos são úteis para simular eventos, para estimar 
probabilidades, e que algumas vezes nossas intuições são incorretas e podem 
nos levar a uma conclusão equivocada no que se refere à probabilidade e à 
chance. 
 
64 
 
Nas situações e nas experiências aleatórias, os estudantes precisam 
aprender a descrevê-las em termos de eventualidades, associá-las a um 
conjunto de eventos elementares e representá-las de forma esquemática. Os 
alunos necessitam também dominar a linguagem de eventos, levantar 
hipóteses de eqüiprobabilidade, associar a estatística dos resultados 
observados e as freqüências dos eventos correspondentes, e utilizar a 
estatística de tais freqüências para estimar a probabilidade de um evento dado. 
 
2 QUESTÕES DE METODOLOGIA 
 
Falar de ensino e aprendizagem implica a compreensão de certas 
relações entre alguém que ensina, alguém que aprende e algo que é o objeto 
de estudo – no caso, o saber matemático.Nessa tríade, professor-aluno-saber, 
tem-se presente a subjetividade do professor e dos alunos, que em parte é 
condicionadora do processo de ensino e aprendizagem. 
 
Para o entendimento da complexidade que permeia uma situação 
didática2, iniciamos falando, de forma resumida, de duas destacadas 
concepções sobre o processo de ensino e aprendizagem de Matemática e 
prosseguimos com a introdução de alguns conceitos, tais como contrato 
didático, contrato pedagógico, transposição didática, contextualização, que 
tratam de explicitar alguns dos fenômenos que fazem parte da situação 
didática. 
 
Sobre o processo de ensino e aprendizagem, uma primeira corrente, 
historicamente a mais presente nas nossas salas de aula de Matemática, 
identifica ensino como transmissão de conhecimento, e aprendizagem com 
mera recepção de conteúdos. Nessa concepção, a aprendizagem é vista como 
um acúmulo de conhecimentos, e o ensino baseia-se essencialmente na 
“verbalização” do conhecimento por parte do professor. Se por um lado essa 
concepção teórica apresenta a vantagem de se atingir um grande número de 
 
2
 Uma situação didática pode ser compreendida como o estabelecimento de relações entre um 
professor, alunos e um certo objeto de conhecimento, em que aparece, de forma explícita, a 
intenção desse professor em fazer com que os alunos se apropriem daquele objeto de 
conhecimento. 
65 
 
alunos ao mesmo tempo, visto que a atividade estaria a cargo do professor, por 
outro lado demanda alunos bastante motivados e atentos à palavra do 
professor, o que não parece ser o caso para grande parte de nossos alunos, 
que estão imersos em uma sociedade que oferece uma gama de outras 
motivações. 
 
Uma segunda corrente, ainda pouco explorada em nossos sistemas de 
ensino, transfere para o aluno, em grande parte, a responsabilidade pela sua 
própria aprendizagem, na medida em que o coloca como ator principal desse 
processo. As idéias socioconstrutivistas da aprendizagem partem do princípio 
de que a aprendizagem se realiza pela construção dos conceitos pelo próprio 
aluno, quando ele é colocado em situação de resolução de problemas. Essa 
idéia tem como premissa que a aprendizagem se realiza quando o aluno, ao 
confrontar suas concepções, constrói os conceitos pretendidos pelo professor. 
Dessa forma, caberia a este o papel de mediador, ou seja, de elemento 
gerador de situações que propiciem esse confronto de concepções, cabendo 
ao aluno o papel de construtor de seu próprio conhecimento matemático. 
 
A primeira concepção dá origem ao padrão de ensino “definição 
exemplos exercícios”, ou seja, a introdução de um novo conceito dar-se-ia pela 
sua apresentação direta, seguida de certo número de exemplos, que serviriam 
como padrão, e aos quais os alunos iriam se referir em momentos posteriores; 
a cadeia seria fechada com a apresentação de um grande número de 
exercícios, bastante conhecidos como “exercícios de fixação”. 
 
Já na segunda concepção, tem-se o caminho inverso, ou seja, a 
aprendizagem de um novo conceito matemático dar-se-ia pela apresentação de 
uma situação-problema ao aluno, ficando a formalização do conceito como a 
última etapa do processo de aprendizagem. Nesse caso, caberia ao aluno a 
construção do conhecimento matemático que permite resolver o problema, 
tendo o professor como um mediador e orientador do processo ensino-
aprendizagem, responsável pela sistematização do novo conhecimento. 
 
66 
 
Essas concepções, de certa maneira, estão na base de diferentes 
metodologias que permeiam a sala de aula de matemática. Uma dessas 
metodologias é a de contrato didático. Antes de tudo, é preciso diferenciar 
contrato didático de contrato pedagógico. 
 
O contrato pedagógico baseia-se essencialmente na relação professor–aluno, 
e suas “cláusulas” são, na sua maioria, explicitáveis. No geral, são negociadas 
entre o professor e os alunos, e se mantêm relativamente estáveis no tempo. 
Nesse contrato, fica determinado o papel de cada um dos elementos humanos 
da situação didática (professor e alunos); não existem articulações com o saber 
objeto de ensino e aprendizagem. Por exemplo, o contrato pedagógico 
estabelece a forma de acompanhamento das atividades, a organização do 
espaço da classe, a distribuição do tempo em sala de aula, os momentos de 
trabalho em grupo, etc. 
 
“... a aprendizagem de um novo conceito matemático dar-se-ia pela 
apresentação de uma situação-problema ao aluno ...” 
 
É em relação ao terceiro elemento da tríade – o saber matemático – que 
se tem o conceito de contrato didático. Esse contrato, que representa o “motor” 
para a aprendizagem de certo conceito matemático, tem suas “cláusulas” 
bastante implícitas. Elas se tornam explícitas somente quando ocorre o 
rompimento do contrato por uma das partes (professor ou alunos). Nesse 
contrato está a subjetividade e a expectativa dos componentes humanos, 
portanto ele precisa ser renegociado continuamente em função dos objetos 
matemáticos que estão em jogo no processo de aprendizagem. 
 
A ruptura desses contratos de forma unilateral provoca efeitos 
diferentes. No caso do contrato pedagógico, aparecem mudanças e confl itos 
na relação estabelecida entre o professor e os alunos. No caso do contrato 
didático, a ruptura unilateral pode levar à criação de verdadeiros obstáculos à 
aprendizagem. Por exemplo: na passagem da aritmética à álgebra é preciso 
renegociar as “cláusulas”, pois agora a letra não é mais uma simples incógnita, 
mas passa a representar uma variável. Se no início da passagem da aritmética 
67 
 
para a álgebra a letra representa um elemento desconhecido que se quer 
descobrir, aos poucos ela vai assumindo diferentes status, como, por exemplo, 
o de variável no trabalho com as funções, o de elemento genérico de 
determinado conjunto numérico, o de parâmetro no caso de identidades 
trigonométricas, etc. Um outro exemplo: na mudança de campos numéricos, 
dos naturais para os reais, agora faz parte do contrato que “multiplicar não 
significa mais somente um aumento de valor numérico”. 
 
Ancorada nas concepções de aprendizagem, e fortemente articulada 
com o conceito de contrato didático, surge a idéia de transposição didática, que 
vem freqüentemente dividida em dois grandes momentos: a transposição 
didática externa e a transposição didática interna. A primeira toma como 
referência as transformações, as inclusões e as exclusões sofridas pelos 
objetos de conhecimento matemático, desde o momento de sua produção até o 
momento em que eles chegam à porta das escolas. Atuando, de certa forma, 
em uma esfera exterior à escola (mas sempre como resposta às suas 
demandas), o produto dessa transposição didática externa se materializa, em 
sua maior parte, pelos livros didáticos e pelas orientações curriculares, como o 
presente documento. 
 
“No caso do contrato didático, a ruptura unilateral pode levar à criação de 
verdadeiros obstáculos à aprendizagem.” 
 
A transposição didática interna apresenta-se, por sua própria natureza, 
no interior da escola e, mais particularmente, em cada uma de nossas salas de 
aula. É o momento em que cada professor vai transformar os conteúdos que 
lhe foram designados em conhecimentos a serem efetivamente ensinados. 
Nesse momento,as escolhas feitas pelo professor é que vão determinar, de 
certa maneira, a qualidade da aprendizagem dos alunos. 
 
A discussão de conteúdos da seção anterior enfoca a transposição 
didática ao dar ênfase ao ensino-aprendizagem que valoriza o raciocínio 
matemático e ao desaconselhar a simples aplicação de regras e fórmulas à 
68 
 
lista repetitiva de exercícios, freqüentemente presente em boa parte dos livros 
didáticos. 
 
O conceito de transposição didática também aparece intimamente ligado 
à idéia de contextualização, e ajuda a compreender a dinâmica de produçãoe 
circulação dos saberes que chegarão à escola e entrarão em nossas salas de 
aula. É na dinâmica de contextualização/descontextualização que o aluno 
constrói conhecimento com significado, nisso se identificando com as situações 
que lhe são apresentadas, seja em seu contexto escolar, seja no exercício de 
sua plena cidadania. A contextualização não pode ser feita de maneira 
ingênua, visto que ela será fundamental para as aprendizagens a serem 
realizadas – o professor precisa antecipar os conteúdos que são objetos de 
aprendizagem. Em outras palavras, a contextualização aparece não como uma 
forma de “ilustrar” o enunciado de um problema, mas como uma maneira de 
dar sentido ao conhecimento matemático na escola. 
 
A contextualização pode ser feita por meio da resolução de problemas, 
mas aqui é preciso estar atento aos problemas “fechados”, porque esses pouco 
incentivam o desenvolvimento de habilidades. Nesse tipo de problema, já de 
antemão o aluno identifica o conteúdo a ser utilizado, sem que haja maiores 
provocações quanto à construção de conhecimento e quanto à utilização de 
raciocínio matemático. O uso exclusivo desse tipo de problema consegue 
mascarar a efetiva aprendizagem, pois o aluno, ao antecipar o conteúdo que 
está sendo trabalhado, procede de forma um tanto mecânica na resolução do 
problema. Isso provoca a cristalização de certo contrato didático, que tem como 
uma das regras implícitas que o aluno não deve se preocupar com o enunciado 
do problema, basta operar com os números que estão presentes, sem que haja 
qualquer reflexão sobre o resultado final, mesmo que eventualmente absurdo. 
Vale aqui ressaltar o quanto é importante, para o exercício da cidadania, a 
competência de analisar um problema e tomar as decisões necessárias à sua 
resolução, competência que fica prejudicada quando se trabalha só com 
problemas “fechados”. 
 
69 
 
“... o quanto é importante, para o exercício da cidadania, a competência 
de analisar um problema e tomar as decisões ...” 
 
Com o desenvolvimento de novos paradigmas educacionais, 
especialmente daquele que toma a aprendizagem sob a concepção 
socioconstrutivista, e diante das limitações dos problemas “fechados”, surgem 
as propostas de “problema aberto” e de “situação-problema”. Apesar de 
apresentarem objetivos diferentes, esses dois tipos de problemas colocam o 
aluno, guardando-se as devidas proporções, em situação análoga àquela do 
matemático no exercício da profissão. O aluno deve, diante desses problemas, 
realizar tentativas, estabelecer hipóteses, testar essas hipóteses e validar seus 
resultados. 
 
O problema do tipo “aberto” procura levar o aluno à aquisição de 
procedimentos para resolução de problemas. A prática em sala de aula desse 
tipo de problema acaba por transformar a própria relação entre o professor e os 
alunos e entre os alunos e o conhecimento matemático. O conhecimento passa 
a ser entendido como uma importante ferramenta para resolver problemas, e 
não mais como algo que deve ser memorizado para ser aplicado em momentos 
de “provas escritas”. 
 
Enquanto o “problema aberto” visa a levar o aluno a certa postura em 
relação ao conhecimento matemático, a situação-problema apresenta um 
objetivo distinto, porque leva o aluno à construção de um novo conhecimento 
matemático. De maneira bastante sintética, podemos caracterizar uma 
situação-problema como uma situação geradora de um problema cujo conceito, 
necessário à sua resolução, é aquele que queremos que o aluno construa. 
 
Se por um lado a idéia de situação-problema pode parecer paradoxal, 
pois como o aluno pode resolver um problema se ele não aprendeu o conteúdo 
necessário à sua resolução? Por outro lado, a história da construção do 
conhecimento matemático mostra-nos que esse mesmo conhecimento foi 
construído a partir de problemas a serem resolvidos. 
 
70 
 
Em anos recentes, os estudos em educação matemática também têm 
posto em evidência, como um caminho para se trabalhar a Matemática na 
escola, a idéia de modelagem matemática, que pode ser entendida como a 
habilidade de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos 
e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. 
 
A modelagem matemática, percebida como estratégia de ensino, 
apresenta fortes conexões com a idéia de resolução de problemas apresentada 
anteriormente. Ante uma situação-problema ligada ao “mundo real”, com sua 
inerente complexidade, o aluno precisa mobilizar um leque variado de 
competências: selecionar variáveis que serão relevantes para o modelo a 
construir; problematizar, ou seja, formular o problema teórico na linguagem do 
campo matemático envolvido; formular hipóteses explicativas do fenômeno em 
causa; recorrer ao conhecimento matemático acumulado para a resolução do 
problema formulado, o que, muitas vezes, requer um trabalho de simplificação 
quando o modelo originalmente pensado é matematicamente muito complexo; 
validar, isto é, confrontar as conclusões teóricas com os dados empíricos 
existentes; e eventualmente ainda, quando surge a necessidade, modificar o 
modelo para que esse melhor corresponda à situação real, aqui se revelando o 
aspecto dinâmico da construção do conhecimento. 
 
Articulada com a idéia de modelagem matemática, tem-se a alternativa 
de trabalho com projetos. Um projeto pode favorecer a criação de estratégias 
de organização dos conhecimentos escolares, ao integrar os diferentes 
saberes disciplinares. Ele pode iniciar a partir de um problema bem particular 
ou de algo mais geral, de uma temática ou de um conjunto de questões inter-
relacionadas. Mas, antes de tudo, deve ter como prioridade o estudo de um 
tema que seja de interesse dos alunos, de forma que se promova a interação 
social e a reflexão sobre problemas que fazem parte da sua realidade. São 
situações a serem trabalhadas sob uma visão interdisciplinar, procurando-se 
relacionar conteúdos escolares com assuntos do quotidiano dos estudantes e 
enfatizar aspectos da comunidade, da escola, do meio ambiente, da família, da 
etnia, pluriculturais, etc. 
 
71 
 
Para desenvolver o trabalho com projetos, o professor deve estabelecer 
os objetivos educativos e de aprendizagem, selecionar os conteúdos 
conceituais e procedimentais a serem trabalhados, preestabelecer atividades, 
provocar reflexões, facilitar recursos, materiais e informações, e analisar o 
desenvolvimento individual de cada aluno. Essa modalidade de trabalho pode 
ser muito educativa ao dar espaço para os alunos construírem e socializarem 
conhecimentos relacionados a situações problemáticas significativas, 
considerando suas vivências, observações, experiências, inferências e 
interpretações. 
 
Adotar a metodologia do trabalho com projetos pode possibilitar aos 
professores colocar em ação aulas investigativas, as quais permitem aos 
alunos o rompimento do estudo baseado em um currículo linear. Eles terão 
uma maior chance de ampliar seu raciocínio, rever suas concepções e superar 
suas dificuldades. Passarão a perceber a Matemática como uma construção 
sócio-histórica, impregnada de valores que influenciam a vida humana, 
aprenderão a valorizar o processo de criação do saber. 
 
 
“Articulada com a idéia de modelagem matemática, tem se a alternativa 
de trabalho com projetos.” 
 
A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser 
vista como um elemento importante no processo de atribuição de significados 
aos conceitos matemáticos. É importante, porém, que esse recurso não fique 
limitado à descrição de fatos ocorridos no passado ou à apresentação de 
biografias de matemáticos famosos. A recuperação do processo histórico de 
construção do conhecimento matemático pode se tornar um importante 
elemento de contextualização dos objetos de conhecimento que vão entrar na 
relação didática. A História da Matemática pode contribuir também paraque o 
próprio professor compreenda algumas dificuldades dos alunos, que, de certa 
maneira, podem refletir históricas dificuldades presentes também na 
construção do conhecimento matemático. Por exemplo, reconhecer as 
dificuldades históricas da chamada “regra de sinais”, relativa à multiplicação de 
72 
 
números negativos, ou da construção dos números irracionais pode contribuir 
bastante para o ensino desses temas. 
 
Outra questão importante refere-se à discussão sobre o papel do livro 
didático nas salas de aula de Matemática, particularmente em função da atual 
conjuntura, em que diferentes programas de avaliação e distribuição de livros 
didáticos têm se efetivado. O texto didático traz para a sala de aula mais um 
personagem, seu autor, que passa a estabelecer um diálogo com o professor e 
seus alunos, refletindo seus pontos de vista sobre o que é importante ser 
estudado e sobre a forma mais efi caz de se trabalharem os conceitos 
matemáticos. 
 
Na ausência de orientações curriculares mais consolidadas, 
sistematizadas e acessíveis a todos os professores, o livro didático vem 
assumindo, há algum tempo, o papel de única referência sobre o saber a ser 
ensinado, gerando, muitas vezes, a concepção de que “o mais importante no 
ensino da matemática na escola é trabalhar o livro de capa a capa”. Nesse 
processo, o professor termina perdendo sua autonomia como responsável pelo 
processo de transposição didática interna. É importante, pois, que o livro 
didático de Matemática seja visto não como um substituto de orientações 
curriculares, mas como um recurso a mais. 
 
“A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser 
vista como um elemento importante no processo de atribuição de 
significados aos conceitos matemáticos.” 
 
3 O USO DE TECNOLOGIA 
 
Não se pode negar o impacto provocado pela tecnologia de informação 
e comunicação na configuração da sociedade atual. Por um lado, tem-se a 
inserção dessa tecnologia no dia-a-dia da sociedade, a exigir indivíduos com 
capacitação para bem usá-la; por outro lado, tem-se nessa mesma tecnologia 
um recurso que pode subsidiar o processo de aprendizagem da Matemática. É 
importante contemplar uma formação escolar nesses dois sentidos, ou seja, a 
73 
 
Matemática como ferramenta para entender a tecnologia, e a tecnologia como 
ferramenta para entender a Matemática. 
 
Considerando a Matemática para a Tecnologia, deve-se pensar na 
formação que capacita para o uso de calculadoras e planilhas eletrônicas, dois 
instrumentos de trabalho bastante corriqueiros nos dias de hoje. No trabalho 
com calculadoras, é preciso saber informar, via teclado, as instruções de 
execução de operações e funções, e isso exige conhecimentos de Matemática. 
Por exemplo: é a habilidade em estimar mentalmente resultados de operações 
que identifica, de imediato, um erro de digitação, quando se obtém 0,354 como 
resultado da multiplicação “35,4 * 0,1”; é o conhecimento sobre porcentagem 
que habilita para o uso da tecla “%”; é o conhecimento sobre funções que 
explica por que na calculadora tem-se sen (30) = - 0,99, ou que explica a 
mensagem “valor inválido para a função” recebida, após aplicar- se a tecla 
“sqrt” (raiz quadrada) ao número (-5). Em calculadoras gráficas, é o 
conhecimento sobre funções que permite analisar a pertinência ou não de 
certos gráficos que são desenhados na tela. Como as calculadoras trabalham 
com expansões decimais finitas, às vezes essas aproximações afetam a 
qualidade da informação gráfica. 
 
As planilhas eletrônicas são programas de computador que servem para 
manipular tabelas cujas células podem ser relacionadas por expressões 
matemáticas. Para operar com uma planilha, em um nível básico, é preciso 
conhecimento matemático similar àquele necessário ao uso de calculadora, 
mas com maiores exigências quanto à notação de trabalho, já que as 
operações e as funções são definidas sobre as células de uma tabela em que 
se faz uso de notação para matrizes. Assim, é importante conhecer bem a 
notação matemática usada para expressar diferentes conceitos, em particular o 
conceito de função. Além disso, a elaboração de planilhas mais complexas 
requer raciocínio típico dos problemas que exigem um processo de solução em 
diferentes etapas. 
 
“... a Matemática como ferramenta para entender a tecnologia, e a 
tecnologia como ferramenta para entender a Matemática.” 
74 
 
 
Já se pensando na Tecnologia para a Matemática, há programas de 
computador (softwares) nos quais os alunos podem explorar e construir 
diferentes conceitos matemáticos, referidos a seguir como programas de 
expressão3 Os programas de expressão apresentam recursos que provocam, 
de forma muito natural, o processo que caracteriza o “pensar 
matematicamente”, ou seja, os alunos fazem experimentos, testam hipóteses, 
esboçam conjecturas, criam estratégias para resolver problemas. São 
características desses programas: a) conter um certo domínio de saber 
matemático – a sua base de conhecimento; b) oferecer diferentes 
representações para um mesmo objeto matemático – numérica, algébrica, 
geométrica; c) possibilitar a expansão de sua base de conhecimento por meio 
de macroconstruções; d) permitir a manipulação dos objetos que estão na tela. 
 
Para o aprendizado da geometria, há programas que dispõem de régua 
e compasso virtuais e com menu de construção em linguagem clássica da 
geometria – reta perpendicular, ponto médio, mediatriz, bissetriz, etc. Feita uma 
construção, pode-se aplicar movimento a seus elementos, sendo preservadas 
as relações geométricas impostas à figura – daí serem denominados 
programas de geometria dinâmica. 
 
Esses também enriquecem as imagens mentais associadas às 
propriedades geométricas. Por exemplo: para o Teorema de Pitágoras, 
partindo do triângulo retângulo e dos quadrados construídos sobre seus lados, 
podemos construir uma família de “paralelogramos em movimento” que, 
conservando a área, explica por que a área do quadrado construído sobre a 
hipotenusa é igual à soma das áreas construídas sobre os catetos. 
 
Com a geometria dinâmica também se pode fazer modelação 
geométrica. Isso significa captar, com a linguagem geométrica, o movimento de 
 
3
 Uma coletânea desses programas está disponível no site Educação matemática e tecnologia 
informática, em http://www. 
edumatec.mat.ufrgs.br. 
 
75 
 
certos mecanismos (uma porta pantográfi ca, um ventilador, um pistão) ou os 
movimentos corporais (o caminhar, o remar, o pedalar). Identifi car o elemento 
que desencadeia o movimento e, a partir dele, prosseguir com uma construção 
sincronizada, em que se preserva a proporção entre os elementos, exige, além 
de conhecimento em geometria, uma escolha de estratégia de resolução do 
problema, com a elaboração de um cronograma de ataque aos diferentes 
subproblemas que compõem o problema maior. É uma atividade que coloca 
em funcionamento diferentes habilidades cognitivas – o pensar geométrico, o 
pensar estratégico, o pensar hierárquico. 
 
Para o estudo das funções, das equações e das desigualdades da 
geometria analítica (retas, círculos, cônicas, superfícies), tem-se uma grande 
variedade de programa de expressão. Em muitos desses programas, pode-se 
trabalhar tanto com coordenadas cartesianas como com coordenadas polares. 
Os recursos neles disponibilizados facilitam a exploração algébrica e gráfica, 
de forma simultânea, e isso ajuda o aluno a entender o conceito de função, e o 
significado geométrico do conjunto-solução de uma equação – inequação. 
 
Para trabalhar com poliedros, existem também programas interessantes. 
Neles, há poliedros em movimento, sob diferentes vistas, acompanhados de 
planificação. São programas apropriados para o desenvolvimento da 
visualização espacial. 
 
As planilhas eletrônicas, mesmo sendo ferramentasque não foram 
pensadas para propósitos educativos, também podem ser utilizadas como 
recursos tecnológicos úteis à aprendizagem matemática. Planilhas oferecem 
um ambiente adequado para experimentar seqüências numéricas e explorar 
algumas de suas propriedades, por exemplo, comparar o comportamento de 
uma seqüência de pagamentos sob juros simples e juros compostos. Também 
oferecem um ambiente apropriado para trabalhar com análises de dados 
extraídos de situações reais. É possível organizar atividades em que os alunos 
têm a oportunidade de lidar com as diversas etapas do trabalho de análise de 
dados reais: tabular, manipular, classificar, obter medidas como média e desvio 
padrão e obter representações gráficas variadas. 
76 
 
 
As planilhas eletrônicas também são muito apropriadas para introduzir a 
noção de simulação probabilística, importante em diversos campos de 
aplicação. Ao se usar a função “ALEATÓRIO( )”, podem-se simular 
experimentos aleatórios de variados níveis de complexidade, contribuindo, 
assim, para que o aluno atribua um significado intuitivo à noção de 
probabilidade como freqüência relativa observada em uma infinidade de 
repetições. 
 
No uso de tecnologia para o aprendizado da Matemática, a escolha de 
um programa torna-se um fator que determina a qualidade do aprendizado. É 
com a utilização de programas que oferecem recursos para a exploração de 
conceitos e idéias matemáticas que está se fazendo um interessante uso de 
tecnologia para o ensino da Matemática. Nessa situação, o professor deve 
estar preparado para interessantes surpresas: é a variedade de soluções que 
podem ser dadas para um mesmo problema, indicando que as formas de 
pensar dos alunos podem ser bem distintas; a detecção da capacidade criativa 
de seus alunos, ao ser o professor surpreendido com soluções que nem 
imaginava, quando pensou no problema proposto; o entusiástico engajamento 
dos alunos nos trabalhos, produzindo discussões e trocas de idéias que 
revelam uma intensa atividade intelectual. 
 
“As planilhas eletrônicas (...) também podem ser utilizadas como 
recursos tecnológicos úteis à aprendizagem matemática.” 
 
4 ORGANIZAÇÃO CURRICULAR E PROJETO POLÍTICO-PEDAGÓGICO 
 
A instituição escolar precisa organizar seu trabalho pedagógico de 
acordo com seus alunos. Para tanto, deve considerar o projeto político-
pedagógico como um processo constante de reflexão e discussão sobre os 
problemas escolares, tendo como intenção a busca de soluções, por meio de 
ações colaborativas entre os membros que constituem a escola. 
 
77 
 
Para que a escola possa concretizar a construção de um projeto político-
pedagógico significativo que seja fruto do cotidiano escolar, ela precisa de um 
corpo docente comprometido com a ação educativa, que seja responsável por 
ela e assuma o trabalho colaborativo como sustentação para a formação de 
estudantes capacitados para o exercício da cidadania. 
 
O projeto político-pedagógico refere-se tanto ao trabalho mais amplo de 
organização da escola como ao trabalho mais específico de organização da 
sala de aula, levadas em conta as relações com o contexto social imediato e a 
visão de totalidade. 
 
Nesse sentido, tem-se no currículo um elemento essencial na definição 
do projeto político-pedagógico quando a ele se incorpora o processo social de 
produção de conhecimento, considerando-se os conhecimentos historicamente 
produzidos e as formas de viabilizar sua construção por parte dos alunos. 
 
O currículo do ensino médio deve buscar a integração dos 
conhecimentos, especialmente pelo trabalho interdisciplinar. Neste, fazem-se 
necessários a cooperação e o compartilhamento de tarefas, atitudes ainda 
pouco presentes nos trabalhos escolares. O desenvolvimento dessas atitudes 
pode ser um desafio para os educadores, mas, como resultado, vai propiciar 
aos alunos o desenvolvimento da aptidão para contextualizar e integrar os 
saberes. 
 
Para isso, a escola deve buscar novas formas de se organizar, 
considerando que os conteúdos disciplinares não se esgotam em si mesmos, 
mas significam o acesso ao saber cultural e à aquisição de ferramentas para o 
entendimento da sociedade em que vivemos, destacando-se as que capacitam 
os indivíduos para viverem em um mundo tecnológico e informatizado. Nesse 
sentido, pode ser interessante propiciar momentos de trabalho em duplas e em 
pequenos grupos, que possibilitam a participação ativa dos alunos, o confronto 
de idéias e a adoção de consensos. 
 
78 
 
As formas de organização das atividades de ensino devem contemplar a 
diversidade, considerando as interações sociais como essenciais na 
construção coletiva de conhecimento. 
 
Dar atenção à diversidade significa vincular o conteúdo selecionado para 
estudo aos conhecimentos prévios dos alunos, respeitando, também, os seus 
centros de interesse e suas individualidades. 
 
As orientações curriculares apresentadas neste texto, em relação à 
disciplina Matemática, têm o intuito de suscitar discussões e fornecer subsídios 
para opções de ênfase no conhecimento matemático, essencial à formação do 
aluno no ensino médio. Mas as opções também devem adequar-se ao projeto 
político-pedagógico de cada escola. 
 
Sabe-se que na organização curricular deverá haver equilíbrio na 
distribuição da carga horária das diferentes disciplinas. É importante que se 
destaque a necessidade de um trabalho contínuo com a Matemática durante os 
três anos do ensino médio, sendo difícil propiciar uma aprendizagem 
significativa dos conceitos matemáticos sem uma carga horária adequada de 
aulas semanais, em cada ano desse nível de ensino. 
 
Ao se definir a ênfase curricular a ser dada à Matemática em cada 
unidade escolar, recomenda-se um estudo cuidadoso das orientações 
curriculares expressas nos vários documentos produzidos que visam a 
subsidiar a definição do projeto político-pedagógico. É interessante ter 
conhecimento das propostas curriculares que estão sendo produzidas nos 
diferentes estados brasileiros, o que ajuda a perceber a necessidade de 
adaptar os currículos às particularidades de cada região. 
 
Os documentos curriculares produzidos no âmbito das redes públicas do 
país servem como subsídios para a construção dos projetos pedagógicos das 
escolas. Mas documentos são simples referências para discussão. A educação 
é um processo essencialmente social e político que se concretiza e avança 
com as necessárias mudanças no diálogo e nas ações de atores, em diferentes 
79 
 
instâncias: alunos, professores, coordenadores e diretores de escolas; 
professores formadores e gestores nas universidades; gestores nas 
Secretárias de Educação e no MEC. 
 
“O currículo do ensino médio deve buscar a integração dos 
conhecimentos, especialmente pelo trabalho interdisciplinar.” 
 
5 TEMAS COMPLEMENTARES 
 
Nas questões de conteúdo apresentadas anteriormente, foram 
discutidos os tópicos considerados essenciais à formação matemática dos 
estudantes durante o ensino médio, considerando-se a diversidade de carga 
horária existente nas escolas brasileiras. 
 
Acredita-se que, ao levar em conta o projeto político-pedagógico de cada 
unidade escolar, os professores possam analisar a pertinência de um trabalho 
complementar em relação ao conhecimento matemático. Apresentam-se a 
seguir algumas idéias, mas com a recomendação de que os professores de 
cada escola definam, de acordo com seu contexto escolar, a adequação de um 
projeto que envolva temas complementares. 
 
São apresentados, a seguir, tópicos que podem servir muito bem aos 
propósitos das feiras e dos clubes de ciências, ou para atividades em 
laboratórios de Matemática, ou ainda para compor, de forma interdisciplinar, a 
parte diversificada do currículo. Alguns desses tópicos também servem para 
trabalhar as aplicações matemáticas. Em outros tópicos, tem-se o aspecto 
artístico e lúdico no trabalho deconstrução de modelos concretos ilustrativos. 
Por exemplo, o estudo das curvas cônicas como lugar geométrico de pontos 
(elipse, parábola e hipérbole), acompanhado de suas equações. As mais 
simples, se bem escolhida a posição do sistema de coordenadas, geram um 
tópico interessante, pois trata-se de curvas que podem ser a solução de uma 
equação geral de grau dois em duas variáveis (vale lembrar que até então esse 
estudo estava restrito à reta, círculo e parábola). Podem-se, com isso, explicar 
80 
 
os princípios de funcionamento de uma antena parabólica, dos espelhos 
hiperbólicos usados em telescópios e dos espelhos elípticos. 
 
No estudo da geometria, também se podem provocar os alunos com a 
pergunta: “Como funcionam certos mecanismos do nosso quotidiano ou certos 
instrumentos de trabalho?”. São propriedades geométricas que explicam o 
funcionamento de um macaco de carro, dos brinquedos de uma praça infantil, 
do teodolito, do periscópio, da máquina fotográfi ca, do projetor de imagens. 
Também perguntas simples, como “Por que o parafuso é sextavado?” ou “Por 
que os prismas triangulares, junto com o movimento de rotação, são usados 
para veicular propagandas?”, são respondidas com conhecimento bastante 
elementar de geometria, que também possibilita inúmeras atividades de 
natureza interdisciplinar: os poliedros e os cristais, as simetrias nos seres vivos, 
a concha de Nautilus e a espiral de Arquimedes. 
 
O estudo de poliedros, o Teorema de Euler e a classificação dos 
poliedros platônicos compõem um interessante tópico, em que a construção 
dos poliedros, via planificações feitas com régua e compasso, pode ser uma 
atividade de grande satisfação estética. Na direção de valorização da 
Matemática, no seu aspecto estético, existem alguns vídeos que podem servir 
como ponto de partida de discussão de assuntos tais como simetrias, fractais, 
o número de ouro, etc. 
 
Outro tópico de natureza interdisciplinar que pode ser interessante é o 
estudo de fenômenos que têm registro em escala logarítmica: idade fóssil, 
intensidade de um abalo sísmico, intensidade de um som. 
 
Pode ser bastante interessante levar para a sala da aula a discussão de 
brilhantes idéias geométricas que resolveram certos problemas na Antiguidade. 
Alguns desses problemas clássicos: o cálculo do raio da Terra, feito por 
Eratóstenes no século III a.C.; a solução de Eupalinos na construção de um 
túnel, 2.500 anos atrás; os diferentes cálculos astronômicos na Grécia antiga, 
tais como as distâncias relativas entre Terra, Lua e Sol. 
 
81 
 
O estudo de diferentes sistemas de coordenadas para o plano e o 
espaço (cartesianas, polares, esféricas), e de construção de algumas curvas e 
superfícies, provoca um pensamento matemático generalizador ao ir além do 
até então restrito universo de retas, círculos e curvas, que são gráficos de 
funções reais, de variável real. Espirais, cilindros, cones, esferas, parabolóides, 
hiperbolóides são formas geométricas que passam a ser descritas em sistemas 
de coordenadas, via curvas parametrizadas, superfícies de revolução, gráficos 
de funções de duas variáveis. Nesse tópico, tem-se também a possibilidade de 
um interessante trabalho de natureza interdisciplinar: as características 
geométricas dos diferentes tipos de mapa-múndi, que são dadas via 
transformações entre espaços de dimensão três e dois. Uma introdução à 
geometria vetorial e às transformações geométricas no plano e no espaço – 
isometria e homotetia – é também mais uma oportunidade de trabalhar 
conceitos matemáticos sob os pontos de vista algébrico e geométrico. 
 
Outro tópico que pode ser tratado como tema complementar é o estudo 
mais aprofundado dos números complexos. Por um lado, podem-se explorar os 
aspectos históricos da introdução dos números complexos e de seu papel 
fundamental no desenvolvimento da álgebra. Por outro lado, podem-se explorar 
as conexões entre as operações com números complexos e as transformações 
geométricas no plano. 
 
“Pode ser bastante interessante levar para a sala da aula a discussão de 
brilhantes idéias geométricas que resolveram certos problemas na 
Antiguidade.” 
 
A maior parte dos conteúdos de Matemática do ensino médio está 
vinculada a modelos matemáticos de natureza contínua: os números reais e os 
espaços geométricos (reta, plano e espaço tridimensional). Os estudos da 
geometria e das funções de variável real inserem-se nesse contexto, refletindo 
o papel fundamental do Cálculo (esse assunto é objeto de estudo na 
universidade) no desenvolvimento das aplicações da Matemática nas Ciências. 
No entanto, no decorrer do século XX, novas necessidades tecnológicas 
advindas da introdução dos computadores – que têm uma Matemática Discreta 
82 
 
no seu funcionamento – provocaram um grande desenvolvimento dos modelos 
matemáticos discretos. 
 
Desse processo decorre um desenvolvimento significativo da área de 
combinatória, que é a Matemática dos conjuntos finitos. No ensino médio, o 
termo “combinatória” está usualmente restrito ao estudo de problemas de 
contagem, mas esse é apenas um de seus aspectos. Outros tipos de 
problemas poderiam ser trabalhados na escola – são aqueles relativos a 
conjuntos finitos e com enunciados de simples entendimento relativo, mas não 
necessariamente fáceis de resolver. Um exemplo clássico é o problema das 
pontes de Könisberg, tratado por Euler: dado um conjunto de sete ilhas 
interligadas por pontes, a pergunta que se coloca é: “Partindo-se de uma das 
ilhas, é possível passar pelas demais ilhas e voltar ao ponto de partida, nisso 
cruzando-se cada uma das pontes uma única vez?” Problemas dessa natureza 
podem ser utilizados para desenvolver uma série de habilidades importantes: 
modelar o problema, via estrutura de grafo – no exemplo, um diagrama em que 
cada ilha é representada por um ponto e cada ponte é um segmento 
conectando dois pontos; explorar o problema, identificando situações em que 
há ou não solução; convergir para a descoberta da condição geral de 
existência de uma tal solução (ainda no exemplo, o caso em que cada ilha tem 
um número par de pontes). Muitos outros exemplos de problemas 
combinatórios podem ser tratados de modo semelhante, tais como determinar 
a rota mais curta em uma rede de transportes ou determinar um eficiente 
trajeto para coleta de lixo em uma cidade. 
 
“A articulação da Matemática ensinada no ensino médio com temas 
atuais da ciência e da tecnologia é possível e necessária.” 
 
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Ressalta-se a intenção deste documento em subsidiar as discussões 
sobre as orientações curriculares para o ensino médio no que se refere à 
Matemática. Contudo, cada professor, junto com seus pares e seus alunos, 
83 
 
deve definir o currículo de Matemática a ser colocado em ação, sempre 
buscando uma formação matemática que privilegie o essencial e o significativo. 
 
No tratamento desses conteúdos, deve-se buscar o equilíbrio na atenção 
aos diversos ramos da Matemática. Deve-se, igualmente, afastar-se da 
compartimentalização e procurar ampliar as ocasiões de articulação entre os 
diferentes temas, atendendo a requisitos de diversidade, e lembrar-se de que 
um mesmo conceito matemático pode ser abordado em mais de um dos blocos 
de conteúdo. 
 
É preciso lembrar que a contextualização deve ser vista como um dos 
instrumentos para a concretização da idéia de interdisciplinaridade e para 
favorecer a atribuição de significados pelo aluno no processo de ensino e 
aprendizagem. A articulação da Matemática ensinada no ensino médio com 
temas atuais da ciência e da tecnologia é possível e necessária. Deve-se 
observar que as articulações com as práticas sociais não são as únicas 
maneiras de se favorecer a atribuição de significados a conceitos e a 
procedimentos matemáticos, pois isso igualmente é possível, em muitos casos, 
com o estabelecimento de suas conexõescom outros conceitos e 
procedimentos matemáticos importantes. 
 
Vale uma ressalva sobre as ineficazes contextualizações artificiais, em 
que a situação evocada nada tem de essencialmente ligada ao conceito ou ao 
procedimento visado, como também não são educativas as contextualizações 
pretensamente baseadas na realidade, mas com aspectos totalmente 
fantasiosos. 
 
A história da Matemática oferece oportunidades de contextualização 
importantes do conhecimento matemático, em que a articulação com a história 
pode ser feita nessa perspectiva, tais como a crise dos irracionais no 
desenvolvimento da ciência grega, que tem conexão com obstáculos até hoje 
presentes na aprendizagem desse conceito. 
 
84 
 
A ampliação e o aprofundamento da explicitação da estruturação lógica 
da Matemática são necessários ao aluno do ensino médio, devendo-se 
valorizar os vários recursos do pensamento matemático, como a imaginação, a 
intuição, o raciocínio indutivo e o raciocínio lógico-dedutivo, a distinção entre 
validação matemática e validação empírica, e favorecer a construção 
progressiva do método dedutivo em Matemática. 
 
Cabe ainda uma recomendação especial no que se refere à 
implementação de políticas públicas que priorizem a formação contínua de 
professores de Matemática que atuam no ensino médio visando à construção 
de uma autonomia docente. 
 
Outra recomendação é a criação de fóruns permanentes de discussão 
sobre o currículo de Matemática, particularmente para o ensino médio. 
 
 
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_____. Medida e forma em geometria. Coleção do Professor de Matemática, 
SBEM, 2000. 
 
LOPES, Celi Espasandin. A probabilidade e a estatística no Ensino 
Fundamental: uma análise curricular. Campinas: Faculdade de Educação da 
Unicamp,1998. 125 p. Dissertação (Mestrado em Educação). 
 
_____. Literacia estatística e Inaf 2002. In: FONSECA, Maria da Conceição F. 
R. Letramento no Brasil: habilidades matemáticas. São Paulo: Global, 2004. 
 
LOPES, Celi Espasandin; NACARATO, Adair (Org.). Escritas e leituras na 
educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. 
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MARTINS, Jorge Santos. O trabalho com projetos de pesquisa: do ensino 
fundamental ao ensino médio. Campinas: Papirus, 2001. 
 
MIORIM, Maria Ângela. Introdução à história da educação matemática. São 
Paulo: Atual, 1998. 
 
MORIN, Edgar. A cabeça bem-feita: repensar a reforma, reformar o 
pensamento. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 2000. 
 
ONRUBIA, Javier. A atenção à diversidade no Ensino Médio: algumas 
reflexões e alguns critérios psicopedagógicos. Atenção à diversidade. Porto 
Alegre: Artmed, 2002. 
 
PONTE, João P. et al. Didáctica da Matemática: ensino secundário. Lisboa: 
Ministério da Educação: Departamento do Ensino Secundário, 1997. 
(http://w3.des.min-edu.pt/area_pub/publicacoes_II.shtml). 
 
RAMOS, Marise N. O projeto unitário de ensino médio sob os princípios do 
trabalho, da ciência e da cultura. In: FRIGOTTO, Gaudêncio; CIAVATTA, 
Maria (Orgs.). Ensino Médio: ciência, cultura e trabalho. Brasília: MEC, 
Semtec, 2004. 
 
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: Sociedade 
Brasileira de Matemática, SBEM, 1982 (semestral). 
 
VEIGA, Ilma P. A. (Org.). Projeto político-pedagógico da escola. 16. ed. 
Campinas:Papirus, 2003. 
 
 
 
 
 
88 
 
 
 
 
 
UNIDADE III - PROPOSTAS PEDAGÓGICAS VOLTADAS PARA A 
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, COTEJAMENTO DOS PRINCIPAIS 
CONTEÚDOS ESPECÍFICOS DE MATEMÁTICA DOS ANOS FINAIS DO 
ENSINO FUNDAMENTAL E DO ENSINO MÉDIO E ACOMPANHAMENTO DO 
PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM. 
3.1 - Propostas pedagógicas voltadas para a educação matemática; 
 
 
 
 
3.2 - Cotejamento dos principais conteúdos específicos de matemática dos 
anos finais do ensino fundamental e do ensino médio. 
• Teoria dos números; 
• Medidas; 
• Conjuntos e funções; 
• Álgebra; 
• Geometria e trigonometria; 
• Formação dos principais conceitos matemáticos: quantidade, 
correspondência biunívoca, área, volume, espaço. 
 
 
3.3 - Acompanhamento do processo ensino-aprendizagem. 
 
 
 
 
 
89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIVRO DE EAD DE METODOLOGIA DO ENSINO NA MATEMÁTICA 
EMENTA DE METODOLOGIA DO ENSINO NA MATEMATICA 
DISCIPLINA: 
Metodologia do Ensino da Matemática 
CÓDIGO: 402.xx2 
DEPARTAMENTO: Métodos e Técnicas de Ensino 
CH: 60h CRÉDITOS: 4.0.0 PRÉ-REQUISITO: 402.xx1 
EMENTA: 
Contribuições teóricas para o ensino da Matemática. Tendências da Educação Matemática. A 
Matemática como componente curricular. Parâmetros Curriculares Nacionais para Matemática 
(Anos Finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio). A formação do pensamento pelo 
caminho da simbolização. Propostas pedagógicas voltadas para a Educação Matemática. 
Cotejamento dos principais conteúdos específicos de Matemática dos Anos Finais do Ensino 
Fundamental e do Ensino Médio com metodologias adequadas: teoria dos números, medidas, 
conjuntos e funções,álgebra, geometria, trigonometria. Formação dos principais conceitos 
matemáticos: quantidade, correspondência biunívoca, área, volume, espaço. 
Acompanhamento do processo ensino-aprendizagem. 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA: 
BRASIL. Secretaria do Ensino Fundamental. Brasília/DF: MEC/SEF. 
CARVALHO, Dione Luchesi de. Metodologia do Ensino de Matemática. São Paulo: Cortez, 
1990. 
CARRAHER, Terezinha et al. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1988. 
D’AUGUSTINE, Charles H. Métodos modernos para o ensino da matemática. Rio de Janeiro: 
Ao Livro Técnico S/A, 1970. 
90 
 
KAMIL, Constance. A criança e o número. Campinas: Papirus, 1987. 
MACHADO, Nilson José. Matemática e realidade. São Paulo: Cortez, 1989. 
MIGUEL, Antonio; MIORIM, M. Ângela. O ensino da matemática no 1. Grau. Projeto 
Magistério. São Paulo: Atual, 1986.