Resol.1Avaliação de Introd.Teori.Números 2016II

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
 
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA 
 
CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
 
 
1ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL - SEMESTRE – 2016/2 
EAD 529 – INTRODUÇÃO À TEORIA DOS NÚMEROS 
PROFESSOR: NEUBER SILVA FERREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INSTRUÇÕES: 
 
1. Preencha o quadro acima, não deixando de assinar no local indicado. 
2. As questões devem ser respondidas em ordem e não precisa copiar a questão. 
3. A avaliação é individual. 
4. Identifique a folha de resposta com seu nome. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE PONTOS: 
Questão Valor Nota 
1 
a) 3 pontos 
b) 3 pontos 
2 4 pontos 
3 5 pontos 
4 5 pontos 
5 
a) 3 pontos 
b) 3 pontos 
6 4 pontos 
TOTAL 30 
 
 
Nome: 
Assinatura: 
N° DE MÁTRICULA: RG: 
POLO: DATA: ___/___/_______ 
EAD 529 – Nome: 
Número de matrícula: 
 
2 
 QUESTÕES: 
 
Questão 1: 
a) Sejam 𝐴, 𝐵, e 𝐶 subconjuntos de 𝑈. Mostre que se 𝐴 ⊆ 𝐵 então 𝐴 ∪ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∪ 𝐶. 
 
RESOLUÇÂO: 
Seja 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐶. Então 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐶. Se 𝑥 ∈ 𝐴 então 𝑥 ∈ 𝐵, pois 𝐴 ⊆ 𝐵. 
Assim 𝑥 ∈ 𝐵 ou 𝑥 ∈ 𝐶, o que implica 𝑥 ∈ 𝐵 ∪ 𝐶. 
Se 𝑥 ∈ 𝐶 então 𝑥 ∈ 𝐶 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐶. Logo 𝐴 ∪ 𝐶 ⊆ 𝐵 ∪ 𝐶. 
 
b) Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa do 
mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo: 
 
Marca A B C A e B B e C C e A A, B e C Nenhuma das três 
Número de 
consumidores 
109 203 162 25 41 28 5 115 
 
Pede-se o número de pessoas consultadas. 
 
RESOLUÇÂO: 
 
 
 A B 
 
 20 
 61 142 
 
 5 
 36 
 23 
 
 
 98 115 
 
 
 C 
 
Resposta: 61 + 20 + 5 + 23 + 142 + 36 + 98 + 115 = 500 
 
Questão 2: Seja 𝑆 um subconjunto do conjunto dos números reais. Se 𝑎 e 𝑏 pertencem 𝑎 𝑆, defina 
𝑎 ~ 𝑏 se 𝑎 – 𝑏 é um inteiro, ou seja 𝑎~𝑏 ⟺ 𝑎 − 𝑏 ∈ ℤ. Mostre que ~ é uma relação de equivalência 
em 𝑆. 
 
Resolução: 
 
Para mostrarmos que ~ é uma relação de equivalência, precisamos verificar se ~ obedece às três propriedades: 
i) Reflexiva 
ii) Simétrica 
iii) Transitiva 
EAD 529 – Nome: 
Número de matrícula: 
 
3 
 
Sejam 𝑎, 𝑏 e 𝑐 elementos de 𝑆. Temos que: 
i) 𝑎~𝑎 pois 𝑎 − 𝑎 = 0 𝜖 𝑍 (conjunto dos números inteiros). Logo ~ é reflexiva. 
ii) Se 𝑎~𝑏 então 𝑎 − 𝑏 é inteiro. Como 𝑏 − 𝑎 = −(𝑎 − 𝑏), então 𝑏 − 𝑎 também é inteiro, o que implica 
𝑏~𝑎. Logo ~ é simétrica. 
iii) Se 𝑎~𝑏 e b~𝑐 então 𝑎 − 𝑏 e 𝑏 − 𝑐 são inteiros. Assim (𝑎 − 𝑏) + (𝑏 − 𝑐) também é inteiro (soma de 
dois números inteiro também é um número inteiro), isto é, 𝑎 − 𝑐 é inteiro. Logo 𝑎~𝑐 e segue que ~ é 
transitiva. 
 
Questão 3: Prove por indução que 
6
)12)(1(
²941


nnn
n
 , para todo 𝑛 inteiro 𝑛 > 0. 
RESOLUÇÃO: 
 
Usando o princípio da indução temos: 
(i) Vamos verificar que P(1) é verdadeira. 
 
Como 
1(1+1)(2∙1+1)
6
=
2∙3
6
= 1 = 12, então 𝑃(1) é verdadeira. 
 
(ii) Suponhamos que 𝑃(𝑛) seja verdadeira e provemos que 𝑃(𝑛 + 1) é verdadeira. 
 
Se 𝑃(𝑛) é verdadeira, então 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 =
𝑛(𝑛+1)(2∙𝑛+1)
6
 (hipótese de indução) 
Queremos mostrar que 12 + 22 + 32 + ⋯ + (𝑛 + 1)2 =
(𝑛+1)(𝑛+2)(2∙𝑛+3)
6
. 
Temos que 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 =
𝑛(𝑛+1)(2∙𝑛+1)
6
+ (𝑛 + 1)2. 
 
Pela hipótese de indução, então: 
 
12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2 + (𝑛 + 1)2 =
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)+6(𝑛2+2𝑛+1)
6
=
(𝑛2+𝑛)(2𝑛+1)+6𝑛2+12𝑛+6
6
=
2𝑛3+9𝑛2+13𝑛+6
6
 . 
Além disso, 
(𝑛+1)(𝑛+2)(2∙𝑛+3)
6
=
(𝑛2+2𝑛+𝑛+2)(2𝑛+3)
6
=
(𝑛2+3𝑛+2)(2𝑛+3)
6
=
2𝑛3+3𝑛2+6𝑛2+9𝑛+4𝑛+6
6
=
2𝑛3+9𝑛2+13𝑛+6
6
. 
 
Logo percebe-se que 𝑃(𝑛 + 1) é verdadeira. 
 
 
Questão 4: Prove que se 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑚 e 𝑛 são inteiros tais que 𝑐 | 𝑎 e 𝑐 | 𝑏 então 𝑐|(𝑚𝑎 + 𝑛𝑏). 
 
RESOLUÇÃO 
 
Se 𝑐 | 𝑎, então existe 𝑞 ∈ 𝑍 tal que 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑞. 
Se 𝑐 | 𝑏, então existe 𝑘 ∈ 𝑍 tal que 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑘. 
Assim temos: 
𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙ (𝑐 ∙ 𝑞) = 𝑐 ∙ (𝑚 ∙ 𝑞). 
𝑛 ∙ 𝑏 = 𝑛 ∙ (𝑐 ∙ 𝑘) = 𝑐 ∙ (𝑛 ∙ 𝑘). 
Então 
 𝑚𝑎 + 𝑛𝑏 = 𝑐(𝑚𝑞) + 𝑐(𝑛𝑘) = 𝑐(𝑚𝑞 + 𝑛𝑘). 
Logo 
 𝑐 | (𝑚𝑎 + 𝑛𝑏). 
 
 
EAD 529 – Nome: 
Número de matrícula: 
 
4 
Questão 5: 
a) Sejam 
ba,
. Mostre que se 
²² ba 
e 
0ba
então 
ba 
. 
RESOLUÇÃO 
 
Temos por hipótese que 
²² ba 
 e 
0ba
. 
Assim 
0²² ba
. Como 
))((²² bababa 
. Então 
0))((  baba
. Pela propriedade 8 temos que 
0ba
 ou 
0 ba
, ou seja 
ba 
 ou 
ba 
. Como 
0ba
, então 
a
 e 
b
 possuem mesmo sinal. Logo 
é absurdo 
ba 
 e, portanto segue que 
ba 
. 
 
 
b) Quantos inteiros entre 100 e 200 deixam resto 5 quando divididos por 7? 
 
RESOLUÇÃO1 
 
Seja 𝑛 ∈ 𝑍 tal que 100 < 𝑛 < 200. Temos que 𝑛 = 7𝑞 + 5, 𝑞 ∈ 𝑍. 
Primeiramente vamos descrever os múltiplos de 7 compreendidos entre 100 e 200. 
{105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196} 
 
Somando 5 em cada um deles temos o conjunto: 
{110, 117, 124, 131, 138, 145, 152, 159, 166, 173, 180, 187, 194} 
 
Assim temos que existem 13 números inteiros entre 100 e 200 deixam resto 5 quando divididos por 7 
 
RESOLUÇÃO2 
 
Sabemos que existem 98 números inteiros entre 100 e 200. Dividindo 98 por 7, temos 98 = 7 × 14. Logo 
existem 14 múltiplos de 7 entre 100 e 200. Somando 5 à esses 14 números obtemos 13 números compreendidos 
entre 100 e 200 que podem ser escritos na forma 7𝑞 + 5, pois o último número da lista, 196, será maior que 
200 quando somado 5. 
 
Questão 6: Usando o algoritmo de Euclides determine o 𝑚𝑑𝑐(990, 720). 
 
RESOLUÇÃO 
 
Se 𝑐 | 𝑎, então existe 𝑞 ∈ 𝑍 tal que 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑞. 
Se 𝑐 | 𝑏, então existe 𝑘 ∈ 𝑍 tal que 𝑎 = 𝑐 ∙ 𝑘. 
Assim temos: 
𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙ (𝑐 ∙ 𝑞) = 𝑐 ∙ (𝑚 ∙ 𝑞). 
𝑛 ∙ 𝑏 = 𝑛 ∙ (𝑐 ∙ 𝑘) = 𝑐 ∙ (𝑛 ∙ 𝑘). 
Então 
 𝑚𝑎 + 𝑛𝑏 = 𝑐(𝑚𝑞) + 𝑐(𝑛𝑘) = 𝑐(𝑚𝑞 + 𝑛𝑘). 
Logo 
 𝑐 | (𝑚𝑎 + 𝑛𝑏).