Aula5 Zeros de Funções Reais (2)

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Cálculo Numérico 
Prof. João Paulo do Vale Madeiro 
 
Disciplina: Métodos Computacionais 
 
Instituto de Engenharias e Desenvolvimento 
Sustentável 
Zeros de Funções Reais 
• As raízes de equações em geral aparecem 
continuamente na área de projetos de 
engenharia: 
 
Princípio Variáveis 
dependentes 
Variáveis 
independentes 
Leis de Kirchhoff Correntes e 
voltagens 
Tempo 
Leis de movimento 
de Newton 
Aceleração, 
velocidade ou 
posição 
Tempo e posição 
Balanço de calor Temperatura Tempo e posição 
Motivação 
• Raízes de equações e a prática da engenharia: 
 
 
.
2
4
0)(
0)(
2
2
a
acbb
x
cbxaxxf
b
c
x
cbxxf





Motivação 
• Raízes de equações e a prática da engenharia: 
 
 
 
???
25,1875,3125,275,25,3)(
???
1)(
2345
5
)/(
Raízes
xxxxxxf
Raízes
ve
c
gm
cf tmc



 
Motivação 
• Funções para as quais as raízes não podem ser 
determinadas tão facilmente: métodos 
computacionais; 
 
• Prever variáveis dependentes (estado ou 
desempenho), como função das variáveis 
independentes e parâmetros 
(propriedades/composição). 
Motivação (variáveis explícitas e 
implícitas) 
 :1)( )/( tmce
c
gm
tv 
v – variável dependente (velocidade); 
t – variável independente (tempo); 
g – constante gravitacional (termo 
forçante); 
c- coeficiente de arrasto (parâmetro); 
m – massa (parâmetro). 
Motivação: especificação de 
parâmetros 
• Determinar o parâmetro ‘c’ que permite a 
obtenção de um dado ‘v’ para um dado intervalo 
de tempo ‘t’; 
 
• Solução analítica inviável: não há maneira de 
reorganizar a equação de forma que c esteja 
isolado em um membro da equação; 
• O parâmetro c está implícito. 
 :1)( )/( tmce
c
gm
tv 
Objetivos 
• Dada uma função f(x), determinar os valores de x 
que tornam f(x) = 0; 
 
• Modelos padrões para localização de raízes: 
 
– Equações algébricas e transcendentais: determinar 
uma única raiz com base em sua localização 
aproximada; 
 
– Polinômios: determinação sistemática de todas as 
raízes reais/complexas. 
 
 
Objetivos 
• Muitos problemas de projeto de engenharia 
envolvem especificar as propriedades ou a 
composição do sistema para garantir que 
funcionem de maneira desejada; 
 
• Assim, uma solução viável é fornecida pelos 
métodos numéricos para raízes de equações: 
 
 
 
  ve
c
gm
cf tmc   )/(1)(
Fundamentos Matemáticos 
• Por definição, uma função dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) é 
algébrica se puder ser expressa na forma: 
 𝑓𝑛𝑦
𝑛 + 𝑓𝑛−1𝑦
𝑛−1 +⋯+ 𝑓1𝑦 + 𝑓0 = 0, 
 
em que 𝑓𝑖 é um polinômio de grau n em x. 
 
• Os polinômios são uma classe simples de funções 
algébricas: 
𝑓𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥
𝑛 
 
 
 
Fundamentos Matemáticos 
• Uma função transcendental é uma função que 
não é algébrica: trigonométricas, 
exponenciais, logarítmicas,... 
 
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥2 − 1 
𝑓 𝑥 = 𝑒−0,2𝑥𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − 0,5 
 
 
 
Fundamentos Matemáticos 
• As raízes das equações podem ser reais ou 
complexas; 
 
• Como consequência, os métodos padrão para 
localização das raízes tipicamente se dividem em 
duas áreas de problemas: 
 
– Determinação de raízes reais de equações algébricas e 
transcendentais; 
– Determinação de todas as raízes reais e complexas de 
polinômios. 
 
 
Fundamentos Matemáticos 
• A ideia central da primeira família de métodos 
é partir de uma aproximação inicial para a raiz 
e, em seguida, refinar essa aproximação 
através de um método iterativo: 
 
– Fase 1: Localização ou isolamento das raízes; 
 
– Fase 2: Melhoramento sucessivo até se obter uma 
aproximação para a raiz dentro de uma precisão 𝜀 
prefixada. 
 
 
Métodos Intervalares 
Métodos Intervalares 
• Um método simples para obter uma 
estimativa da raiz da equação 𝑓 𝑥 = 0 é 
fazer um gráfico da função e observar onde 
ela corta o eixo dos x (aproximação grosseira 
da raiz). 
Métodos Intervalares 
• Exemplo prático 
  ve
c
gm
cf tmc   )/(1)(
    tmce
c
gm
tv )/(1)(
Métodos Intervalares 
• Exemplo prático 
Métodos Intervalares 
• Marcando os pontos em um gráfico: 
Métodos Intervalares 
• A curva cruza o eixo c entre 12 e 16, e uma 
estimativa grosseira da raiz seria 14,75: 
Métodos Intervalares 
• Além de fornecer estimativas iniciais 
(grosseiras), as interpretações gráficas 
antecipam “armadilhas”: 
Métodos Intervalares 
• Em geral, se 𝑓 𝑥𝑙 e 𝑓 𝑥𝑢 têm sinais opostos, 
existe um número ímpar de raízes no 
intervalo; 
 
• Se 𝑓 𝑥𝑙 e 𝑓 𝑥𝑢 têm ambos o mesmo sinal, 
ou não existe nenhuma raiz ou existe um 
número par de raízes entre os valores. 
Métodos Intervalares 
• Exceções: 
 
 
Métodos Intervalares 
• As exceções correspondem aos casos em que 
funções são tangentes ao eixo x ou que são 
funções descontínuas. 
 
• Ex: 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 − 2 𝑥 − 4 . 
Métodos Intervalares 
Métodos Intervalares 
• Sob as hipóteses de que 𝑓(𝑥𝑙) e 𝑓(𝑥𝑢) têm 
sinais opostos, se 𝑓′(𝑥) existir e preservar 
sinal em 𝑥𝑙 , 𝑥𝑢 , então este intervalo contém 
um único zero de 𝑓(𝑥); 
 
• Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5𝑒−𝑥 
 
 
x 0 1 2 3 4 5 
f(x) -5 -0,8394 0,7375 1,4831 1,9084 2,2024 
Métodos Intervalares 
• Analisando a tabela, vemos que 𝑓(𝑥) admite pelo 
menos um zero no intervalo (1, 2); 
 
• Para verificarmos se este zero é único, podemos 
analisar o sinal de 𝑓′ 𝑥 : 
𝑓′ 𝑥 =
1
2 𝑥
+ 5𝑒−𝑥 > 0. 
 
• Assim, podemos concluir que 𝑓(𝑥) admite um único 
zero em todo seu domínio de definição e este zero está 
no intervalo (1,2). 
 
 
 
 
 
Métodos Intervalares 
• Pressuposto: uma função tipicamente muda 
de sinal na vizinhança de uma raiz 
𝑓 𝑥𝑙 ∗ 𝑓 𝑥𝑢 < 0 ; 
 
• Duas estimativas iniciais, uma de cada lado da 
raiz, formando intervalo de isolamento; 
 
• Diferentes estratégias para diminuição da 
largura do intervalo. 
Métodos Intervalares 
• Os métodos de busca incrementais tiram 
vantagem dessa observação: a posição da 
mudança de sinal é identificada mais 
precisamente dividindo-se o intervalo em 
diversos subintervalos para localizar a mudança 
de sinal; 
 
• O processo é repetido e a estimativa da raiz é 
refinada dividindo-se os subintervalos em 
incrementos menores. 
Método da Bissecção 
• Tipo de busca incremental na qual o intervalo é sempre 
dividido na metade; 
 
• Se uma função muda de sinal em um intervalo, calcula-se o 
valor da função no ponto médio do intervalo da mudança 
de sinal; 
 
• A posição da raiz é determinada como sendo o ponto 
médio do subintervalo no qual a mudança de sinal ocorre; 
 
• Redefine-se o intervalo de busca de modo a propiciar 
buscas mais refinadas. 
Algoritmo 
• (1) Escolher as aproximações inferior (xl) e 
superior (xu): f(xl)*f(xu) < 0; 
 
• (2) Determinar a estimativa da raiz:𝑥𝑟 =
𝑥𝑙+𝑥𝑢
2
; 
 
• (3) Efetuar as verificações: 
• Caso f(xl)*f(xr) < 0, fazer xu = xr, e voltar ao passo 2; 
• Caso f(xu)*f(xr) < 0, fazer xl = xr, e voltar ao passo 2; 
• Caso f(xl)*f(xr) = 0, parar os cálculos, xr é a raiz. 
 
 
 
 
Algoritmo 
 
 
 
 
Algoritmo 
• Exemplo Prático: Cálculo da raiz da função 
𝑓 𝑐 =
𝑔𝑚
𝑐
1 − 𝑒− 𝑐/𝑚 𝑡 − 𝑣, usando os 
parâmetros 𝑡 = 10, 𝑔 = 9,8, 𝑣 = 40,𝑚 =
68,1. 
 
 
 
Algoritmo 
• O primeiro passo na bissecção é descobrir dois 
valores para a incógnita c que dê valores de 𝑓(𝑐) 
com sinais diferentes (12e 16); 
 
• Portanto, a estimativa inicial da raiz é: 𝑥𝑟 =
12+16
2
= 14. 
 
• Sendo o valor verdadeiro da raiz 𝛿 = 14,7802, o 
erro relativo percentual verdadeiro será de 
𝜀𝑡 = 5,3%. 
 
 
 
Algoritmo 
• A seguir, calcula-se o produto do valor da 
função no extremo inferior e no ponto médio: 
𝑓 12 . 𝑓 14 = 6,067. 1,569 = 9,517 > 0. 
 
Consequentemente, a raiz deve estar localizada 
entre 14 e 16: 
𝑥𝑟 =
14+16
2
= 15 ⇒ 𝜀𝑡 = 1,5% 
 
 
 
Algoritmo 
• O processo pode ser repetido para se obter estimativas 
refinadas: 
 
• 𝑓 14 . 𝑓 15 = 1,569 −0,425 = −0,666 
• 𝑥𝑟 =
14+15
2
= 14,5 ⇒ 𝜀𝑡 = 1,9%. 
 
• O erro verdadeiro não decresce com cada iteração, 
entretanto, o intervalo no qual a raiz está localizada é 
dividido na metade em cada passo do processo. 
 
 
 
 
 
Critério de parada 
• É necessária uma estimativa do erro que não 
dependa do conhecimento prévio da raiz (uso de 
um limitante superior): 
 
 
 
 
• Quando εa se torna menor do que um critério de 
parada pré-especificado 𝜀𝑠, param-se os cálculos. 
 
 
 
 
 
%100.
novo
r
velho
r
novo
r
a
x
xx 

Exemplo Prático 
• Seja a função f(c) abaixo: 
 
 
 
 
• Obter o valor da raiz pelo método da 
bissecção. 
 
 
 
 
 
  40138,667)( 146843,0   ce
c
cf
Exemplo Prático 
• Coeficiente de arrasto c necessário para que 
um paraquedista de massa m = 68,1 Kg 
tenha uma velocidade de 40 m/s depois de 
cair em queda livre por t = 10s. 
 
• Traça-se o gráfico da função para alguns 
pontos pré-selecionados. 
 
 
 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
• Identifica-se um intervalo inicial no domínio 
da função em que há mudança de sinal; 
 
• No caso específico, xl = 14 e xu = 15; 
 
• Aplica-se o algoritmo de refinamento de busca 
da raiz, usando como critério de parada εs = 
0,0001 (ou 0,01%). 
 
 
Método da Bissecção 
Método da Bissecção 
• Valores finais obtidos: 
 
– xr = 14,7803; 
– εa = 0,0066 %. 
 
 
Método da Bissecção 
• Comparação entre a evolução dos erros 
verdadeiro e estimado: 
 
Método da Bissecção 
• Maneiras pelas quais o intervalo pode 
delimitar a raiz: 
 
Método da falsa posição 
• Para o método da bissecção, na divisão do 
intervalo de 𝑥𝑙 a 𝑥𝑢 em metades iguais, não 
são levados em conta os módulos de 𝑓 𝑥𝑙 e 
𝑓 𝑥𝑢 . 
 
• Por exemplo, se 𝑓 𝑥𝑙 estiver muito mais 
próximo de zero do que 𝑓 𝑥𝑢 , é provável que 
a raiz esteja mais próxima de 𝑥𝑙 do que de 𝑥𝑢. 
Método da falsa posição 
• Dados os pontos (xl,f(xl)) e (xu,f(xu)), situados 
abaixo (ou acima) e acima (ou abaixo) do eixo 
x: 
 
– Constrói-se uma reta interligando tais pontos; 
 
– A interseção da reta com o eixo x representa uma 
estimativa melhorada da raiz. 
Método da falsa posição 
• Descrição gráfica: 
Método da falsa posição 
• Usando semelhança de triângulos: 
•
𝑓(𝑥𝑙)
𝑥𝑟−𝑥𝑙
=
𝑓(𝑥𝑢)
𝑥𝑟−𝑥𝑢
⇒ 𝑓 𝑥𝑙 . 𝑥𝑟 − 𝑥𝑢 =
𝑓 𝑥𝑢 . 𝑥𝑟 − 𝑥𝑙 
 
• 𝑥𝑟 𝑓 𝑥𝑙 − 𝑓(𝑥𝑢) = 𝑥𝑢. 𝑓 𝑥𝑙 − 𝑥𝑙 . 𝑓(𝑥𝑢) 
• 𝑥𝑟 =
𝑥𝑢.𝑓(𝑥𝑙)
𝑓 𝑥𝑙 −𝑓(𝑥𝑢)
−
𝑥𝑙.𝑓 𝑥𝑢
𝑓 𝑥𝑙 −𝑓 𝑥𝑢
= 𝑥𝑢 −
𝑓(𝑥𝑢)(𝑥𝑙−𝑥𝑢)
𝑓 𝑥𝑙 −𝑓(𝑥𝑢)
 
Método da falsa posição 
Método da falsa posição 
• A estimativa melhorada, xR, da raiz é 
identificada pela expressão: 
 
 
 
• Após cada iteração, o valor de xR substitui xL 
ou xU, dependendo de qual forneça valor da 
função com o mesmo sinal de f(xR). 
 
  
   UL
ULU
UR
xfxf
xxxf
xx



Método da falsa posição 
• Exemplo Prático: usar o método da falsa 
posição para determinar a raiz da mesma 
equação investigada anteriormente. 
 
• Solução: Começar os cálculos com as mesmas 
aproximações 𝑥𝑙 = 12, 𝑥𝑢 = 16. 
Método da falsa posição 
• Primeira iteração: 
𝑥𝑙 = 12 ⇒ 𝑓 𝑥𝑙 = 6,0699 
𝑥𝑢 = 16 ⇒ 𝑓 𝑥𝑢 = −2,2688 
𝑥𝑟 = 16 −
−2,2688 12 − 16
6,0699 − −2,2688
= 14,9113 
𝜀𝑡 = 0,89% 
Método da falsa posição 
• Segunda iteração: 
Método da falsa posição 
Método da falsa posição 
Comparação dos erros relativos dos métodos da 
bissecção e da falsa posição: 
Método da falsa posição 
Casos em que a bissecção é preferível ao método 
da falsa posição: 𝑓 𝑥 = 𝑥10 − 1. 
Métodos Abertos 
• São baseados em fórmulas que exigem apenas 
um único valor inicial de 𝑥 ou dois valores iniciais 
que não delimitam necessariamente a raiz; 
 
• Algumas vezes divergem ou se afastam da raiz 
verdadeira à medida que os cálculos prosseguem; 
 
• Podem convergir mais rapidamente que os 
métodos intervalares. 
Iteração de ponto fixo simples 
• Reescreve-se a equação f(x) = 0 de modo que x 
esteja isolado no lado esquerdo da equação: x = 
g(x); 
 
• Pode-se conseguir esta transformação ou por 
manipulação algébrica ou simplesmente 
somando x em ambos os lados da equação: 
• 𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 =
𝑥2+3
2
; 
• 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑥. 
Iteração de ponto fixo simples 
• Obedecidas certas condições, a fórmula 
permite obter uma nova estimativa xi+1 a 
partir da iteração anterior xi: 
𝑥𝑖+1 = 𝑔 𝑥𝑖 . 
 
• O erro aproximado pode ser determinado 
usando-se o estimador: 
𝜀𝑎 =
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1
. 100% 
Iteração de ponto fixo simples 
• Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥; 
 
• Para o cálculo da raiz 𝑓 𝑥 = 0 , a função 
pode ser separada e expressa na forma: 
𝑥 = 𝑒−𝑥; 
 
• Deriva-se a fórmula iterativa: 
𝑥𝑖+1 = 𝑒
−𝑥𝑖 . 
 
 
Iteração de ponto fixo simples 
• Começando com uma aproximação inicial 
𝑥0 = 0, a equação iterativa pode ser usada 
para calcular: 
 
 
Iteração de ponto fixo simples 
• Cada iteração traz o valor estimado para mais 
perto do valor verdadeiro: 0,56714329; 
 
• Erro relativo percentual verdadeiro 
aproximadamente proporcional ao erro da 
iteração anterior: convergência linear; 
 
• Quando ocorrerá a convergência ? E a 
divergência ? 
 
 
Iteração de ponto fixo simples: 
abordagem gráfica 
• Uma abordagem gráfica alternativa é separar a 
equação em duas componentes: 𝑦1(𝑥) e 𝑦2 𝑥 . 
 
• Seja a função f(x) = e-x-x. Podemos separá-la em 
y1(x) = x, 
y2(x) = e
-x. 
 
• A raiz de f(x) corresponde ao ponto de interseção 
das duas curvas: 𝑦1(𝑥) e 𝑦2 𝑥 . 
 
 
Gráfico inicial 
Iteração de ponto fixo simples: 
abordagem gráfica 
• Os seguintes valores podem ser calculados: 
 
 
 
 
 
 
• A interseção das duas curvas indica a raiz em 
aproximadamente 𝑥 = 0,57. 
 
 
Iteração de ponto fixo simples: 
abordagem gráfica 
• Algoritmo: 
– 1ª iteração – A aproximação inicial x0 é usada para 
determinar o ponto correspondente na curva 𝑦2: (x0,g(x0)). 
O ponto 𝑥1, 𝑥1 é localizado movimentando-se o ponto 
marcado horizontalmente até a curva y1(x) → x1 = g(x0); 
 
– 2ª iteração - Movimenta-se o ponto marcado até a curva 
y2(x) para determinar (x1,g(x1)). O ponto 𝑥2, 𝑥2 é 
localizado movimentando-se o ponto marcado até a curva 
y1(x) → x2 = g(x1); 
 
– [...] 
 
 
 
 
 
Gráfico das iterações 
Iteração de ponto fixo simples: 
abordagem gráfica 
• A função 𝑦1 𝑥 = 𝑥 e quatro formas 
diferentes para 𝑦2 𝑥 = 𝑔 𝑥 : 
 
 
 
 
 
Iteração de ponto fixo simples: 
abordagem gráfica 
• A função 𝑦1 𝑥 = 𝑥 e quatro formas 
diferentes para 𝑦2 𝑥 = 𝑔 𝑥 : 
 
 
 
 
 
Iteração de ponto fixo simples: 
abordagem gráfica• A convergência ocorre quando as estimativas 
de x aproximam-se da raiz (ponto de 
interseção) a cada iteração; 
 
• Pode ser demonstrado que a convergência 
apenas ocorre quando o valor absoluto da 
inclinação de 𝑦2 = 𝑔(𝑥) é menor do que a 
inclinação de 𝑦1 = 𝑥, isto é, quando 
𝑔′(𝑥) < 1, na região de interesse. 
 
 
 
 
Iteração de ponto fixo simples: 
abordagem gráfica 
• Demonstração: 
A equação iterativa é: 𝑥𝑖+1 = 𝑔(𝑥𝑖); 
Suponha que a solução verdadeira seja: 
𝑥𝑟 = 𝑔 𝑥𝑟 . 
 
Subtraindo-se as duas equações: 𝑥𝑟 − 𝑥𝑖+1 =
𝑔 𝑥𝑟 − 𝑔(𝑥𝑖). 
 
 
 
 
Iteração de ponto fixo simples: 
abordagem gráfica 
• De acordo com o teorema do valor médio para 
derivadas, se 𝑔(𝑥) e sua derivada forem 
contínuas no intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, existe pelo 
menos um valor 𝜉 dentro do intervalo, tal que: 
 
• 𝑔′ 𝜉 =
𝑔 𝑏 −𝑔(𝑎)
𝑏−𝑎
. 
 
• Então podemos escrever: 𝑔 𝑥𝑟 − 𝑔 𝑥𝑖 =
𝑥𝑟 − 𝑥𝑖 . 𝑔
′ 𝜉 = 𝑥𝑟 − 𝑥𝑖+1. 
 
 
 
 
Iteração de ponto fixo simples: 
abordagem gráfica 
• Se denominarmos o erro verdadeiro para a 
iteração i de 𝐸𝑡,𝑖 = 𝑥𝑟 − 𝑥𝑖, então: 
• 𝐸𝑡,𝑖+1 = 𝑥𝑟 − 𝑥𝑖+1 ⇒ 𝐸𝑡,𝑖+1 = 𝑔
′ 𝜉 . 𝐸𝑡,𝑖. 
 
• Consequentemente, se 𝑔′(𝜉) < 1, os erros 
diminuem a cada iteração. 
 
 
 
 
Iteração de ponto fixo simples 
• Critério de parada semelhante ao utilizado nos 
métodos anteriores (εa < εs): 
 
 
 
• Condição para convergência na região das 
iterações: 
%100.
novo
r
velho
r
novo
r
a
x
xx 

1
)(2 
dx
xdy
Método de Newton-Raphson 
• Considerando xi uma aproximação inicial da 
raiz, estende-se uma reta tangente a f(x) a 
partir do ponto [xi,f(xi)]; 
 
• O ponto onde essa tangente cruza o eixo x 
representa uma estimativa melhorada da raiz. 
Método de Newton-Raphson 
• Descrição do método de Newton-Raphson: 
Método de Newton-Raphson 
Método de Newton-Raphson 
• Seja f ’(xi) a derivada de f(x) no ponto [xi,f(xi)], 
então: 
 
.
)('
)(
,
)('
)(
,
0)(
)('
1
1
1
i
i
ii
i
i
ii
ii
i
i
xf
xf
xx
xf
xf
xx
xx
xf
xf








Método de Newton-Raphson 
• Além da dedução geométrica, o método pode 
ser deduzido a partir da expansão em série de 
Taylor: 
 
 
• Após truncamento até o termo de 1ª ordem: 
 
 
 .)(')()(
.
!2
)(
))((')()(
11
2
1
''
11
iiiii
iiiiiii
xxxfxfxf
xx
f
xxxfxfxf





Método de Newton-Raphson 
• Na interseção com o eixo x, busca-se f(xi+1)=0: 
 
 
• Tal expressão é equivalente ao Método de 
Newton-Raphson: 
 
 .)(')(0 1 iiii xxxfxf  
.
)(
)(
'1
i
i
ii
xf
xf
xx 
Método de Newton-Raphson 
• A discrepância entre xi+1 e o valor verdadeiro xr deriva-
se, a partir da série de Taylor, como: 
 
 
 
 
 
 
• O erro atual é aproximadamente proporcional ao 
quadrado do erro anterior: convergência quadrática. 
 
 
2
,1,
11,
)('2
)("
;
it
r
r
it
irit
E
xf
xf
E
xxE





Método de Newton-Raphson 
• Demonstração: 
• Se a série de Taylor completa fosse usada, o 
resultado exato seria obtido: 
 
• 𝑓 𝑥𝑟 = 0 = 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑓
′ 𝑥𝑖 𝑥𝑟 − 𝑥𝑖 +
𝑓′′ 𝜉
2!
𝑥𝑟 − 𝑥𝑖 ². 
 
• Subtraindo a equação acima pela equação do 
Método de Newton-Raphson, obtemos: 
 
 
 
Método de Newton-Raphson 
• Demonstração: 
• 0 = 𝑓′ 𝑥𝑖 𝑥𝑟 − 𝑥𝑖+1 +
𝑓′′(𝜉)
2!
𝑥𝑟 − 𝑥𝑖 ² 
• 𝐸𝑡,𝑖+1 = 𝑥𝑟 − 𝑥𝑖+1 
• 0 = 𝑓′ 𝑥𝑖 . 𝐸𝑡,𝑖+1 +
𝑓′′(𝜉)
2!
𝐸𝑡,𝑖
2 
• 𝐸𝑡,𝑖+1 = −
𝑓′′(𝜉)
2𝑓′(𝑥𝑖)
𝐸𝑡,𝑖
2 
 
Método de Newton-Raphson 
• Se supusermos a convergência, 𝜉 → 𝑥𝑟 , 𝑥𝑖 → 𝑥𝑟: 
• 𝐸𝑡,𝑖+1 = −
𝑓′′(𝑥𝑟)
2𝑓′(𝑥𝑟)
𝐸𝑡,𝑖
2 
 
• Tal expressão implica que o erro é 
aproximadamente proporcional ao quadrado do 
erro anterior: o número de casas decimais 
corretas aproximadamente dobra a cada iteração. 
 
• Convergência quadrática. 
 
Método de Newton-Raphson 
• Exemplo prático: use o método de Newton-
Raphson para fazer uma estimativa da raiz de 
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥, utilizando uma aproximação 
inicial 𝑥0 = 0. 
Método de Newton-Raphson 
• Solução: 
Convergência: f(x) = e-x-x 
• xr = 0,5671. 
 
 
Método da Secante 
• Problema em potencial no Método de 
Newton-Raphson: cálculo da derivada, que 
pode ser difícil ou inconveniente para calcular; 
 
• Aproximação da derivada por diferença 
dividida regressiva: 
.
)()(
)('
1
1
ii
ii
i
xx
xfxf
xf





Método da Secante 
• Aproximação da derivada por diferença 
dividida regressiva: 
Método da Secante 
• Substituindo-se a aproximação obtida na 
expressão do Método de Newton-Raphson, 
obtém-se a fórmula do método da Secante: 
 
 
 
 
• Método exige duas estimativas iniciais de xr! 
 
 
   ii
ii
iii
xfxf
xx
xfxx






1
1
1 .
Método da Secante 
• A reta que interliga os pontos 𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖) e 
𝑥𝑖−1, 𝑓(𝑥𝑖−1) toca o eixo x em 𝑥𝑖+1: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⇒ 
𝑎 =
𝑓 𝑥𝑖−1 −𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖−1−𝑥𝑖
𝑏 =
𝑥𝑖−1𝑓 𝑥𝑖 −𝑥𝑖𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑥𝑖−1−𝑥𝑖
 
𝑎𝑥𝑖+1 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑥𝑖+1
= 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖 .
𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖
𝑓 𝑥𝑖−1 − 𝑓(𝑥𝑖)
 
Método da Secante 
• Exemplo Prático: Use o método da secante 
para fazer uma estimativa da raiz de 
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥. Comece com as estimativas 
iniciais de 𝑥−1 = 0 e 𝑥0 = 1. 
 
 
Método da Secante 
• Solução: 
 
Método da Secante 
• Solução: 
 
Método da Secante 
• Solução: 
 
Convergência: f(x) = e-x-x 
• xr = 0,5671. 
 
 
Métodos Abertos 
• Comparação de convergência dos erros 
relativos percentuais verdadeiros para a 
determinação das raízes de 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 − 𝑥: