Lista de Algebra Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
CENTRO DE CEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Primeira Lista de Exerc´ıcios
Nome:
Matr´ıcula:
01. Verifique se os seguintes conjuntos, munidos com as operac¸o˜es dadas for-
mam um espac¸o vetorial:
(a) V = {(x, y, z, w) ∈ R4 / x = y, z = w2} com as operac¸o˜es usuais.
(b) V = {X ∈ Mn×1(R) / AX = 0, ondeA ∈ Mn×n(R)} com as
operac¸o˜es usuais.
(c) V = {f : R → R / f(0) = 0}, onde (f + g)(x) = f(x) + g(x) e
(kf)(x) = kf(x), onde k e´ uma constante.
(d) V = {(x, y, z) ∈ R3 / x+ y ∈ Q} com as operac¸o˜es usuais.
02. Determine os vetores u, v ∈ R4 sabendo que as coordenadas de u sa˜o todas
iguais, a u´ltima coordenada de v e´ igual a 3 e u+ v = (1, 2, 3, 4).
03. Dados u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 0) e w = (2, 0, 0), ache nu´meros α, β e γ tais
que αu+ βv + γw = (1, 1, 1).
04. Sejam u = (x1, x2, ..., xn) e v = (y1, y2, ..., yn) vetores em Rn. prove que
um deles e´ mu´ltiplo do outro se, e somente se, xiyj = xjyi para quaisquer
i, j = 1, ..., n.
05. Defina u ∗ v = 12u+ 12v. Prove que (u ∗ v) ∗ w = u ∗ (v ∗ w) se, e somente
se, u = w.
06. Sejam E1 e E2 espac¸os vetoriais com operac¸o˜es +1 e +2 respectivamente.
Mostre que E1 × E2 e´ um espac¸o vetorial, onde
(x, p) + (y, q) = (x+1 y, p+2 q)
.
07. Sejam u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 1) e w = (−3, 2, 7) em R3, obtenha nu´meros
α, β tais que w = αu+ βv. Quantas soluc¸o˜es admite esse problema.
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08. Exiba 3 vetores u, v, w ∈ R3 com as seguintes propriedades: nenhum deles
e´ mu´ltiplo do outro, nenhuma das coordenadas e´ igual a zero e R3 na˜o pe
gerado por eles.
09. Exprima o vetor (1,−3, 10) como combinac¸a˜o linear de u = (1, 0, 0), v =
(1, 1, 0) e w = (2,−3, 5).
10. Escreva a matriz d =
[
4 −4
−6 16
]
pode ser escrita como combinac¸a˜o
linear das matrizes
a =
[
1 2
3 4
]
, b =
[ −1 2
3 −4
]
e c =
[
1 −2
−3 4
]
.
11. Quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais?
(a) X ⊂ R3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que z = 3x e x = 2y.
(b) Y ⊂ R3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que xy = 0.
(c) O conjunto Z das matrizes 2× 3 nas quais alguma coluna e´ formada
por elementos iguais.
(d) O conjunto dos vetores v ∈ R5 que teˆm 2 ou mais coordenadas nulas.
12. Exiba uma base de cada um dos subespac¸os do R4 abaixo:
(a) {(x1, x2, x3, x4)/x1 = x2 = x3 = x4}
(b) {(x1, x2, x3, x4)/x1 = x2 e x3 = x4}
(c) {(x1, x2, x3, x4)/x1 = x2 = x3}
(d) {(x1, x2, x3, x4)/x1 + x2 + x3 + x4 = 0}
13. Mostre que u = (1, 1) e v = (1− 1) formam uma base do R2.
14. Mostre que u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1) e (2, 1, 2) sa˜o L.D..
15. Mostre que se A,B : E → F sa˜o transformac¸o˜es lineares e α e´ um nu´mero
real, enta˜o A+B e αA sa˜o transformac¸o˜es lineares.
16. Obtenha a matriz das seguintes transformac¸o˜es lineares:
(a) T (x, y, z) = (2x, x− y, z − y)
(b) T (x, y) = (−y, x)
(c) T (x, y) = 4xe1 + 3ye2 + (x− y)e3
(d) T (−1, 1) = ((1, 2, 3) e T (2, 3) = (1, 1, 1)
17. Determine o nu´cleo e a imagem das tranformac¸o˜es lineares do exerc´ıcio
anterior.
18. Calcule o produto escalar 〈u, v〉 e vetorial u× v dos seguintes vetores:
(a) u = (1, 2, 3), v = (−1, 0, 3)
(b) u = (1, 0, 1), v = (1, 1, 1)
(c) u = (−4,−1, 1), v = (−1, 0,−2)
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