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1 FIS 191 INTRODUÇÃO A MECÂNICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA 2 ÍNDICE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA ----------------------------------------------------------------------- 03 EQUÇÃO DO SEGUNDO GRAU--------------------------------------------------------------------------------------- 03 TRIÃNGULO RETÂNGULO--------------------------------------------------------------------------------------------- 04 CAPÍTULO 1- VETORES ---------------------------------------------------------------------------------------- 06 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 06 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 10 CAPÍTULO 2- MOVIMENTO RETILÍNEO ------------------------------------------------------------------- 12 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 23 CAPÍTULO 3- MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÒES------------------------------------- 28 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 28 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 39 CAPÍTULO 4- LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO ---------------------------------------------------- 41 CAPÍTULO 5- APLICAÇÕES DASLEIS DE NEWTON -------------------------------------------------- 41 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 41 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 62 CAPÍTULO 6- TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA ------------------------------------------------------ 69 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 69 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 74 CAPÍTULO 7- ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA ------------------------ 76 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 76 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 85 CAPÍTULO 8- MOMENTO LINEAR, IMPULSO E COLISÕES ----------------------------------------- 88 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 88 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 99 CAPÍTULO 11- EQUILÍBRIO ------------------------------------------------------------------------------------ 101 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ------------------------------------------------------------------------------------------ 101 EXERCÍCIOS PROPOSTOS------------------------------------------------------------------------------------------- 114 3 1. Equação do Segundo Grau: Uma equação quadrática ou equação do segundo grau é uma equação polinomial de grau dois. A forma geral deste tipo de equação é: , onde x é uma variável, sendo a, b e c constantes, com a ≠ 0 (caso contrário, a equação torna-se linear). As constantes a, b e c, são chamadas respectivamente de coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante ou termo livre. A variável x representa um valor a ser determinado, e também é chamada de incógnita. A equação quadrática é, antes de tudo, um polinômio do segundo grau, isto é, tem como termo de maior grau (valor do expoente mais alto) um termo de expoente 2. A definição "a diferente de zero (a ≠ 0)" é o que caracteriza a equação de segundo grau, visto que a incógnita é diretamente multiplicada pelo coeficiente a, e portanto se a fosse igual a zero, anular-se-ia o e assim a equação passaria a ser linear. Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução: Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara. Na fórmula acima, a expressão que aparece sob a raiz quadrada é chamada de discriminante da equação quadrática, e é comumente denotada pela letra grega delta maiúsculo: Dessa forma, pode-se reescrever a fórmula resumidamente como: Uma equação quadrática com coeficientes reais tem duas raízes reais, ou então duas raízes complexas. O discriminante da equação determina o número e a natureza das raízes. Há apenas três possibilidades: (Lembrando que todo polinômio de grau n, tem n raízes; Como uma equação do 2º grau é de grau 2, logo ela possui duas raízes.) Se a equação tem duas raízes reais distintas. No caso de equações quadráticas com coeficientes inteiros, se o discriminante for um quadrado perfeito, então as raízes são números racionais — em outros casos eles podem ser irracionais. Se a equação tem duas raízes reais e iguais, ou popularmente "uma única raiz", algumas vezes chamada de raiz dupla: Se a equação não possui qualquer raiz real. Em vez disso, ela possui duas raízes complexas distintas, que são conjugadas uma da outra: e onde i é a unidade imaginária. REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA 4 Assim as raízes são distintas se e somente se o discriminante é não nulo, e são reais se e somente se o discriminante é não-negativo. Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau: 1) Encontre as raízes da equação: 2x2 - 6x - 56 = 0 Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos: Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos para ∆ o valor 484, que é maior que zero. Logo: As raízes da equação 2x2 - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7. Fonte de pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_quadr%C3%A1tica http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoSegundoGrau.aspx 2. Triângulo retângulo: Triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo que possui um ângulo reto (90°) e outros dois ângulos agudos, e (Figura 1), e a soma dos três ângulos internos é igual a um ângulo raso (180°). É uma figura geométrica muito usada na matemática, no cálculo de áreas, volumes e no cálculo algébrico. Em um triângulo retângulo, sabendo-se as medidas de dois lados ou a medida de um lado mais a medida de um ângulo agudo, é possível calcular a medida dos demais lados e ângulos. A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos menores lados (ab/2). A relação entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria. 2.1 . Teorema de Pitágoras: O Teorema de Pitágoras diz que: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. — Pitágoras ou, em linguagem matemática, baseado na Figura 1: hipotenusa (c)² = cateto (a)² + cateto (b)² Figura 1: Exemplo de um triângulo retângulo. 5 2.2 . Relações trigonométricas do triângulo retângulo: Outra maneira de calcular a medida dos lados de um triângulo retângulo é através da medida de um ângulo e um lado, usando a Trigonometria. As principais relações trigonométricas são: Seno, Cosseno e Tangente. 2.2.1. Seno deum ângulo É dado pela razão entre os lados que formam o outro ângulo agudo, dado pela ordem: Exemplo: Para o triângulo retângulo da Figura 1, teríamos: c asenθ e c bsen 2.2.2. Cosseno de um ângulo É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa e é dado pela razão entre os lados que formam o próprio ângulo agudo, dado pela ordem: Exemplo: Para o triângulo retângulo da Figura 1, teríamos: c bcosθ e c acos 2.2.3. Tangente de um ângulo É dada pela razão entre o Seno e o Cosseno de um ângulo, ou entre os catetos, dado pela seguinte ordem: Exemplo: Para o triângulo retângulo da Figura 1, teríamos: b atgθ e a btg Fonte de pesquisa: http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo 6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CAPÍTULO 1- VETORES 1. 2. 3. 7 4. 5. 8 6. 7. 9 8. 10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Um arco circular é centrado no ponto de coordenadas .0,0 yx (a) Uma estudante caminha ao longo desse arco da posição 0,5 ymx até uma posição final .5,0 myx Determine o vetor deslocamento da estudante. (b) Uma segunda estudante caminha da mesma posição inicial ao longo do eixo x para a origem e, em seguida, ao longo do eixo y para .05 xemy Qual é o vetor deslocamento da segunda estudante? 2. Para os dois vetores A e B mostrados na figura abaixo, cujos módulos são iguais a 2 m, determine o vetor resultante de: (a) BA , (b) BA , (c) BA 2 , (d) AB , (e) AB 2 . 3. Um vetor A possui módulo de 8 m e faz um ângulo de 37º acima do eixo x positivo; o vetor jˆ(5m) -iˆ3m)(B ; o vetor jˆ(3m)iˆ)6(C m . Determine os seguintes vetores: (a) CAD , (b) ABE , (c) BAF 2 , (d) um vetor G tal que GCABG 32 . 4. Uma roda de raio igual a 45,0 cm rola sem deslizar ao longo de um plano horizontal (Figura abaixo). No instante t1, o ponto P pintado na borda da roda está no ponto de contato entre a roda e o piso. Em um instante posterior t2, a roda girou meia volta. Quais são o módulo e a orientação do vetor deslocamento do ponto P durante este intervalo de tempo? 5. Um barco a vela navega 2 km para o leste, em seguida 4 km para o sudoeste e, então, navega uma distância adicional em uma direção desconhecida. A sua posição final é a 5 km diretamente a leste do ponto de partida. Determine o vetor deslocamento do trecho desconhecido. 6. Um explorador de cavernas anda ao longo de uma passagem de 100 m em direção ao leste, em seguida 50 m em uma direção a 37º a oeste do norte e, enfim, 150 m a 53º a oeste do sul. Após um quarto deslocamento não medido, ele se encontra no lugar onde iniciou o percurso. Determine o quarto vetor deslocamento. 45º 30º A (2m) B (2m) x y P P No instante t1 No instante t2 11 7. Três vetores A , B e C possuem as seguintes componentes nas direções x e y: Ax = 6 m, Ay = – 3 m; Bx = – 3 m, By = 4 m; Cx = 2 m, Cy = 5 m. (a) Expresse os vetores A , B e C em termos de vetores unitários i e j . (b) Determine o vetor resultante CBAR . (c) Determine o módulo do vetor resultante. (d) Determine a orientação do vetor resultante. 8. Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: (a) jiA ˆ3ˆ5 , (b) jiB ˆ7ˆ10 , (c) jiC ˆ7ˆ4 . RESPOSTAS 1. a) jir ˆ5ˆ5 NoroesteOrientação mrr ,º45: 07,7 b) jir ˆ5ˆ5 NoroesteOrientação mrr ,º45: 07,7 2. a) lestedonorteaOrientação mBA jiBA º5,7: 173,3 ˆ414,0ˆ146,3 b) oestedonorteaOrientação mBA jiBA º5,82: 435,2 ˆ414,2ˆ318,0 c) lestedonorteaOrientação mBA jiBA º4,21: 913,42 ˆ828,1ˆ56,42 d) lestedosulaOrientação mAB jiAB º5,82: 435,2 ˆ414,2ˆ318,0 e) lestedosulaOrientação mAB jiAB º59: 982,32 ˆ414,3ˆ05,22 3.a) lestedonorteaOrientaçãomD jiD º1,87:81,7 ˆ8,7ˆ4,0 b) oestedosulaOrientaçãomE jiE º9,70:4,10 ˆ8,9ˆ4,3 c) lestedonorteaOrientaçãomF jiF º5,88:81,14 ˆ8,14ˆ4,0 d) lestedosulaOrientaçãomG jiG º9,65:18,3 ˆ9,2ˆ3,1 4. jcmicmr ˆ)90(ˆ)3,141( lestedonorteaOrientaçãocmrr º5,32:5,167 5. lestedonorteaOrientaçãokmC jiC º9,25:48,6 ˆ83,2ˆ83,5 6. nordesteOrientaçãomD jiD ,º45:7,70 ˆ50ˆ50 7. a) jiC jiB jiA ˆ5ˆ2 ˆ4ˆ3 ˆ3ˆ6 b) jiR ˆ6ˆ5 c) mR 81,7 d) lestedonorteaOrientação º2,50: 8. oestedosulaOrientaçãoCc lestedosulaOrientaçãoBb lestedonorteaOrientaçãoAa º3,60:06,8) º35:21,12) º31:83,5) 12 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Dois carros A e B, movem-se no mesmo sentido. No instante t = 0, suas respectivas velocidades são v0 e 3v0 e suas respectivas acelerações são 2a e a. Se no instante t = 0 o carro A está uma distância D à frente do carro B, determine o(s) instante(s) em que eles estarão lado a lado. Expresse sua(s) resposta(s) em função de v0, a e D. CAPÍTULO 2- MOVIMENTO RETILÍNEO 0 0 XA XB D Carro A x0 (A) = D v0 (A) = v0 aA = 2a Carro B x0 (B) = 0 v0 (B) =3v0 aB = a A posição de uma partícula em movimento retilíneo com aceleração constante é dada por: 2 00 2 1 attvxx Para o carro A temos: 20 attvDxA , e para o carro B, 22103 attvxB . No(s) instante(s) em que os carros A e B estiverem lado a lado, xA = xB. 024 02 3 0 2 0 2 2 1 2 2 1 0 2 0 Dtvat Dtvat attvattvD As raízes da equação acima fornecerão os possíveis instantes em que os móveis estarão lado a lado. 024 0 2 Dtvat a aDvv a aDvv t a aDvv a aDvv t 242 2 2424 2 )2(84 2 8164 2 00 2 00 2 00 2 00 Para os casos em que 2042 vaD haverá dois instantes possíveis, t1 e t2, iguais a: a aDvv t a aDvv t 242 e 242 200 2 2 00 1 Para o caso em que 2042 vaD , o encontro ocorrerá no instante: a v t 0 2 . 13 2. Do alto do terraço de um edifício de altura H um objeto é arremessado verticalmente para cima, num local onde a aceleração da gravidade possui módulo g. Na descida ele passa rente ao edifício atingindo o solo com uma velocidade cujo módulo é v1. Determine, em função de v1, g e H, (a) a velocidade de lançamento do objeto; (b) o instante em que o objeto atinge o solo e (c) a velocidade do objeto no instante em que passa por um ponto localizado na metade da altura do edifício. 3. Um objeto é arremessado verticalmente para cima com velocidade de módulo 0v , num local onde a aceleração da gravidade possui um módulo igual a g. Determine (a) a posição e (b) os instantes em que a velocidade do objeto tem seu módulo reduzido à metade. Expresse suas respostas em termos de v0 e g. + x H v 0v 1v 0Considerando a origem do eixo x no solo e o sentido do movimento para cima como positivo podemos escrever: )3()(2 )2( )1( 2 1 2 0 2 0 2 0 Hxgvv gtvv gttvHx (a) Sabendo que o objeto atinge o solo (x = 0) com velocidade v = -v1 , usando a eq. (3) temos: gHvv gHvv gHvv Hgvv 2 2 2 )0(2)( 2 10 2 1 2 0 2 0 2 1 2 0 2 1 (b) Calculada a velocidade de lançamento e sabendo que o objeto atinge o solo com velocidade v = -v1, usando a eq. (2): 121 2 11 21 2 vgHv g t gtgHvv (c) Quando o objeto passa por um ponto localizado na metade da altura do edifício, x = H/2. Usando a eq. (3): gHvv gHvgHgHvv HHggHvv 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 22 0 + y 0v 1v 2v )3(2 )2( )1( 2 1 2 0 2 0 2 ygvv gtvv gttvy o 21 yyH (a) A velocidade do objeto terá o seu módulo reduzido a 2 0v nos instantes em que passar pela posição y1 = y2 = H, primeiramente subindo jvv ˆ 2 0 1 e, posteriormente, descendo )ˆ( 2 0 2 j vv . Substituindo v1 e v2 na equação (3), gyvv 220 2 temos: 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 4 3 4 122 2 vvvgHgHv v de tal forma que: g v H 8 3 20 (b) No primeiro instante t1, 2 0 1 vv e no instante t2, 2 0 2 vv . Substituindo v1 e v2 na equação (2), gtvv 0 , temos: g vtgtvv 22 0 110 0 e g vtgtvv 2 3 2 0 220 0 14 4. (a) Na Terra, onde a aceleração da gravidade é g, um objeto solto do repouso de uma certa altura, atinge o solo após um tempo t. Quanto tempo, um objeto solto do repouso num Planeta Z, onde o valor da aceleração da gravidade corresponde à metade do valor na Terra, gastaria para atingir o solo, tendo caído da mesma altura? Expresse sua resposta em termos de t. (b) Se o objeto solto na Terra atinge o solo com uma velocidade, cujo módulo é v, com que velocidade (em termos de v) o objeto solto no Planeta Z atinge o solo? g HtgtH attvyy 2 2 1 2 1 2 2 00 5. Uma pedra é arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifício de altura H. A pedra atinge o solo no instante t1 após o lançamento. A aceleração da gravidade local vale g. (Dados: H, t1 e g). a) Determine a velocidade de lançamento da pedra. 00 v v + y g Terra 00 v zv + y g 2 1 Planeta Z 0 0 H H t tz gtv atvv 0 tt g HttgH attvyy z zz 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 00 vvtgv atvv zz 2 22 2 1 0 (b) (a) 0 H 0v g +x A posição x da pedra em um instante t é dada por: 2 0 2 1 gttvHx Em t = t1 a posição da pedra é x = 0. 1 10 2 110 2 110 2 1 2 1 2 10 t Hgtv Hgttv gttvH 15 b) Determine a velocidade com que a pedra atinge o chão. c) um esboço dos gráficos tx , tv e ta referentes ao movimento da pedra desde o instante em que é arremessada até atingir o chão. 6. Uma bola é arremessada verticalmente de cima para baixo com uma velocidade de módulo 0v , do alto de um edifício cuja altura, acima do solo, é H. O módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine: (a) o instante após o arremesso que a bola atinge o solo; (b) a velocidade com que a bola atinge o solo. (c) Se a bola tivesse sido arremessada de baixo para cima, do mesmo local, com a mesma velocidade inicial 0v qual seria a sua velocidade ao atingir o solo? Em todos os itens, (a), (b) e (c) dê suas respostas em termos das grandezas H, g e 0v que se fizerem necessárias. Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo. t x v a t t A velocidade da pedra em um instante t é dada por: gtvv 0 No instante t = t1 a velocidade da pedra será: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 t Hgtv t Hgtv gt t Hgtv H t1 v0 t1 t1 -g 0 + x chão H 0v 1v t = 0 t1 Equações do movimento: )(2 2 1 2 0 2 0 2 0 Hxgvv gtvv gttvHx 16 7. Uma bola é arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifício cuja altura, acima do solo, é H. O módulo da aceleração da gravidade local é g. Na descida ela passa rente ao edifício por um ponto localizado a uma altura H/2 acima do solo no instante t1 após ter sido lançada. Determine: (a) o módulo da velocidade de lançamento (em função de H, g e t1); (b) a velocidade com que a bola atinge o solo (em função de H, g e t1). Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo. (a) Em 0,1 xtt g vgHv t g gHvv t g gHvv t g gHvv t Htvgt gttvH gttvH gttvHx 0 2 0 1 2 00 1 2 00 1 2 00 1 10 2 1 2 110 2 110 2 0 2 0 2 2 )2(42 2 842 022 220 2 10 2 1 (b) Em 1,0 vvx gHvv gHvv Hgvv Hxgvv 2 2 )0(2 )(2 2 01 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 2 (c) Da mesma forma que no item (b) a velocidade da bola em função da posição x da mesma será: )(220 2 Hxgvv Assim, ao chegar ao chão (x = 0) sua velocidade v2 também será: gHvv gHvv Hgvv Hxgvv 2 2 )0(2 )(2 2 02 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 + x chão H t = 0 Equações do movimento: ga v Hx ?0 0 )()( )( )( 32 2 1 2 1 2 0 2 0 2 0 Hxgvv gtvv gttvHx a) Em t = t1, x = H/2. Pela equação (1): 1 10 2 1 1 0 2 110 2 110 2 110 2 0 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 t Hgtv Hgt t v gtHtv gtHHtv gttvHH gttvHx b) Para x = 0, v = ? Pela equação (3): gH t Hgtv gH t Hgtv Hgvv Hxgvv 2 2 1 2 2 1 02 2 2 1 1 2 1 1 2 2 0 2 2 0 2 )( )( 17 8. Uma bola é arremessada verticalmente para cima, do alto de um edifício cuja altura, acima do solo, é H. O módulo da aceleração da gravidade local é g. Na descida ela passa rente ao edifício por um ponto localizado a uma altura H/2 acima do solo no instante t1 após ter sido lançada. Determine: (a) o módulo da velocidade de lançamento (em função de H, g e t1); (b) a velocidade com que a bola atinge o solo (em função de H, g e t1). Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo. 9. A posição de uma partícula varia com o tempo de acordo com a equação abaixo: 242020 ttx , ondex é medido em metros e t em segundos. (a) Determine a velocidade média da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2s. m)4(-220202)(t 20m0)(t 2 442 x x s/mv t xv 12 2 2044 (b) Determine a velocidade da partícula nos instantes t = 0 e t = 2s. 0 + x chão H t = 0 Equações do movimento: ga v Hx ?0 0 )3()(2 )2( )1( 2 1 2 0 2 0 2 0 Hxgvv gtvv gttvHx b) Em t = t1, x = H/2. Pela equação (1): 1 10 2 1 1 0 2 110 2 110 2 110 2 0 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 t Hgtv Hgt t v gtHtv gtHHtv gttvHH gttvHx c) Para x = 0, v = ? Pela equação (3): gH t Hgtv gH t Hgtv Hgvv Hxgvv 2 2 1 2 2 1 )0(2 )(2 2 1 1 2 1 1 2 2 0 2 2 0 2 18 tv tt dt d dt dxv 820 42020 2 )( (c) Determine a aceleração média da partícula entre os instantes t = 0 e t = 2s. 2 02 8 2 204 s/ma t vv t va (d) Faça um esboço dos gráficos tx , tv e ta referentes ao movimento da partícula, do instante t = 0 até a partícula chegar à origem de sua trajetória. s/mtv s/mtv 428202 200 )( )( + a (m/s2) t(s) + x (m) t (s) t(s) + v (m/s) 20 20 -8 242020 ttx tv 820 28 sma / 19 10. O gráfico abaixo representa aproximadamente a velocidade de um atleta em função do tempo em uma competição olímpica. (a) Faça um esboço do gráfico Posição x Tempo. Em t = 0, x0 = 0. 11. Em certo planeta Z, no qual se pode desprezar a resistência do ar, um astronauta mede o tempo t1 que uma pedra leva para atingir o solo, após ser arremessada verticalmente para cima da borda de um precipício com velocidade cujo módulo é v0. Sabendo que o módulo da velocidade da pedra ao atingir o solo é o dobro da velocidade de lançamento determine: (a) o módulo da aceleração da gravidade no planeta Z e (b) a altura do precipício. (c) Faça um esboço do gráfico da posição x tempo desde o instante do lançamento até o instante em que a pedra toca o solo. (Dados: t1 e v0). 0 + x x t 0v (c) 02v t = t1 t = 0 H H t1 0 (b) Em que intervalo de tempo o módulo da aceleração tem o menor valor? Determine-o. O menor valor da aceleração ocorre no intervalo de tempo de 6 a 16 s. Não há variação da velocidade, portanto, a aceleração é nula. (c) Em que intervalo de tempo o módulo da aceleração é máximo? Determine-o. A maior variação de velocidade por unidade de tempo ocorre no intervalo de tempo de 0 a 6 s. 2/2 06 012 sm t va (d) Qual é o deslocamento do atleta durante os 18s? mxxxÁreax 178 2 2)1210(1210 2 126"" (e) Qual a velocidade média do atleta durante a competição? sm s m t xv /89,9 18 178 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 16 20 Tempo (s) Ve lo ci da de (m /s ) 18 P os iç ão (m ) Tempo (s) 6 16 18 20 Equações do movimento: )3()(2 )2( 2 1 )1( 2 0 2 2 0 0 Hxavv tatvHx tavv Z Z Z No instante t = t1 , v = – 2v0. Pela Equação (1): 1 0 01 100 3 3 2 t va vta tavv Z Z Z No instante t = t1 , x = 0. Pela equação (2): 10 1010 1010 2 1 1 0 10 2 1 2 3 2 3 3 2 10 tvH tvtvH tvtvH t t v tvH 12. (a) A afirmativa a seguir faz sentido? “A velocidade média de um veículo às 9h da manhã era de 60 km/h.”. Explique. NÃO. Quando se refere a velocidade média isso compreende um determinado intervalo de tempo e não um instante como na afirmativa acima. (b) “É possível um corpo possuir ao mesmo tempo velocidade nula e aceleração não nula?” Explique. SIM. Como exemplo, um objeto em queda livre vertical, quando se encontra no ponto mais alto da trajetória possui velocidade nula e aceleração diferente de zero (a = -g). (c) “É possível um objeto reduzir a velocidade enquanto o módulo de sua aceleração cresce?” Explique. SIM. Desde que a aceleração seja contrária à velocidade. (d) “É possível um carro ter uma velocidade orientada para o oeste e uma aceleração orientada para o leste?” Explique. SIM. Neste caso o carro estaria freando. (e) “É possível ter deslocamento nulo e velocidade média diferente de zero?” Explique. NÃO. A velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o intervalo de tempo gasto para deslocar. Sendo o deslocamento nulo, a velocidade média também será. 21 13. Considere o gráfico da velocidade de um objeto, em movimento retilíneo, mostrado na figura abaixo. Admitindo que em t = 0, x = 0. (c) Determine a velocidade média no intervalo de 0 a 10 s. 0)0( 0400400)10(410.40)10( 440 2 2 tx stx ttx 0 10 00 010 010 xx t xvm (d) Faça os gráficos a x t e x x t para o intervalo de 0 a 10 s. (a) Determine a aceleração do objeto. 2 0 /8 1080 10.4040 sma a a atvv (b) Escreva as equações do movimento, x (t) e v(t). 2 00 /8,/40,0 smasmvx 2 2 00 440 2 1 ttx attvxx tv atvv 840 0 v (m/s) t (s) 40 - 40 10 0 a (m/s2) x (m) t (s) t (s) -8 10 10 0 0 100 5 22 14. Para medir a aceleração da gravidade em um planeta W, uma pesquisadora atira uma pedra, da superfície do planeta, de baixo para cima, com uma velocidade de 8 m/s. A pedra atinge uma altura máxima de 16 m. Desprezando a influência da atmosfera do planeta sobre o movimento da pedra determine: (a) a aceleração da gravidade no planeta W; (b) o tempo que a pedra gasta para retornar à superfície e (c) a velocidade da pedra ao atingir a superfície do planeta. (a) v = 0 em x = 16 m v2 = 64 – 2gWx 0 = 64 – 2gW(16) 32gW = 64 gW = 64/32 = 2 m/s2 st t t tv 4 82 280 28 Tempo total de movimento tTotal = 2t tTotal = 2 x 4 tTotal = 8 s smv v tv /8 8.28 28 Equações do movimento: Wgasmvx ,/8,0 00 xgv tgv tgtx W W W 264 8 2 18 2 2 + x 0 0v v = 0 Hmáx (b) Tempo para atingir a altura máxima (c) Velocidade ao retornar à superfície do planeta 23 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Quando necessário use g = 10 m/s². 1. Um automóvel se desloca com velocidade constantede 23 m/s. Suponha que o motorista feche os olhos (ou que olhe para o lado) durante 2 s. Calcule o deslocamento do veículo do automóvel neste intervalo de tempo. 2. Não confunda velocidade média com a média de um conjunto de velocidades (média das velocidades). Calcule a velocidade média de uma atleta nos seguintes casos: (a) A atleta anda 150 m com velocidade de 1,5 m/s e depois corre 100 m com velocidade de 4 m/s ao longo de uma pista retilínea. (b) A atleta anda 2 minutos com velocidade de 1,5 m/s e a seguir corre durante 3 minutos com velocidade de 4,5 m/s ao longo de um caminho em linha reta. 3. O limite de velocidade numa rodovia é alterado de 100 km/h para 80 km/h. Se um automóvel levava um tempo t para deslocar uma distância x com velocidade constante de 100 km/h, quanto tempo levará o automóvel para deslocar a mesma distância x com velocidade constante de 80 km/h? 4. Um trem se desloca com velocidade constante, de oeste para leste, sendo o módulo do vetor velocidade igual a 60 km/h durante 50 minutos. A seguir toma uma direção nordeste, com a velocidade de mesmo módulo da anterior, durante 30 minutos. Finalmente, mantendo a velocidade constante em módulo, segue para o oeste, durante 10 minutos. Determine o vetor velocidade média do trem durante todo o percurso. 5. Um automóvel se desloca numa estrada retilínea e sua velocidade aumenta de 5 m/s até 15 m/s num intervalo de tempo de 20 s. A seguir sua velocidade passa de 15 m/s para 35 m/s num intervalo de tempo de 80 s. Calcule o módulo da aceleração média: (a) na primeira etapa do percurso, (b) na segunda etapa do percurso. (c) Calcule a média aritmética das acelerações obtidas nos itens anteriores. (d) Calcule a aceleração média do percurso total, isto é, desde o momento inicial (v0 = 5 m/s) até o instante final (v = 35 m/s). 6. As figuras (a) e (b) abaixo mostram gráficos da posição x em função do tempo t para uma partícula em movimento retilíneo. (a) Em que ponto ou pontos existe mudança brusca do valor da velocidade? (b) Indique, para cada intervalo, se a velocidade é (+), (–) ou zero e se a aceleração é (+), (–) ou zero. 7. A figura abaixo mostra o gráfico da posição x em função do tempo t para uma partícula em movimento retilíneo. Esboce os gráficos da velocidade e da aceleração em função do tempo. 24 8. Um veículo é impulsionado por um foguete e desliza sobre um trilho retilíneo. Este veículo é usado para verificação experimental dos efeitos fisiológicos das grandes acelerações sobre seres vivos. Partindo do repouso, este veículo pode atingir uma velocidade de 1800 km/h em 2 segundos. (a) Admita que a aceleração seja constante e compare o valor número desta aceleração com o valor da aceleração da gravidade g. (b) Calcule o deslocamento do veículo neste intervalo de tempo. 9. Duas estações de trem estão separadas por uma distância de 3,6 km. Um trem, partindo do repouso de uma das estações, sofre uma aceleração constante de 1,0 m/s² até atingir 2/3 do percurso entre as estações. A seguir o trem desacelera até atingir a outra estação com velocidade nula. Determine: (a) a velocidade máxima do trem atingida na primeira etapa do percurso, (b) o módulo da desaceleração durante a diminuição da velocidade na segunda etapa do percurso, (c) o tempo total gasto durante o percurso entre as duas estações. (d) Faça os gráficos da posição x tempo, velocidade x tempo e aceleração x tempo para o movimento do trem, do início ao fim do percurso. 10. Suponha que um advogado contrate você para opinar sobre um problema relacionado com a física, surgido em um dos seus casos. A questão seria saber se um motorista excedeu ou não a velocidade limite de 60 km/h, antes de fazer uma parada de emergência ao aplicar os freios do veículo. As marcas do pneu na estrada, produzidas pelo deslizamento das rodas, tinham um comprimento de 8,0 m. O inspetor fez o cálculo da velocidade do automóvel levando em consideração que a desaceleração produzida pelos freios não poderia exceder, em módulo, o valor local da aceleração da gravidade g e deteve o motorista por excesso de velocidade. Refaça os cálculos do inspetor e verifique se estes cálculos estavam corretos ou não. Com base na hipótese de que a desaceleração era igual a g, qual seria a velocidade do automóvel no momento da aplicação dos freios. 11. Um automóvel faz uma ultrapassagem a 120 km/h. Entretanto, um outro automóvel vem em sentido contrário a 100 km/h. Suponha que os dois motoristas acionem simultaneamente os freios e os dois automóveis passem a sofrer uma desaceleração constante de módulo igual a 6 m/s². Determine a distância mínima entre os automóveis no início da freada para que não haja colisão entre os veículos. 12. Um trem parte do repouso e se desloca com aceleração constante. Num dado instante sua velocidade era de 10 m/s e a 60 m adiante sua velocidade passa para 17 m/s. Determine: (a) a aceleração, (b) o tempo necessário para deslocar os 60 m, (c) o tempo necessário para atingir a velocidade de 10 m/s, (d) o deslocamento do trem desde o repouso até atingir a velocidade de 10 m/s. 13. No momento em que um sinal de tráfego acende a luz verde, um automóvel parte do repouso com aceleração constante de 2 m/s². No mesmo instante um ônibus, deslocando- se com velocidade constante de 54 km/h ultrapassa o automóvel. (a) A que distância do seu ponto de partida o automóvel ultrapassará o ônibus? (b) Calcule a velocidade do automóvel neste instante. (c) Em um mesmo diagrama, faça os gráficos posição x tempo e velocidade x tempo do automóvel e do ônibus desde o início do movimento até o momento da ultrapassagem. 14. Um automóvel viajando em linha reta a 120 km/h está a 60 m de uma barreira quando o motorista aperta os freios. Três segundos após o carro colide com a barreira. (a) Determine o módulo da desaceleração do carro. (b) Que velocidade desenvolvia o automóvel no momento do impacto? (c) Qual deveria ser a desaceleração mínima do automóvel para que não ocorresse a colisão? 15. Uma pessoa debruçada sobre um muro de uma passarela deixa cair uma bola exatamente quando a dianteira de um caminhão passa bem abaixo do muro. Se o veículo está se movendo a 12 m/s e tem 10 m de comprimento, determine: (a) a altura da passarela em relação ao caminhão para que a bola atinja a traseira do caminhão, (b) a trajetória descrita 25 pela bola em relação a um observador situado na passarela, (c) a trajetória descrita pela bola em relação a um observador situado no caminhão. 16. Um balão sobe com velocidade de 15 m/s e está a 100 m acima do solo quando dele se deixa cair um saco de areia. Determine: (a) o tempo que o saco de areia demora para atingir o solo e (b) a velocidade com que o saco de areia atinge o solo. (c) Faça os gráficos da posição x tempo, velocidade x tempo e aceleração x tempo para o movimento do saco de areia, desde o instante em que ele é solto até atingir o solo. 17. Uma pedra é largada de uma ponte a 50 m acima do nível da água. Uma segunda pedra é arremessada verticalmente para baixo 1,5 s após a primeira pedra ter sido largada. Ambas atingem a água ao mesmo tempo. (a) Determine a velocidade de arremesso da segunda pedra. (b) Determine as velocidades com que as pedras atingem a água. (c) Faça os gráficos da posição x tempo e velocidade x tempo para cada pedra, considerando t = 0 o instante em que a primeira pedra foi largada. 18. Dois corpos são largados com um intervalo de tempo de 1,5 s, de uma mesma altura. Quanto tempo depois do primeiro começar a cair estarão os dois corpos separados por 15 m. 19. Um moleque atira uma pedra para cima na direção vertical, com uma velocidade inicial de 12 m/s do telhado de um edifício,30 m acima do chão. (a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o chão. (b) Com que velocidade a pedra atinge o solo. (c) Em que (quais) instante(s) a pedra estará 5 m acima do ponto de lançamento e qual a sua velocidade nesse(s) instante(s)? 20. Um corpo cai da altura de 50m, partindo do repouso. Quanto ele percorre no último segundo da queda? RESPOSTAS 1. .46mx 2. (a) ./2 smv (b) ./3,3 smv 3. tt .25,12 4. . º19: /2,43 ˆ1,14ˆ8,40 lestedonortea Orientação hkmv jiv 5. (a) ²./5,01 sma (b) ²/25,02 sma (c) ²./375,0 2 21 smaa (d) ²/3,0 sma 6. Figura (a): (a) Ponto C (b) 6. Figura (b): (a) Em nenhum ponto. (b) 7. 0A AB BC CD v + + 0 - a 0 - 0 + 0A AB BC CD v + 0 + + a - 0 + 0 t v t a 26 8. (a) ga 5,25 (b) mx 500 9. (a) smv /3,69 (b) ²/2 sma (c) st 104 9. (d) 10. hkmv erradosCálculos /45 . 0 11. md 9,156 12. (a) ²/575,1 sma (b) st 44,4 (c) st 35,6 (d) mx 75,31 13. (a) mxA 225 (b) smvA /30 13. c) 14. (a) ²/, sma 98 (b) hkmsmv //, 2476 (c) ²/, sma 39 15. (a) mh 43, (b) (c) 16. (a) st 26, t (s) x (m) 2400 69,3 104 3600 t (s) v (m/s) 69,3 69,3 104 t (s) a (m/s²) 1,0 69,3 104 - 2,0 t (s) x (m) 225 15 Ônibus Automóvel t (s) v (m/s) 30 15 Ônibus Automóvel 15 27 (b) smv /47 (c) 17. (a) smv /8,210 (b) smvesmv /4,38/6,31 21 (c) 18. st 7511 , 19. (a) st 933, (b) smv /,327 (c) smvst smvst /,;, /,;, 66861 66540 22 11 20. md 626, 0 20 40 60 80 100 120 0 2 4 6 8 Tempo (s) P os iç ão (m ) -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 Tempo (s) Ve lo ci da de (m /s ) -10 0 0 2 4 6 8 Tempo (s) Ac el er aç ão (m /s ²) -31,6 1,5 3,16 t (s) v (m/s) 0,0 -38,4 -21,8 50 1,5 3,16 t (s) x (m) 0,0 28 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Uma partícula move-se no plano xy com aceleração constante ja ˆβ , ( 0). No instante t = 0, passa pela origem do sistema de coordenadas com velocidade jiv ˆ2ˆ0 , ( 0). (a) Descreva os movimentos horizontal e vertical da partícula, faça um esboço de sua trajetória e represente no diagrama os dados iniciais do problema. Determine, em função de , e dos vetores unitários que se fizerem necessários, (b) o vetor posição ( r ) no instante em que ocorre inversão no movimento vertical da partícula e (c) o vetor velocidade ( v ) no instante posterior no qual a partícula cruzará a coordenada y = 0. x y (b) A inversão no movimento vertical ocorrerá quando vy = 0. Neste instante, a partícula estará localizada em: O vetor posição no referido instante será: iˆ jˆ ja jiv r ˆ ˆ2ˆ 0 0 0 β Mov. Horizontal x xx vtx avx 00 00 Movimento Vertical yv tvtty avy y yy 24 2 2 12 20 22 2 00 (a) Uma vez que a aceleração horizontal da partícula é nula, sua velocidade será constante, e o movimento horizontal será retilíneo e uniforme. No movimento vertical a aceleração é constante, positiva e a velocidade inicial negativa, de tal forma que, inicialmente, a partícula irá desacelerar até atingir uma velocidade vertical nula e a partir de então terá um movimento 0v a (0,0) 2 20 2 t t tvy 22 2. x x tx 222 2 2 224 2 2 122 2 12 y y tty )ˆ(2ˆ2 22 jir (c) A coordenada y será nula em t = 0 em um instante posterior t igual a: 4 2 12 2 12 2 2 t tt tty As componentes do vetor velocidade neste instante serão: 2 42e y yx v vv O vetor velocidade no referido instante será: jiv ˆ2ˆ e CAPÍTULO 3- MOVIMENTO EM DUAS OU TRÊS DIMENSÕES 29 2. Um rifle está apontado horizontalmente para uma parede localizada a uma distância D da saída do mesmo. O projétil atinge a parede a uma distância d abaixo do ponto visado. A aceleração da gravidade local tem módulo g. Determine em função das grandezas D, d, g e dos vetores unitários que se fizerem necessários, (a) o tempo de percurso do projétil, (b) o vetor velocidade do projétil ao sair do rifle e (c) o vetor velocidade do projétil ao atingir a parede. Equações do movimento Movimento Horizontal x0 = 0 v0x = vo ax = 0 0 0 vv tvx x Movimento Vertical y0 = 0 v0y = 0 ay = -g gyv gtv gty y y 2 2 1 2 2 (b) Sabendo que tvx 0 i d gDv d gDv g dvD g dtemDx 2 2 2 2 0 0 0 (a) O tempo de percurso do projétil corresponde ao instante em que o mesmo atinge a posição x = D e y = - d. g dt gtd gtyquevezUma 2 2 1 2 1 2 2 (c) A componente x da velocidade com que o projétil atinge a parede é: d gDvvv xx 200 A componente y da velocidade com que o projétil atinge a parede pode ser determinada por: gdv dyPara gyv y y 2 22 jgdi d gDv 2 2 iˆ jˆ (0,0) ?v ?0 v 30 3. Um projétil é lançado a partir da origem de um sistema de coordenadas com velocidade inicial de módulo vo, fazendo um ângulo acima da horizontal. A origem do sistema de coordenadas está localizada na base de uma rampa cuja inclinação é (veja figura abaixo). Considerando o módulo da aceleração da gravidade local igual a g, determine o instante que o projétil atinge a rampa. Expresse sua resposta em função de vo, g, e . 0v y x t = ? x(t) y(t) A posição do projétil num instante t, a partir do lançamento é dada por: Posição horizontal tvtx tatvxtx xx .cos)( )( 0 2 2 1 00 Posição vertical 2 2 1 0 2 2 1 00 .)( )( gttsenvty tatvyty yy 0,0 Movimento horizontal (x) 0 cos 0 00 0 x x a vv x Movimento vertical (y) ga senvv y x y 00 0 0 No instante t considerado, )( )(tan tx ty . Assim: )tan.cos( 2 )tan.cos(2 tan.cos tan.cos cos tan .cos . tan 0 0 002 1 2 1 00 0 2 1 0 0 2 2 1 0 sen g vt senvgt vsenvgt gtsenvvv gtsenv tv gttsenv 31 4. De um avião, mergulhando em um ângulo 0 com a vertical e a uma altura H, é abandonada uma bomba que bate no solo após um intervalo de tempo t. Determine, para o projétil, os vetores velocidade (a) ao deixar o avião, (b) ao atingir o solo e (c) o vetor deslocamento total. Escreva suas respostas em termos das variáveis 0, H, t e g, e dos vetores unitários do sistema de coordenadas abaixo, que se fizerem necessários. Represente no gráfico os dados pertinentes (vetores, trajetória, ângulo etc.). Suponha o referencial do observador imediatamente abaixo do ponto de lançamento. Utilize g para a aceleração da gravidade. Dados: 0 , H, t, e g Representação gráfica: Em ti = t0 = 0, x0 = 0 (1), y0 = H (2) e 000 sen vv x (3) e 000 cos vv y (4) (a) Cálculo do módulo da velocidade inicial: Na vertical, temos: 2 00 2 1 tgtvyy y (5) Como ao atingir o solo y = 0 , substituindo (2) e (4) em (5), obtém-se cos 1 20 tg t Hv . (6) Finalmente, valendo-se de (3), (4) e (6), o vetor velocidade inicial pode ser escrito nas formas: jvivvvv yxyx ˆˆ 00000 , ou, )ˆcosˆ( jisenvv 0000 , ou ainda )ˆˆ(tan jitg t Hv 00 2 . (7) (b) Cálculo do vetor velocidade do projétil ao atingir o solo: jvivvvv yxyx ˆˆ (8) Na horizontal (M.U. vx = cte. e ax = 0). Assim, tan 2 sen0 tg t Hvv xx , (9) já obtido em (a) (vide equação 7). Na vertical [MUV )( jgga y ]. tgvv yy 0 2 tg t Hv y (10) Substituindo (9) e (10) em (8), obtém-se: jtg t Hitg t Hv ˆ 2 ˆtan 2 0 (11) (d) Cálculo do vetor deslocamento total , r . yxr (12) ou )ˆ()ˆ( jyixr (13) ou ainda )ˆ()ˆ( jyixr (14) HHyyy 00 (15) tvxxxx x00 0 (16) De (14), (9), (16) e (15), tem-se: jHitgHr ˆˆtan 2 2 1 (17) o g 0v v Hy 0 x r y 0,0 32 5. No instante em que um foguete atinge o ponto mais alto da trajetória explode e lança verticalmente, em sentidos opostos, duas partículas com velocidades iniciais numericamente iguais a v0 (= 15 m/s). Sendo g (= 10 m/s2) a aceleração da gravidade, determine o intervalo de tempo decorrido entre os instantes em que as duas partículas chegam ao solo. Despreze o atrito com o ar. (Resposta numérica: 3 s). Dados: v1 = v2 = v0, e g. Ilustração: Gráfico de espaço versus tempo. Ao chegar ao solo as equações das posições das partículas serão: 2 11111 2 1 ffif tgtvyy (1) 2 22222 2 1 ffif tgtvyy (2) Como, para ambas, o módulo das velocidades iniciais são iguais (v1 = v2 = v0) e as posições iniciais e finais também, igualando (1) e (2), tem-se 2 220 2 110 2 1 2 1 ffff tgtvtgtv )( 2 1)( 22 2 1210 ffff ttgttv ))(()( 2 212121 0 ffffff ttttttg v g v ttt ff 0 21 2 )( (3) Outra solução mais simples seria: A partícula 1 irá subir, atingindo o ponto de altura máxima com velocidade nula. Em seguida retornará ao ponto de partida com velocidade idêntica em módulo, direção e sentido que a partícula 2. Desse modo, fica óbvio que ambas levam o mesmo tempo deste ponto até o solo. Portanto, o intervalo de tempo decorrido entre os instantes em que as duas partículas chegam ao solo será o tempo que a partícula 1 levará para retornar ao ponto de partida. Ou seja, 2''' 1 ' 1 ' 1 )(2 1 tgtvyy fif 2'' 011 )(2 10 tgtvyy ii g vtt 02 ' +y 1v 2v g ti = 0 t’ = 2v0/g t tempo (t) t1f t2f 33 6. Um projétil é disparado do alto de um barranco que está a uma altura H acima do nível de um vale, com velocidade inicial de módulo v0 inclinada de um ângulo acima da horizontal. Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade local igual a g, determine: (a) a altura máxima acima do barranco atingida pelo projétil; (b) o vetor velocidade e o vetor aceleração do projétil no ponto mais alto; (c) o deslocamento do projétil desde o lançamento até atingir o solo; (d) o vetor velocidade com que a o projétil atinge o solo v . Expresse suas respostas em termos das grandezas H, v0, e g que se fizerem necessárias e dos vetores unitários mostrados abaixo. iˆ jˆ g + y + x (0,0) 0v H Hmáx Movimento Horizontal θcos θ.cos 0 0 vv tvx x Movimento Vertical gtvv gttvHy y -θsen 2 1-θ.sen 0 2 0 (a) θsen 2 2-θsen 0 2-θsen 2 2 0 máx 22 0 22 0 2 g vH gHv ygvv máx y (b) jga g ivv vvv yx ˆ a0a ˆθcos 0θcos yx 0 0 (c) g gHvv t g gHvv t g gHvv t Htvgt gttH tvx Hy o o o 2θsensenθ 0 2θsensenθ 2 8θsen4senθ2 02-θ.sen2 2 1-θ.senv- θ.cos. 22 0 22 0 22 0 0 2 2 0 0 jHi g gHvv vr jyixr o ˆˆ2θsensenθθcos ˆˆ 22 0 0 (d) jgHvvv gHvv gHvv Hgvv vv y y y x ˆ2θseniˆθcos 2θsen 2θsen )(-2-θsen θcos 22 00 22 0 22 0 2 22 0 2 0 r v 34 7. Um estudante atira uma bolinha de papel em uma lixeira cilíndrica (diâmetro D e altura 2D). A parte inferior da lixeira está no mesmo nível do ponto em que a bolinha foi arremessada e a uma distância horizontal 6D do ponto de lançamento. A bolinha é arremessada com um ângulo de 45º acima da horizontal (veja figura abaixo). Determine o valor máximo e o valor mínimo da velocidade de lançamento ( 0v ) para que a bolinha entre pela parte superior da lixeira. Despreze a resistência do ar e expresse suas respostas em termos de g e D. x 2 24545 oosen cos 6D 2D D y ?0 v 45º (0,0) Movimento Horizontal o xx o x o x cosvvv tcosvx acosvvx 45 45 0,45,0 00 0 000 Movimento Vertical ygsenvvegtsenvv gttsenvy gasenvvy o y o y o y o y 24545 2 145 ,45,0 22 0 2 0 2 0 000 Equação da trajetória: yx gxve yx gxvqueformatalde v gxx v xgxysejaou cosv xg cosv xsenvy cosv xtteinsNo gttsenvyetcosvx oo o o oo 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 22 0 2 0 0 0 2 00 : , 2 22 1: 452 1 45 45 45 tan 2 14545 O valor mínimo de v0 é aquele que permitirá que a bolinha atinja a lixeira em x = 6D e y = 2D. gDv D Dgv DD Dgv 3 4 36 26 6 0 2 0 2 0 O valor máximo de v0 é aquele que permitirá que a bolinha atinja a lixeira em x = 7D e y = 2D. 5 7 5 49 27 7 0 2 0 2 0 gDv D Dgv DD Dgv 35 8. Uma pedra é arremessada paracima, do alto de um edifício de altura H, com velocidade de módulo 0v , inclinada de um ângulo acima da horizontal. A aceleração da gravidade local vale g. (Dados: H, v0, e g). a) Determine o instante após o arremesso que a pedra atinge o solo, em função de v0, , g e H. b) Determine o módulo da velocidade com que a pedra atinge o chão, em função de v0, g e H. 9. Um jogador de basquete arremessa uma bola com um ângulo 45°. A bola sai das mãos do jogador de uma altura h acima do solo. A cesta encontra-se a uma distância horizontal D das mãos do jogador e a uma altura H acima do solo. A aceleração da gravidade local vale g. Determine (a) o módulo da velocidade de arremesso para que ele consiga acertar a cesta e (b) o módulo da velocidade da bola ao atingir a cesta. Dados: g, h, H e D. 0 H 0v g +y +x Hyx gaa senvv vv yx y x 00 00 00 0 0 cos g gHsenvsenv t g gHsenvsenv t g gHsenvsenv t g gHsenvsenv t Htsenvgt gttsenvH gttsenvHy 2 0 2 2 )2(42 2 842 022 0 22 00 22 00 22 00 22 00 0 2 2 2 1 0 2 2 1 0 Por conservação da energia mecânica, considerando o nível de referência no solo, temos: gHvv vvgH mvmvmgH 2 2 2 1 2 1 2 0 22 0 22 0 sen 45° = cos 45° = 2 2 Equações do movimento: )hy(gsenvv gtsenvv cosvv gtt.senvhy t.cosvx y y x 2 2 1 22 0 2 0 0 2 0 0 h D H 45° x y (0,0) 36 10. Uma bola é arremessada de cima para baixo com uma velocidade de módulo 0v , inclinada de um ângulo 0 em relação à horizontal, do alto de um edifício cuja altura, acima do solo é H, conforme figura abaixo. O módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine: (a) o instante após o arremesso que a bola atinge o solo e (b) as componentes horizontal e vertical da velocidade com que a bola atinge o solo. Dê suas respostas em termos das grandezas H, g, 0 e 0v que se fizerem necessárias. Use o sistema de coordenadas convencionado abaixo. (b) Em 0,1 ytt g senvgHsenv t g gHsenvsenv t g gHsenvsenv t g gHsenvsenv t Htsenvgt gttsenvH gttsenvH gttsenvHy 000 22 0 1 0 22 000 1 0 22 000 1 0 22 000 1 100 2 1 2 1100 2 1100 2 00 2 0 2 2 242 2 842 022 220 2 10 2 1 )( 0,0 + y H 0v + x 0 )( Hygsenvv gtsenvv gttsenvHy y y 2 2 1 0 22 0 2 00 2 00 00 00 cos cos vv tvx x Equações do movimento (c) Cálculo da componente vertical: Em yy vvy 1,0 gHsenvv gHsenvv Hgsenvv Hygsenvv y y y y 2 2 02 2 0 22 01 0 22 0 2 1 0 22 0 2 1 0 22 0 2 )( )( Cálculo da componente horizontal: 001 cosvvv xx t1 xv1 yv1 (a) Em x = D, y = H cosv Dt t.cosvx 0 0 HhD gDv HhD v gD v gDDhH v Dg v DsenvhH 2 0 2 0 2 2 0 2 22 0 2 0 0 2 1 coscos (b) Por conservação da energia mecânica, tomando o solo como nível de referência: )( )( ).().( hHg HhD gDv hHgvv gHvghv vgHvgh mvmgHmvmgh EE fMeciMec 2 2 22 22 2 1 2 1 2 2 0 2 2 0 2 22 0 22 0 37 11. Uma pedra presa a um cordão de comprimento L é girada por um menino, fazendo um círculo horizontal a uma altura H acima do solo. A pedra dá N voltas em um intervalo de tempo t e, durante o movimento, o módulo da velocidade permanece constante. Ao passar pelo ponto A o cordão arrebenta e a pedra é arremessada ao solo. Determine: (a) o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular; (b) o vetor velocidade da pedra ao atingir o solo e (c) o vetor deslocamento da pedra desde o instante em que ela é arremessada até o instante em que atinge o solo Expresse suas respostas em termos das grandezas L, N, t , H, g e dos vetores unitários que se fizerem necessários. iˆ jˆ H L (a) A aceleração centrípeta da pedra em MCU é dada por: R va 2 0 . O raio da trajetória é L e, uma vez que a pedra executa N rotações em um intervalo de tempo t a velocidade de rotação será: t LNv 2.0 . Assim: 2 222222 )( 4)/(4 t LN L tLNa (b) No momento em que o cordão arrebentar a pedra será arremessada horizontalmente, em queda livre, com velocidade de módulo v0 (calculado no item a). gaevHy aevvx yy xx 0, 0,0 00 000 Para o movimento de queda livre da pedra temos: Hygvegtvevv gtHyetvx yyx 2 2 1 2 0 2 0 Quando a pedra atinge o solo sua velocidade será: gHvsejaou gHHgve t LNvv y yx 2: 2022. 20 Assim, jgHi t NLv ˆ2ˆ2 0v 0 + y (c) O vetor deslocamento da pedra desde o instante em que é arremessada até atingir o solo será: yxr Cálculo do tempo de queda: g HtHgt gtH gtHy 2 2 1 2 10 2 1 2 2 2 jHi g H t NLrAssim HHy e g H t NLtvx ˆˆ22: 0 22 0 38 12. Uma carabina é apontada na horizontal para um alvo localizado a uma distância D. A bala acerta o alvo em um ponto localizado a uma altura h abaixo do ponto visado. A aceleração da gravidade local vale g. Determine (a) o tempo de vôo da bala e (b) o módulo da velocidade da bala ao sair da carabina. Expresse suas respostas em função de D, h e g. tvx avvx tatvxx xx xx 0 000 2 00 00 2 1 ,, (a) g ht gth gth gty gavy tatvyy yy yy 2 2 2 1 2 1 00 2 1 2 2 2 00 2 00 ,, (b) h gDv g hvDtvD 2 2 0 00 ?0 v h D x y 39 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Quando necessário use g = 10 m/s². 1. (a) Em uma competição de salto à distância tem alguma importância quão alto é o salto? Quais os fatores que determinam o alcance do salto? Explique. (b) Em que ponto de sua trajetória um projétil alcança a sua velocidade mínima? E a máxima? (c) No mesmo instante em que a bala sai horizontalmente do cano de uma arma, você larga um corpo da mesma altura do cano. Desprezando a resistência do ar, qual dos dois chegará primeiro ao solo? Explique. (d) Um projétil é disparado de baixo para cima, a um ângulo acima da horizontal com velocidade inicial v0, num local a gravidade é g. Na sua altura máxima,determine o seu vetor velocidade e seu vetor aceleração. 2. A partícula A se move ao longo da reta y = 30 m com velocidade constante v de módulo igual a 3,0 m/s na direção paralela ao eixo x positivo. Uma partícula B parte da origem com velocidade nula e aceleração constante a de módulo igual a 0,40 m/s², no mesmo instante em que a partícula A passa pelo eixo y. Que ângulo entre a e o eixo y positivo resultaria em um choque entre as duas partículas. 3. Uma partícula parte da origem com uma velocidade inicial smiv /)ˆ00,3( e uma aceleração constante 2/)ˆ500,0ˆ00,1( smjia . Quando a partícula atinge a sua coordenada x máxima, quais são (a) a sua velocidade e (b) o seu vetor posição. 4. Uma arma localizada a 40 m acima de uma planície horizontal, dispara horizontalmente um projétil com uma velocidade inicial de 300 m/s. (a) Quanto tempo o projétil permanece no ar? (b) A que distância horizontal ele atinge o solo? (c) Qual o o vetor velocidade do projétil quando ele atinge o solo? 5. Um rifle tem velocidade de disparo de 460 m/s e atira uma bala num alvo situado a 46 m. A que altura acima do alvo o rifle deve apontar para que a bala acerte nele? 6. Uma bola rola para fora de uma mesa de 1,0 m de altura. A bola atinge o solo em um ponto 1,2 m horizontalmente distante da borda da mesa. Determine: (a) a velocidade da bola no instante em que saiu da mesa; (b) a velocidade da bola no instante em que toca o solo. 7. Uma bola é atirada do chão para o ar. Quando ela atinge uma altura de 9,0 m, a velocidade é dada por: jiv ˆ3ˆ6 , em m/s. (a) Até que altura a bola subirá? (b) Qual será a distância horizontal total percorrida pela bola. (c) Qual é a velocidade da bola no instante em que ela toca o chão? 8. Uma bola de futebol é chutada com velocidade inicial 0v e com um ângulo de inclinação de 45º acima da horizontal. Qual deve ser o valor de 0v para que a bola atinja a linha de gol, situada a 80 m do local do chute? 9. De um bombardeiro, mergulhando em um ângulo de 60º com a vertical, solta-se uma bomba a uma altitude de 700 m. A bomba atinge o solo 5,0 s após ser solta. (a) Qual é a velocidade do bombardeiro? (b) Qual a distância que a bomba percorre horizontalmente durante o seu trajeto? (c) Qual o vetor velocidade da bomba no instante em que atinge o solo? 10. A velocidade de lançamento de um certo projétil é cinco vezes a velocidade que ele possui na sua altura máxima. Calcule o ângulo de lançamento. x y A B v a 40 11. Dois segundos após ser projetado do nível do chão, um projétil se deslocou 40 m na horizontal e 53 m na vertical acima do seu ponto de lançamento. (a) Quais são as componentes horizontal e vertical da velocidade de lançamento do projétil? (b) No instante em que o projétil alcança a sua altura máxima acima do nível do solo, qual a distância percorrida na horizontal a partir do ponto de lançamento? 12. Um astronauta é colocado para girar em uma centrífuga horizontal em um raio de 5,0 m. (a) Qual o módulo de sua velocidade linear se a aceleração centrípeta possui um módulo de 7,0g. (b) Quantas rotações por minuto são necessárias para produzir esta aceleração? (c) Qual é o período do movimento? 13. As pás de um ventilador completam 1200 voltas por minuto. Considere a ponta de uma pá, que está em uma raio de 0,15 m. (a) Que distância a ponta da pá percorre em uma volta? Quais são os módulos (b) da velocidade e (c) da aceleração da ponta? (d) Qual o período do movimento? RESPOSTAS 1. .............................................. 8. smv /,3280 2. = 60º 9. a) smv /2300 b) mx 996 c) smjiv /)ˆˆ( 165199 3. a) smjv /)ˆ,( 51 b) mjir )ˆ,ˆ,( 25254 10. º,578 4. a) st 832, b) md 5848, c) smjiv /)ˆ,ˆ( 328300 11. a) smv smv y x /, ;/ 536 20 0 0 b) mx 73 5. mh 50, 12. a) smv /,718 b) rpmf 36 c) sT 671, 6. a) smiv /)ˆ,( 720 b) smjiv /)ˆ,ˆ,( 5472 13. a) ms 9420, b) smv /,8418 c) ²/ smac 2366 d) sT 050, 7. a) mH 459, b) mx 516, c) smjiv /)ˆ,ˆ( 8136 41 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Uma caixa de peso P é arrastada para cima, em um plano inclinado de graus com a horizontal, por uma força horizontal constante de módulo F, conforme ilustrado abaixo. O coeficiente de atrito entre a caixa e o plano vale c. Em função das grandezas fornecidas obtenha, em termos de c, P e , uma expressão para o módulo da força F que fará com que a caixa suba o plano com velocidade constante. CAPÍTULO 4- LEIS DE NEWTON DO MOVIMENTO CAPÍTULO 5- APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON F Uma vez que a caixa é arrastada plano acima com velocidade constante, podemos concluir que: 00 yx FeF FsenPcosN FPNF yyy 0 A força de atrito cinético é dada por: )(. FsenPcosNf ccc P y cf N xP yP F x yF xF cosPPePsenP yx FsenFeFF yx cos sencos PcosPsen F PcosPsensencosF PcosPsenFsenFcos FsenPcosPsenFcos fPFF c c cc cc c cxxy )( 0)( 0 42 2. Dado o sistema em equilíbrio ilustrado abaixo, determine a tensão em cada uma das cordas T1, T2 e T3. 3. Imagine que você esteja sustentando um livro de 4 N em repouso sobre a palma da sua mão. Complete as seguintes sentenças: a) Uma força de cima para baixo de módulo igual a 4 N é exercida sobre o livro pela Terra. b) Uma força de baixo para cima de módulo 4 N é exercida sobre o livro pela palma da sua mão. c) É a força de baixo para cima do item (b) a reação da força de cima para baixo do item (a)? Não. sen 37º = cos 53º = 0,6 sen 53º = cos 37º = 0,8 37° 53° P=500N T2 T3 T1 37° 53° y P 3T 1T 2T ' 1T x xT3 yT3 xT2 yT2 Uma vez que o sistema se encontra em equilíbrio, temos, para o objeto suspenso: 500NTT '11 NPT PTFy 500 0 ' 1 ' 1 2323 23 2323 3 4 60 80 3753 0 TTTT cosTcosT TTTTF xxxxx , , 400NT 300NT 3 2 300 3 4 3 4 1500050 150001832 50006 3 48 500068 5006080 3753 0 23 2 22 22 23 23 123 123 TT T TT TT TT TT TsenTsenT TTTF yyy ,, 43 d) A reação da força do item (a) é a força de módulo 4 N exercida sobre a Terra pelo livro. Seu sentido é para cima. e) A reação da força do item (b) é a força de módulo 4 N exercida sobre a mão pelo livro. f) As forças dos itens (a) e (b) são iguais e opostas em virtude da Primeira Lei de Newton. g) As forças dos itens (b) e (e) são iguais e opostas em virtude da Terceira Lei de Newton. Suponha agora que você exerça sobre o livro uma força de baixo para cima de módulo igual a 5 N. h) O livro permanece em equilíbrio? Não. i) É a força exercida pela suamão igual e oposta à força exercida sobre o livro pela Terra? Não. j) É a força exercida sobre o livro pela Terra igual e oposta à força exercida sobre a Terra pelo livro? Sim. k) É a força exercida sobre o livro pela sua mão igual e oposta à força exercida sobre sua mão pelo livro? Sim. Finalmente, suponha que você retire subitamente sua mão enquanto o livro se move para cima? l) Quantas forças atuam agora sobre o livro? Uma (a força gravitacional). m) O livro está em equilíbrio? Não. 4. Um bloco A, de massa igual a 3m, desliza sobre um plano, inclinado de um ângulo em relação à horizontal, com velocidade constante, enquanto a prancha B, de massa m, permanece em repouso sobre A. A prancha está ligada por um fio ao topo do plano. a) Faça um diagrama de todas as forças que atuam sobre o bloco A e sobre a prancha B, identificando-as. b) Determine o coeficiente de atrito estático entre A e B e entre A e a superfície do plano inclinado, sabendo que ambos são iguais. A )(SAcf SN BAN )(BAc f AP B ABN )( ABcf BP T AdePeso: AblocooeplanoentreoatritodeForça: AblocooeBpranchaaentreatritodeForça: AblocoosobreBpranchadanormalReação: AblocoosobreplanodonormalReação: )( )( A BAS BAc BA S P f f N N BdePeso: fionoTração: AblocooeBpranchaaentreatritodeForça: BpranchaasobreAblocodonormalReação: )( A ABc AB P T f N B ABN )( ABcf BP T xBP yBP A )(SAcf SN BAN )(BAc f AP xAP yAP Uma vez que, o bloco A desce o plano inclinado com velocidade constante e a prancha B permanece em repouso, pela 1ª Lei de Newton, para ambos os corpos, o .0F Temos ainda que: )()( 3 BAcABc ABBA BA ff NN mgPemgP A B 44 5. Os blocos A, B e C são dispostos como indicado na figura ao lado e ligados por cordas de massas desprezíveis. As massas de A e B são iguais a M e o coeficiente de atrito cinético entre cada bloco e a superfície é c. O bloco C desce com velocidade constante. Determine a massa do bloco C (em termos de c, e M). Corpo A 0 yF mgcosθN mgcosθmgcosθN mgcosθNN PNNF S S BAS yABASy 4 3 3 0 mgcosθf Nf cSAc ScSAc 4)( )( Corpo A 0 xF tan 5 3 5 3 53 043 0)()( c c c cc SAcBAcxAx mgcosθ mgsenθ mgcosθmgsenθ mgcosθmgcosθmgsenθ ffPF Corpo B mgcosθPN PNF yBAB yBABy 0 mgcosθf Nf cABc ABcABc )( )( A B C CT CP C A AT P )( Acf AN CT AT P B )( Bcf BN MgPNF MgfTF Ay cACAx 0 0 )( θ θ senθ cos cos )( )( Mgf MgNF MgfTTF cBc By BcACx 0 0 gmPTF CCCy 0 θcos1θsen θ)cosθsen( θcosθsen. θsen. θsen. e )()( )( Mm Mm MgMgMggm fMgfgm fMgTTgm C ccC ccC BcAcC BcACC 45 6. Uma caixa de massa M é arrastada sobre uma superfície horizontal através de uma corda inclinada de um ângulo acima da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a superfície é c e o módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine o módulo da força exercida pela corda sobre a caixa de tal forma que a mesma desloque com velocidade constante, em função de M, g, c e . 7. O bloco A da figura abaixo possui peso P. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a superfície na qual ele repousa vale 1/3. Determine o máximo valor do peso do bloco B (em função de P) para o qual o sistema permanece em repouso. A B Dados: sen = 3/5 cos = 4/5 B A AP AT AT BT BT CT CxT CyT BP N ef Para que o sistema permaneça em repouso: PT NT fT eA eA máxeA .)( sen PT senTPTT B C CBBB tan PT cos sen PT cosTT B A B A CA PP PP PP PtanP P tan PTT máximoB B B cB e B AA 4 1 4 1 4 3 3 1 )( 4 3 4 5 5 3 tan tan N F P cf xF yF x y FsenF FcosF MgP y x FsenMgf Nf FsenMgN MgFsenN PFNF cc cc yy 0 0 sencos Mg F Mg)sencos(F FsenMgFcos )FsenMg(Fcos fFF c c cc cc c cxx 0 0 0 46 8. Duas cordas A e B suportam um corpo de peso P conforme mostrado na figura abaixo. A corda B passa por uma polia de inércia desprezível e sem atrito. Os pontos extremos da corda B estão unidos à corda A e à corda que suporta o corpo no ponto O. Determine as tensões nas cordas A e B, sabendo que o sistema está em repouso. Respostas em função do peso P. A B B O 5 4cos 5 3cos sen sen BT O yBT AT P yAT xBT BT xAT yBT BB ByBBxB ByBBxB AyAAxA TT senTTcosTT senTTcosTT senTTcosTT Aplicando a 1ª condição de equilíbrio: 1 4 7 443 5 4 5 4 5 3 0 0 0 BA ABB ABB ABB xAxBxB x TT TTT TTT cosTcosTcosT TTT F xB T PT PT PTTT PTTT TTdoSubstituin PTTT PTTT PsenTsenTsenT PTTT F B B BBB BBB BA ABB ABB ABB yAyByB y 49 20 2049 20211216 45 4 7334 4 7: 5334 5 5 3 5 3 5 4 0 0 PT PT TT A A BA 49 35 49 20 4 7 4 7 47 9. Um corpo A, de peso 4P, está sobre um plano inclinado de um ângulo e preso por um fio que passa por uma pequena roldana sem atrito no qual se encontra suspenso um outro corpo (B) de peso variável, conforme a figura abaixo. O coeficiente de atrito estático entre o corpo A e o plano é 4 1 . Determine (a) o maior valor do peso de B e (b) o menor valor do peso de B para que o sistema permaneça em repouso. A B 5 3 5 4cos sen BP P 4 yP 4 xP 4 N
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