Lista 6 gabarito

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Lista 6 - Álgebra Linear I
Resolução
Mostre que as funções abaixo são transformações lineares.
a) 
 tal que 
Prova. Sejam (x, y) e (z, w) vetores do 
. 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
b) 
 tal que 
Prova. Sejam (x, y) e (z, w) vetores do 
. 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
c) 
 tal que 
Prova. Sejam (x, y,z) e (a, b,c) vetores do 
. 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Determine a transformação linear tal que 
 e 
 Encontre 
 tal que 
Prova. Se (x,y) 
, 
�� EMBED Equation.3 
Logo, fazendo 
. Daí, v=(-2,1).
Qual a transformação linear 
 tal que 
, 
 e 
.
Prova. Se (x,y,z) 
, 
�� EMBED Equation.3 
Logo, 
�� EMBED Equation.3 .
Seja 
 a transformação linear definida por
. Encontre uma base e a dimensão de seu núcleo e de sua imagem.
Prova.
Para 
�� EMBED Equation.3 . Daí,
. Conjunto-solução é o conjunto 
. Logo, o núcleo é gerado pelo conjunto 
. Assim, dim N(T)=1 e 
 é uma base do N(T).
Para 
deve existir (x,y,z) tal que 
. Daí,
. Conjunto-solução é o conjunto 
. Logo, a imagem é gerado pelo conjunto 
. Assim, dim Im(T)=2 e 
 é uma base da Im(T).
Encontre uma Transformação linear 
, cuja imagem é gerada por (1,2,0,-4) e (2,0,-1,-3).
Prova.
Considere a base canônica do 
 e faça T(1,0,0)=(1,2,0,-4), T(0,1,0)=(2,0,-1,-3) e T(0,0,1)=(0,0,0,0). A imagem de T é gerada pelas imagens dos vetores desta base.
Daí,
Encontre uma transformação linear 
, cujo núcleo é gerado pelo vetor (1,0,-1).
Prova. 
Considere a base canônica do 
 e faça T(1,0,-1)=(0,0), T(0,1,0)=(0,1) e T(0,0,1)=(1,0). A imagem de T é gerada pelas imagens dos vetores desta base.
Daí,
Considere a transformação linear 
 definida por
.
Determine o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar.
Determine a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar.
Prova.
a) Para 
�� EMBED Equation.3 . Daí,
. Conjunto-solução é o conjunto 
 Logo, Assim, dim N(T)=0 e T é injetora. 
b) dim
= dim N(T) + dim Im(T). Logo dim Im(T) = 2. daí, Im(T) = 
 e T é sobrejetora.
Seja 
 a transformação linear definida por
. Considere as bases A = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} e B = {(2,1), (5,3)}. 
Determine 
.
Se v = (3, -4, 2), calcular 
 utilizando a matriz encontrada.
Prova.
A matriz é de ordem 2 x 3, 
.
, T(1,1,1) = (2,2) = a11(2,1) + a21(5,3)
 
T(0,1,1) = (0,-1) = a12(2,1) + a22(5,3), 
 
T(0,0,1) = (1,-2) = a13(2,1) + a23(5,3), 
Logo, 
.
Sabe-se que 
. Como v está expresso com componentes na base canônica, isto é,
v = (3,-4,2) = 3(1,0,0) -4(0,1,0)+2(0,0,1), teremos que, primeiramente, expressá-lo na base A . Seja vA = (a, b, c), isto é,
(3,-4,2) = a(1,1,1) + b(0,1,1) + c(0,0,1), ou,
		
		
 , ou seja, vA =(3,-7,6).
Portanto, 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
O vetor coordenada de T(v) na base canônica é T(v) = 31(2,1) – 10(5,3),
T(v) = (12,1). Naturalmente T(v)=(12,1) também seria obtido por meio da lei que define a transformação T, considerando v(3,-4,2), como se pode ver nos dois exercícios abaixo.
9. Considere a mesma transformação linear do exercício 1. Sejam as bases 
A = {(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1)} e B = {(1,0), (0,1)} canônica.
Determine 
.
Se v=(3,-4,2), calcular 
 utilizando a matriz encontrada.
Prova.
T(1,1,1) = (2,2) = 2(1,0) + 2(0,1), T(0,1,1) = (0,-1) = 0(1,0) -1(0,1), 
T(0,0,1) = (1,-2) = 1(2,1) - 2(5,3). Logo, 
.
(ii) Como, v = (3,-4,2), temos 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 .
11. Dadas as bases A={(1,1), (1,0)} do 
 e B = {(1,2,0), (1,0,-1), (1,-1,3)} do 
, determinar a transformação linear T: 
 cuja matriz é 
.
Prova. Sabe-se que o significado de cada coluna dessa matriz é 
 e 
. Logo, T(1,1) = 2(1,2,0) + 1(1,0,-1)-1(1,-1,3) = (2,5,-4)
T(1,0) = 0(1,2,0) -2(1,0,-1) + 3(1,-1,3) = (1,-3,11)
Assim, obtivemos as imagens dos vetores da base A do 
.
Mas, (x,y) 
, (x,y) = y(1,1) + (x-y) (1,0), logo, T(x,y) = yT(1,1) + (x-y)T(1,0)
T(x,y) = (x+y, -3x+8y, 11x-15y)
A matriz canônica de T é 
.
Determine, em cada caso, a matriz da transformação linear de 
 em 
que representa a seqüência de transformações dadas:
(a) Reflexão em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal.
A reflexão no eixo y é dada pela matriz A=
.
Cisalhamento de fator 5 na direção horizontal é dado pela matriz B=
.
Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes B.A = 
�� EMBED Equation.3 = 
.
(b) Rotação de 60º, no sentido anti-horário, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos x.
A rotação de 60º é dada pela matriz A=
.
A reflexão em relação ao eixo dos x é dada por B= 
.
Logo, Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes B.A = 
�� EMBED Equation.3 = 
.
© Rotação de 45º, seguida de uma reflexão na origem.
A rotação de 30º é dada pela matriz A=
.
A reflexão na origem é dada por B= 
.
Logo, Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes B.A = 
�� EMBED Equation.3 = 
.
(d) Reflexão em torno da reta y = - x, seguida de uma projeção sobre o eixo y. 
A reflexão é dada pela matriz A=
. A projeção é dada por B=
.
Logo, Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes B.A = 
�� EMBED Equation.3 =
.
Determine, em cada caso, a matriz da transformação linear de 
 em 
que representa a seqüência de transformações dadas:
(a) Rotação de 30º em torno do eixo dos y, seguido de uma projeção sobre o plano yz.
A rotação é dada pela matriz A=
A projeção é dada pela matriz B=
.
Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes B.A = 
�� EMBED Equation.3 =
.
(b) Rotação de 30º em torno do eixo z, seguida de uma rotação de 30º em torno do eixo y.
A rotação é dada pela matriz A=
A projeção é dada pela matriz B=
.
Logo, a matriz que representa a seqüência é dada pelo produto das matrizes B.A = 
�� EMBED Equation.3 =
.
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