AP1-ALII-2018-2-gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Álgebra Linear II – 2018/2
Gabarito
Questão 1 (1,2 pontos): Seja T : R2 −→ R2 o operador linear tal que β = {v1 = (5, 3), v2 =
(7, 4)} é uma base do R2 formada por autovetores de T associados aos autovalores λ1 = 6 e
λ2 = −3. Dê exemplos de uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T e de sua correspondente
matriz diagonal D. Determine a matriz de T na base canônica do R2.
Solução:
a) Uma matriz inverśıvel P que diagonaliza T é a matriz de mudança de base, da base β para
a base canônica, dada por P =
[
v1 v2
]
=
[
5 7
3 4
]
e sua correspondente matriz diagonal é
D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
6 0
0 −3
]
,
A matriz que representa T na base canônica do R2 é dada por:
A = PDP−1, onde P =
[
5 7
3 4
]
, D =
[
6 0
0 −3
]
e P−1 = (−1)
[
4 −7
−3 5
]
=
[
−4 7
3 −5
]
.
Logo,
A = PDP−1 =
[
5 7
3 4
] [
6 0
0 −3
] [
−4 7
3 −5
]
=
[
30 −21
18 −12
] [
−4 7
3 −5
]
=
[
−183 315
−108 186
]
.
Questão 2 (1,0 ponto): Consideremos o operador linear R : R2 −→ R2 dado pela rotação
no sentido anti-horário de 2π
3
. Determine a matriz que representa R na base canônica do R2 e
calcule R (4, 6).
Solução: A matriz [R] que representa R, a rotação no sentido anti-horário de 2π
3
, é
[R] =
[
cos 2π
3
− sen 2π
3
sen 2π
3
cos 2π
3
]
=
[
−1
2
−
√
3
2√
3
2
−1
2
]
.
Segue que
[R]
[
4
6
]
=
[
−1
2
−
√
3
2√
3
2
−1
2
] [
4
6
]
=
[
−2− 3
√
3
2
√
3− 3
]
,
logo R (4, 6) = (−2− 3
√
3, 2
√
3− 3).
Questão 3 (0,8 ponto): Seja L : R3 −→ R3 um operador linear tal que o plano Π de equação
3x−4y+7z = 0 é o autoespaço associado ao autovalor −3. Sabendo que o autoespaço associado
ao autovalor 2 é ortogonal ao plano Π, determine L
(
(2, 5, 2) + (3,−4, 7)
)
.
Solução: Como o vetor v1 = (2, 5, 2) ∈ Π, temos que v1 = (2, 5, 2) pertence ao autoespaço
associado ao autovalor −3 e como o vetor v2 = (3,−4, 7) é ortogonal ao plano Π, temos que
v2 = (3,−4, 7) pertence ao autoespaço associado ao autovalor 2. Logo,
L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2) = (−3)v1 + 2v2 = (−3)(2, 5, 2) + 2(3,−4, 7) = (0,−23, 8).
1
Questão 4 (2,0 pontos): Consideremos o operador linear T : R3 −→ R3 cujo polinômio
caracteŕıstico é p(λ) = (λ+ 58)2(λ− 37) com autoespaços
E(λ1 = −58) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 6y + 3z = 0 e 4x+ 25y + 12z = 0} e
E(λ2 = 37) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 13y + 3z = 0 e − 7x+ 92y − 4z = 0}.
a) [1,6 pts] Determine as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores de T e bases
para seus autoespaços.
b) [0,4 pt] T é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Solução:
a) Pelo polinômio caracteŕıstico de T , a multiplicidade algébrica de λ1 = −58 é 2 e a multiplici-
dade algébrica de λ2 = 37 é 1. Para determinar as multiplicidades geométricas dos autovalores,
devemos determinar as dimensões dos seus autoespaços.
– Base de E(λ1 = −58):
Devemos resolver o sistema linear
{
x+ 6y + 3z = 0
4x+ 25y + 12z = 0.
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:[
1 6 3
4 25 12
]
L2←L2−4L1∼
[
1 6 3
0 1 0
]
L1←L1−6L2∼
[
1 0 3
0 1 0
]
.
Logo, x+ 3z = 0 e y = 0.
E(λ1 = −58) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 6y + 3z = 0 e 4x+ 25y + 12z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 3z = 0 e y = 0}
= {(−3z, 0, z) ; z ∈ R}
= {z (−3, 0, 1) ; z ∈ R} .
Logo {(−3, 0, 1)} é uma base de E(λ2 = −58) e a multiplicidade geométrica de λ1 = −58 é 1
– Base de E(λ2 = 37):
Devemos resolver o sistema linear
{
x− 13y + 3z = 0
−7x+ 92y − 4z = 0.
Reduzindo por linhas à forma em escada a matriz associada ao sistema, obtemos:[
1 −13 3
−7 92 −4
]
L2←L2+7L1∼
[
1 −13 3
0 1 17
]
L1←L1+13L2∼
[
1 0 224
0 1 17
]
.
Logo, x+ 224z = 0 e y + 17z = 0.
E(λ2 = 37) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x− 13y + 3z = 0 e − 7x+ 92y − 4z = 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 224z = 0 e y + 17z = 0}
= {(−224z,−17z, z) ; z ∈ R}
= {z (−224,−17, 1) ; z ∈ R} .
Logo {(−224,−17, 1)} é uma base de E(λ2 = 37) e a multiplicidade geométrica de λ2 = 37 é 1
b) T não é diagonalizável, pois
não é posśıvel construir uma base do R3 formada por autovetores de T
ou
2
a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores de T é 1 + 1 = 2 < 3 = dimR3
ou
o autovalor λ1 = −58 é tal que multiplicidade geométrica = 1 < 2 = multiplicidade algébrica.
Questão 5 (3,0 pontos): Seja A =
 8 6 −3−2 −5 −30
0 0 7
.
a) [2,4 pts] Determine os autovalores de A e bases para seus autoespaços.
b) [0,6 pt] A é diagonalizável? Justifique a sua resposta.
Solução:
a) O polinômio caracteŕıstico de A é:
p(λ) = det(λI3 − A)
= det
 λ− 8 −6 32 λ+ 5 30
0 0 λ− 7
 (desenvolvendo pela 3a linha )
= (λ− 7) det
[
λ− 8 −6
2 λ+ 5
]
= (λ− 7)
(
(λ− 8)(λ+ 5) + 12
)
= (λ− 7)(λ2 − 3λ− 28)
= (λ− 7)(λ− 7)(λ+ 4).
Os autovalores de A são λ1 = 7 e λ2 = −4.
Para determinar os autoespaços E(λ1) e E(λ2) devemos resolver os sistemas lineares ho-
mogêneos associados, respectivamente, às matrizes (7)I3 − A e (−4)I3 − A.
Reduzindo por linhas à forma escalonada a matriz (7)I3 − A, obtemos:
(7)I3 − A =
 1 −6 32 12 30
0 0 0
 L2 ← L2 − 2L1∼
 1 −6 30 24 24
0 0 0
 L2 ← 124L2∼
 1 −6 30 1 1
0 0 0

L1 ← L1 + 6L2∼
 1 0 90 1 1
0 0 0
 .
O sistema
(7I3 − A)
 xy
z
 =
 00
0
 é equivalente a
 1 0 90 1 1
0 0 0
 xy
z
 =
 00
0

portanto tem as mesmas soluções. Assim, x+ 9z = 0 e y + z = 0 e consequentemente
E(λ1 = 7) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+ 9z = 0 e y + z = 0}
= {(−9z,−z, z) ; z ∈ R}
= {z (−9,−1, 1) ; z ∈ R}.
3
Logo, β1 = {(−9,−1, 1)} é uma base de E(λ1 = 7).
Reduzindo por linhas à forma escalonada a matriz (−4)I3 − A, obtemos:
(−4)I3 − A =
 −12 −6 32 1 30
0 0 −11

L1 ← − 112L1
L3 ← − 111L3∼
 1 12 −142 1 30
0 0 1
 L2 ← L2 − 2L1∼
 1 12 −140 0 61
2
0 0 1

L1 ← L1 + 14L3
L2 ← L2 − 612 L3∼
 1 0 00 0 0
0 0 1
 L2↔L3∼
 1 0 00 0 1
0 0 0
 .
O sistema
((−4)I3 − A)
 xy
z
 =
 00
0
 é equivalente a
 1 0 00 0 1
0 0 0
 xy
z
 =
 00
0
 ,
portanto tem as mesmas soluções. Assim, x = 0 e z = 0 e consequentemente
E(λ2 = −4) = {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0 e z = 0}
= {(0, y, 0) ; y ∈ R}
= {(0, 1, 0)y ; y ∈ R}.
Logo, β2 = {(0, 1, 0)} é uma base de E(λ2 = −4).
b) A não é diagonalizável, pois
β = β1 ∪ β2 = {(−9,−1, 1), (0, 1, 0)} não é uma base do R3 formada por autovetores de A
ou
a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores é 1 + 1 = 2 ̸= 3 = dimR3
ou
ma(λ1 = 7) = 2 ̸= mg(λ1 = 7) = 1.
Questão 6 (2,0 pontos): Seja T : R2 −→ R2 a reflexão com respeito à reta gerada por
(
√
5,−1). Dê exemplo de uma base do R2 formada por autovalores de T , indicando os autoval-
ores e determine a matriz de T na base canônica do R2.
Solução: Seja T a reflexão com respeito à reta gerada pelo vetor (
√
5,−1). Como
u = (
√
5,−1) gera a reta, temos que T (u) = u.
v = (1,
√
5) é ortogonal a u, então v é perpendicular à reta e T (v) = −v.
Assim, β = {v1 = u = (
√
5,−1)︸ ︷︷ ︸
λ1=1
, v2 = v = (1,
√
5)︸ ︷︷ ︸
λ2=−1
} é uma base do R2 formada por autovetores
da reflexão.
P =
[
v1 v2
]
=
[ √
5 1
−1
√
5
]
é a matriz de mudança de base, da base β para a base canônica,
P diagonaliza T e a correspondente matriz diagonal é D =
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[
1 0
0 −1
]
. Temos
que
4
P−1 =
1
6
[ √
5 −1
1
√
5
]
=
[ √
5
6
−1
6
1
6
√
5
6
]
.
Logo, a matriz da reflexão na base canônica é
A = PDP−1 =
[ √
5 1
−1
√
5
] [
1 0
0 −1
][ √
5
6
−1
6
1
6
√
5
6
]
=
[ √
5 1
−1
√
5
][ √
5
6
−1
6
−1
6
−
√
5
6
]
=
[
4
6
−2
√
5
6
−2
√
5
6
−4
6
]
.
5