Limites

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Cálculo I A – Profª: Luciana Pena e Denise Pinto Página 1 
 
Limite de uma função quando x tende a um valor finito 
lim ( )
x a
f x b
→
= , com a e b finitos 
Seja 
:
( ) 3 2
f
x f x x
→
= −
ℝ ℝ
֏
. Analisaremos o comportamento da função y quando x assume 
valores próximos de 2, porém diferentes de 2. Para isso, consideremos as tabelas abaixo: 
 Tabela 1 Tabela 2 
2x − x ( )f x ( ) 4f x − 2x − x ( )f x ( ) 4f x − 
0, 2− 1,8 3,4 0,6− 0,2 2,2 4,6 0,6 
0,1− 1,9 3,7 0,3− 0,1 2,1 4,3 0,3 
0,01− 1,99 3,97 0,03− 0,01 2,01 4,03 0,03 
0,001− 1,999 3,997 0,003− 0,001 2,001 4,003 0,003 
0,0001− 1,9999 3,9997 0,0003− 0,0001 2,0001 4,0003 0,0003 
 
Notemos que, quanto mais x se aproxima de do valor 2 mais ( )f x se aproxima do valor 4, 
tanto na Tabela 1 quanto na Tabela 2. Podemos tornar ( )f x tão próximos de 4 quanto 
desejarmos, bastando para isso, tornar o valor de x suficientemente próximos de 2, isto é, 
quanto mais aproximamos x do valor de 2, as diferenças (distâncias) 2x − e ( ) 4f x − vão se 
tornando menores. 
Resta-nos saber se é possível relacionar estas duas distâncias, quando se deseja que 
( ) 4f x ε− < , onde ε é uma cota de erro que não pode ser atingida, ou seja, queremos 
tornar ( )f x o mais próximo de 4 possível, de maneira que o erro da aproximação seja menor 
que uma tolerância. Observe que ( )f x y= é o resultado da aplicação da função f na variável 
x. Devemos escolher um valor para x que satisfaça tal tolerância, estando esta escolha 
condicionada ao tipo de função e ao valor de ε . 
Se tomarmos x nos intervalos ( )2 ,2δ− e ( )2,2 δ+ , estamos tomando as distâncias de 2 que 
são menores do que δ , ou seja, 2x δ− < , isto é, fazendo com que 2x → teremos 
( ) 4f x → . Isto acontece quando, para todo ε , existe um δ tal que, tomando 2x δ− < 
acarrete ( ) 4f x ε− < . 
Com isto vemos que para controlar o erro da função, devemos controlar a variável, e este 
controle se dá quando determinamos δ . 
Nem sempre este controle é possível. Quando for possível, dizemos que o limite existe. 
No exemplo: 
2
lim ( ) 4
x
f x
→
= . 
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Definição: Seja 
:
( )
f A B
x f x y
⊂ → ⊂
=
ℝ ℝ
֏
 e a, b finitos ( ,a b ∈ℝ e *,ε δ +∈ℝ ). 
lim ( ) 0, ( ) 0 ( )
x a
f x b tq x a f x bε δ ε δ ε
→
= ⇔ ∀ > ∃ > − < → − < 
 
Limites Unilaterais: 
 
Definição: Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto ( , )a c . 
Então, o limite de ( )f x quando x se aproxima de a pela direita será b e escrito como: 
lim ( ) 0, ( ) 0 0 ( )
x a
f x b tq x a f x bε δ ε δ ε
+→
= ⇔ ∀ > ∃ > < − < → − < 
 
Definição: Seja f uma função definida em todo número de algum intervalo aberto ( , )d a . 
Então, o limite de ( )f x quando x se aproxima de a pela esquerda será b e escrito como: 
lim ( ) 0, ( ) 0 0 ( )
x a
f x b tq a x f x bε δ ε δ ε
−→
= ⇔ ∀ > ∃ > < − < → − < 
 
Teoremas sobre limites Infinitos de funções quando x tende a um valor finito: 
 
Definição: Seja 
1
1 1
:
( )
f A B
x f x y
⊂ → ⊂
=
ℝ ℝ
֏
 e 
2
2 2
:
( )
f A B
x f x y
⊂ → ⊂
=
ℝ ℝ
֏
 e a I A∈ ⊂ . Se 1lim ( ) 0
x a
f x
→
=
e 2lim ( )
x a
f x c
→
= então: 
Teorema: Se 
*c +∈ℝ e 1( ) 0f x > , ( )x I∀ ∈ então 2
1
( )lim ( )x a
f x
f x→ = +∞ . 
Teorema: Se 
*c +∈ℝ e 1( ) 0f x < , ( )x I∀ ∈ então 2
1
( )lim ( )x a
f x
f x→ = −∞ . 
Teorema: Se 
*c
−
∈ℝ e 1( ) 0f x > , ( )x I∀ ∈ então 2
1
( )lim ( )x a
f x
f x→ = −∞ . 
Teorema: Se 
*c
−
∈ℝ e 1( ) 0f x < , ( )x I∀ ∈ então 2
1
( )lim ( )x a
f x
f x→ = +∞ .