Transformações Lineares na Física do Interior da Terra

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AGG-222 "Introdução à Física do Interior da
Terra"
Aula-2
Fernando Brenha Ribeiro
Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da USP
26/03/2018
Transformações lineares
Em todas as definições de deformação que foram estabelecidas as
relações entre x
′
e (x , y) e entre y
′
e (x , y) são relações lineares:
x
′
= ax + by y
′
= cx + dy
A transformação inversa:
x =
dx
′ − by ′
ad − bc y =
−cx ′ + ay ′
ad − bc
onde o denominador será identificado por D = ad − bc .
Transformações lineares
Considerando uma reta y = mx + n descrita no sistema (x , y) e
aplicando as transformações do sistema para o sistema x
′
, y
′
)
tem-se:
−cx ′ + ay ′
D
= m
dx
′ − by ′
D
+ n
ou:
y
′
=
c + dm
a+ bm
x
′
+
Dn
a+ bm
Note que duas retas paralelas no sistema (x , y) têm a mesma
inclinação m e intersecções n1 e n2 distintas. As transformações
lineares aplicadas a cada uma das retas dá origem a retas também
com inclinações iguais no sistema (x
′
, y
′
), já que as novas
inclinações dependem da inclinação inicial m, mas não dependem
das intersecções iniciais. Por portanto, as retas permanecem
paralelas após a aplicação da transformação.
Transformações lineares - deformação angular
Considere agora um sistema ortogonal (x , y) e, representado nesse
sistema um par de eixos ortogonais (OA,OB) com a mesma origem
de (x , y), mas rodados de um ângulo θ, no sentido contrário ao do
movimento dos ponteiros de um relógio (ver figura 1).
Transformações lineares - deformação angular
A equação da reta OA é y = mx e a equação da reta OB é
y = − 1mx .
Aplicando o par de transformações lineares x
′
= ax + by e
y
′
= cx + dy , o que representaria uma deformação homogênea, as
retas se transformam em:
y
′
OA
x ′
=
c + dm
a+ bm
= tan(θ
′
)
e:
y
′
OB
x ′
=
c − dm
a− bm
= tan(
1
2
pi − ψ + θ′)
Usando:
tan(A+ B) =
tan(A) + tan(B)
1− tan(A) tan(B)
tem-se:
tan(
1
2
pi − ψ + θ′) = tan(
1
2pi − ψ) + tan(θ
′
)
1− tan(12pi − ψ) tan(θ′)
Transformações lineares - deformação angular
ou:
c − dm
a− bm
=
1
tan(ψ) +
c+dm
a+bm
1− 1tan(ψ) c+dma+bm
Desenvolvendo a expressão acima, tem-se:
2D tan(ψ) = 2(ab + cd) cos(2θ) + (b2 + d2 − a2 − c2) sin(2θ)
Impondo que ψ seja igual a zero:
tan(2θ) = − 2(ab + cd)
b2 + d2 − a2 − c2
Essa equação equação trigonométrica tem duas raízes θ0 e θ0 + pi2 .
A conclusão é que existe um único par de eixos perpendiculares no
sistema (x , y), ou seja, antes da deformação, que permanecem
perpendiculares no sistema x
′
, y
′
, ou seja, após a deformação. Esse
par de eixos é chamado de par de eixos principais.
Transformações lineares - deformação angular
Por outro lado, o valor máximo de ψ é obtido impondo que
dψ
dθ = 0, o que leva a:
−2(ab + cd) sin(2θ) + (b2 + d2 − a2 − c2) cos(2θ) = 0
ou:
tan(2θ1) =
b2 + d2 − a2 − c2
2(ab + cd)
= − 1
tan(2θ0)
Essa equação trigonométrica tem duas soluções θ0 + pi4 e θ0 +
3pi
4 ,
que representam as direções de deformação angular máxima.
Exercícios
Mostre que a equação:
tan(2θ) = A
A sendo um número real, tem duas soluções θ0 e θ0 + pi2 . Mostre
que a equação:
tan(2θ1) = − 1tan(2θ0)
tem duas soluções θ1 = θ0 + pi4 e θ1 = θ0 +
3pi
4
Transformação linear - as elongações
Considere uma circunferência de raio unitário:
x2 + y2 = 1
onde os eixos do sistema (x , y) são os eixos principais.
Aplicando as transformações lineares Dx = dx
′ − b′ e
Dy = −cx ′ + dy ′ , com D = ad − bc , a circunferência unitária se
transforma em:
(dx
′ − by ′)2 + (−cx ′ + dy ′)2 = D2
que, reorganizando os termos leva a:
d2 + c2
D2
(x
′
)2 − 2(ac + bd)
D2
x
′
y
′
+
a2 + b2
D2
(y
′
)2 = 1
que é a equação de uma elipse, con os seus semieixos rodados em
relação aos eixos ortogonais x
′
, y
′
). Para se calcular as elongações,
é necessário achar os semieixos da elipse.
Exercício
Uma das formas de se achar os semieixos da elipse é escrevê-la na
forma canônica.
Escreva a equação da elipse:
d2 + c2
D2
(x
′
)2 − 2(ac + bd)
D2
x
′
y
′
+
a2 + b2
D2
(y
′
)2 = 1
na forma canônica. Neste exercício o sistema de referência no
estado ão deformado é o sistema dos eixos principais, que
permanecem ortogonais apos a deformação. Por isso, achar a forma
canônica é relativamente simples. Se o sistema no estado não
deformado não for o par de eixos principais, não é possível escrever
a equação da elipse na forma canônica, porque os eixos no sistema
deformado não são ortogonais. Você seria capaz de imaginar como
resolver o problema nesse caso?