Álgebra - Anéis Comutativos, Euclideanos, Fatoriais, Principais e Noetherianos

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Anéis comutativos,
Euclideanos, fatoriais, principais e Noetherianos
Podemos dizer que em geral os anéis são partes de um corpo onde não temos divisão. A palavra
anel deve ter-se originado quando Galois estudou pela primeira vez corpos finitos. No estudo das
congruências módulo n o que fazemos é �enrolar� o conjunto dos inteiros num círculo. Enrolar em
círculo leva a anel. Enfim, esse é o nome. Por exemplo: Z e F [x] são anéis com os quais estamos
convivendo. Mas podemos fabricar muitos outros. Para um conjunto ser anel deve ter uma unidade
multiplicativa, isto é, um 1. Deve ter um zero, 0, ter soma e produto de seus elementos. O produto
deve ser distributivo em relação a soma. Por exemplo: Mn o conjunto das matrizes n por n tem essas
propriedades, tem 1 que é a matriz identidade; tem 0 que é a matriz nula. Somamos e multiplicamos
matrizes e a multiplicação é distributiva em relação a soma. Logo é um anel. A diferença entre esse
anel e os dois outros exemplos, Z e F [x], é que em Mn a multiplicação não é comutativa. Anéis onde
a multiplicação é comutativa são chamados de abelianos em homenagem a Abel. Outro exemplo de
anel não comutativo é o conjunto de todas as funções F = { f : R→ R | f função } com a soma e o
produto usual de funções: (f + g)(t) = f(t) + g(t) e (fg)(t) = f(t)g(t).
Observação. Todo corpo é também um anel e todo subcorpo é também um subanel. Mas é claro
que não vale a recíproca.
Na verdade podemos dizer que um corpo F é um anel tal que para todo x ∈ F , se x 6= 0, então
x tem um inverso x−1 em F . Num anel devemos esperar que muitos elementos, embora não nulos,
não tenham inverso. Em um anel A um elemento que tem inverso é chamado de uma unidades.
Definição. Seja A um anel e A× = {u ∈ A | existe v ∈ A tal que uv = 1 }. Isto é A× são os
elementos de A que tem inverso em A.
Observação. Na verdade A× é um grupo em relação a multiplicação do anel.
Por exemplo, se A for um corpo, então A× = A r { 0 }. Para Z temos Z× = {1,−1}. Em
Z[i] = { a+ bi | a, b ∈ Z} (verifique como exercício que Z[i] é um anel) temos Z[i]× = { 1,−1, i,−i }
(mais tarde demonstraremos isso). Em F [x], onde F é um corpo temos F [x]×] = F×. Na verdade
isso vale para todo anel A: A[x]× = A×. Um outro exemplo interessante é o seguinte: seja
Z(3) =
{a
b
∈ Q | 3 - b
}
.
1
Verifique como exercício que Z(3) é um anel (subanel de Q). Nesse anel Z×(3) é �muito grande.� De
fato
Z×(3) =
{a
b
∈ Q | 3 - b e 3 - a
}
.
Questão 1. Mostre que o seguinte conjunto é um anel (subanel de C) e encontre seu grupo de
unidades. Seja ω =
−1 +√−3
2
e Z[ω] = {a+ bω | a, b ∈ Z}.
Neste curso praticamente só estudaremos anéis abelianos, ou comutativos. Nossos exemplos mais
conhecidos e interessantes são os anéis Z e F [x], onde F é um corpo. Vamos ver que esses dois anéis
tem muito em comum. Por exemplo, dados dois inteiros, ou dois polinômios, sempre podemos fazer
a divisão de um pelo outro e encontrar um quociente e um resto. Essa propriedade é chamada de
divisão euclidiana e temos toda uma família de anéis caracterizados pela divisão euclidiana.
Definição. Dizemos que um anel A é euclidiano se existir uma função
ϕ : Ar { 0 } → N
tal que para todo par de elementos a, b ∈ A, b 6= 0, existem q, r ∈ A tais que
a = bq + r com r = 0, ou ϕ(r) < ϕ(b).
Isto é, podemos realizar uma �divisão euclidiana� em A.
Anéis com a propriedade acima são chamados de Anéis Euclidianos. Temos os exemplos muito
conhecidos de Z, onde ϕ(n) = |n|, é o valor absoluto de n. Para o anel F [x] temos ϕ(f(x)) = gr f(x)
(grau de f(x). Mas será que existem outros? Um exemplo trivial e sem �graça� é o caso de um corpo
com ϕ(x) = 1, para todo x ∈ F×. O interesse nos anéis euclidianos vem do fato de que muitas outras
propriedades �fortes� decorrem dela. Por exemplo sempre existe MDC de dois elementos a, b ∈ A e
que um MDC pode ser escrito na forma ua+vb com u, v ∈ A; todo elemento tem fatoração única em
irredutíveis de A. Mas uma questão a ser considerada é se a família dos anéis Euclidianos é bastante
grande para justificar seu estudo.
Questão 2. Verifique que de fato Z com ϕ(n) = |n| e F [x] com ϕ(f(x)) = gr f(x) são anéis
euclidianos.
Vamos então ao novo exemplo.
2
Exemplo: Tomemos Z[i] = { a+ bi | a, b ∈ Z }. Esse anel é conhecido como anel dos inteiros de
Gauss. Acho que foi Gauss que constatou suas excelentes propriedades aritméticas. Vamos definir
em Q(i)1 uma conjugação pondo a+ bi = a− bi. Essa conjugação tem boas propriedades:
∀u, v ∈ Q(i) vale u+ v = u+ v, uv = uv.
Com o auxílio da conjugação definimos uma norma: N(u) = uu. Isto é, N(a + bi) = a2 + b2.
Verifica-se facilmente as seguintes propriedades:
Questão 3. Quaisquer que sejam u, v ∈ Q(i) temos N(uv) = N(u)N(v). Mais ainda N(u) = 0
se e somente se u = 0. Finalmente, para u ∈ Z[i] temos N(u) = 1 se e somente se u ∈ Z[i]× (Usando
a função norma torna-se fácil encontrar as unidades de Z[i]).
Vamos mostrar que essa função norma N tem a propriedade de uma função ϕ para tornar Z[i]
um anel euclidiano.
Dados u, v ∈ Z[i], v 6= 0, vamos mostrar que exitem q, r ∈ Z[i] tais que u = vq + r, onde r = 0
ou N(r) < N(v). Digamos que u = a+ bi e v = c+ di seja
z =
u
v
=
ac+ bd
c2 + d2
+
ad− bc
c2 + d2
i ∈ Q[i].
Em geral z 6∈ Z[i] pois tem parte real e parte imaginária não inteiras. Sabemos contudo que a
�distância� entre dois inteiros é sempre 1. Sejam então m′ o maior inteiro contido em
ac+ bd
c2 + d2
e n′ o
maior inteiro contido em
ad− bc
c2 + d2
. Isto é;
m′ ≤ ac+ bd
c2 + d2
< m′ + 1, n′ ≤ ad− bc
c2 + d2
< n′ + 1. Logo
∣∣∣∣ac+ bdc2 + d2 −m′
∣∣∣∣ < 1, e ∣∣∣∣ad− bcc2 + d2 − n′
∣∣∣∣ < 1.
Vamos agora fazer um ajuste: Se∣∣∣∣ac+ bdc2 + d2 −m′
∣∣∣∣ ≤ 12 , tomamos m = m′,
Se ∣∣∣∣ac+ bdc2 + d2 −m′
∣∣∣∣ > 12 , tomamos m = m′ + 1,
do que vai resultar ∣∣∣∣ac+ bdc2 + d2 −m
∣∣∣∣ ≤ 12 .
1
Quando o conjunto é um anel usamos [], como em Z[i] ou F [x]. Quando o conjunto é um corpo usamos (), como
em Q(i) ou Q( 3
√
2).
3
Igualmente ajustamos o n′ para termos ∣∣∣∣ad− bcc2 + d2 − n
∣∣∣∣ ≤ 12 .
Tomamos agora q = m+ ni ∈ Z[i] que será nosso candidato ao quociente euclidiano. De fato
N
(u
v
− q
)
= N
(u
v
− q
)
=
(
ac+ bd
c2 + d2
−m
)2
+
(
ad− bc
c2 + d2
− n
)2
≤
(
1
2
)2
+
(
1
2
)
)2
≤ 1
2
< 1.
Tomamos a seguir
N(u− vq) = N(v)N
(u
v
− q
)
< N(v).
Definindo-se então r = u− vq temos que r = 0 ou N(r) < N(v) e vale a igualdade u = vq + r. Fica
assim demonstrado que temos um algorítimo de Euclides em Z[i].
Questão 4. Faça a mesma coisa no anel Z[
√−2]. Agora a conjugação em Q(√−2) será dada
por a+ b
√−2 = a− b√−2 e a norma dada por N(a+ b√−2) = a2 + 2b2.
Existem muitos outros exemplos onde a norma faz do anel de inteiros de Q(
√
d), d ∈ Z não
quadrado, um anel euclidiano. Por exemplo também Z[
√
2], Z[
√
3], ou Z[
√−7]. Isso pode levar
ao erro de supor que o anel sempre será euclidiano para a função norma, mas isso não é ver-
dade. Para d ∈ Z e d < 0 o anel Z[√d] só é euclidiano para a função norma nos casos d =
−1,−2,−3,−7,−11. Para d positivo somente temos a divisão euclidiana para a função norma nos
casos d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73.
Questão 5. Utilizando a função �norma� de N : Z[
√
d] → Z estude Z[√d]×. Considere também
Z[ω] da Questão 1 e verifique a com a ajuda da norma facilmente encontramos o grupo das unidades.
Depois de termos mais exemplos de Euclidianos vamos continuar seu estudo, mas antes de con-
tinuarmos vamos introduzir um novo conceito:
Definição. Seja A um anel e a, b ∈ A com b 6= 0. Dizemos que b divide a (em A) se existir c ∈ A
tal que a = bc. Vamos denotar essa relação �b divide a� por b|a.
Observe que num anel Euclidiano se b|a, então o resto r da divisão Euclidiana de a por b é r = 0.Questão 6. Estude o que acontece em um anel euclidiano quando dividimos 1 por b 6= 0.
Questão 7. Verifique que a relação acima tem as seguintes propriedades:
4
1. Se b|a e a|d, então b|d (é transitiva).
2. Se b|a e b|d, então b|(a+ d) (um tipo de distributividade).
3. Usando a item anterior verifique que se b|(a+ d) e b|a, então b|d.
Nas propriedades acima vimos que �|� é transitiva. Claro que é também reflexiva pois b|b para
todo b 6= 0. Mas não é simétrica. Quando é simétrica temos uma situação especial.
Questão 8. Seja f(x) ∈ Q[x] um polinômio não constante e b ∈ C uma raiz de f(x). Mostre que
a propriedade da divisão Euclidiana de Q[x] implica que x− b divide f(x).
Definição. Dizemos que dois elementos não nulos a, b de um anel A são associados se a|b e b|a
(a divide b e b divide a).
Claro que nesse caso, como a|b, temos b = au, com u ∈ A, e igualmente, a = bv, com v ∈ A pois
também b|a. Isso implica b = bvu que dividido por b (por hipótese a, b 6= 0) leva a 1 = vu. Logo
u ∈ A× (também v = u−1 ∈ A×).
Questão 9. Reciprocamente, se u ∈ A× e a, b ∈ A são não nulos tais que a = ub, mostre que a|b
e b|a, isto é a e b são associados.
Podemos denotar essa relação assim a ∼ b ⇔ a|b e b|a.
Questão 10. Mostre que para a, b ∈ A se tivermos a = b, então a ∼ b.
Questão 11. Mostre que a relação a ∼ b é uma relação de equivalência e que A× é a classe de
equivalência de 1 (A× = {x ∈ A | x ∼ 1 }).
Definição. Dados dois elementos a, b ∈ A de um anel A chama-se máximo divisor comum, MDC,
deles a um d que tem as seguintes propriedades:
1. d|a e a|b, d divide os dois;
2. se algum outro elemento e dividir os dois, então d divide e, em símbolos: se e|a e e|b, então d|e.
Estamos dizendo que o MDC é um divisor comum que �contém� todos os outros divisores comuns.
Observe que se d é um MDC de a e b, então ud, com u ∈ A×, também é um MDC de a e b. Logo
não temos MDC único.
Questão 12. Se d é um MDC de a e b, então d′ é outro MDC de a e b se e somente se d ∼ d′.
Isto é os MDCs são equivalentes num certo sentido.
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Questão 13. Defina mínimo múltiplo comum de dois elementos a, b de um anel A.
Vamos voltar novamente ao estudo dos anéis Euclidianos. Recordando,
Seja A um domínio euclidiano e seja
ϕ : Ar { 0 } → N (I)
tal que para todo par de elementos a, b ∈ A, b 6= 0, existem q, r ∈ A tais que
a = bq + r com r = 0, ou ϕ(r) < ϕ(b),
a função que permite fazer a divisão euclidiana de dois elementos de A.
Vamos assumir que ϕ tem a seguinte propriedade adicional para facilitar as contas:
∀ a, b ∈ Ar { 0 }, ϕ(ab) ≥ ϕ(a). (II)
Essa condição não é na verdade necessária. Pode-se ver em �Introdução a Álgebra e Aritmética�, T.
M. Viswanathan, Monografias de Matemática, n
o33, IMPA, 1979, nas páginas 252-255, proposições
2.3 e 2.4, que sempre que exite uma função ϕ estabelecendo uma divisão euclidiana, existe uma outra
θ que também estabelece uma divisão euclidiana e θ tem a propriedade adicional. Se existe uma ϕ
que permite divisão euclidiana, existem outras que também permitirão e entre elas pode-se pegar
uma com a propriedade adicional. Logo não faz mal nenhum usarmos essa propriedade. Observe
também que em todos os exemplos que vimos a função da divisão euclidiana tinha essa propriedade.
Questão 14. Para uma ϕ que tem as duas propriedade (I) e (II) acima mostre que:
(a) ϕ(1) ≤ ϕ(x), ∀x ∈ A
(b) Para todo u ∈ A×, ϕ(u) = ϕ(1).
(c) Para a, b ∈ A, se a ∼ b, então ϕ(a) = ϕ(b).
(d) Se a ∈ A e ϕ(a) = ϕ(1), mostre que a ∈ A×
Dica. Faça a divisão euclidiana de 1 por a.
(e) Sejam a, b ∈ A. Mostre que se a ∼ b, então ϕ(a) = ϕ(b).
Dica. Calcular ϕ(ua) com u ∈ A×.
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Veremos a seguir que em um anel Euclidiano todo par de elementos a, b, não nulos, tem MDC.
Esse resultado as vezes é chamando de
Teorema de Bezout: Seja A um anel Euclidiano e a, b ∈ A, a, b 6= 0. Então existe o MDC
d ∈ A de a e b. Mais ainda, existem elementos t, s ∈ A tais que d = ta+ sb.
Podemos demonstrar esse fato de duas maneiras. Primeira demonstração:
Demonstração. Tomemos o conjunto D = {xa + yb 6= 0 | x, y ∈ A }; estamos dizendo que D é
o conjunto de todas as combinações de a e b que podemos fazer com coeficientes x e y em A. Em
seguida tomemos o conjunto I = {ϕ(z) | z ∈ D} ⊂ N (assumimos que zero está em N). O conjunto
I tem um menor elemento. Seja d ∈ D tal que ϕ(d) é o menor elemento de I. Vamos ver que d é
um MDC de a e b. Como d ∈ P existem t, s ∈ A tais que
d = ta+ sb. (†)
Vejamos primeiro que d é um divisor comum. Pelo algorítimo de Euclides existem q, r ∈ A tais
que a = dq + r e, muito importante, r = 0 ou ϕ(r) < ϕ(d). Queremos então que o resto r seja zero
para provarmos que d divide a. Para provarmos isso, tomemos r = a − qd e trocamos d por sua
representação (†),
r = a− qd = a− q(ta+ sb) = (1− qt)a+ (−qs)b.
Concluímos então que r ∈ D se r 6= 0. Mas ϕ(d) é o menor valor de I e ϕ(r) < ϕ(d). Logo não é
possível que r ∈ D. Portanto r = 0 e d|a. Mostra-se da mesma forma que d|b.
Finalmente, se e ∈ A for tal que e|a e e|b, como d = ta + sb, por um exercício anterior, e|d.
Mostramos assim que e tem as duas propriedades para ser o MDC de a e b.
q.e.d.
Demonstração. (Segunda Forma) Vamos agora aplicar o método das divisões sucessivas. Essa
segunda demonstração tem a vantagem de ser construtiva; ela mostra como encontrar os elementos
t e s. Divide a por b:
a = q1b+ r1, r1 = 0 ou ϕ(r1) < ϕ(b).
Se r1 6= 0, divide b por r1:
b = q2r1 + r2, r2 = 0 ou ϕ(r2) < ϕ(r1).
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Se r2 6= 0, divide r1 por r2:
r1 = q3r2 + r3, r3 = 0 ou ϕ(r3) < ϕ(r2).
Se r3 6= 0, divide r2 por r3, e vamos fazendo isso sucessivamente
.
.
.
.
.
.
.
.
.
até encontrar um resto zero:
rn−2 = qnrn−1 + rn, rn(x) = 0 ou ϕ(rn) < ϕ(rn−1).
e
rn−1 = qn+1rn + 0.
O MDC vai ser rn.
Podemos ter certeza de que vai acontecer rn+1 = 0 porque temos
ϕ(b) > ϕ(r1) > ϕ(r2) > · · · ≥ 0.
Logo a sequência de divisões vai ter parar em algum ponto.
Para demonstrar que rn é um MDC vejamos primeiro que rn divide a e b.
Vamos a verificação:
rn|rn−1, pois rn+1 = 0,
rn|rn e rn|rn−1 logo rn|rn−2
vamos repetindo
rn|r3 e rn|r2 logo rn|r1
rn|r2 e rn|r1 logo rn|b
rn|r1 e rn|b logo rn|a
Conclusão rn é um divisor comum. Vamos agora encontrar os elementos t e s para ter rn = ta+ sb.
Para isso vamos �tirando� os restos nas equações acima:
da primeira equação r1 = a− q1b
troca na segunda r2 = b− q2r1 = (−q2)a+ (1 + q2q1)b
troca na terceira r3 = r1 − q3r2 = a− q1b+ q3q2a− q3(1 + q2q1)b =
= (1 + q3q2)a+ (−q1 − q3 − q3g2q1)b
vai repetindo
.
.
.
até chegar a rn = ta+ sb
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Para terminar usamos novamente o exercício anterior que nos garante que se um e satisfizer e|a e
e|b, então e|un, terminando a demonstração.
q.e.d.
Vamos agora ver um exemplo em A = Q[x] e ϕ = gr : seja f = x6+x5− 9x4− 10x3−x2+9x+9
e g = x4 + 4x3 − 6x2 − 7x − 10. Na primeira divisão vamos obter q1 = x2 − 3x + 9 e r1 =
−57x3 + 42x2 + 42x+ 99, isto é:
x6+x5−9x4−10x3−x2+9x+9 = (x2−3x+9)(x4+4x3−6x2−7x−10)+(−57x3+42x2+42x+99)
Na segunda divisão, de g = x4 +4x3− 6x2− 7x− 10 por r1 = −57x3 +42x2 +42x+99, vamos obter
q2 =
−1
57
x− 30
361
e r2 =
−640
361
(
x2 + x+ 1
)
.
Antes de fazermos a terceira divisão observemos que o termo
−640
361
pode ser descartado. De fato
toda constante c 6= 0 pode ser descartada antes de dividir, pois se temos a(x) = b(x)q(x)+ r(x), com
r(x) = 0, ou gr r(x) < gr b(x) e c 6= 0 é uma constante, c ∈ K, então a(x) = cb(x)(c−1q(x)) + r(x)
e tudo vale da mesma forma. Vamos então fazer a terceira divisão com x2 + x + 1 no lugar do r2
que calculamos. Dividindo-se r1 por x
2 + x + 1 obtemos q3 = −57x + 99 e r3 = 0. Conclusão: o
MDC é r2 = x
2 + x+ 1. Vamos agora encontrar u(x) e v(x). Temos r1 = f − q1g e r2 = g − q2r1 =
g − q2(f − q1g) = (−q2)f + (1 + q2q1)g. Logo
u(x) = −q2 = −
(−1
57
x− 30
361)
e v(x) = 1 + q2q1 = 1 +
(−1
57
x− 30
361
)(
x2 − 3x+ 9).
Questão 15. Calcule em Q[x] um MDC h(x) de f = x4+x3+2x2+x+1 e g = x3+4x2+4x+3
e encontre os polinômio u(x), v(x) ∈ Q[x] para os quais temos h = uf + vg.
Definição. Dizemos que dois elementos a, b ∈ A são relativamente primos se um MDC deles for
uma unidade de A, isto é, existe um MDC, d, de a e b, com d ∈ A×.
Questão 16. Mostre que um MDC, d, de a e b em um anel A satisfaz: d ∈ A× se e somente se
1 é um MDC de a e b em A.
Questão 17. Sejam a e b dois elementos de um anel euclidiano A, (a, b ∈ A) tais que um MDC
deles em A é d. Dado um outro elemento k ∈ A, mostre que a equação aX + bY = k tem solução
em A se e somente se d|k.
Observamos no último exercício que é precisamos supor que A é Euclidiano para mostrar que a
equação tem solução. Na outra direção, que é trivial, a hipótese não é necessária.
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Referências
[BE] P. Brumatti e A. J. Engler, Inteiros Quadráticos e Grupos de Classe, 23
o
Colóquio Bras. de
Mat. IMPA, 2001.
[C] H. Cohn, Advanced Number Theory, Dover Publications Inc., 1962.
[GL] A. Garcia e Y. Lequain, Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, Associação Instituto Na-
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[H] I. N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons, 1975.
[R] J. Rotman, Galois Theory, Springer-Verlag, 1990.
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