3ª prova de geometria analítica e sistemas lineares

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3ª Prova de Geometria Analítica e Sistemas Lineares 
Departamento de Matemática - ICE – UFJF - 24/08/2013 
 
 
 
 
Aluno:________________________________________ Matrícula:_____________ Turma:______ 
 
Observações: esta prova deve conter 4 questões, encerrando-se no item 4(b). A prova é individual, 
sem consulta e não é permitido o uso de calculadora. 
 
1. (a) Determine a posição relativa das retas 
r: (x, y, z) = (1 –t, t, -1 +t), t 

 R e 
s: (x, y, z) = (0, 0, 1) +k(2, -2, -2), k 

 R. 
Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Calcule a distância entre as retas r e s. 
 
 
 
 
 
 
 
Quest. Nota 
1 
2 
3 
4 
Total 
20 pontos 
2. Considere as retas: 
r : (x, y, z) = (1, 1, 9) + t(0, -1, 1), t 

 R, e 
s : X = (-1, 1, 7) + k(1, 1, 0), k 

 R. 
 
(a) Calcule o ângulo formado pelas retas r e s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Existe um plano que contém as retas r e s simultaneamente? Justifique sua resposta e, em caso 
afirmativo, determine uma equação geral do plano que as contém. 
 
 
 
20 pontos 
3. Determine a equação cartesiana de cada uma das curvas a seguir: 
a) elipse com um foco no ponto F = (5, 3), centro no ponto C = (-1, 3) e um vértice no ponto 
A = (-11, 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) hipérbole com um foco no ponto F = (2, -2), centro no ponto C = (2, 3) e excentricidade e = 5/3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) parábola com vértice em V = (-3, 1) e reta diretriz x = -1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 pontos 
4. Classifique cada uma das afirmações abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se verdadeira, 
prove; se falsa, prove ou dê um contraexemplo. 
a) Se P = (x, y) é um ponto que satisfaz a equação 9y
2
 -4x
2
 = 36, então 
S)d(P,R)d(P, 
= 6 , onde R = 
0),13(
e S = 
0),13(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A curva de equação polar r = 6 cos θ, representa uma circunferência de centro C = (0, 3) e raio 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 





senty
tx
4
1cos3 , 0  t  2 π é uma parametrização para a elipse de centro C = (1, 0) e eixo maior 
paralelo ao eixo y, medindo 8 u.c..
1
 
 
 
 
 
 
1
 Atenção! Os alunos que desejarem fazer a Prova Opcional de Geometria Analítica e Sistemas Lineares, que ocorrerá 
no dia 04/09/2013, deverão fazer sua inscrição na Coordenação do Curso de Ciências Exatas, até o dia 03/09/2013 às 
12:00h. 
30 pontos