Aula Introdução à Teoria de Probabilidades

Prévia do material em texto

1. Fenómenos Aleatórios, Eventos e Métodos de Contagem 
 
 
1. Introdução 
A Estatística como ciência divide-se em dois grandes ramos: Estatística Descritiva e a 
Estatística Inferencial (Inferência Estatística). 
A Estatística Descritiva é um ramo da Estatística que se dedica ao resumo de uma 
grande quantidade/volume de dados através medidas numéricas (média, 
proporções/percentagens etc.) ou tabelas e gráficos. Seu objectivo é descrever as 
características de uma população. 
A Inferência Estatística é o ramo da Estatística que estuda as técnicas estatísticas que 
permitem fazer o estudo de uma população com base na amostra (subconjunto dos 
elementos da população) de tal maneira que os resultados ou conclusões obtidos da 
amostra se generalizam a toda a população (inferência). É evidente que com base na 
informação que nos proporciona uma amostra é impossível conhecer com exactidão as 
características de toda a população e portanto, qualquer medida sobre uma 
característica da população conterá inevitavelmente uma incerteza. O grau dessa 
incerteza mede-se através de Probabilidade. A probabilidade permite-nos passar das 
afirmações feitas com certeza sobre as características da amostra para prognosticar em 
termos probabilísticos as características da população. Portanto a Teoria de 
Probabilidades é a base da Inferência Estatística 
A Teoria de Probabilidades é uma teoria matemática que estuda a possibilidade de 
ocorrência de fenómenos aleatórios 
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 2 
2. Experimentos Aleatórios, Espaço Amostral e Eventos 
2.1 Experimentos Aleatórios 
Um experimento é qualquer acção, situação ou operação capaz de produzir resultados 
que permite a um investigador fazer observações ou medições de um fenómeno. Os 
experimentos podem ser determinísticos ou aleatórios. 
 
Os experimentos determinísticos são aqueles que quando se realizam nas mesmas 
condições os resultados são sempre os mesmos (são previsíveis), qualquer que seja o nº 
de ocorrência dos mesmos. Toda a acção ou experiência conduz a um resultado 
conhecido (previsível). 
Exemplos: 
a) Sabe-se que quando se coloca a água no sistema de frio até atingir 0º C, sob 
pressão atmosférica normal, a água passará do estado líquido para o estado 
sólido. 
b) Pela lei da gravidade sabe-se que ao lançar um objecto ao ar, ele vai cair. 
Os experimentos determinísticos podem ser representados por modelos 
determinísticos. Exemplos de alguns modelos determinísticos conhecidos na Física 
são: 
maF 
(Lei de Newton); 
vtS 
 
 
Os experimentos aleatórios são aqueles que mesmo que se realizam nas mesmas 
condições os resultados não são os mesmos (não são previsíveis), mesmo que se 
repitam um grande nº de vezes. Neste tipo de experimento não se sabe, a prior, o 
resultado mas conhece-se o conjunto dos resultados possíveis. 
Exemplos: 
a) Lançamento de uma moeda não viciada. Não sabe qual deles vai aparecer antes 
de lançamento da moeda mas sabe-se que os resultados possíveis são cara (c) 
ou coroa (r). 
b) Lançamento de um dado não viciado. Sabe-se que os resultados possíveis são 1, 
2,…, 6, mas não se sabe a prior qual das faces vai aparecer. 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 3 
c) Nº de chamadas que chegam a um telefone durante 5 minutos. Não se sabe 
quantas chamadas vão chegar dentro de 5 minutos mas sabe-se que esse nº 
pode ser 0; 1; 2;,…. 
d) Etc. 
 
Um experimento aleatório apresenta as seguintes características: 
1. Pode repetir-se um grande nº de vezes nas mesmas condições ou pelo menos em 
condições similares; 
2. Em cada vez que se repete obtém-se um resultado diferente mas nunca há 
conhecimento suficiente para prever com exactidão o resultado mesmo que se 
façam esforços para manter sob controlo as circunstâncias relevantes; 
3. Ainda que os resultados dos experimentos particulares não sejam previsíveis, 
verifica-se que quando se repete o experimento um grande nº de vezes, apresenta 
alguma regularidade estatística nos resultados. Por exemplo está demonstrado 
que lançando uma moeda não viciada 100 vezes pode-se observar que a 
frequência da ocorrência da cara é idêntica a da coroa e é igual a ½. 
 
2.2 Espaço amostral 
Um espaço amostral (ou espaço de resultados) de um experimento aleatório é o 
conjunto universal de todos os resultados possíveis desse experimento, O espaço 
amostral como conjunto pode ser representado pelas letras Ω, S ou E. A cada elemento 
do espaço amostral chama-se ponto amostral ou resultado elementar. 
Exemplos: 
Indique o espaço amostral dos seguintes experimentos: 
a) Lançamento de uma moeda honesta 
b) Lançamento de um dado não viciado, 
c) Nº de chamadas que chegam a um telefone durante 5 minutos. 
d) Lançamento de duas moedas não viciadas. 
e) O tempo que leva um servidor ( caixa, ATM etc.) para atender um cliente 
Respostas: 
a) 
 rc;
 
b) 
 6;5;4;3;2;1
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 4 
c) 
 ;....;2;1;0
 
d) 
        rrcrccrc ,;,;,;,
 
e) 
    ;00 tt
 
 
Os espaços amostrais associados a um experimento aleatório podem ser finito, infinito 
enumerável e contínuo. 
Um espaço amostral finito é aquele que tem um nº finito de elementos, exemplos de 
alíneas a, b e d. 
Um espaço amostral infinito enumerável ( ou espaço amostral discreto) é aquele que 
tem um nº infinito enumerável de elementos, ou seja quando se pode estabelecer uma 
correspondência biunívoca entre os elementos do espaço amostral com a sucessão dos 
nºs naturais, caso do exemplo alínea c. 
Um espaço continuo é aquele que tem um nº infinito não enumerável de elementos, 
caso do exemplo de alínea e. 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 5 
2.3 Determinação do espaço amostral 
Para enumerar de forma exaustiva os elementos do espaço amostral de mais de um evento 
recorre-se a tabela de dupla entrada ou ao diagrama de árvore. 
 
Tabela de dupla entrada 
A tabela de dupla entrada é utilizada para encontrar o espaço amostral de dois experimentos 
aleatórios. 
Exemplo: 
Lança-se uma moeda ao ar duas vezes. Encontrar o espaço amostral. 
Solução: 
M2 
M1 
c r 
c (c,c) (c,r) 
r (r,c) (r,r) 
 
Ω={(c,c); (c,r); (r,c); (r,r)} 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 6 
Diagrama de árvore 
Vimos que a tabela de dupla entrada pode ser usada para dterminar o espaço amostral de dois 
experimentos o que constitui uma limitante quando temos mais de 2 experimentos. O diagrama 
de árvore pode ser usado para determinar espaço amostral de dois, três ou mais experimentos 
aleatórios, sendo a única limitante o espaço para desenhar o gráfico. 
Voltando ao exemplo anterior tem-se o seguinte diagrama: 
 
 c : (c,c) 
 
 cr :(c,r) 
 
 
 
 
 c :(r,c) 
 r 
 
 r: (r,r) 
 
 
 
Ω={(c,c); (c,r); (r,c); (r,r)} 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 7 
 
Exemplo: 
Lança-se uma moeda ao ar três vezes. Encontrar o espaço amostral desse experimento, 
a) . 
 
Solução: 
 C :(c,c,c) 
 r: (c,c,r) 
 c 
 c :(c,r,c) 
 
 c r r: (c,r,r) 
 c : (r,c,c) 
 
 c r: (c,c,r) 
 c : (r,r,c) 
 r 
 r 
 r: (r,r,r) 
 
Ω={(c,c,c); (c,c,,r); (c,r,c); ); (c,r,r) ; (r,c,c); (r,c,r); (r,r,c) ; (r,r,r)} 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 8 
2.4 Eventos 
Um evento (ou acontecimento) é um subconjunto do espaço amostral. Ao realizar um 
experimento aleatório, em muitos casos, não nos interessam os resultados elementares do 
experimento, mas sim algum subconjunto contido no espaço amostral. Como conjuntos os 
eventos representam-se por letras maiúsculas A, B, C,… 
Exemplo: 
Lança-se um dado não viciado ao ar. Determine os seguintes eventos: 
a) Saída de um nº impar. 
b) Saída de um nº maior que 4. 
c) Saída de um nº primo. 
d) Saída do nº 3. 
e) Saída de um nº menor que 7. 
f) Saída de um nº maior que 6. 
Respostas: 
O espaço amostral é 
 6;5;4;3;2;1
 
Os eventos são: 
a) 
 5;3;1A
 
b) 
 6;5B
 
c) 
 5;3;2C
 
d) 
 3;D
 
e) 
   6;5;4;3;2;1E
 
f) 
F
 
 
Diz-se que um evento ocorre quando ao realizar-se o experimento aleatório dá lugar a um dos 
resultados elementares pertencente ao subconjunto que define o evento. 
Existem 4 tipos de eventos: 
1. Evento elementar é aquele que consta de um único elemento do espaço amostral, por 
exemplo o evento D. 
2. Evento composto é aquele que consta de dois ou mais eventos elementares. Os 
eventos A, B, C e E são compostos. 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 9 
3. Evento certo (seguro) é aquele que consta de todos os eventos elementares do espaço 
amostral, e coincide com o espaço amostral. O evento certo sempre ocorre ao realizar o 
experimento. Exemplo o evento E. 
4. Evento impossível é aquele que nunca ocorre quando se realiza um ou mais 
experimentos. Exemplo F 
 
2.5 Operações sobre eventos aleatórios 
Vimos que os eventos de um experimento são subconjuntos do espaço amostral, por essa 
razão gozam das mesmas operações sobre conjuntos. 
Sejam A e B dois eventos do espaço amostral 

. As seguintes operações estão definidas sobre A e 
B: 
1. Inclusão 
BA
 , se sempre que ocorre o evento A, também ocorre o evento B. 
2. Igualdade 
BA 
, se sempre que o evento A também ocorre o evento B, e sempre que ocorre o evento B 
também ocorre o evento B. Isto é 
ABBABA 
 
3. União 
BA
: é um evento que ocorre se pelo menos ocorre um dos eventos (A ou B ou A e B) 
Em geral, dados n eventos 
nAAA ;...;; 21
 , sua união 
i
n
i
n AAAA
1
21 ;...;


 é um evento que ocorre se pelo menos ocorre um dos eventos 
iA
( 
i=1,2,…,n). 
 
4. Intersecção 
ABBA 
: é um evento que ocorre se A e B ocorrem simultaneamente. 
Se 
 BA
 diz-se que os eventos A e B são mutuamente exclusivos ou incompatíveis, isto 
significa que A e B não podem ocorre ao mesmo tempo, ou seja a ocorrência de um exclui a 
possibilidade da ocorrência do outro. 
Por exemplo no lançamento de um dado os eventos: 
A: ocorrência de face impar e B: ocorrência de face par são incompatíveis. 
Em geral, dados n eventos 
nAAA ;...;; 21
 , a intersecção 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 10 
i
n
i
n AAAA
1
21 ;...;


 é um evento que ocorre se os eventos 
iA
( i=1,2,…,n) ocorrem 
simultaneamente. 
 
5. Diferença 
BA \
: é um evento que representa que A ocorre e B não ocorre. 
6. Complementar 
AA \
: é um evento complementar ou contrário do evento A. 
A
ocorre quando A não 
ocorre. 
Note que: 
 
 AA
, isto é, 
A
 e 
A
 são eventos incompatíveis. 
 
 AA
 
 
BABA \
. 
 
7. Propriedades das operações sobre eventos 
As operações sobre os eventos gozam das seguintes propriedades: 
P1: Comutativa: 
ABBA 
; 
ABBA 
 
P2: Associativa: 
   CBACBA 
; 
   CBACBA 
 
P3: Distributiva: 
     CABACBA 
; 
     CABACBA 
 
P4: Leis de Morgan: BABA ________ ; BABA ________ 
P5: 
AA 
 
P6: 
BABA \
 
Etc. 
 
Partição do espaço amostral 
Diz-se que os eventos 
nAAA ;...;; 21
 formam uma partição do espaço amostral 

 se: 
1. 
niAi ,...,2,1; 
; 
2. 
jiAA ji  ;
; 
3. 


i
n
i
A
1
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 11 
 
Classe de eventos aleatórios 
Uma classe de eventos aleatórios é um conjunto formado por todos os eventos (subconjuntos) 
do espaço amostral, 
Consideremos um espaço amostral finito 
 4321 ;;; eeee
. 
A classe de eventos aleatórios deste espaço é a seguinte: 
 
       
           
         
 









4321
4324314321421321
434232413121
4321
;;;
;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;;;;
;;;;
eeee
eeeeeeeeeeeeeeee
eeeeeeeeeeee
eeee
F

 
Pode-se demonstrar que para 

 finito com n elementos então a classe de eventos de 

 tem 
n2
eventos. Pelo binómio de Newton sabemos que 
  n
n
i i
n
n
nnnn
F 2...
210
#
0






























 

. 
 
σ-Álgebra 
Seja 
 F
 uma classe de eventos aleatórios do espaço amostral 

, 
 F
 é uma σ-álgebra se 
verifica as seguintes propriedades: 
1. 
  F
 
2. Si 
 FA, então 
 FA
 
3. Se 
,...2,1..( nAn
 é uma sucessão qualquer de eventos de 
 F
, então 
  FAn
 
Ao par 
   F,
 chama-se espaço probabilizável ou mensurável.
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 12 
 
3. Métodos de contagem 
No cálculo de probabilidades é necessário contar o nº de resultados possíveis e 
prováveis dos eventos de um experimento aleatório. Na teoria de conjunto foram 
desenvolvidos vários métodos de contagem que se aplicam no cálculo de probabilidades. 
Esta secção dedica-se ao estudo desses métodos de contagem. 
 
3.1 Contagem do número dos elementos de evento 
Definição: O número total dos elementos de um conjunto (evento) chama-se cardinal (#) 
desse conjunto. Se o conjunto A tem 10 elementos, então #A=10. 
Exemplo: Dado o conjunto B={a,b,c,d}, então #B=4. 
Se 

é um universo (espaço amostral) com n elementos, então 
n#
. 
É obvio que 
0# 
 
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral 
);(  BA
: 
1. 
   BABABA  ####
 
É obvio que se A e B são incompatíveis (
 BA
 ) então 
  BABA ### 
 
2. O resultado anterior pode ser generalizado para mais de dois eventos. 
Para três eventos A, B e C temos: 
         CBACBCABACBACBA  ########
 
Se A, B, C são incompatíveis então: 
  CBACBA #### 
 
3. Seja A um evento do espaço amostral 

 e 
n#
, então 
AnA ## 
 
Demonstração: 
  AnAAAAAAAA ######## 
 
4. 
   BAABA  ##\#
. 
É obvio que se A e B são incompatíveis então 
  ABA #\# 
 
 
 
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 13 
Exemplo: 
Foi feito um inquérito a 574 pessoas acerca dos seus hábitos de leitura, onde se constatou que 
132 pessoas afirmam ler regularmente livros e 420 afirmam ler regularmente jornais. Apenas 68 
responderam que lêem livros e jornais. Diga quantas pessoas: 
a) Não lêem regularmente livros 
b) Não lêem regularmente jornais 
c) Lêem pelo menos uma das publicações 
d) Lêem apenas livros 
e) Lêem apenas jornais 
f) Lêem apenas uma das publicações 
g) Não lêem livros e nem jornais 
 
Respostas: 
Considere os conjuntos: 
Ω={Todas as pessoas inqueridas} 
L={Pessoas que lêem regularmente livros} 
J={Pessoas que lêem regularmente jornais} 
Dados: n=#Ω=574; #L=132; #J=420; #(L

J)=68 
a) 
442132574###  LL
 
b) 
154420574###  JJ
 
c) 
    48468420132####  JLJLJL
 
d) 
    6468132##\#  JLLJL
 
e) 
    35268420##\#  JLJLJ
 
f) 
         41635264\##\\#  LJJLLJJL
 
g) 
    90484574####
_______






 JLJLJL
 
Obs: Estes cálculos também podem ser realizados graficamente usando diagramas de Veen 
 
 
 
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 14 
3.2 Contagem com técnicas de análise combinatória 
Quando o nº de resultados possíveis de um experimento é grande torna-se difícil visualizar o 
espaço amostra através do diagrama de árvore porque teríamos um desenho enorme. Nesse 
caso recorre-se a técnicas de análise combinatória. 
 
3.2.1 Princípio fundamental de contagem 
O princípio fundamental de contagem (regra de multiplicação) é a base de toda teoria da 
análise combinatória dado que todas as técnicas de análise combinatória são deduzidas a partir 
deste princípio. 
 
Esta regra de contagem é uma generalização do diagrama de árvore e é usado para contar o nº 
de resultados possíveis de um experimento complexo quando o nº de resultados possíveis for 
relativamente grande e impossível de visualizá-lo através de um diagrama de árvore. 
 
 Considere-se um experimento mais ou menos complexo da qual se pretende determinar os 
seus resultados possíveis. Suponha-se que esse experimento possa ser visto como uma 
sucessão ordenada de k experimentos mais simples E1 ; E2; …;EK. 
Sejam: 
n1= nº de resultados possíveis de E1 
n2= nº de resultados possíveis de E2 
……………………………………………………………. 
nk= nº de resultados possíveis de Ek 
Então o nº total de resultados do experimento complexo é: 
 
 
 


k
i
ik nnnnn
1
21 ... 
 
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 15 
Exemplos: 
1. De quantas maneiras diferentes pode-se colocar três objectos distintos em ordem? 
Solução: 
Sejam A, B, C três objectos distintos. 
 Na 1ª posição existem 3 maneiras: pode-se colocar A, B ou C. 
 Uma vez ocupada a 1ª posição, existem 2 maneiras para a 2ª posição: pode-se colocar A 
ou B, A ou C, B ou C. 
 Uma vez ocupada a 2ª posição, existe 1 maneira para a 3ª posição: pode-se colocar A 
ou B ou C. 
Então 
6123 n
 
Este resultado pode ser visualizado através da árvore, já que o nº de resultados possíveis do 
experimento é pequeno. 
 
2. As chapas de matrículas de viaturas possuem três letras e quatro dígitos. Encontre o nº 
possível de chapas de matriculas que se podem formar: 
a) Caso não haja restrição quanto ao uso das letras e dos dígitos. 
b) Caso as letras e os dígitos não podem ser repetidos. 
 
Solução: 
Existem 26 letras e 10 dígitos. 
a) 
1757600001000017576102610101010262626 43 n
 
b) 
7862400078910242526 n
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 16 
 
3.2.2 Permutações e arranjos 
Uma aplicação do princípio de multiplicação é contar o nº de possíveis maneiras que n 
elementos distintos de um conjunto podem ser colocados em ordem. As diferentes ordenações 
dos n elementos chamam-se permutações de n elementos, escreve-se 
nP
. 
Exemplo: 
De quantas maneiras diferentes pode-se organizar três objectos distintos em ordem? 
Solução: 
Sejam A, B, C três objectos distintos. 
As possíveis permutações são: 
 ABC 
 ACB 
 BAC 
 BCA 
 CAB 
 CBA. 
Então temos 6 permutações: P3=6 
Pode-se demonstrar pelo principio de multiplicação que 
0;!  nnPn
 
Sabe-se que 
  12...)2(1!  nnnn
 
 !1!  nnn
 
1!0 
 
Então 
6123!33  xxP
 
 
 
 
 
 
 
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 17 
Permutação com elementos 
Caso o conjunto contenha alguns elementos repetidos é necessário eliminar o nº dos elementos 
repetidos porque a troca de elementos repetidos não altera a ordem, por exemplo, na 
sequência AABB, a 
Troca entre os As e entre os Bs não altera a ordem. 
As ordenações válidas são: 
AABB 
BBAA 
ABBA 
BAAB 
ABAB 
BABA 
 
Temos 6 ordenações diferentes e não 24 (P4). 
 
Em geral, quando um conjunto tem n elementos dos quais existem n1 do tipo 1, n2 do tipo 2,…, 
nk do tipo k o número de permutações é dado por: 
 
 
!!...!
!
21
..., 21
k
nnn
n
nnn
n
P k  
No caso do exemplo, temos: 
6
!2!2
!42,2
4
1 P
 
____________________________________________________________________________________________Domingos Uchavo pg. 18 
3.2.3 Arranjos simples 
 
Quando estamos interessados em colocar os n elementos de um conjunto para ocupar r lugares 
(r<n) temos um arranjo de n elementos tomados r a r e representa-se por: 
n
rA
 
Suponhamos que temos 4 candidatos para ocupar duas vagas, de quantas maneiras possíveis 
os candidatos podem ocupar as duas vagas? 
Solução: 
Sejam A, B, C, D candidatos. Os arranjos possíveis são: 
AB 
AC 
AD 
BA 
BC 
BD 
CA 
CB 
CD 
DA 
DB 
DC 
Temos 12 arranjos possíveis. 
 
Note que um arranjo simples (sem elementos repetidos) difere de outro pela ordem em 
que os r elementos ocupam. Por exemplo AB é diferente de BA. 
 
Para calcular o nº de arranjos podemos usar o princípio de multiplicação: 
 Para ocupar a 1ª posição existem 4 maneiras 
 Uma vez ocupada a 1ª posição para a 2ª posição existem 3 maneiras 
Então temos 
1234 n
 
Em geral, temos n elementos para ocupar r posições teremos: 
 Para ocupar a 1ª posição existem n maneiras 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 19 
 Uma vez ocupada a 1ª posição para a 2ª posição existem n-1 maneiras 
 ---------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Para a r-ésima posição existem n-(r-1)=n-r+1 
Então temos um total de 
)1)...(1(  rnnn
, então, 
   1....1  rnnnAnr 
 
Pode-se demonstrar que: 
 !
!
rn
n
Anr

 
No exemplo temos, 
123442 A
 ou 
 
12
!2
!4
!24
!44
2 

A
 
 
Pode-se demonstrar que permutações simples são casos particulares de arranjos simples 
quando r=n, com efeito 
  n
n
n Pn
nn
nn
n
A 

 !
1
!
!0
!
!
!
 
 
3.2.4 Combinações simples 
 
Considere um conjunto de n elementos, a partir da qual se pretende formar um subconjunto de r 
elementos distintos (não há elementos repetidos). De quantas maneiras possíveis se pode 
formar os subconjuntos? 
O número de subconjuntos possíveis é dado pelas combinações simples de n elementos 
tomados r a r e representa-se por: 
n
rC
.ou 






r
n 
Exemplo: 
Com 4 pessoas A, B, C, D, quantas maneiras possíveis se pode formar uma comissão de 2 
pessoas? 
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 20 
Solução: 
AB 
AC 
AD 
 BC 
BD 
 CD 
Existem 6 maneiras possíveis. 
Note que uma combinação difere de outra somente pela natureza dos seus elementos e 
não pela ordem. 
Por exemplo a combinação AB é igual a BA. 
 
Observe que o resultado anterior pode ser obtido a partir de arranjos de 4 tomando 2 a 2 e 
eliminando a repetição de conjuntos com os mesmos elementos. 
AB 
AC 
AD 
BA 
BC 
BD 
CA 
CB 
CD 
DA 
DB 
DC 
Pegando este raciocínio, a dedução da fórmula para o cálculo de 
n
rC
 pode ser feita da seguinte 
maneira: 
1. Se as diferentes ordens dos elementos no subconjunto originassem subconjuntos 
distintos teríamos 
 !
!
rn
n
Anr


 mas nesse caso teríamos uma contagem dupla. 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 21 
2. Neste caso, é necessário eliminar subconjuntos possíveis de formar com os r elementos 
dado por 
rP
. Assim tem-se: 
 
 
  !!
!
!
!
!
12....1
)1(...)1(
rrn
n
r
rn
n
rr
rnnn
P
A
C
r
n
rn
r







 
Então podemos usar as seguintes fórmulas: 
 
 
  12....1
)1(...)1(



rr
rnnn
C nr
 
 
  !!
!
rrn
n
r
n
C nr







 
 
No caso do exemplo temos: 
6
!12
34
2
4









 
ou 
 
6
!2!2
!234
!2!24
!4
2
4










 
 
Algumas propriedades das combinações que ajudam a simplificarem os cálculos: 
P1: 
n
rn
n
r CC 
 
P2: 
1
1
1 

  nr
n
r
n
r CCC
 
Demonstre estes teoremas! 
Exemplo o calculo de 
75
72C
 fica mais simples se aplicarmos P1: 
67525
123
73747575
3
75
72 


CC
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 22 
Exercícios 
 
1. Lança-se um dado. Enumerar o espaço amostral e os eventos seguintes: 
A: saída de um número ímpar. 
B: saída de um número maior que 4. 
C: saída de um número primo. 
 
2. Lançam-se dois dados. Descreva os seguintes eventos: 
A: os dois apresentam o mesmo número. 
B: o produto dos dois iguais a 6 e o segundo apresentar um número ímpar. 
C: ocorrência de pelo menos um 3. 
D: a soma dos dois iguais a 8. 
 
3. Lançam-se três moedas. Descreva os seguintes eventos: 
A: ocorrência de cara na primeira moeda. 
B: ocorrência de exactamente uma coroa. 
C: ocorrência de pelo menos uma coroa. 
D: ocorrência de faces iguais. 
 
4. Usando os eventos do número anterior, obtenha e interprete os seguintes eventos: 
a) 
BA
 
b) 
BA
 
c) 
CB
 
d) 
D
 
5. Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Usando as operações sobre 
eventos, exprimir os seguintes eventos: 
a) Somente A ocorre. 
b) A e C ocorre, mas B não. 
c) A, B, e C ocorrem. 
d) Pelo menos um ocorre. 
e) Exactamente um ocorre. 
f) Nenhum ocorre. 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 23 
g) Exactamente dois ocorrem 
h) Pelo menos dois ocorrem. 
i) No máximo dois ocorrem. 
 
6. Numa certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são 
assinantes do jornal J, 4000 do jornal P, 1200 são assinantes dos dois jornais e 800 não 
são assinantes de nenhum jornal. Calcule o número de pessoas da comunidade, que: 
a) São assinantes de pelo menos um jornal. 
b) São assinantes de ambos jornais. 
c) São assinantes de apenas um jornal. 
d) Não são assinantes de nenhum jornal. 
 
7. Num estabelecimento comercial que vende música, foram inquiridos 1872 clientes para 
saber quais os géneros musicais usualmente compram. Os resultados do inquerido 
mostraram que: 149 clientes compram música clássica; 307 compram música Jazz; 1629 
compram Rock; 80 compram música clássica e Jazz; 206 compram Jazz e Rock; 37 
compram música clássica e Rock e 28 compram os três géneros musicais. 
do conjunto dos clientes inquiridos, pretende se saber: 
a) Quantos compram apenas música clássica. 
b) Quantos compram pelo menos um dos géneros musicais considerados. 
c) Quantos compram exactamente dois dos três géneros musicais considerados. 
d) Quantos não compram nenhum dos géneros musicais considerados. 
 
8. Um homem tem duas gravatas e quatro camisas. De quantas maneiras ele poderá escolher 
uma gravata e uma camisa. 
9. Temos 3 cidades X, Y e Z. Existem 4 rodovias que ligam X com Y e 5 que ligam Y com Z. 
Partindo de X e passando por Y, de quantas maneiras pode-se chegar a Z. 
10. Uma moeda é lançada três vezes. Qual é o número de sequênciaspossíveis de cara e 
coroa. 
 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 24 
11. Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para 1º, 2º e 3º 
lugares. 
12. De quantas formas diferentes se pode responder a 12 questões de um questionário, cuja 
resposta para cada pergunta é sim ou não. 
13. Um teste consiste de 15 perguntas de escolha múltipla. Cada pergunta apresenta 4 
respostas alternativas mas só uma está correcta. 
a) De quantas maneiras um estudante pode marcar uma resposta em cada pergunta. 
b) Calcule o número de respostas erradas. 
 
14. De quantas maneiras 5 pessoas podem ocupar um banco de 5 lugares. 
15. Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados com os dígitos 0, 1, 
2, 3, 4 e 5? 
16. Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando 
os algarismos 1, 4, 5 e 8. Que ordem ocupa o número 8145? 
17. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos de 0 a 9. O segredo do cofre é 
marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa que não conhece o 
segredo tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer ao máximo para conseguir 
abri-lo? 
18. Quantos anagramas têm as seguintes palavras? 
a) Teoria 
b) Física 
c) Estatística 
d) Variância 
e) Probabilidade 
____________________________________________________________________________________________ 
Domingos Uchavo pg. 25 
19. Uma prateleira tem 15 livros dos quais 4 são de Matemática. De quantas maneiras se 
podem arrumá-los em ordem de modo que os livros de matemática fiquem sempre 
juntos. 
20. Um cocktail é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas 
distintas, quantos cocktails diferentes podem ser preparados. 
21. Pretende-se formar uma comissão de 3 membros e dispõe-se de 10 pessoas. Quantas 
comissões possíveis se podem formar. 
22. Um exame consta de 15 questões das quais o estudante deve responder 10. De quantas 
formas ele poderá escolher as perguntas. 
23. Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 
pessoas sabem conduzir, de quantos modos elas se podem acomodar no automóvel. 
24. Mostre que 
0; 












n
rn
n
r
n 
25. Calcule o valor de k, sabendo que: 
2
8
1
8
2 


k
k
C
C
 
26. Calcule 
mA3
, sabendo que 
843 
mC
 
 
Fim