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Lista 4
Ca´lculo 2 - Prof. Leandro
UnB - 2009/02
29 de agosto de 2009
Nos exerc´ıcios 1-6, encontre uma fo´rmula para a n-e´sima soma parcial de cada se´rie e use-a para
encontrar a soma da se´rie se ela for convergente.
1- 2 +
2
3
+
2
9
+
2
27
+ . . .+
2
3n−1
+ . . .
2-
9
100
+
9
1002
+
9
1003
+ . . .+
9
100n
+ . . .
3- 1− 1
2
+
1
4
− 1
8
+ . . .+
(−1)n−1
2n−1
+ . . .
4- 1− 2 + 4− 8 + . . .+ (−1)n−12n−1 + . . .
5- 1 +
1
2 · 3 +
1
3 · 4 +
1
4 · 5 + . . .+
1
(n+ 1) · (n+ 2) + . . .
6-
5
1 · 2 +
5
2 · 3 +
5
3 · 4 + . . .+
5
n · (n+ 1) + . . .
Nos exerc´ıcios 7-12, escreva explicitamente os 5 primeiros termos de cada se´rie, em seguida calcule
o valor para onde a se´rie converge.
7-
∞∑
n=0
(−1)n
4n
8-
∞∑
n=1
7
4n
9-
∞∑
n=0
(
5
2n
+
1
3n
)
10-
∞∑
n=0
(
5
2n
− 1
3n
)
11-
∞∑
n=0
(
1
2n
− (−1)
n
5n
)
12-
∞∑
n=0
2n+1
5n
Use frac¸o˜es parciais para encontrar a soma de cada se´rie nos exerc´ıcios 13-16
13-
∞∑
n=1
4
(4n− 3)(4n+ 1)
1
Lista 3-Ca´lculo 2 2
14-
∞∑
n=1
6
(2n− 1)(2n+ 1)
15-
∞∑
n=1
40n
(2n− 1)2 · (2n+ 1)2
16-
∞∑
n=1
2n+ 1
n2(n+ 1)2
Encontre a soma das se´ries dos exerc´ıcios 17 e 18
17-
∞∑
n=1
(
1√
n
− 1√
n+ 1
)
18-
∞∑
n=1
(
1
ln(n+ 2)
− 1
ln(n+ 1)
)
Nos exerc´ıcios 19-32, determine se a se´rie dada converge ou diverge. Justifique sua resposta e caso
a se´rie seja convergente encontre o valor para o qual ela converge.
19-
∞∑
n=0
(
1√
2
)n
20-
∞∑
n=0
(√
2
)n
21-
∞∑
n=1
(−1)n+1 3
2n
22-
∞∑
n=0
cos(npi)
5n
23-
∞∑
n=0
e−2n
24-
∞∑
n=1
ln(1/n)
25-
∞∑
n=0
1
xn
26-
∞∑
n=0
2n − 1
3n
27-
∞∑
n=1
(
1− 1
n
)n
Lista 3-Ca´lculo 2 3
28-
∞∑
n=0
( e
pi
)n
29-
∞∑
n=1
ln
(
n
n+ 1
)
30-
∞∑
n=0
enpi
pine
31-
∞∑
n=1
n!
1000n
32-
∞∑
n=1
nn
n!
Uma se´rie e´ chamada de Se´rie Geome´trica se ela e´ da forma
a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ arn + . . . ≡
∞∑
n=1
arn−1.
Note que estas se´ries convergem se, e somente se, |r| < 1, neste caso convergem para a/(1− r).
O exerc´ıcios 33-36, sa˜o sobre se´ries geome´tricas. Para cada uma das se´ries destes exerc´ıcios, escreva
os primeiros termos para encontrar a e r em seguida calcule a soma das se´ries. Depois expresse a
desigualdade |r| < 1, em termos de x, e encontre os valores de x, para os quais a desigualdade e´ va´lida
e a se´rie converge.
33-
∞∑
n=0
(−1)nxn
34-
∞∑
n=0
(−1)nx2n
35-
∞∑
n=0
3
(
x− 1
2
)n
36-
∞∑
n=0
(−1)n
2
(
1
3 + sen x
)n
Nos exerc´ıcios 37-40, econtre os valores de x para os quais a se´rie geome´trica dada converge. En-
contre tambe´m a soma das se´ries (como uma func¸a˜o de x) para estes valores de x.
37-
∞∑
n=0
2nxn
38-
∞∑
n=0
(−1)nx−2n
Lista 3-Ca´lculo 2 4
39-
∞∑
n=0
(
−1
2
)n
(x− 3)n
40-
∞∑
n=0
(lnx)n
41-(Se´rie Geome´trica) encontre o valor de b para o qual
1 + eb + e2b + e3b + . . . = 9.
41-(Se´rie Geome´trica modificada) para quais valores de r a se´rie
1 + 2r + r2 + 2r3 + r4 + 2r5 + r6 + . . .
converge ? Encontre a soma da se´rie quando ela converge.