Deformação em Vigas horizontais.

Prévia do material em texto

Altemir José Borges
Deformação em 
vigas 
horizontais
Deformação em vigas horizontais
Uma viga horizontal suposta homogênea e uniforme, 
sujeita a uma carga uniformemente distribuída, sofre 
uma deformação conforme a figura abaixo:
A B
Neste caso tem-se uma flexão simples, onde as fibras 
superiores estão submetidas a um esforço de compressão, 
enquanto as fibras inferiores têm um esforço de tração. 
As fibras que não sofrem esforço nem de tração, nem de 
compressão, constituem uma superfície neutra.
A fibra AB que inicialmente coincidia com o eixo da 
viga, encontra-se agora na superfície neutra, e é
chamada de linha elástica.
Agora vamos deduzir a equação desta curva.
Considere uma seção transversal da viga a uma 
distância x da extremidade A. Seja CD a interseção 
com a superfície neutra e P o traço da linha elástica 
nesta seção.
A B
x
C
D
P
Sabemos da mecânica que o momento M em relação a 
CD é dado por:
R
EIM = (1)
Onde:
E = Módulo de elasticidade da estrutura.
I = Momento de inércia da seção transversal, em 
relação a CD.
R = Raio de curvatura da linha elástica, no ponto P.
Sabemos do cálculo diferencial que o raio de curvatura 
é dado por:
2
2
2
3
2
1
dx
yd
dx
dy
R














+
= (2)
Como a inclinação da linha elástica é muito pequena, 
podemos impor que , então (2) fica.0=
dx
dy
2
2
1
dx
yd
R =
(3)
Substituindo (3) em (1) , vem a equação 
diferencial que define a linha elástica.
EI
M
dx
yd
=2
2
R
EIM =
Uma viga horizontal bi-engastada de comprimento 
l, recebe uma carga uniformemente distribuída de 
w kg/m. Determinar a equação da linha elástica e 
a deformação máxima. 
w
Exemplo:
wl
2
1
x
P
2
x
wx
AM BM
Calculando o momento à esquerda de P, tem-se:
=M (4)
Substituindo (4) na equação diferencial da linha 
elástica, vem:
Inicialmente vamos indicar as reações de apoio.
w
x
y
wlx
2
1
+ 2
2
1
wx−AM
wl
2
1
2
2
2
2
1
2
1
wxwlxM
dx
ydEI A −+= (5)
2
2
1
2
1
wxwlxM
dx
dx
dyd
EI A −+=






dxwxwlxMdx
dydEI A 





−+=




 2
2
1
2
1)(
1
32
6
1
4
1 CwxwlxxM
dx
dyEI A +−+=
Escrevendo na forma de diferencial, tem-se:
Integrando, vem:
Impondo que e x=0 , tem-se que C1=0. Assim:0=dx
dy
32
6
1
4
1
wxwlxxM
dx
dyEI A −+= (6)
1
32
6
1
4
1 CwxwlxxM
dx
dyEI A +−+=
w
x
y
Veja que na origem, a linha elástica possui uma reta 
tangente horizontal. Logo:
0=
dx
dy
33
6
1
4
10 wlwllM A −+=
2
12
1
wlM A −=
Assim (6) fica:
32
6
1
4
1
wxwlxxM
dx
dyEI A −+=
w
x
y
Mas no engaste da direita a linha elástica também possui 
uma reta tangente horizontal. Assim impondo que 
e x=l , vem :
(6)
322
6
1
4
1
12
1
wxwlxxwl
dx
dyEI −+−=
Escrevendo na forma de diferencial, tem-se:
Integrando, vem:
dxwxwlxxwlEIdy 





−+−= 322
6
1
4
1
12
1
Impondo que na origem a deformação é nula, x=y=0, 
determina-se a constante de integração, C2=0. Assim:
2
4322
24
1
12
1
24
1 CwxwlxxwlEIy +−+−=
4322
24
1
12
1
24
1
wxwlxxwlEIy −+−=
4322
24
1
12
1
24
1
wxwlxxwlEIy −+−=
Isolando y, temos a equação da linha elástica.
( )222 2
24
xllx
EI
wx
y −−=
Como a viga é simétrica, a flecha máxima ocorre no meio 
do vão, x=l/2. Assim:
EI
wl
y
384
4
max −=
Este material encontra-se disponível na página:
http://pessoal.utfpr.edu.br/altemirborges