Apostila Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Profª. Me. Márcia Zardo de Oliveira Bein 
 
 
 
 
 
 
 
 
2018/1 
 
 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul 
 ESCOLA DE CIÊNCIAS 
 
 
 
2 
 
SUMÁRIO 
 
TÓPICO 1 – JUROS SIMPLES ........................................................................................................................................ 3 
TÓPICO 2 – DESCONTOS SIMPLES .......................................................................................................................... 15 
TÓPICO 3 – JUROS COMPOSTOS ............................................................................................................................... 25 
TÓPICO 4 – SÉRIES DE PAGAMENTOS ................................................................................................................... 40 
TÓPICO 5 – AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS ................................................................................................ 53 
TÓPICO 6 – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ......................................................................................................... 67 
TÓPICO 7 – FOLHA DE CONSULTA PARA PROVAS .......................................................................................... 77 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
TÓPICO 1 - JUROS SIMPLES 
 
 
Introdução 
 
 Matemática Financeira é o ramo da matemática que estuda o comportamento do dinheiro no 
tempo e tem por objetivo o manuseio, a transformação e a comparação de fluxos de caixa. 
 
 
Conceitos Básicos 
 
 Capital: em uma transação financeira, é o dinheiro emprestado, investido ou devido 
inicialmente. Vamos supor que você resolva aplicar o seu dinheiro em um banco ou qualquer 
outra instituição financeira. A quantidade de dinheiro utilizada na aplicação é chamada de 
capital. Também pode ser chamado de principal. Representamos o capital por C ou por P. 
 Juros: é o “aluguel” que se paga (ou se recebe) pelo dinheiro emprestado (ou aplicado). É a 
remuneração pelo uso do capital por um certo intervalo de tempo. Representamos o juro por J. 
 Montante: é a soma do capital (C) aplicado no início da operação financeira com os juros (J) 
acumulados no final do prazo de aplicação. Se você faz uma aplicação na poupança, o total a ser 
resgatado depois de determinado tempo é chamado de montante. Costuma ser indicado por M. 
 
 Prazo: é o intervalo de tempo durante o qual o capital é aplicado, investido ou emprestado. 
Costuma ser representado por n ou t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Período Financeiro 
a.d. ao dia 
a.m. ao mês 
a.b. ao bimestre 
a.t. ao trimestre 
a.q. ao quadrimestre 
a.s. ao semestre 
a.a. ao ano 
 Taxa de Juros: a taxa de juros é a porcentagem do capital que 
será paga a título de juros, em um determinado período de tempo. 
Costuma ser indicada por i. O período a que se refere a taxa de 
juros pode ser indicado de diversas formas, conforme a tabela ao 
lado: 
 
A taxa percentual indica a quantidade de juros produzida por 
um capital de 100 unidades na unidade de tempo. Assim 
 28% a.a. indica que o capital de 100 rende 28 em 1 ano 
 2,5% a.m. indica que o capital de 100 rende 2,5 em 1 mês. 
A taxa unitária indica a quantidade de juros produzida por um 
capital de 1 unidade na unidade de tempo. Assim 
 0,28 a.a. indica que o capital de 1 rende 0,28 em 1 ano 
 0,025 a.m. indica que o capital de 1 rende 0,025 em 1 mês. 
 
M = C + J 
4 
 
 Fluxo de Caixa: é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro. Um fluxo de caixa pode ser 
apresentado em forma de tabela ou gráfico como uma previsão de entradas e saídas de uma 
empresa, família, ou de um empréstimo isolado. Por convenção, em representações gráficas de 
um fluxo de caixa, setas para cima representam entrada e setas para baixo representam saída 
de recursos. 
 
 
 
 
 
 
 
 Regimes de capitalização: chama-se regime de capitalização, o processo de formação dos 
juros e a maneira de incorporá-los ao capital. Trataremos de dois regimes de capitalização: simples 
e composta. 
 
 Capitalização simples: os juros simples são calculados sobre o capital inicial, permanecendo 
constantes em todos os períodos. 
 
 Capitalização composta: os juros compostos são incorporados ao capital, em cada período, 
para o cálculo dos juros do período seguinte. 
 
 
Juros simples 
 
No regime de juros simples, estes incidem sempre sobre o capital inicial. Na prática, esse 
sistema é usado especialmente em certos pagamentos cujo atraso é de apenas alguns dias. 
 
Para o cálculo dos juros, temos: 
 
em 1 período: j = Ci 
 em 2 períodos: j = Ci + Ci = Ci . 2 
 em 3 períodos: j = Ci + Ci + Ci = Ci . 3 
 ...................................................... 
 em n períodos: j = Ci + Ci + Ci +...+ Ci = Ci.n 
 
Portanto, temos como fórmula para o cálculo dos juros simples: 
 
 
 
 onde: i deve ser taxa unitária 
 i e n devem ser expressos na mesma unidade de tempo 
 
 
 Cálculo do montante 
 
Sabemos que M = C + j então M = C + Cin = C(1 + in) 
 
 
 Logo 
 
onde: i deve ser taxa unitária 
 
 i e n devem ser expressos na mesma unidade de tempo 
j = Cin 
M = C (1+in) 
5 
 
Observe o que acontece com o montante de um investimento de R$ 100,00, aplicado durante 5 
meses à 10% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros comerciais, Juros exatos e Juros pela regra dos bancos 
 
 Juros Comerciais: são os juros obtidos quando se considera o ano com 360 dias (ano 
comercial) e o mês com 30 dias (mês comercial). 
 
 Juros Exatos: são os juros obtidos quando se considera o ano com 365 dias ou 366 dias (ano 
bissexto) e os meses 28, 29, 30 ou 31 dias. 
 
 Juros pela regra dos bancos: são os juros obtidos quando se considera ano e mês comercial 
ou contagem exata entre as datas quando fornecidas. 
 
 
ATENÇÃO!! Utilizaremos somente regra dos bancos 
 
 
HP – 12C 
 
 Cálculo do número de dias entre duas datas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros Simples 
Meses Juros Montante 
0 - 
1 
2 
3 
4 
5 
 VISOR 
 
 
 
 
 
6 
 
 Cálculo de uma data a partir de outra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Convenção correspondente ao dia da semana: 
 
1 = segunda-feira 
2 = terça-feira 
3 = quarta-feira 
4 = quinta-feira 
5 = sexta-feira 
6 = sábado 
 7 = domingo 
 
 
Taxas equivalentes ou proporcionais 
 
Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao 
serem aplicadas a um mesmo principal (capital) durante um mesmo prazo produzem um mesmo 
montante acumulado no final daquele prazo. Em juros simples, estas taxas costumam ser chamadas de 
taxas proporcionais, já que neste caso, mantém-se a proporção em relação ao prazo. 
 
Exemplo: 3% a.m., 6% a.b., 9% a.t., 12% a.q. são taxas proporcionais em juros simples. 
 
 
ATENÇÃO: 
 
 As respostas dos exercícios propostos foram gerado sem a realização de arredondamentos 
parciais ao longo dos cálculos. 
 
Exemplo: Calcular os juros de um capital de R$ 12.000,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 
43% a.a., durante 143 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VISOR 
 
 
 
7 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
1) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 35.600,00, aplicado durante 75 dias,à taxa 
de 15% a.a.? R  R$ 1.112,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um investidor aplica um capital de R$ 10.000,00 por 65 dias em um banco que oferece 
uma renumeração de 9% a.t., em regime de juros simples. Qual o montante desse 
investimento? R  R$ 10.650,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um capital de R$ 288,00 em 2 meses e 15 dias, rendeu R$ 6,60 de juros simples. Qual a taxa de 
juros anual? R  11% a.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
4) Um capital emprestado a 24% ao ano rendeu, em 1 ano, 2 meses e 15 dias, R$ 7.830,00. Qual foi 
esse capital? R  R$ 27.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) A quantia de R$ 3.500,00 foi emprestado à taxa de juros simples de 6% a.b. Se o valor pago foi de 
R$ 5.015,50, de quanto tempo (anos, meses e dias) foi o empréstimo? R  1a 2m 13d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Um produto que à vista custa R$ 280,00 pode ser comprado com uma entrada de R$ 160,00 e mais 
um pagamento de R$ 132,50 para 18 dias. Determine a taxa mensal de juros simples cobrada nesta 
operação. R  17,36% a.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
7) Um indivíduo aplicou R$ 3.500,00 a juros simples por um ano, sendo que nos 6 primeiros meses a 
taxa de juros utilizada foi de 2% a.m., e no período final a taxa foi de 18% a.a. Nestas condições, 
determine o saldo obtido no final da aplicação. R  R$ 4.235,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) João Ricardo fez um depósito a prazo fixo por 2 anos. Decorrido o prazo, o montante, que era de 
R$ 114.240,00, foi reaplicado em mais um ano a uma taxa de juros que é o dobro da primeira 
aplicação. Sendo o montante de R$ 155.366,40 e o regime de capitalização juros simples, qual o 
capital aplicado inicialmente? R  R$ 84.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
9) Uma indústria adquiriu matéria prima no valor de R$ 45.000,00, pagando no ato da compra 
R$ 15.000,00 e ao final de 45 dias pagou R$ 18.000,00. Qual o pagamento que ainda deverá ser 
feito 90 dias após a compra, para liquidar a dívida, sabendo-se que o vendedor cobra uma taxa 
linear de 45% a.a.? R  R$ 14.416,42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Uma pessoa aplicou certo capital a juros simples, por dois anos e meio. Usando essas informações 
e os dados na tabela abaixo, determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) O capital aplicado pelo investidor. R  R$ 4.200,00 
b) O saldo do investidor no final da aplicação. R  R$ 7.350,00 
c) A taxa mensal de juros utilizada nessa operação. R  R$ i=2,5% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n (mês) M (R$) 
0 ? 

 

 
10 5.250,00 

 

 
16 5.880,00 

 

 
30 ? 
11 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1) Determine o prazo, em que esteve aplicado R$ 28.000,00 à taxa de juros simples de 10% ao 
trimestre, se produziu um juro de R$ 6.067,00. R  n= 6m 15d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular os juros simples resultantes de uma aplicação de R$ 6.235,00 à 36% ao ano no prazo 
de 1 trimestre ? R  R$ 561,15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) A quantia de R$ 12.750,00 foi aplicada a juros simples a taxa de 34% ao ano. Determine o valor dos 
juros, sabendo que o prazo de aplicação foi de 4 meses e 5 dias. R  R$ 1.505,21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
4) Uma loja vende uma mercadoria por R$ 42.000,00 à vista. A prazo, vende mediante uma entrada 
de R$ 10.000,00 e mais um pagamento de R$ 39.200,00 no prazo de 45 dias. Determine a taxa de 
juros simples mensal operada pela loja. R  i = 15% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma pessoa deposita num banco um capital que, após 3 meses de aplicação, resulta no montante 
de R$ 1.818,00. Este montante, após ser resgatado, é novamente aplicado, à mesma taxa de juros 
simples, resultando após 6 meses de aplicação , no novo montante de R$ 1.854,36. Calcular a taxa 
de juros simples anual e o capital inicial. R  i = 4% a.a. ; R  C= R$ 1.800,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Uma loja vende seus produtos e nas operações a prazo utiliza uma taxa de juros simples de 
4% a.m. Oferece ainda as seguintes opções de pagamento para um eletrodoméstico: 
Opção A: um único pagamento 30 dias após a compra de R$ 1.820,00. 
Opção B: uma entrada de R$ 600,00 e o saldo devedor em 50 dias. 
Determine o saldo a ser pago 50 dias após a entrada sugerida na opção B considerando que ambas 
as opções tiveram como base o mesmo preço à vista. R  R$ 1.226,67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
7) Aplica-se 3/8 de um capital a 4% ao mês e o restante a 2,5% ao mês obtendo-se um juro mensal 
de R$ 172,97. Qual o capital aplicado? R  R$ 5.648,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Dois capitais, o primeiro colocado a 3,5% ao mês durante 7 meses e o segundo a 2,6% ao mês 
durante 10 meses, rendem juros iguais. Se a diferença entre os capitais é R$ 3.570,00 e o primeiro 
é maior que o segundo, determine os capitais. R  R$ 61.880,00 ; R  R$ 58.310,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Aplicou-se R$ 6.800,00 durante 83 dias e R$ 8.000,00 durante 47 dias a uma mesma taxa de juros 
simples. Os juros conseguidos na primeira aplicação, excederam em R$ 942,00 os juros da segunda 
aplicação. Determine a taxa de juros simples mensal utilizada. R  i = 15% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples, com taxa de 4% a.m., para que 
o seu valor seja triplicado. R  4a 2m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Um eletrodoméstico é vendido à vista por R$ 1.850,00, ou então por uma entrada mais uma 
parcela de R$ 1.200,00 após 3 meses. Sabendo que a taxa de juros simples utilizada na 
operação é de 30% a.a., encontre o valor da entrada. R  R$ 733,72 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
TÓPICO 02 – DESCONTOS SIMPLES 
 
 
É comum acontecer que uma pessoa, ao assumir uma dívida, entregue ao credor um 
documento chamado título de crédito como comprovante da dívida. Esse documento tem uma data 
de vencimento e um valor combinado a ser pago nessa data, no entanto, se o devedor resolver pagar a 
dívida antes do prazo, recebe um abatimento chamado desconto. 
Os títulos de crédito comumente usados nas operações financeiras são as notas promissórias 
as duplicatas e as letras de câmbio: 
 
 nota promissória: é um comprovante de dívida, com vencimento pré-determinado, usado 
entre pessoas físicas ou entre pessoa física e jurídica; 
 duplicata: é um título emitido por pessoa jurídica para pagamento de bens ou serviços 
prestados a pessoas físicas ou jurídicas, segundo um contrato; 
 letra de câmbio: é um comprovante de aplicaçãode capital, com vencimento pré-
determinado, é um título ao portador emitido exclusivamente por instituição financeira. 
Com os títulos de crédito pode ocorrer que: 
 o devedor queira efetuar o pagamento antes da data determinada – nesse caso ele faz jus a 
um abatimento que corresponde ao juro que seria gerado por esse dinheiro no prazo que 
falta para o vencimento; 
 o credor necessite do dinheiro antes da data do vencimento – nesse caso ele pode negociar 
o título com um terceiro que lhe pagará um valor menor que o fixado no título, valor esse 
que , se aplicado, renderia , no prazo que falta para o vencimento, um juro correspondente 
à diferença entre o valor fixado e o que recebeu. 
Nos dois casos há uma compensação definida pela diferença entre as duas quantidades – o 
valor fixado e o valor recebido. Essa diferença é chamada desconto. 
 Valor nominal (N): é o valor de face, o valor indicado no título, a ser pago na data do 
vencimento. 
 Valor atual (A): é o valor líquido resgatado antes da data do vencimento. 
 Desconto (D): é a diferença entre o valor nominal e o atual. 
 Prazo (n): período de tempo entre a data do desconto e a data do vencimento. 
 Taxa de juros (i): taxa calculada sobre o valor atual. 
 Taxa de descontos (d): taxa calculada sobre o valor nominal. 
 
 
Existem dois modos de calcular o desconto simples que dão origem a dois tipos de desconto: o 
desconto simples racional e o desconto simples comercial. 
 
Esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
AND 
 
16 
 
Desconto racional simples (Dr) 
 
Também chamado desconto “por dentro” ou matemático, é o desconto calculado aplicando 
uma taxa de juros simples (i) sobre o valor atual (A) do título, considerando o prazo de antecipação 
do pagamento. 
 
 
 
 
Sendo , então 
 
 
Substituindo-se esta expressão de Ar na fórmula do desconto Dr anterior, vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Uma nota promissória foi descontada por R$ 9.500,00 à taxa de juros simples de 18% a.s. 
faltando 95 dias para o seu vencimento. Qual o valor do desconto, e qual o valor de face do título? 
 R  D = R$ 902,50 N = R$ 10.402,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
niAD rr 
 
rr AND 
 
rr DNA 
 
 ni1
niN
Dr


 
 
  niDN rrD 
 
 
niDni rr ND 
 
 
niNniDrrD 
 
 
  niNin1 rD
 
 
 in1AN 
 
17 
 
Exemplo 2: Uma duplicata de R$ 8.000,00 foi descontada 185 dias antes do seu vencimento. Determine 
o valor do desconto sabendo-se que taxa de juros simples da operação foi de 22%a.a. 
 R  Dr = R$ 812,58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desconto comercial simples (Dc) 
 
Também chamado desconto “por fora” ou bancário, é o desconto calculado aplicando uma taxa 
de descontos simples (d) sobre o valor nominal (N) do título, considerando o prazo de antecipação 
do pagamento. 
 
 
 
 
 
Sendo , então 
 
 
Substituindo-se Dc na expressão do valor atual comercial Ac e simplificando-se a expressão obtida, 
vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cc DNA 
 
ndNDc 
 
cc AND 
 
 dn1NAc 
 
18 
 
Exemplo 3: Uma nota promissória foi descontada por R$ 25.000,00 no dia 05/03/2016, à taxa de 
desconto simples de 15% a.s., sabendo-se que o desconto foi de R$ 2.930,00. Qual a data de vencimento da 
nota promissória e qual o seu valor? 09/07/2016 ; R  R$ 27.930,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Uma Nota Promissória foi emitida em 05/01/2015 com seu vencimento para o dia 
20/05/2015. Em 02/04/2015 foi descontada, à taxa de desconto simples de 6 % ao trimestre, por 
R$ 1.458,00. Qual o valor do desconto? R  R$ 48,20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Taxas equivalentes 
 
As taxas de juros e de descontos são equivalentes quando, ao descontar um título, o valor atual 
pelo método racional é igual ao valor atual pelo método comercial. 
 
Então: i e d equivalentes  Ar = Ac 
 
 
 
 
 
 
 
de onde se conclui e 
 
 
 
Exemplo 5: Determine a taxa de juros simples mensal equivalente à taxa de descontos simples de 12% ao 
mês, no prazo de 53 dias. R  i = 15,228% 
a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Determine a taxa de descontos simples mensal equivalente à taxa de juros simples de 14% ao 
semestre, no prazo de 120 dias. R  d = 2,134% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dn1
d
i


 
in1
i
d


 
 dn1N
in1
N


 
dn1
in1
1


 
20 
 
Equivalência de capitais 
 
A equivalência de capitais é muito usada na substituição de títulos por outros com novos 
vencimentos (renegociação de dívida). 
Dois capitais são equivalentes se, ao ser descontados numa determinada data, apresentam o 
mesmo valor atual. Este conceito pode ser estendido também para um número maior de capitais. Se 
tivermos um conjunto de capitais, pode-se obter o valor atual desse conjunto, somando os valores 
atuais desses capitais, numa referida data. 
 
 
 
Exemplo 7: Calcular o valor de um título único, com vencimento para 60 dias, que deverá substituir dois 
outros: um de R$ 8.000,00 para 80 dias e outro de R$ 6.000,00 para 50 dias, sendo a taxa de descontos 
simples de 15% a.a. R  R$ 13.957,26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Uma dívida, representada por dois títulos de R$ 5.000,00 e R$ 7.000,00, vencíveis em 60 e 90 
dias, respectivamente, será reformulada, substituindo-se por 2 títulos de mesmo valor final, vencíveis em 
120 e 180 dias, respectivamente. Sendo a taxa de descontos simples de 2% a.m., determine o valor dos 
novos títulos. R  R$ 6.322,22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) O título de valor de R$ 50.000,00, com vencimento no dia 14 de agosto, foi descontado no dia 
17 de julho do mesmo ano com a taxa de juros de 27% ao mês. Determine qual o valor líquido 
recebido e qual o valor do desconto? R  R$ 39.936,10 ; R$ 10.063,90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um título com valor de R$ 72.424,80 foi descontado a taxa de juros de 26% ao mês. O desconto foi 
de R$ 15.724,80, pergunta-se qual o prazo do desconto e qual o valor líquido recebido? 
 R  R$ 56.700,00 ; 32 dias3) O título de R$ 101.800,00 com vencimento no dia 14 de dezembro descontado a taxa de juros de 
40,5% ao trimestre resulta no valor líquido de R$ 90.347,50. Qual a data em que o título está 
sendo descontado? R  16 de novembro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
4) Uma NP emitida em 10/06/2015, para vencer em 255 dias, foi descontada em 15/12/2015, à taxa 
de juros simples de 22,5% ao mês por R$ 10.216,21. Determine o valor do título na data do 
vencimento e a taxa de desconto simples mensal equivalente. R  R$ 15.349,86 ; 14,97% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma Nota Promissória foi descontada por R$ 23.037,60, a taxa de desconto de 78% ao trimestre, 
faltando 39 dias para o vencimento. Qual o valor do desconto e qual o valor da promissória? 
 R  R$ 11.762,40 ; R$ 34 800,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) O desconto de um título foi de R$ 147.750,00, e o valor líquido recebido de R$ 837.250,00, 
adotando-se a taxa de desconto de 30% ao trimestre. Se o título foi descontado no dia 14 de 
outubro, qual a data do vencimento do título? R  28 de novembro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
7) Uma Nota Promissória foi emitida em 15/03/2015 com seu vencimento para o dia 30/07/2015. 
Em 12/06/2015 foi descontada, à taxa de desconto simples de 36 % ao trimestre, por R$ 4.580,00. 
Qual o valor do desconto? R  R$ 1. 088,32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Qual a taxa de juros simples equivalente na operação de desconto simples que utiliza a taxa de 
desconto de 2,4% ao mês no prazo de 126 dias? R  2,669% ao mês 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Determinado negociante deseja trocar dois títulos um no valor de R$ 10.000,00 e outro no valor 
de R$ 20.000,00 com vencimentos em 24 dias e 36 dias, respectivamente, por um único com 
vencimento em 45 dias. Se a taxa de desconto simples adotada é de 25% a.m., qual o valor nominal 
do novo título? R  R$ 35.200,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
10) Dois títulos de valores nominais de R$ 5.000,00 e R$ 8.000,00 vencem respectivamente em 15 
dias e 21 dias. O devedor pretende reformá-los de modo a fazer dois pagamentos, sendo o 
primeiro igual ao dobro do segundo, respectivamente em 30 e 45 dias. Qual o valor desses 
pagamentos se o credor desconta comercialmente a taxa de desconto de 21% ao mês? 
 R  R$ 9.977,04 ; R$ 4.988,52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Um título de R$ 1.350,00, vencível em 120 dias, será substituído por outro de R$ 1.560,00, a 
vencer em 180 dias. Calcule a taxa de desconto simples anual utilizada. R  63,636% a.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Um negociante deseja trocar dois títulos, um no valor de R$ 5.000,00 e outro no valor de 
R$ 3.000,00, com vencimentos em 30 e 60 dias, respectivamente, por um único título de 
R$ 8.428,57. Se a taxa de desconto simples adotada é de 9% ao trimestre, qual deverá ser o prazo 
de vencimento do novo título? R  90 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
TÓPICO 03 – JUROS COMPOSTOS 
 
 
Nos juros compostos, o juro de cada período será calculado sobre o saldo (montante) do início 
de cada período. Ou seja: os juros de cada intervalo de tempo são incorporados ao capital inicial e 
passam a render juros também. 
Observe o que acontece com o montante de um investimento de R$ 100,00, aplicado 
durante 5 meses à 10% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos analisar esta situação genericamente: 
Montante do mês 1: M = C + i · C = C · (1 + i)1 
Montante do mês 2: M = C · (1 + i)1 + i · C · (1 + i)1 = C · (1 + i)2 
Montante do mês 3: M = C · (1 + i)2 + i · C · (1 + i)2 = C · (1 + i)3 
 . . . 
M = C · (1 + i)n 
 
 Nos juros compostos usaremos: FV em lugar de M 
 PV em lugar de C 
 
então a fórmula para o cálculo do montante fica: 
 
onde (1+i)n é chamado fator de capitalização, i é taxa unitária e i e n devem ser expressos na mesma 
unidade de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juros Compostos 
Meses Juros Montante 
0 - 
1 
2 
3 
4 
5 
 ni1PVFV 
 
26 
 
Taxa efetiva e taxa nominal 
 
A taxa de juros compostos 12% a.a. indica que os juros são incorporados ao capital ao final de 
cada ano, também costuma ser apresentada como 12% a.a./a., sendo chamada de taxa efetiva, 
podendo ser usada diretamente nos cálculos. 
A taxa de 12%a.a./m., chamada de taxa nominal, indica que os juros são incorporados ao 
capital ao final de cada mês e corresponde a uma taxa efetiva de 1%a.m./m. 
 
 i % período de referência / período de capitalização 
 
 
 período de referência: é o período ao qual se refere a taxa 
 período de capitalização indica a periodicidade com que os juros são incorporados ao capital 
 
A taxa efetiva apresenta o período de referência igual ao período de capitalização e é a 
que realmente “funciona”, sendo essa a taxa usada nos cálculos. 
 
A taxa nominal apresenta o período de referência diferente do período de capitalização, 
serve apenas para apresentação, devendo ser transformada em efetiva para efetuar os cálculos. 
 
Exemplo 1: Um capital de R$ 2.560,00 é aplicado à taxa de juros compostos de 4,7% a.m./m. Calcular o 
montante acumulado ao final de 10 meses. R  R$ 4.052,35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Qual o capital que resultou no montante de R$ 6.309,00 aplicado à taxa de juros compostos 
de 36% a.a./m., durante 3 anos? R  R$ 2.176,81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Exemplo 3: Ao aplicar R$ 1.654,00, durante 8 meses, resgatou-se o montante de R$ 1.845,00. Qual a 
taxa bimestral de juros compostos usada na operação? R  i = 2,77% a.b./b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilização da HP -12C 
 
 
Na calculadora HP-12C, temos as seguintes teclas para o cálculo de juros compostos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É importante ressaltar que a calculadora HP-12C precisa de ajuda para comparar o fluxo de caixa, ou 
seja, é preciso informar quando temos de uma entrada ou uma saída. 
 
 
Na HP-12C a tecla (do inglês Change Sign) serve para introduzir ou tirar um sinal negativo de 
um número. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PV (do inglês Present Value) representa o capital 
(do inglês Future Value) representa o montante 
i (do inglês interest) representa a taxa 
n 
Representa o número de períodos 
CHS 
FV 
28 
 
 PV (entrada) 
0 1 
0 
Do ponto de vista de quem recebe um empréstimo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do ponto de vista do emprestador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
 Quando utilizamos a função [f] [FIN]. Estaremos apagando somente os registros das memórias 
financeiras da HP-12C, enquanto a função [f] [REG] apagará todos os registros armazenados 
nas memórias da calculadora. 
 
 
Cálculo do prazo 
 
Exemplo 4: Um montante de R$ 6.300,00 foi obtido após a aplicação de R$ 5.700,00 a uma taxa de juros 
compostos igual a 3% a.a./a. Qual foi a duração da aplicação? R  n = 3a 4m 19d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FV (saída) 
1 
 FV (entrada) 
PV (saída) 
29 
 
ATENÇÃO! 
 
A utilização da calculadora HP 12C para o cálculo do prazo só apresenta resultado confiável 
quando a unidade de tempo for diária, já que a solução apresentada pela calculadora é sempre um 
número inteiro 
 
O prazo deve ser calculado pela seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
Taxas equivalentes na capitalização composta 
 
Vamos introduzir o assunto através de exemplos. 
 
O capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de juros compostos de 15% a.a./a., durante 2 anos, 
produz o seguinte montante: 
 FV = 1 000,00(1 + 0,15)2 = 1 322,50 
 
Se tomarmos o prazo de 2 anos em meses (24 meses) e a taxa de 15% a.a./a. substituirmos por 
(15 : 12 = 1,25 ao mês), teremos como montante: 
 FV = 1000(1 + 0,0125)24 = 1 347,35 
 
Os montantes são diferentes! Isso ocorre porque as taxas de 15% a.a./a. e 1,25% a.m./m. não 
são equivalentes. 
 
 Qual será a taxa mensal equivalente a 15% a.a./a.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Qual será a taxa anual equivalente a 1,25% a.m./m.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 i1nl
PV
FV
nl
n







 
30 
 
Exemplo: Qual a taxa bimestral, equivalente à taxa de 3% a.m./s. R  i = 5,6722% a.b./b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: O cálculo das taxas equivalentes não depende do valor do capital. 
 
Generalizando: 
 
 
 
 
 
destas igualdades, tomando-se determinada taxa efetiva, podemos calcular outra taxa efetiva. 
 
 
Juros compostos com prazo fracionário 
 
Quando o prazo da aplicação não é um período inteiro temos duas maneiras de remunerar o 
capital: a convenção exponencial e a convenção linear. 
 
 
Convenção exponencial 
 
Remunera calculando juros compostos em todo o período, inclusive o fracionário. Temos 
então: 
 
 
 
 
 
 
 
Convenção linear 
 
Remunera calculando juros compostos no período inteiro e juros simples no período 
fracionário. Temos então: 
 
 
 
             a
2
s
3
q
4
t
6
b
12
m
360
d i1i1i1i1i1i1i1 
 
 
 
c
ba
i1PVFV


 
  





 
c
b
i1i1PVFV
a
 
31 
 
Cálculos utilizando a convenção exponencial através das teclas funcionais da HP-12C devem 
ser feitos observando-se a presença do símbolo C no campo inferior do visor da calculadora. Este 
símbolo é obtido através dos comandos STO e EEX (digitados separadamente e nesta ordem). 
 
No caso de utilização da convenção linear via HP-12C o símbolo C não deve permanecer no 
visor. Caso esteja, o símbolo pode ser retirado dos comandos STO e EEX (digitados separadamente e 
nesta ordem). 
 
 
Exemplo: O capital de R$ 2.630,00 foi aplicado à taxa de 28% a.a./t., durante 1a 8m 18d. Calcule 
montante segundo: a) convenção exponencial R  R$ 4.185,28 
 b) convenção linear R  R$ 4.186,36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
1) Um Banco remunera as aplicações dos seus clientes a juros compostos a uma taxa de 18% a.s./m. 
Se uma pessoa aplica hoje R$ 8.500,00 e R$ 10.000,00 daqui a 3 meses, qual será seu saldo daqui 
a 6 meses? R  R$ 21.076,71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 15 meses. Sabendo que a taxa 
de juros dos 7 primeiros meses foi de 3% a.m./m e que a do período restante foi de 4% a.m./m., 
calcular o montante desta aplicação. R  R$ 5.049,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um eletrodoméstico cujo preço à vista é R$ 7.800,00 é negociado à prazo através de uma entrada 
de 30% e o restante em uma parcela única após 90 dias. Utilizando uma taxa de juros de 
6% a.t./m., calcule o valor desta parcela. R  R$ 5.794,20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
4) Sabendo que o capital de R$ 15.000,00 aplicado a juros compostos durante 18 meses rendeu 
R$ 4.250,00, pede-se: 
 
a) a taxa bimestral de juros efetiva aplicada na operação; 
b) o rendimento, caso o capital fosse aplicado durante os mesmos 18 meses a uma taxa de 
7,3% a.t./t. R  a) i=2,81% a.b./b. b) R$ 7.892,31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma empresa obteve um financiamento cujo pagamento ocorreu da seguinte forma: 
 
 1ª parcela após 60 dias de R$ 12.440,00 
 2ª parcela após 90 dias de R$ 13.600,00 
 
Determine o valor de financiamento sabendo-se que foi utilizada uma taxa de juros compostos de 
9% a.b./m. R  R$ 23.309,31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
6) Uma pessoa obteve um empréstimo a juros compostos com um amigo, comprometendo-se a saldar 
sua dívida em exatamente dois anos. A taxa de juros foi fixada no momento do empréstimo e 
mantida durante todo o processo. Com base nas informações apresentadas na tabela abaixo, 
determine: 
 
a) A taxa de juros praticada na negociação. 
b) O valor do empréstimo. 
c) O saldo devedor na data do pagamento. 
 
N (mês) M (montante) (R$) 
0 ? 

 

 
10 11.731,71 

 

 
21 15.147,04 

 

 
24 ? 
 
 R  a) i = 2,35% a.m./m. b) R$ 9.300,00 c) R$ 16.240,20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Uma loja financia um aparelho eletrônico cujo preço à vista é R$ 2.000,00 através de dois 
pagamentos iguais, sendo um dado como entrada e o restante após 30 dias. Sabendo-se que a taxa 
de juros utilizada pela loja é de 12% a.q./m. Calcule o valor dos pagamentos. R  R$ 1.014,78 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Calcular o montante obtido ao aplicar um capital de R$ 60.000,00, durante 3 anos, à taxa de juros 
compostos de 10% a.a./a. R  R$ 79.860,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Aplica-se um valor à taxa de 36 % a.a./t. que, ao fim de 3a 6m, transforma-se em R$ 7.856,00. Qual 
o valor aplicado ? R  R$ 2.350,88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um capital de R$ 2.500,00, aplicado durante 4 meses, produziu um montante de R$ 3.500,00 . Qual 
a taxa mensal de juros compostos ? R  8,78% a.m./m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
4) Um capital de R$ 37.300,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 4% a.m./m. Determinar o 
montante produzido em 1 ano e 3 meses. R  R$ 67.175,19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) O capital de R$ 17.000,00 esteve aplicado durante um ano, resultando no montante de 
R$ 49.200,00. Se a taxa de juros dos 4 primeiros meses foi de 7,2% a.m./m., qual a taxa de juros doperíodo restante? R  i=10,3% a.m./m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Qual o prazo necessário para que R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 12% a.a./q., tenha um 
rendimento de R$ 9.846,00. R  1a 6m 10d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
7) Um capital de R$ 2.535,00 aplicado à taxa de juros de 24% a.a./b., produziu um montante de 
R$ 5.375,90. Durante quanto tempo o capital esteve aplicado. R  3a 2m 10d 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Uma mercadoria está à venda por R$ 10.000,00 a vista ou, de forma equivalente, com uma entrada 
e mais 3 parcelas sendo a primeira de R$ 2.200,00, 60 dias após a compra, a segunda de 
R$ 3.500,00, 90 dias após a compra e a terceira de R$ 4.000,00, 150 dias após a compra. Se a 
loja trabalha com uma taxa de 6% a.b/m., determine o valor da entrada. 
 R  R$ 1.272,86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Contraíu-se uma dívida de R$ 10.000,00 para ser paga em 3a, acrescida de juros de 36% a.a./b. 
Foram pagas 3 parcelas: uma de R$ 4.350,00 ao fim de 1a 2m, outra de R$ 5.200,00 ao fim de 
2a e outra de R$ 6.400,00 ao fim de 2a 6m Quanto deverá ser pago na data do vencimento para 
quitar a dívida ? R  R$ 5.286,99 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
10) Qual a taxa mensal, equivalente à taxa de 38,6% a.a./s.? R  2,984 a.m./m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Indique a melhor opção para um investidor fazer uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo prazo de 
2 anos: 
a) usar uma taxa de 12% ao quadrimestre com capitalização mensal 
b) usar uma taxa de18% ao semestre com capitalização trimestral 
c) usar uma taxa de 36% ao ano com capitalização bimestral 
 R  opção a 
Taxa a: 3% a.m./m. 
 Taxa b: 2,914% a.m./m. 
Taxa c: 2,956% a.m./m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
12) O capital de R$ 48.000,00 foi aplicado à taxa de 26% a.a./t. durante 1a 5m 12d. Calcule o montante 
a) segundo a convenção exponencial 
b) segundo a convenção linear 
 R  a) R$ 69.162,23 b) 69.183,90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Qual o valor do capital que, no prazo de 4a 8m 16d, produziu o montante de R$ 51.300,00, 
sendo a taxa de juros compostos de 5,5% a.a./a. R  exp: R$ 39.863,23 lin: R$ 39.851,58 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Uma mercadoria, cujo preço a vista é de R$ 3.100,00, pode ser paga através de duas parcelas iguais 
com vencimentos em 30 e 60 dias. Se a taxa de juros é de 4% a.m./m., qual o valor das prestações? 
 R  R$ 1.643,61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
TÓPICO 04 – SÉRIES DE PAGAMENTOS 
 
 
 
Conceito 
 
 Uma Renda ou uma Série de Pagamentos é uma sucessão de capitais (termos da renda) que 
podem ser pagamentos e/ou recebimentos, ocorridos em pontos diversos no tempo (Fluxo de 
Caixa). 
 
Exemplos: 
 
 Recebimento do salário, pagamento de taxas (luz, água), pagamento de uma prestação, 
recebimento dos juros da Poupança, etc. 
 
 O pagamento de 3 prestações mensais de $ 150,00, sem entrada, para a compra de um produto 
cujo preço à vista é $ 380,00, constitui uma renda que é assim representada: 
 
 
 
 
 0 1 2 3 
 
 150 
 
 
Classificação e Simbologia 
 
Em geral as condições de prazo, valores dos termos, taxa de juros, periodicidade, são pré-
estabelecidas o que implica numa classificação para as rendas. 
 
As rendas podem ser classificadas: 
 
 
 quanto ao prazo: 
 temporárias: o prazo dos pagamentos ou recebimentos é finito 
 perpétuas: prazo infinito 
 
 
 quanto aos valores dos termos: 
 uniformes: termos iguais 
 variáveis: termos distintos 
 
 
 
 
 
 380 
 meses 
41 
 
 quanto à periodicidade: 
 periódicas: períodos iguais 
 não periódicas: períodos distintos 
 
 
 quanto à ocorrência dos termos: 
 postecipadas: os termos da renda ocorrem nos finais dos períodos de pagamento; 
 antecipadas: os termos da renda ocorrem nos inícios dos períodos de pagamento. 
 
 
 quanto à ocorrência do 1o termo: 
 imediatas: ocorre no 1o período de pagamento 
 diferidas: ocorre após o 1o período 
 
 
Vamos trabalhar com Rendas Temporárias, Uniformes e Periódicas que serão postecipadas ou 
antecipadas, imediatas ou diferidas. 
 
Teremos a seguinte simbologia com seus respectivos significados 
 
i: taxa de juros 
n: número de termos 
PMT: termos da renda (pagamentos ou recebimentos) 
PV: Valor Atual (parcela única que equivale à soma de todos os termos devidamente 
 descapitalizados) 
FV: Montante (parcela única que equivale à soma de todos os termos devidamente 
 capitalizados) 
 
 
Rendas Postecipadas (END) 
 
 “Os termos da renda ocorrem nos FINAIS dos períodos de pagamento” 
 
Esquema gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Exemplo: Calcule o preço à vista de uma mercadoria adquirida a prazo, com taxa de juros de 
2% a.m./m., cujo pagamento das prestações ocorre da seguinte forma: 
 
a) 3 parcelas mensais e iguais de R$ 250,00 após 30, 60 e 90 dias. 
b) 3 parcelas mensais e iguais de R$ 250,00 após 90, 120 e 150 dias. 
R  a) R$ 720,97 
R  b) R$ 692,97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do Valor Presente – PV (Valor Atual Postecipado) 
 
 
 
 Valor Atual (PV) 
 
 
 
 
 
Cálculo do Valor Futuro – FV (Montante Postecipado) 
 
 
 Valor Futuro (FV) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
1) As condições de venda de um automóvel são as seguintes: uma entrada de 
R$ 5.000,00, mais 4 prestações mensais, vencendo a primeira 3 meses após a compra. O valor da 
prestação é de R$ 4.520,00 e a taxa de juros é de 24% a.a./m. Calcular o preço à vista. 
 R  R$ 21.542,61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) João deseja construir um fundo para ajudar a complementar a sua aposentadoria do INSS. Para 
isso pretende economizar, depositando ao final de cada mês e durante os próximos 25 anos, 
a quantia de R$ 150,00 numa aplicação que lhe renderá 0,8% a.m./m. 
a) Calcular o valor do fundo na data da última aplicação. R  R$ 185.970,30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Suponha que se passaram 25 anos e João dispõe hoje do referido fundo. Se a taxa de juros se 
mantiver em 0,8% a.m./m. e ele desejar efetuar retiradas mensais de R$ 1.800,00, quantas 
retiradas poderá fazer? R  220 retirados 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
3) Entre outubro de 2015 e agosto de 2016,foram depositados mensalmente R$ 780,00. Se a taxa 
usada é 2,5% a.m./m., calcular o valor acumulado em novembro de 2016. R  R$ 10.485,80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Uma compra é efetuada na seguinte condição: entrada de R$ 300,00, 10 prestações mensais de 
R$ 250,00 sendo a primeira prestação paga um mês após a compra, mais 2 reforços de R$ 400,00 
dados junto com a 4ª e a 7ª prestação. Qual seria o valor à vista se a taxa usada é de 2,8% a.m./m? 
 R$ 3.142,34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) O preço à vista de uma mercadoria é R$ 1.450,00. Calcular o valor que deve ser dado de entrada 
para poder financiar o saldo em 5 prestações trimestrais de R$ 285,00, sendo que a primeira 
prestação vence 1 ano após a compra, e à taxa de juros de 6,5% a.t./t. R  R$ 469,52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
6) Um cidadão faz os seguintes depósitos: 
 R$ 2.000,00 em janeiro/16; 
 R$ 500,00 em fevereiro/16, março/16,... junho/16 
 um depósito extra de R$ 800,00 em abril/16 
 
 Avaliar o montante em junho/16 se a taxa de juros é de 3,5% a.m.m. R  R$ 5.913,59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Certo plano de investimento prevê um depósito inicial de R$ 8.200,00 mais 12 depósitos mensais 
iguais, sendo o primeiro depósito 30 dias após a entrada. O plano utiliza uma taxa de juros 
de 120% a.a./m., resultando um montante de R$ 50.000,00 seis meses após o último 
investimento. Calcular o valor dos depósitos. R  R$ 116,37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Rendas Antecipadas (BEGIN) 
 
 
 “Os termos da renda ocorrem nos INÍCIOS dos períodos de pagamento” 
 
Esquema gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo do Valor Presente – PV (Valor Atual Antecipado) 
 
 
 
 Valor atual (PV) 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
1) Calcular o preço à vista de um automóvel nas seguintes condições: 9 prestações mensais iguais, 
sendo a 1a dada como entrada. O valor da prestação é de R$ 2.626,24 e a taxa de juros é de 
24% a.a./m. R  R$ 21.864,71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
2) Uma coleção de livros é vendida por R$ 650,00 à vista ou em 6 prestações mensais iguais e 
consecutivos, sendo a primeira no ato da compra. Considerando uma taxa de juros compostos de 
24% a.t./m., determinar o valor das prestações. R  R$ 130,19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule o preço à vista de um eletrodoméstico pago em 10 prestações mensais e antecipadas, 
sendo as seis primeiras de R$ 800,00 e as demais de R$ 500,00. Considere uma taxa de juros 
compostos de 6% a.q./m. R  R$ 6.415,05 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Efetuam-se 12 depósitos mensais de R$ 485,00. Qual o montante apurado dez meses após o último 
depósito se a taxa de juros é de 8% a.m./m. R  R$ 19 870,54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcular o preço à vista de uma máquina, se o comprador deu R$ 4.200,00 de entrada, mais 9 
prestações bimestrais de R$ 3.850,00 cada, a partir de 1 ano após a encomenda sendo a taxa de 
juros de 54 % a.a./b. R  R$ 19.201,52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
3) Um terreno foi adquirido através do pagamento de uma entrada de R$ 5.000,00, seguida de 
15 prestações mensais de R$ 1.500,00 e mais um reforço extra pago juntamente com a 7a prestação. 
O financiamento foi calculado a uma taxa de juros de 4,5% a.m./m. Calcular o valor do reforço, 
sabendo que o valor total pago, avaliado no momento da quitação do imóvel foi de R$ 44.407,74. 
 R  R$ 2.500,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Alguém contraiu uma dívida que deverá se paga na seguinte condição: 
 
 1 pagamento de R$ 500,00 em set/05, mais 
 10 pagamentos de R$ 250,00 nos meses de jan/06 a out/06, mais 
 1 pagamento de R$ 300,00 em jan/07. 
 
 Supondo que se queira pagar a dívida com um único pagamento em mai/06, calcular o valor deste 
pagamento, se a taxa de juros utilizada é de 3 % a.m./m. R  R$ 3.342,42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
5) Uma mercadoria está à venda na seguinte condição: uma entrada de R$ 2.000,00, seguida de 
12 prestações mensais iguais no valor de R$ 5.000,00, mais um pagamento efetuado 120 dias 
após a compra de R$ 3.000,00. Calcular o preço à vista a uma taxa de juros de 9% a.m./m. 
 R  R$ 39.928,90
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Uma loja coloca à venda uma mercadoria na seguinte condição: entrada de R$ 3.800,00, 
mais 6 prestações mensais de R$ 550,00, vencendo, a primeira, 120 dias após a entrada. 
 Um cliente propõe pagá-la do modo seguinte: entrada de R$ 2.000,00 e o restante em 4 prestações 
 mensais iguais, vencendo a primeira 180 dias após a entrada. Determinar o valor das prestações, 
 se a taxa de juros é de 2% a.m./m. R  R$ 1.363,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
7) Um estudante foi agraciado com uma bolsa mensal de estudos no valor de R$ 1.000,00 recebidos ao 
final de cada um dos 24 meses de seu mestrado. Após o término do curso, o estudante deve 
ressarcir a agência que concedeu a bolsa, através do pagamento de 48 prestações mensais, iguais e 
postecipadas. Determinar o valor dessas prestações, sabendo que a taxa de juros é de 1% a.m./m. 
 R  R$ 710,31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Uma mercadoria é oferecida para pagamento em 6 prestações mensais iguais e antecipadas de 
R$ 18.600,00, com taxa de juros compostos de 16% a.b./m. Determine o valor à vista dessa 
mercadoria. R  R$ 92.864,41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
9) Uma loja de automóveis financia, integralmente, um veículo no valor de R$ 16.500,00, em 
12 parcelas iguais, mensais e consecutivas, de R$ 2.093,10. Calcular a taxa mensal de juros 
compostos cobrada, sabendo-se que a primeira prestação é paga no ato da compra.R  8,76% a.m./m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Um produto financiado será pago em 10 prestações mensais antecipadas, sendo que as 
5 prestações iniciais serão de R$ 350,00 e as demais de R$ 250,00, além de um reforço de 
R$ 400,00 pago junto com a sétima prestação. Calcule o preço à vista desse produto sabendo que a 
taxa de juros utilizada será de 2% a.m./m. R  R$ 3.126,52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
TÓPICO 05 – AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS 
 
 
 
Generalidades 
 
Entende-se por Amortização o processo de extinção de uma dívida. De um modo geral, temos o 
esquema abaixo para o referido processo: 
 
 
 Quota de amortização 
 
Dívida (Empréstimo) Prestações  
 
 Quota de Juros 
 
 
Conforme a composição das prestações, temos os Sistemas de Amortização tais como: 
 
 Sistema de Amortização Progressiva ( Francês) (SAP) 
 Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO PROGRESSIVA (SAP) 
 
Trata-se de um sistema amplamente adotado no Brasil nas instituições financeiras e no comércio 
em geral. 
 
Característica básica: 
 
“ O pagamento da dívida é efetuado através de prestações iguais, periódicas e nos finais dos 
períodos. Portanto trata-se de uma Renda Imediata Postecipada.” 
 
 
 Conceitos 
 
 
 Principal ou Empréstimo ( PV ): é o valor do capital contraído como empréstimo. 
 
 Quotas de Amortização (Ap): são as parcelas que compõe as prestações e referem-se ao 
pagamento do capital emprestado (principal). 
 
 Quotas de Juros (Jp): são as parcelas que compõe as prestações e referem-se ao custo do capital 
emprestado. São calculadas segundo o regime de juros compostos, incidindo a taxa de juros sobre 
o saldo devedor do período imediatamente anterior. 
 
 
54 
 
 Prestação (PMT): ao final de cada período de pagamento p, a prestação vale: PMT = Jp + Ap . 
 
 Total Amortizado ou Montante Amortizado (FVp): é o total da dívida já amortizada após o 
pagamento da prestação ao final de um dado período p. Corresponde à soma de todas as quotas de 
amortização. 
 
 Saldo Devedor (PVp): é o valor ou estado da dívida após o pagamento da prestação no final de um 
período p. 
 
Exemplo: Um empréstimo de R$ 6.000,00 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa 
de 10% a.m./m. Construir a planilha financeira de amortização da dívida. 
 
p
 
PMT
 
pJ
 
pA
 
pPV
 
pFV
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
Formulações - SAP 
 
 Cálculo da prestação (PMT) 
 
 
 
 
 
 então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
  










i.i1
1i1
PMTPV n
n 
 
  











1i1
ii1
PVPMT n
n 
55 
 
 Cálculo dos juros ( Jp): 
 
 Os juros são calculados sobre o saldo devedor 
 
 
 
 
 
 
ou, como 
 
 
 Cálculo da quota de amortização de um período qualquer p ( Ap ) 
 
 Como as quotas de amortização constituem uma PG de razão (1+i) temos: 
 
 sendo 
 
 
 Total Amortizado após o pagamento de uma prestação p (FVp ) 
 Temos que: 
 
 
 
 
 
 Saldo Devedor após o pagamento de p prestações (PVp) 
 Sabendo-se o valor de 
pFV
, temos: 
.p0p FVPVPV 
 Como 
pPV
 também corresponde ao 
valor atual das 
 pn
 prestações futuras, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iPVJ .1pp 
 
pp A PMTJ 
 
pp JA PMT 
 
  1pp i1AA 1 
 
 
11 JPMTA 
 
 





 

i
1i1
AFV
p
1p
 
pp FVPVPV 
  
  












ii1
1i1
PMTPV
.pn
pn
p
 
pp PVPVFV 
 
56 
 
 Prestações pagas com atraso 
 
Exemplo: Um empréstimo de R$ 6.000,00 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 
10% a.m./m., pagando-se as prestações 2 e 3 junto com a 4ª. Construir a planilha financeira de 
amortização da dívida. 
 
p
 
PMT
 
pJ
 
pA
 
pPV
 
pFV
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 Prestações pagas antecipadas 
 
Exemplo: Um empréstimo de R$ 6.000,00 foi contraído via SAP em 5 prestações mensais à taxa de 
10% a.m./m., pagando-se a prestação 3 junto com a 2ª. Construir a planilha financeira de amortização 
da dívida. 
 
p
 
PMT
 
pJ
 
pA
 
pPV
 
pFV
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 
 
Exercício: Um empréstimo no valor de R$ 20.000,00 será amortizado pelo SAP (Sistema Francês) no 
prazo de 3 anos, em prestações mensais, à taxa de juros compostos de 5% a.m./m.. Determine: 
 
a) O valor das prestações. 
b) Os juros pagos na 1ª primeira prestação. 
c) A 1ª cota de amortização. 
d) A 14ª cota de amortização. 
e) Os juros pagos na 19ª prestação. 
f) O saldo devedor após o pagamento da 25ª prestação. 
g) O total amortizado após o pagamento da 25ª prestação. 
 
 
COMANDO VISOR SIGNIFICADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
 
 Características 
 
 os pagamentos são postecipados; 
 os juros pagos em cada prestaçao são calculados sobre o saldo devedor do período anterior; 
 as cotas de amortização são iguais. 
 
Exemplo: Um empréstimo de R$ 6. 000,00 foi contraído via SAC em 5 prestações mensais à taxa de 
10% a.m./m. Construir a planilha financeira de amortização da dívida. 
 
Planilha de Amortização – SAC 
 
 
 Formulações - SAC 
 
 Quota de Amortização ( A ) 
 
 
 
 
 
 Saldo Devedor ( PVp ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p
 
Prestação 
PMT
 
Juros 
pJ
 
Amortização 
A
 
Saldo Devedor 
pPV
 
Total Amortizado 
pFV
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
n
PV
A 
 
pAPVPVp 
 
 Juros pagos numa prestação ( Jp ) 
 
 
 
 
 Total Amortizado ( FVp ) 
 
 
 
 
 
iPVJ 1pp 
 
ApFVp .
 
59 
 
 Prestações ( PMTp ) 
 
 
 
 
Exemplo: Um empréstimo foi amortizado mensalmente via SAC em 20 anos. Sabendo-se que as quotas de 
amortização eram de R$ 145,00 e que a instituição financeira trabalha com uma taxa de juros de 
24% a.a./m., determine: 
a) Os juros pagos na 15ª prestação; R  J15= R$ 655,40 
b) O valor da 36ª prestação. R  PMT36= R$ 739,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AJPMT pp 
 
60 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Umempréstimo de R$ 245.300,00 foi amortizado via SAP em prestações mensais durante 7 anos a 
uma taxa de juros de 36% a.a./m. Calcule o que se pede abaixo, indicando todos os passos 
utilizados: 
 
a) os juros pagos na 21a prestação; R  J21= R$ 6.818,55 
b) a 42a cota de amortização; R  A42= R$ 2.252,60 
c) o saldo devedor após o pagamento da 50a prestação; R  PV50= R$ 169.676,76 
d) o total amortizado após o pagamento da 67a prestação. R  FV67= R$ 139.583,48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um empréstimo de R$ 52.000,00 foi amortizado via SAP em prestações mensais durante 5 anos a 
uma taxa de juros de 15% a.s./m. Calcule o que se pede abaixo, indicando todos os passos 
utilizados: 
 
a) a 15a cota de amortização; R  A15= R$ 540,29 
b) o total amortizado após o pagamento da 24a prestação; R  FV24= R$ 12.369,51 
c) os juros pagos na 39a prestação; R  J39= R$ 705,14 
d) o saldo devedor após o pagamento da 50a prestação. R  PV50= R$ 14.724,27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61 
 
3) Um empréstimo de R$ 12.000,00 será pago em 6 prestações mensais pelo SAP, a uma taxa de 
juros de 5% a.m./m., vencendo a 1a prestação 4 meses após a liberação do empréstimo. Construir a 
planilha de amortização, sabendo que, no período de carência, nada é pago e os juros são 
incorporados ao saldo devedor. 
 
p
 
PMT
 
pJ
 
pA
 
pPV
 
pFV
 
0 
1 
2 
3  13.891,50 
4 
5 
6 
7 
8 
9 13.891,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
 
4) Um cidadão faz um empréstimo de R$ 1.000,00, a 5% a.m./m., via SAP em 6 prestações mensais. 
Ele pagará a 3a e a 4a prestações juntamente com a 5a prestação e na data desta. Construir a 
planilha de amortização. 
p
 
PMT
 
pJ
 
pA
 
pPV
 
pFV
 
0  1.000,00 
1 
2 
3  733,54 
4 
5 
6 1.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Um empréstimo no valor de R$ 10.500,00 foi contraído via SAP para ser amortizado em 
36 prestações mensais a uma taxa de juros de 3,5% a.m./m. A 1a prestação foi dada 120 dias após 
ter sido firmado o contrato e, durante este período, os juros foram incorporados ao saldo devedor. 
Calcular: 
 
a) o valor das prestações; R  PMT= R$ 573,74 
b) 15a quota de amortização. R  A15= R$ 269,17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
6) Um empréstimo no valor de 60.000,00 seria amortizado em 15 anos mediante prestações mensais 
pelo sistema SAP utilizando uma taxa de juros compostos i = 2% a.m./m. Imediatamente após o 
pagamento da 24ª prestação o devedor deu um reforço de R$ 7.000,00 e decidiu refinanciar a 
dívida resultante em 5 anos com prestações também mensais via SAP à taxa de 1% a.m./m. 
Calcule o valor das prestações após o refinanciamento. R  PMT= R$ 1.155,29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Um empréstimo de R$ 8.500,00 foi amortizado mensalmente pelo SAP durante 2 anos. Os juros 
pagos na 1a prestação foram de R$ 382,50. Determinar os juros pagos na última prestação. 
 R  R$ 25,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Um financiamento no valor de R$ 25.000,00 foi amortizado via SAP durante 5 anos. Se a taxa de 
juros é de 42% a.a./m, calcular o valor necessário para quitar o empréstimo após o pagamento da 
15a prestação. R  R$ 22.545,29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
9) Um empréstimo será amortizado mensalmente pelo SAP durante 3 anos a uma taxa de juros de 
30% a.a./m. Após o pagamento da 20a prestação, o saldo devedor ficou em R$ 12.450,00. Calcular 
o valor pago por ocasião da última prestação, sabendo que, com esta, foram pagas as prestações 
34a e 35a . R  R$ 2.933,09 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais. A 
taxa de juros da operação é de 4% a.m./m. Determinar: 
a) o valor das amortizações mensais; R  R$ 2.000,00 
b) o valor dos juros e da prestação referente ao 22o pagamento; R  R$ 1.520,00 ; R$ 3.520,00 
c) o valor da última prestação; R  R$ 2.080,00 
d) o saldo devedor após o pagamento da 10a prestação; R  R$ 60.000,00 
e) o total amortizado após o pagamento da 16a prestação. R  R$ 32.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Um empréstimo de R$ 250.000,00 deve ser pago com juros de 8% a.m./m. em 20 parcelas 
mensais pelo SAC. Calcular os valores do 2o e do último pagamentos. 
 R  R$ 31.500,00 ; R$ 13.500,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
12) Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi amortizado mensalmente pelo SAC em 3 anos. Os juros 
pagos na 1a prestação foram de R$ 450,00. Calcular os juros pagos na última prestação. 
 R  R$ 12,50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Um automóvel no valor de R$ 40.000,00 é comprado sem entrada para ser pago em 
5 prestações, vencendo a primeira prestação 90 dias após a compra, à base de 9 % a.m./m. de 
juros, capitalizados durante a carência. O financiamento foi feito pelo SAC. Apresentar a planilha 
de amortização. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p
 
Prestação 
PMT
 
Juros 
pJ
 
Amortização 
A
 
Saldo Devedor 
pPV
 
Total Amortizado 
pFV
 
0 
1 
2  47.524,00 
3 13.781,96 
4 
5 
6 
7 47.524,00 
66 
 
14) Um empréstimo de R$ 6.050,00 será amortizado mensalmente pelo SAC em 5 prestações, à taxa 
de juros de 10% a.m./m. Obter a planilha de amortização, sabendo que os juros são pagos 
mensalmente, mas as amortizações só começam daqui a 4 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Um empréstimo no valor de R$ 60.000,00 seria amortizado em 15 anos mediante prestações 
mensais pelo sistema SAP utilizando uma taxa de juros compostos i = 2% a.m./m. Imediatamente 
após o pagamento da 24ª prestação o devedor deu um reforço de R$ 7.000,00 e decidiu 
refinanciar a dívida resultante em 5 anos com prestações também mensais via SAC à taxa de 1% 
a.m./m. Calcular o valor da primeira e da última prestação após o refinanciamento. 
R  PMT1 = R$ 1.384,97; R  PMT60 = R$ 874,26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p
 
Prestação 
PMT
 
Juros 
pJ
 
Amortização 
A
 
Saldo Devedor 
pPV
 
Total Amortizado 
pFV
 
0 
1 605,00 
2 
3  6.050,00 
4 1.815,00 
5 
6 
7 
8 6.050,00 
67 
 
TÓPICO 06 – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
 
 
Veremos dois métodos para a avaliação e seleção de projetos de investimentos: o método do 
Valor Líquido Presente (NPV) e o método da Taxa Interna de Retorno (IRR). 
 
Generalidades e Conceitos 
 Análise de Investimentos é um tema no âmbito da Engenharia Econômica que trata da 
utilização de técnicas que visam auxiliar a quem detém o capital nas tomadas de decisões. A 
ferramenta utilizada é a Matemática Financeira. 
 
 As técnicas de análise de investimento podem ser entendidas como metodologias para medir o 
retorno dos investimento. Em geral levam em consideração o valor do dinheiro em função do 
tempo, com base no prazo e no retorno monetário. 
 
 Um projeto ou uma alternativa de investimento consiste na inversão (aplicação) de capital 
num determinado empreendimento com a finalidade de obter receitas futuras. Exemplos: 
 aplicar na poupança; 
 comprar uma máquina para a linha de montagem de uma fábrica; 
 alugar uma padaria. 
 
 É essencial para a análise de um projeto: 
 estimar o horizonte de planejamento; 
 estimar as receitas e os desembolsos ocorridos ao longo do tempo de duração do 
projeto (vida útil), caso o projeto seja levado a efeito; suporemos aqui que as receitas 
e os desembolsos ocorram em períodos de tempo de igual amplitude; 
 reconhecer o valor do dinheiro no tempo através de uma taxa de juros apropriada. 
 
Taxa de Mínima Atratividade - TMA 
 
Para analisar um investimento é essencial conhecer o mínimo que o investidor estaria disposto 
a ganhar com o projeto. Este valor é dado através de uma taxa de juros conhecida como Taxa de 
Mínima Atratividade (TMA). 
 
A TMA geralmente varia de investidor para investidor, de empresa para empresa. É uma taxa a 
partir da qual o investidor considera que está obtendo ganhos financeiros. Geralmente ela está 
associada a investimentos de baixo risco e leva também em consideração as incertezas quanto aos 
retornos advindos da execução do projeto. 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 Método do Valor Presente Líquido (NPV - VLP) 
O NPV (Net Present Value) consiste na diferença entre todas as entradas ou saídas obtidas 
ao longo do desenvolvimento de um projeto e o capital inicial investido. Todos os valores 
envolvidos no cálculo devem ser considerados na mesma data, o que naturalmente requer a 
descapitalização das entradas e saídas para a data “zero” do processo com base em uma taxa de 
custo de oportunidade conhecida ou estimada. 
 
 
 
 
Podemos então afirmar que o objetivo do NPV é verificar se projetos de ou alternativas de 
investimentos são interessantes a seus patrocinadores em relação aos custos, ou seja, se possuem 
NPV positivo. Seu cálculo reflete as preferências entre consumo presente e consumo futuro e a 
incerteza associada aos fluxos de caixa futuros. O processo por meio dos quais os fluxos de caixa 
são ajustados a esses fatores chama-se desconto, e a magnitude desses fatores é refletida na taxa de 
desconto usada. O processo de desconto converte os fluxos de caixa futuros em valores presentes, 
pois fluxos de épocas diferentes não podem ser comparados nem agregados enquanto não forem 
colocados em uma mesma época. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Zeca Gellato está analisando a compra de uma nova máquina para incrementar a sua 
sorveteria no verão/16. Suas expectativas com relação às receitas e desembolsos são as seguintes: 
 desembolso inicial de R$ 5.000,00 com a compra do equipamento em dez/15; 
 despesa de R$ 500,00 e receita de R$1.500 em jan/16; 
 receita líquida de R$ 2.500,00 em fev/16; 
 receitas líquidas de R$ 1.500,00 em mar/16 e abr/16, quando então a máquina será vendida 
pelo valor de R$ 500,00 (valor residual). 
Considerando que os fluxos monetários ocorrem em períodos de igual amplitude (1 mês) e 
que Zeca deseja obter uma rentabilidade (ou lucratividade) mínima de 8% a.m./m., ajude-o a 
decidir sobre a viabilidade de seu projeto. 
 
 R  NPV = R$ 730,08  Projeto aceito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Critério de Aceitação/Rejeição 
 o projeto será aceito (é economicamente viável) se NPV > 0; 
 o projeto não é aceito (é inviável) se NPV < 0; 
 o projeto não oferece ganho e nem prejuízo NPV = 0 
 
 
NPV = PV (entrada ou saídas de caixa) – Investimento Inicial 
69 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
1) Um projeto de investimento inicial de R$ 120.000,00 deverá gerar o seguinte fluxo de caixa nos 
próximos 6 anos: 
 
 entradas anuais de R$ 32.000,00 
 gastos anuais de R$ 4.800,00 com manutenção 
 
 Considerando uma taxa de 12% a.a./a, decida sobre o aceite do projeto. 
 
 R  NPV = R$ – 8.169,72  Projeto rejeitado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um investimento de R$ 8.000,00 gerou entradas de caixa da seguinte forma: 
 R$ 2.000,00 após 30 dias 
 R$ 1.900,00 após 90 dias 
 R$ 4.500,00 após 150 dias 
 
 Calcular o NPV da operação considerando um custo de oportunidade de 3% a.m./m. 
 
 R  NPV = R$ – 437,74  Projeto rejeitado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
3) Um automóvel anunciado por R$ 52.000,00 à vista pode ser adquirido a prazo com 25% de 
entrada e mais 24 prestações mensais de R$ 1.900,00. Qual a melhor opção, segundo o critério do 
NPV, para um comprador que possui seu dinheiro aplicado à taxa de 1,5% a.m./m.? 
 
 R  NPV = R$ 942,23  compra a prazo é favorável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método da Taxa Interna de Retorno (IRR - TIR) 
 
A IRR (Internal Rate Return) pode ser definida como sendo a taxa que faz com que a diferença 
entre as receitas provenientes de um projeto e o investimento inicial seja nula. Matematicamente é a 
taxa que proporciona o NPV nulo de um projeto, ou seja, 
 
 
 
 
Em outras palavras, podemos afirmar que a IRR é a taxa de retorno esperada do projeto de 
investimento. O método da IRR não tem como finalidade a avaliação da rentabilidade absoluta a um 
determinado custo de capital (processo de atualização), como o NPV, mas ao contrário seu objetivo é 
encontrar uma taxa intrinseca de rendimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NPV = 0 
Critério de Aceitação/Rejeição 
 o projeto será aceito (é economicamente viável) se IRR ≥ TMA 
 o projeto não é aceito (é inviável) se IRR < TMA; 
 
 
71 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
1) Um produto comercializado à vista por R$ 1.500,00 é oferecido a prazo em 5 parcelas mensais de 
R$ 350,00 sendo a primeira delas paga em 120 dias após a compra. Calcule a taxa de juros mensal 
cobrada pela loja. R  IRR = 2,61% a.m./m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um automóvel anunciado por R$ 52.000,00 à vista pode ser adquirido a prazo com 25% de 
entrada e mais 24 prestações mensais de R$ 1.900,00. Qual a melhor opção, segundo o critério do 
IRR, para um comprador que possui seu dinheiro aplicado à taxa de 1,5% a.m./m.? 
 
 R  IRR = 1,29% a.m./m.  compra a prazo é favorável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um projeto de investimento tem as seguintes características: 
 
 custo