MATEMATICA APLICADA UNIDADE II - UNIP

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7 AJUSTE DE CURVAS
Em matemática e estatística aplicada, existem muitas 
situações em que conhecemos uma tabela de pontos (x; y). 
Nessa tabela, os valores de y são obtidos experimentalmente e 
deseja-se obter uma expressão analítica de uma curva y = f(x) 
que melhor se ajuste a esse conjunto de pontos.
Por exemplo, no departamento de uma empresa, podemos 
obter uma tabela com valores do custo total (CT) de um produto 
em função da quantidade q de produção, como mostra a tabela 
abaixo:
Quantidade (q) Custo total (CT)
1 164
2 272
3 348
4 416
5 500
Fazendo a representação gráfica dos pontos da tabela abaixo, 
temos:
600
500
400
300
200
100
0
Custo total X Quantidade
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Quantidade em unidades
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Gestão-1sem-2mod
Observamos que no gráfico acima não passa uma reta por 
todos os pontos. Com base nisso, podemos fazer as seguintes 
perguntas:
1) Qual é a curva que melhor se adapta para o conjunto 
de pontos, isto é, qual é a expressão analítica ou a função que 
melhor se ajusta para os pontos (x; y)?
2) Qual é a previsão do custo total para dez unidades do 
produto?
Introdução à regressão linear
A título de exemplo, utilizaremos pares ordenados obtidos 
resultantes de algum experimento, como:
x x1 x2 x3 x4 x5 ... xn-1 xn
y y1 y2 y3 y4 y5 ... yn-1 yn
A ordenação desses pares em uma distribuição cartesiana 
será influenciada pelos valores de xi e yi, (i = 1...n), logo, podemos 
obter um gráfico, por exemplo:
70
60
50
40
30
20
10
0
2 4 7 10 14 19 27 30
Fonte: FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade; TOLEDO, Geraldo 
Luciano. Estatística aplicada. São Paulo: Atlas, 2009.
Podemos constatar a possibilidade de obtenção de uma 
função real que passe nos pontos ou pelo menos passe próxima 
dos pontos (xi,yi) dados.
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A teoria de interpolação é a área matemática destinada a 
estudar tais processos para obter funções que passem exatamente 
pelos pontos dados, enquanto que a teoria de aproximação 
estuda processos resultantes de funções que se aproximem 
ao máximo dos pontos dados. Lógico que, se pudermos gerar 
funções que se aproximem dos pontos dados e que tenham uma 
expressão fácil de ser manuseada, teremos gerado algo positivo 
e de valor científico.
Existem vários processos matemáticos para a solução 
do problema; podemos destacar o método dos mínimos 
quadrados, que tem por finalidade gerar o que se chama em 
estatística de regressão linear ou ajuste linear.
Dentre as curvas mais comuns aplicadas, estão:
Ordem Função Nome
1 y = ao+a1 x Reta
2 y = ao+a1 x+a2 x² Parábola
A proposta de qualquer uma das funções é encontrar 
quais são os valores dos coeficientes ao, a1 e a2, de forma que 
a soma dos quadrados das distâncias (tomadas na vertical) da 
referida curva y = f(x) a cada um dos pontos dados (yi) seja a 
praticável, daí o nome método dos mínimos quadrados. Isso 
pode ser feito através de cálculos avançados que consideram 
todas as variáveis utilizadas ou simplificado pelo chamado 
método dos mínimos quadrados que estudaremos a 
seguir.
Método dos mínimos quadrados (MMQ)
Consiste em um dos mais simples e eficazes métodos da 
análise de regressão; é utilizado quando temos uma distribuição 
de pontos e precisamos ajustar a melhor curva para esse 
conjunto de dados.
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Gestão-1sem-2mod
Regressão linear
Analisaremos o caso em que a curva de ajuste é uma função 
linear, muito frequente nos casos empresariais. Na verdade, pela 
necessidade de agilidade nas respostas e tomadas de decisões, 
problemas mais complexos podem ser aproximados pelo caso 
linear, considerando as duas variáveis mais significativas para 
cada caso.
Matematicamente, vamos considerar y = ax + b, cujo gráfico 
é uma reta.
A equação da reta ou a função que aproxima o conjunto de 
pontos é dada por:
y = Ax + B
A
x y n x y
x n x
e B y Ax= ∑ −
∑ − ( )
= −. . .
2
2
_ _
Onde: n = número de pontos observados;
Σx= soma dos valores de x (abscissas);
Σy= soma dos valores de y (ordenadas);
Σx.y = soma dos produtos entre x e y;
Σx2 = soma dos quadrados dos valores de x;
x
x
n
= ∑ e y
y
n
= ∑ (médias aritméticas).
Aplicaremos o modelo para responder as duas perguntas do 
problema inicialmente proposto nesta unidade.
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Para facilitar os cálculos, construímos a tabela e calculamos os 
elementos da fórmula do método dos mínimos quadrados, onde y 
representa o custo total (CT) e x representa a quantidade q.
x y x.y x2
1 164 164 1
2 272 544 4
3 348 1044 9
4 416 1664 16
5 500 2500 25
Soma = ∑ 15 1700 5916 55
x
x
n
= ∑ = =15
5
3
y
y
n
= ∑ = =1700
5
340
A= −
−
= =5916 5 3 340
55 5 3
816
10
816
2
. .
,
,
.
81,6
B = 340 - 81,6.3 = 95,20.
Substituindo os valores de A e B, a equação da reta que 
aproxima os pontos da tabela é:
y = 81,6x + 95,20
Isto é, CT = 81,6q + 95,20,
e a previsão para a quantidade q = 10 unidades é dada por:
q = 10 ⇒ CT = 81,6. 10 + 95,20 = 911,20.
Assim, o custo total para dez unidades é de $ 911,20.
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Gestão-1sem-2mod
Graficamente,
600
500
400
300
200
100
0
Custo total X Quantidade
Cu
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 R
$
0 1 2 3 4 5 6 
Quantidade em unidades
y = 81,6x + 95,2
Lembramos aqui que o símbolo Σ é a representação de um 
somatório e corresponde à letra grega sigma maiúscula.
Regressão quadrática
Em muitos problemas de matemática aplicada, também é 
comum ocorrerem situações em que a curva de ajuste não é 
uma reta, podendo os pontos se aproximarem de uma curva 
cujo gráfico é uma função quadrática, exponencial, logarítmica 
e outras. Vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é uma 
função quadrática: y = ax2 + b.x + c.
O modelo de ajuste da regressão quadrática é dado por y 
= Ax + Bx + C, onde A, B e C é uma solução do sistema de 
equações lineares abaixo:
A x B x C x x y
A x B x C x xy
A x B x C n y
4 3 2 2
3 2
2
+ + =
+ + =
+ + =






∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑∑ .
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Exemplo
A tabela a seguir apresenta os valores da quantidade 
demandada de um bem e os preços de venda correspondentes 
em determinado período:
Preço de venda 150 185 210 173 145
Quantidade vendida 15 38 59 80 100
Ajuste uma parábola para os dados da tabela e projete a 
quantidade vendida para um preço de venda igual a $ 120,00.
Solução
Inicialmente, marcamos os pontos num gráfico para verificar 
se eles tendem mesmo a uma parábola.
240
200
160
120
80
0
Quantidade X Preço de venda
Q
ua
nt
id
ad
e 
em
un
id
ad
es
0 15 30 45 60 75 90
Preço de venda (R$)
105
40
Parafacilitar os cálculos, construímos uma tabela e 
calculamos os elementos da fórmula do ajuste da parábola, onde 
y representa a quantidade e x o preço de venda, e, na última 
linha, os somatórios das colunas.
x y x.y x2 x3 x4 x2. y
15 150 2250 225 3375 50625 33750
38 185 7030 1444 54872 2085136 267140
59 210 12390 3481 205379 12117361 731010
80 173 13840 6400 512000 40960000 1107200
100 145 14500 10000 1000000 100000000 1450000
292 863 50010 21550 1775626 155213122 3589100
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Gestão-1sem-2mod
Substituindo os valores obtidos da tabela acima no sistema 
de equações e resolvendo, obtemos:
A = -0,0298 B = 3,3416 e C = 105,95.
A equação que aproxima os pontos da tabela é: y = -0,0298x2 
+ 3,3416x + 105,95.
Isto é, q = - 0,0298 p2 + 3,3416 p + 105,95,
onde q representa a quantidade demandada e p o preço de 
venda.
Calculando a projeção da quantidade para o preço de venda 
igual a $ 120,00, temos:
p = 120 ⇒ q = -0,0298. (120)2 + 3,3416. 120 + 105,95 = 
77,82.
Assim, a quantidade demandada para o preço de $ 120,00 é 
de 77,82 unidades.
Graficamente,
240
200
160
120
80
0
Quantidade X Preço de venda
Q
ua
nt
id
ad
e 
em
un
id
ad
es
0 15 30 45 60 75 90
Preço de venda (R$)
105
40
y= -0,0298x2 + 3,3416x + 105,95
O estudo das regressões é muito aplicado em problemas de 
estatística. Se estamos interessados em aprender o “processo” 
(isto é, fazer dele uma ferramenta de trabalho), devemos 
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observar as mudanças que ocorreram quando passamos da reta 
para a parábola. Não construiremos o processo para função 
cúbica ou até mesmo quártica, mas a analogia entre os casos 
permanece.
Obviamente, quando necessitamos desse tipo de análise 
empresarialmente, buscamos soluções rápidas para os casos de 
interesse. A grande aliada desse tipo de cálculo é a informática, 
que nos possibilita ter à disposição programas domésticos, 
pacotes e até sistemas dedicados a cada nova situação a ser 
simulada.
O método de regressão linear consta no tutorial, por 
exemplo, do Microsoft Excel*, que faz parte do pacote Office 
da Microsoft, utilizado pela grande maioria dos profissionais. 
É fácil utilizá-lo para ajustar curvas ou equações de múltiplas 
variáveis. O programa possui duas ferramentas para desenvolver 
regressões.
A primeira é a descrita neste estudo e tem a vantagem de ser 
mais automatizada. Essa opção precisa ser instalada, através do 
menu Ferramentas/Suplementos/Análise de dados, escolhendo-
se depois a opção Ferramentas/Análise de dados/Regressão. 
Nesse caso, o MS-Excel pode calcular os resíduos e gerar os 
gráficos automaticamente, porém, cada nova equação precisa 
ser gerada desde o início.
No segundo formato, os resultados se ajustam imediatamente 
às alterações nos dados e o programa aceita até dezesseis variáveis 
independentes, reconhecendo automaticamente os dados em 
uma planilha, a partir do formato da variável dependente (y), 
como descrito a seguir1:
A ferramenta de análise Regressão realiza uma análise 
de regressão linear usando o método de “quadrados 
mínimos” para encaixar uma linha em um conjunto 
de observações. Podemos analisar como uma única 
1 Fonte: Manual do Microsoft Excel. Disponível em www.inf.unisinos.br/
gonzalez/valor/inferenc/excel.html.
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variável dependente é afetada pelos valores de uma 
ou mais variáveis independentes.
Por exemplo, ao analisar como o desempenho de um 
atleta é afetado por fatores como idade, altura e peso. 
Podemos distribuir partes da medição de desempenho 
para cada um desses três fatores, com base em um 
conjunto de dados de desempenho e, em seguida, 
usar os resultados para prever o desempenho de um 
novo atleta não testado. A ferramenta Regressão usa 
a função de planilha LINEST.
Sistemática de cálculo
Para uma função linear, com o aspecto formal tipo 
Y = a0 + a1*X1+ a2*X2+... +ak*Xk, o ajustamento da 
equação de regressão pode ser realizado com a função 
estatística PROJ.LIN (na versão em inglês, LINEST), da 
seguinte forma:
1) Selecionar (com mouse ou teclas de movimentação) 
um grupo de células: 5 linhas x número de colunas 
igual ao número de parâmetros a estimar (variáveis 
independentes mais a constante);
2) Entrar a fórmula, indicando primeiro a coluna da 
variável dependente, em seguida a faixa de colunas 
das variáveis independentes, depois a existência ou 
não da constante no modelo (default = sim, 0 = não) 
e o desejo de receber o conjunto de informações 
completo (default = não, verdadeiro = sim), adquirindo 
o seguinte aspecto:
=PROJ.LIN (a2:a13; b2:d13;;verdadeiro).
Nem sempre se usará “:” e “;”. Conforme opções de 
instalação do programa, pode ser que sejam utilizados 
“.” e “,”. Na versão em inglês, usa-se “true” ao invés 
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de “verdadeiro”, sendo que também é possível que o 
correto (para um dado sistema) seja: =LINEST (a2.
a13, b2.d13,,true).
3) Inserir esta função como matriz, pressionando 
simultaneamente CTRL+SHIFT+ENTER. Qualquer 
alteração na fórmula somente terá efeito se a matriz 
resposta for selecionada inteiramente e a nova fórmula 
for inserida igualmente com CTRL+SHIFT+ENTER. 
Como resultado dos cálculos efetuados pelo programa, 
será exibida uma matriz, sempre com o seguinte 
formato:
ak ak-1 ... a2 a1 a0
epk epk-1 ... ep2 ep1 ep0
r2 epy #N/D #N/D #N/D #N/D
F GL #N/D #N/D #N/D #N/D
SQRegres SQResid #N/D #N/D #N/D #N/D
Onde a0 é a constante, a1..ak são os coeficientes 
das variáveis, ep0...epk são os erros padrão de cada 
estimativa destas, R2 é o coeficiente de determinação, 
epy é o erro padrão da estimativa, F é o parâmetro de 
teste de Fischer-Snedecor, GL é o número de graus 
de liberdade, SQRegres é a soma dos quadrados da 
regressão e SQResid é a soma dos quadrados dos 
resíduos. Os elementos marcados como “#N/D” são 
espaços sem resultado, normais, decorrentes do 
desenho da função (na versão em inglês vem “#N/A”). 
É importante verificar que a posição dos elementos 
no quadro de resultados é sempre a mesma, 
independentemente da posição dos dados da amostra 
na planilha, indicados na fórmula.
Os testes t podem ser determinados pela razão 
entre os dados da primeira e da segunda linhas 
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Gestão-1sem-2mod
(tai=ai/epi). Os erros serão calculados utilizando os 
coeficientes determinados (atenção à posição deles: 
a constante está na última coluna, o coeficiente da 
primeira variável na penúltima, e assim por diante). 
Maiores esclarecimentos podem ser encontrados no 
item “regressão” (“regression”) no menu “AJUDA” do 
programa*.
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8 MATEMÁTICA FINANCEIRA
A maioria das questões financeiras é construída por 
algumas fórmulas-padrão e estratégias de negócio. Por 
exemplo, os investimentos tendem a crescer quando os 
bancos ou empresas oferecem juros compostos para seus 
clientes. Estamos em um momento financeiromundial em 
que as chamadas taxas de juros devem baixar para que não 
tenhamos um colapso da estrutura econômica (desemprego, 
repercussões sociais, etc.). Assim, a matemática financeira 
destina-se a fornecer subsídios para a análise de algumas 
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de 
consumo.
De modo geral, podemos afirmar que esta disciplina é a 
divisão da matemática aplicada que estuda o comportamento 
do dinheiro ao longo do tempo, quantificando as transações 
que ocorrem no universo financeiro, levando em conta 
a variável tempo, ou seja, o valor monetário no tempo 
(time value money, como se diz usualmente no mercado 
financeiro). As principais variáveis tratadas no processo 
de quantificação financeira são taxa de juros, capital e 
tempo.
Os conceitos de matemática financeira são integralmente 
aplicáveis tanto nos fluxos de caixa sem inflação, expressos 
em moeda estável “forte”, quanto nos fluxos de caixa com 
inflação, expressos em moeda “fraca”, que perdeu seu 
poder aquisitivo ao longo do tempo, em decorrência da 
inflação.
Iniciaremos nossos estudos considerando a hipótese de 
moeda estável, isto é, assume-se que a moeda utilizada no fluxo 
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Gestão-1sem-2mod
de caixa mantém o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo. 
A seguir, veremos os reflexos da inflação na análise dos fluxos de 
caixa, segundo os modelos pré-fixado e pós-fixado.
A diferença básica existente nos dois modelos corresponde 
ao valor percentual da taxa de juros a ser adotada em cada caso. 
É evidente que nenhum conceito de matemática financeira 
sofre qualquer alteração pela mera variação do valor da taxa 
de juros.
Consideremos um breve estudo dos conceitos mais 
utilizados:
Juros
Juro é a remuneração gerada por um capital aplicado 
ou emprestado; o valor é obtido pela diferença entre dois 
pagamentos, um em cada tempo, de modo que se tornem 
equivalentes.
Podemos, então, dizer que juros são a remuneração de um 
capital aplicado a uma taxa estipulada previamente durante um 
determinado prazo; resumindo, é o valor recebido pela utilização 
de dinheiro emprestado.
Logo,
Juros (J) = preço do crédito.
A incidência de juros é resultado de vários fatores, dentre os 
quais podemos destacar:
• inflação: redução do poder aquisitivo da moeda num 
determinado espaço de tempo;
• risco: os juros recebidos representam garantia contra 
possíveis riscos do investimento;
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• fatores próprios da natureza humana, lembrando que 
a relação entre o homem e o dinheiro é uma das 
mais complexas de descrever, tanto social quanto 
psicologicamente.
Taxa de juros
É a forma de se estipular o montante de juros, ou seja, o valor 
percentual a ser pago pelo uso do capital emprestado durante 
um tempo pré-estipulado (anual, trimestral, semestral, mensal, 
etc.). Assim, a taxa de juros é o valor produzido numa unidade 
de tempo e é simbolizada pela letra i.
Exemplo
10% ao mês; sua representação poderá ser feita na forma 
decimal, isto é, 0,10.
Podemos observar, também, na tabela abaixo:
Forma percentual Transformação Forma unitária
20% a.m. 20100 0,20 a.m.
3% a.a. 3100 0,03 a.a.
13,5% a.m. 13,5100 0,135 a.m.
5% a.d. 5100 0,05 a.d.
A modalidade em que a taxa de juros é aplicada ao capital 
inicial ao longo de determinado período denomina-se sistema de 
capitalização simples (juros simples). Já quando a taxa de juros 
é aplicada sobre o capital atualizado com os juros do período 
(montante), temos um sistema de capitalização composta (juros 
compostos). Em geral e por razões óbvias, o mercado financeiro 
trabalha apenas a modalidade de juros compostos, em que 
temos maior rentabilidade.
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Diagrama de fluxo de caixa
Um diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica 
de um conjunto de entradas e saídas monetárias, identificada 
temporalmente (isto é, em função do tempo). É fundamental 
para que se compreendam as operações de matemática 
financeira, demonstrando de forma clara o que ocorre com o 
capital durante o período estipulado.
0 1 2 3 4 5 6 7
Entradas de caixa (+)
Tempo
Saídas de caixa (-)
A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o 
horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o instante 
inicial, e os demais pontos representam os demais períodos de 
tempo (datas).
Exemplo
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
0 1 2 3 4 5
i%
500 200
700 200
200
800
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa 
um projeto que envolve investimento inicial de oitocentos, 
pagamento de duzentos no terceiro ano e que produz receitas de 
quinhentos no primeiro ano, duzentos no segundo, setecentos 
no quarto e duzentos no quinto ano.
Convenção
Dinheiro recebido ⇒ flecha para cima ⇒ valor positivo
Dinheiro pago ⇒ flecha para baixo ⇒ valor negativo
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Regras básicas
Nas fórmulas da matemática financeira, o prazo da 
capitalização e a taxa de juros devem estar expressos, 
necessariamente, na mesma unidade de tempo. Os critérios de 
transformação do prazo ou da taxa para a mesma unidade de 
tempo dependem do regime de capitalização definido para a 
operação. Para juros simples, podemos observar os seguintes 
exemplos:
• 24% a. a. = 24/12 = 2% ao mês;
• 24% a. a. = 24/6 = 4% ao bimestre;
• 24% a. a. = 24/4 = 6% ao trimestre;
• 24% a. a. = 24/2 = 2% ao semestre.
Critérios de capitalização
Regime de capitalização simples1
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide 
somente sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros 
acumulados. A taxa varia linearmente em função do tempo. Se 
quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar 
a taxa diária por trinta; se desejarmos uma taxa anual e tendo a 
mensal, basta multiplicar por doze, e assim por diante.
Portanto, consiste na apuração de juros aplicando-se a taxa 
contratada sempre sobre o mesmo capital inicial. Havendo 
várias adições consecutivas de juros ao capital, todas as parcelas 
de juros geradas têm a mesma dimensão, significando isso que 
as parcelas de juros geradas anteriormente não se incorporam ao 
capital como base para a geração de novos juros. O montante de 
capital e juros se comporta como uma progressão aritmética.
1 Disponível em www.algosobre.com.br/matematica-financeira/
capitalizacaosimples.html.
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Gestão-1sem-2mod
Juros simples i = 10% ao período
Ano Saldo do início
do período
Juros apurados
a cada período
Saldo ao final
do período
1 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00
2 1.100,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.200,00
3 1.200,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.300,00
4 1.300,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.400,00
* Crescimento de 40% em 4 períodos
Regime de capitalização composta2
Capitalização composta é aquela em que a taxa de 
juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados 
até o período anterior. Nesse regime de capitalização, a taxa 
varia exponencialmente em função do tempo.O conceito de 
montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou 
seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos 
juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida.
Consiste na apuração periódica de juros com sua imediata 
incorporação ao capital gerador de novos juros. Dessa forma, o 
montante ao final do período “x” passa a ser o capital inicial para 
o período “x+1”. Os juros abonados em cada período tornam-se 
geradores de novos juros, e o montante de capital e juros se 
comporta como uma progressão geométrica.
Juros compostos i = 10% ao período
Ano Saldo do início
do período
Juros apurados
a cada período
Saldo ao final
do período
1 1.000,00 0,10 x 1.000,00 = 100,00 1.100,00
2 1.100,00 0,10 x 1.100,00 = 110,00 1.210,00
3 1.210,00 0,10 x 1.210,00 = 121,00 1.331,00
4 1.331,00 0,10 x 1.331,00 = 133,10 1.464,00
* Crescimento de 46,41% em 4 períodos
 
2 Disponível em www.algosobre.com.br/matematica-financeira/
capitalizacaocomposta.html.
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Juros simples
Os juros simples, diante de suas restrições técnicas, têm 
aplicações práticas bastante limitadas. São raras as operações 
financeiras e comerciais que formam temporalmente seus 
montantes de juros segundo o regime de capitalização linear. O 
uso de juros simples restringe-se, principalmente, às operações 
praticadas no âmbito de curto prazo.
No entanto, as operações que adotam juros simples, além 
de apresentarem, geralmente, prazos reduzidos, não costumam 
apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por esse 
regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores 
monetários da operação, mas não para apuração do efetivo 
resultado percentual (taxa interna de retorno).
Vale ressaltar, ainda, que muitas taxas do sistema financeiro 
estão referenciadas a juros simples, porém, a formação dos 
montantes das operações processa-se exponencialmente. Um 
exemplo disso é a caderneta de poupança com juros de 6% ao 
ano, juros mensais de 0,5% ao mês, com capitalizações mensais 
a juros compostos.
Vejamos outro exemplo3:
Considere que R$ 100,00 são aplicados à taxa de juros simples 
de 1% ao mês, durante três meses; teríamos, nesse caso:
• juros produzidos ao final do primeiro mês: J = 100.(1%).1 
= 100.(1/100) . 1 = R$2,00;
• juros produzidos ao final do segundo mês: J = 100.(1%).2 
= 100.(1/100) . 2 = R$2,00;
• juros produzidos ao final do terceiro mês: J = 100.(1%).3 = 
100.(1/100) . 3 = R$3,00.
3 MARQUES, Paulo. Disponível em www.geocities.com/paulomarques_
math/arq9-2.htm.
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Gestão-1sem-2mod
Notemos que:
(a) Os juros – nesse caso, simples – são calculados sempre 
em relação ao capital inicial de R$ 100,00.
(b) 1 % = 1/100 = 0,01; de uma forma geral, x % = x/100.
Fórmulas de juros simples4
O regime de juros será simples quando o percentual de juros 
incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados 
a cada período não incidirão novos juros. Valor principal ou 
simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, 
antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula, 
temos:
J = C i n
Onde:
J = juros
C = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Ao somarmos os juros ao valor principal, temos o 
montante.
• Montante = Principal + Juros
• Montante = Principal + (Principal x Taxa de juros x Número 
de períodos)
M = C (1 + i n)
Aplicações
Exemplo 1: um capital de $ 80.000,00 é aplicado à taxa de 
2,5% ao mês durante um trimestre. Pede-se determinar o valor 
dos juros acumulados neste período.
4 MARQUES, Paulo. Disponível em www.geocities.com/paulomarques_
math/arq9-2.htm.
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Solução
C = $80.000,00
i = 2,5% a. m.→ 0,025 a. m. e n = 3 meses.
J = C i n
J = 80.000,00. 0,025. 3
J = $ 6.000,00.
Devemos ressaltar que as fórmulas das taxas de juros devem 
sempre estar expressas na forma decimal.
Exemplo 2: um negociante tomou um empréstimo pagando 
uma taxa de juros simples de 18% ao trimestre durante nove 
meses. Ao final desse período, calculou em $ 270.000,00 o 
total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do 
empréstimo.
Solução
i = 18% a.t. = 18% a.t.÷3 = 6% ao mês → 0,06 a.m.
n = 9 meses e J = $270.000,00
C = ?
J = C i n
270000,00 = C 0,06. 9
270000,00 = C 0,54
C = 500.000,00
O valor do empréstimo é $ 500.000,00.
Notemos que, nos juros simples, para a obtenção da taxa 
mensal, conhecendo a taxa trimestral, basta dividir a taxa 
trimestral por três! Pois o prazo e a taxa devem estar na mesma 
unidade de tempo.
Exemplo 3: uma pessoa fez uma aplicação de $ 18.000,00 
à taxa de 1,5% ao mês durante oito meses. Determinar o valor 
acumulado ao final do período.
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Solução
C = $18.000,00
i = 1,5% a. m.→ 0,015 a. m.
n = 8 meses
M = C (1 + i n)
M = 18.000,00 (1 + 0,015. 8)
M = 18.000,00. 1,12
M = 20.160,00
O montante acumulado é de $ 20.160,00.
Exemplo 4: uma dívida de $ 90.000,00 irá vencer em quatro 
meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês 
caso o devedor deseje antecipar o pagamento hoje. Calcular o 
valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da 
dívida.
Solução
M = $90.000,00
i = 7% a. m.→ 0,07 a. m.
n = 4 meses
M = C (1 + i n)
90.000,00 = C (1 + 0,07. 4)
90.000,00 = C 1,28
C = 70.312,50
O valor que deveria ser pago na antecipação é de 
$ 70.312,50.
Exemplo 5: qual é o valor dos juros correspondentes a 
um empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de quinze meses, 
sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a. m.?
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Dados:
C = 10.000,00
n = 15 meses
i = 3% a m.
j = ?
Solução
j = C x i x n
j = 10.000,00 x 0,03 (3/100) x 15 = 4.500,00
O valor dos juros a serem pagos é de R$ 4.500,00.
Exemplo 6: um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 
10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a taxa 
correspondente.
C = 25.000,00
j = 5.000,00
n = 10 meses
i = ?
Solução
j = C x i x n
i = J / C x n = 5.000,00/25.000,0 x10 = 0,02 ou 2% a. m.
A taxa para esse caso é de 2% a.m.
Exemplo 7: uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 
180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: qual 
é a taxa anual correspondente a essa aplicação?
C = 50.000,00
j = 8.250,00
n = 180 dias
i = ?
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Gestão-1sem-2mod
Solução
i = j / C x n
i = 8.250,00 / 50.000,00 x 180 = 0,00091667, ou 0,091667% 
ao dia.
Taxa anual = 360 x 0,00091667 = 0,33 ou 33% a.a.
A taxa anual será de 33% a.a.
É muito importante lembrar que quando o prazo informado 
for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo 
for em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa 
será trimestral, e assim sucessivamente5.
Juros compostos
Entendemos por juros compostos quando, no final de cada 
período de capitalização, os rendimentos são incorporados ao 
capital, gerando um novo capital, sobre o qual serão calculadosos rendimentos do período seguinte.
110,00 121,00 133,10
110,00 110,00 121,00 133,10
Operação 1 Operação 2 Operação 3 Operação 4
1 mês
10% a.m.
1 mês
10% a.m.
1 mês
10% a.m.
... 0 1 2
3
Os juros compostos são conhecidos, popularmente, como 
“juros sobre juros”.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um 
capital através de juros simples e juros compostos com um 
exemplo:
5 MARQUES, Paulo. Exemplos 5, 6 e 7 disponíveis em www.geocities.
com/paulomarques_math/arq9-2.htm.
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Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% 
a.a. Teremos:
Principal = 100 Juros simples Juros compostos
Nº de anos
1
2
3
4
5
Montante simples
100 + 0,1 (100) = 110
110 + 0,1 (100) = 120
120 + 0,1 (100) = 130
130 + 0,1 (100) = 140
140 + 0,1 (100) = 150
Montante composto
100 + 0,1 (100)
110 + 0,1 (110)
121 + 0,1 (121)
133,1 + 0,1 (133,1)
146,41 + 0,1 (146,41)
= 110,00
= 121,00
= 133,10
= 146,41
= 161,05
Fonte: HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2001.
Observe que o crescimento do principal segundo juros 
simples é linear, enquanto que o crescimento segundo juros 
compostos é exponencial e, portanto, tem um crescimento 
muito mais “rápido”. Isso poderia ser ilustrado graficamente da 
seguinte forma:
Juros compostos
Juros simples
C
110
1 t
Na prática, as empresas, os órgãos governamentais e 
investidores particulares costumam reinvestir as quantias 
geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego 
mais comum de juros compostos na economia. Na verdade, o 
uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.
Fórmulas de juros compostos6
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema 
financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do 
6 Disponível em www.info.abril.com.br.
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dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao 
principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros 
são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, 
temos:
• 1º mês: M = C (1 + i);
• 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: 
M = C (1 + i) (1 + i);
• 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: 
M = C (1 + i) (1 + i) (1 + i).
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = C (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida 
de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros, basta diminuir o principal 
do montante ao final do período:
J = M - P
Faremos mais exercícios, agora voltados para este tipo de 
regime (juros compostos)
Aplicações
Exemplo 17: calcule o montante acumulado pela aplicação 
de um capital de R$ 6.000,00 aplicado a juros compostos, 
durante um ano, à taxa de 3,5% ao mês.
7 Disponível em www.feg.unesp.br.
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Solução
C = R$ 6.000,00
t = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % ao mês = 0,035
M = ?
Substituindo os dados na fórmula M = C (1+i)n, temos:
M = 6.000 (1+ 0,035)12
M = 6.000 (1,035)12
M = 6.000.1,5111 = 9.066,41
Portanto, o montante é R$ 9.066,41.
A taxa de juros está expressa ao mês, e o prazo está ao ano, 
portanto, devemos converter o prazo da operação para a mesma 
unidade de tempo.
Exemplo 2: determinar o valor atual de um contrato de $ 
30.000,00 com vencimento para quatro meses e através de uma 
taxa de juros de 3% ao mês, capitalizados mensalmente.
Solução
M = R$ 30.000,00
t = 4 meses
i = 3 % a.m. = 0,03
C = ?
Substituindo os dados na fórmula M = C (1+i)n, temos:
30.000 = C (1+ 0,03)4
C = 30.000 ÷1,034
C = 26.654,82
Portanto, o valor atual do contrato é: $ 26.654,82.
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Exemplo 3: uma loja financia um bem, no valor de 
R$ 4.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única 
prestação de R$ 4.866,61 no final de cinco meses. Qual é a taxa 
mensal cobrada pela loja?
C = R$ 4.200,00
M = R$ 4.866,61
t = 5 meses
i = ? mensal
Substituindo os dados na fórmula M = C (1+i)n, temos:
4.866,61 = 4.200. (1 + i)5
4.866,61 ÷ 4.200,00 = (1 + i)5
1,1587 = (1 + i)5
115875 , = 1 + i
1,0299 = 1 + i
i = 0,0299 = 2,99 % ao mês
A taxa mensal de juros cobrada pela loja é 2,99%.
Uma dica: normalmente, em fatores ou índices calculados 
nas fórmulas, são colocadas de quatro a seis casas decimais e, 
nos demais casos, duas casas decimais!
Exemplo 4: determine em que prazo um empréstimo de 
$ 10.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de 
$ 11.261,62, sabendo que a taxa contratada é de 2% ao 
mês.
C = R$ 10.000,00
M = R$ 11.261,62
i = 2% ao mês = 0,02
n = ?
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Solução
Substituindo os dados na fórmula M = C (1+i)n, temos:
11.261,62 = 10.000,00. (1 + 0,02)n
11.261,62 ÷10.000,00 = 1,02n
1,1262 = 1,02n
Aplicando logaritmo de base dez em ambos os membros e 
com o uso de uma calculadora científica, temos:
log (1,1262) = log (1.02)n
0,0516 = n. log (1,02)
0,0516 = n. 0,0086
n = 6 meses
O prazo contratado foi de seis meses.
Exemplo 5: expresse o número de períodos n de uma 
aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i 
por período.
Solução
Temos S = P(1+i)n
Logo, S/P = (1+i)n
Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever: 
n = log (1+ i) (S/P).
Portanto, usando logaritmo decimal (base dez), vem:
n
S I P
i
S P
i
=
+
= −
+
log( )
log( )
log log
log( )1 1
Temos também da expressão acima que n.log(1 + i) = logS 
– logP.
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A partir desse exemplo, podemos perceber que o estudo 
dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos 
logaritmos.
Exemplo 6: um capital é aplicado em regime de juros 
compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de 
quanto tempo esse capital estará duplicado?
Solução
Sabemos que S = P (1 + i)n. Quando o capital inicial estiver 
duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n 
[Obs: 0,02 = 2/100 = 2%].
Simplificando, fica: 2 = 1,02n, que é uma equação exponencial 
simples.
Teremos, então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 
0,00860 = 35.
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe 
que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a dois 
anos e onze meses.
Resposta: dois anos e onze meses.8
Fórmulas na HP 12C
Novamente, existem ferramentas em tecnologia de 
informação que nos facilitam tais cálculos. Além do próprio Excel 
da Microsoft, aqueles que trabalham no mercado financeiro 
encontram tais ferramentas nas calculadoras HP, modelo 12C, 
especialmente modeladas para esse tipo de cálculo matemático. 
Seu manual é bastante claro e apresenta como fazê-los.
Na fórmula M = C (1 + i)n, o principal C é tambémconhecido 
como valor presente (PV = present value), e o montante M 
8 Exercícios 5 e 6 disponíveis em www.matematiques.sites.uol.com.
br/matematicafinanceira.htm.
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é também conhecido como valor futuro (FV = future value). 
Então, essa fórmula pode ser escrita como FV = PV (1 + i) n. 
Isolando PV na fórmula, temos:
PV = FV / (1+i)n
Com essa mesma fórmula, podemos calcular o valor futuro 
a partir do valor presente. Na sequência, mais fórmulas que 
podemos obter diretamente de cada elemento a partir dos dados 
iniciais do problema.
Na HP12C, o valor presente é representado pela tecla PV, e o 
valor futuro é representado pela tecla FV. Vejamos as definições 
a seguir:
Valor Futuro FV PV . ( i)
Valor e te PV
FV
i
n
n
⇒ = +
⇒ =
+
1
1
Pr sen
( )
JJuros J PV i
i Fator de PV para FV
i Fator d
n
n
n
⇒ = + − 
+( )
+( )−
. ( )1 1
1
1 ee FV para PV
Taxa i
FV
PV
Taxa Efetiva
n
Tax
n
f
nom
n
i i
⇒ = −
⇒ = +




−
1
1 1
aa Equivalente i
n
FV
PV
i
q
ni⇒ = + −
⇒ =




+( )
1 1
1
ln
ln
(capitalização)
(atualização)
Prazo
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Gestão-1sem-2mod
Juro exato e juro comercial
É comum, nas operações de curto prazo, em que predominam 
as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-se 
o prazo definido em número de dias. Nesses casos, o número de 
dias pode ser calculado de duas maneiras:
• pelo tempo exato: utilizando-se efetivamente o calendário 
do ano civil (365 dias). O juro apurado dessa maneira 
denomina-se juro exato;
• pelo ano comercial: o qual admite o mês com trinta dias e 
o ano com 360 dias. Tem-se, por esse critério, a apuração 
do denominado juro comercial ou ordinário.
Exemplo
12% a.a. equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária 
de:
a) juro exato: 12/365 = 0,032877% ao dia.
b) juro comercial: 12/360 = 0,033333% ao dia.
Taxa proporcional e taxa equivalente
Taxa proporcional é aquela encontrada pela divisão da 
taxa original pela quantidade de períodos existentes, iguais 
ao da taxa desejada, dentro do período da taxa original. 
Existem doze meses dentro de um ano. Para obtermos a 
taxa proporcional mensal, dividimos a taxa anual por doze, 
linearmente.
Taxa equivalente é aquela que produz o mesmo montante 
que outra operação, com períodos de capitalização diferentes da 
taxa original. Vejamos a seguir:
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Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo 
capital C durante o mesmo período de tempo; através de 
diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo 
montante final.
Seja o capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia. 
O montante M ao final do período de um ano será igual a M = 
C(1 + i a).
Consideremos, agora, o mesmo capital C aplicado por doze 
meses a uma taxa mensal im. O montante M’ ao final do período 
de doze meses será igual a M’ = C(1 + im)
12.
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos 
ter M = M’. Portanto, C(1 + ia) = C(1 + im)
12.
Disso, concluímos que
1 + ia = (1 + im)
12
Com essa fórmula, podemos calcular a taxa anual equivalente 
a uma taxa mensal conhecida.
Exemplo 19: qual é a taxa anual equivalente a 0,5% ao 
mês?
Em um ano, temos doze meses, então, teremos:
1 + ia = (1 + im)
12
1 + ia = (1,005)
12
ia = 0,0617 = 6,17% ao ano.
Logo, 0,5% ao mês equivale a 6,17% ao ano.
Exemplo 2: qual é a taxa mensal equivalente a 6% ao 
trimestre?
9 Disponível em www.algosobre.com.br/matematica-financeira/
capitalizacaocomposta.html.
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Gestão-1sem-2mod
Em um trimestre, temos três meses, então, teremos:
1 + iT = (1 + iM)
3
1 + 0, 06 = (1 + iM)
3
1, 06 = (1 + iM)
3
1 063 , = 1 + iM
1, 0196 = 1 + iM
i = 0,0196 = 1,96% ao mês.
Logo, 6% ao trimestre equivalem a 1,96% ao mês.
Referências bibliográficas
FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade; TOLEDO, 
Geraldo Luciano. Estatística aplicada. São Paulo: Atlas, 2009.
HAZZAN, Samuel. Fundamentos de matemática elementar: 
conjuntos, funções. vol.1. 8. ed. São Paulo: Saraiva, 2004.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática 
financeira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
JUER, Milton. Matemática financeira: praticando e aplicando. 
São Paulo: Qualitymark, 2003.
MORETTIN, Pedro Alberto; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton O. 
Cálculo: funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 
2003.
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giacomo. Matemática 
aplicada à administração, economia e contabilidade. São Paulo: 
Thomson Learning, 2004.
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Élio Medeiros da; SILVA, 
Ermes Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, 
administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1999.
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__________. Matemática básica para cursos superiores. São 
Paulo: Atlas, 2002.
WEBER, Jean E. Matemática para economia e administração. 2. 
ed. São Paulo: Harbra, 1986.
www.algosobre.com.br/matematica-financeira/
capitalizacaosimples.html.
www.brasilescola.com.br.
www.emersonmatematica.blogspot.com.br.
www.feg.unesp.br.
www.geocities.com/paulomarques_math/arq9-2.htm.
www.inf.unisinos.br/gonzalez/valor/inferenc/excel.html.
www.info.abril.com.br.
www.matematiques.sites.uol.com.br/matematicafinanceira.htm.
www.somatematica.com.br.