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UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´ 1 Suma´rio 1 Matrizes e Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 10 1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Alguns tipos especiais de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Operac¸o˜es usuais com Matrizes e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Adic¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Subtrac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.4 Propriedades da Adic¸a˜o e do Produto por Escalar . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Operac¸o˜es na˜o usuais com Matrizes e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1 Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.2 O trac¸o de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.3 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Matrizes Invert´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.1 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Sugesta˜o de Leitura e Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8 A func¸a˜o Determinante de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.8.1 Algumas propriedades de determinante de uma matriz . . . . . . . . . . . 28 1.8.2 Ca´lculo do determinante por triangularizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.8.3 Desenvolvimento de Laplace: A expansa˜o em cofatores . . . . . . . . . . . 31 1.8.4 Ca´lculo do determinante de uma matriz de ordem maior que 3 . . . . . . . 33 1.9 Ca´lculo da Matriz Inversa usando Cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 1.10 Ca´lculo da Matriz Inversa usando Operac¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . 35 1.10.1 Um Me´todo para Inverter Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.11 Sugesta˜o de Leitura e Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.12 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o (Lista 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.13 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.13.1 Operac¸o˜es Elementares sobre as equac¸o˜es de um Sistema . . . . . . . . . . 41 1.13.2 Operac¸o˜es Elementares sobre as linhas da matriz ampliada . . . . . . . . . 42 1.14 Eliminac¸a˜o Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.14.1 Classificac¸a˜o de um Sistema Linear quanto a` Soluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . 44 1.14.2 O Me´todo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.14.3 O Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.15 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o ( Lista 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Vetores 43 2.1 Segmentos Orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Produto por Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5 Aˆngulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Sistemas de coordenadas: Vetores Bidimensionais e Tridimensionais 50 3.1 Vetores Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Vetores Tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Produto de Vetores 57 4.1 Ca´lculo da norma de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Distaˆncia entre dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 Produto interno euclidiano ou produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1 Produto interno em termos das Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.3.2 Propriedades do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 4.3.3 Condic¸a˜o de ortogonalidade de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.4 Estudo da Projec¸a˜o Ortogonal usando Produto Escalar . . . . . . . . . . . 61 4.4 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4.1 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4.2 Interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto vetorial de dois Vetores . . 65 4.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.5.1 Propriedades do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.5.2 Interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto misto . . . . . . . . . . . 68 4.6 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Aplicac¸a˜o de Vetores ao Estudo da Reta e do Plano 69 5.1 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Reta definida por dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3 Condic¸a˜o para que treˆs pontos estejam em linha reta . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.4 Equac¸o˜es Reduzidas da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.5 Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.6 Aˆngulo de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.7 Condic¸a˜o de Paralelismo de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.8 Condic¸a˜o de Ortogonalidade de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.9 Condic¸a˜o de Coplanaridade de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.10 Posic¸a˜o Relativa de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.11 Intersec¸a˜o de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.12 Distaˆncia de Um Ponto a Uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.13 Distaˆncia Entre Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.14 O Estudo do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.15 Determinac¸a˜o de um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.16 Equac¸o˜es Parame´tricas do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.17 Aˆngulo de Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.18 Aˆngulo de uma reta com um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4 5.19 Intersec¸a˜o de Dois Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.20 Distaˆncia de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.21 Distaˆncia entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.22 Distaˆncia de uma Reta a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6 Coˆnicas e Qua´dricas 95 6.1 Definic¸a˜o geome´trica das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2 Definic¸a˜o anal´ıtica das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.3 Definic¸a˜o geome´trica das Superf´ıcies Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.4 Definic¸a˜o anal´ıtica das Superf´ıcies Qua´dricas . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 98 6.5 A elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.5.1 Elementos da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.5.2 Expressa˜o anal´ıtica da elipse centrada na origem . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.5.3 Elipses transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.6 O Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.7 A Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.7.1 Elementos da Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.7.2 Expressa˜o anal´ıtica da hipe´rbole centrada na origem . . . . . . . . . . . . . 107 6.7.3 Hipe´rboles transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.8 O Hiperbolo´ide de um folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.9 A Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.9.1 Elementos da para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.9.2 Expressa˜o anal´ıtica da para´bola com ve´rtice na origem . . . . . . . . . . . 112 6.9.3 Para´bolas Transladadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.10 O Parabolo´ide el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.11 O Hiperbolo´ide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.12 O Parabolo´ide hiperbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.13 Superf´ıcie Coˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.13.1 O Cone Qua´drico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5 6.14 Superf´ıcie Cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7 O Espac¸o Vetorial Euclidiano n-dimensional 122 7.1 O Espac¸o Euclidiano n-Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 7.1.1 Igualdade de vetores de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.1.2 Operac¸o˜es em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.1.3 Propriedades das operac¸o˜es no Espac¸o Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . 124 7.1.4 O produto interno euclidiano em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8 Espac¸os Vetoriais 126 8.1 Subespac¸o Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.2 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8.3 Subespac¸os Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.4 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.5 Espac¸os Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.6 Espac¸o Vetorial Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.6.1 Norma de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.7 Aˆngulo de dois Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.8 Vetores Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.9 Conjunto Ortogonal de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.10 Base Ortonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 8.11 Projec¸o˜es Ortogonais: O Processo de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.12 Mudanc¸a de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9 Transformac¸o˜es Lineares 144 9.1 Transformac¸o˜es Lineares Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.2 Transformac¸o˜es Lineares Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.2.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9.3 O uso de bases na obtenc¸a˜o de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . 150 6 9.4 Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.5 Matrizes de Transformac¸o˜es Lineares Arbitra´rias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10 Autovalores e Autovetores 154 10.1 O Polinoˆmio Caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 10.2 Operadores Auto-Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.3 Diagonalizac¸a˜o de uma forma quadra´tica plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7 PREFA´CIO A primeira edic¸a˜o destas notas foi feita no ano de 2009, em parceria com a professora Msc. Aˆngela Mognon, quando ingressei na UTFPR e ministra´vamos aulas de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear, a alunos dos primeiros anos de Engenharia, no campus de Campo Moura˜o, Parana´. Com esta parceria tive total apoio na digitalizac¸a˜o textual e gra´fica, nas leituras pre- liminares, na escolha das refereˆncias e na revisa˜o dos textos, contanto tambe´m com o apoio e incentivo do professor Dr. Doherty de Andrade, o qual somos imensamente gratas, pois seu incen- tivo e orientac¸a˜o na utilizac¸a˜o do editor de texto matema´tico TeX, tornou poss´ıvel a digitalizac¸a˜o destas notas. A motivac¸a˜o ao preparo destas notas inicialmente foi facilitar e agilizar a apresentac¸a˜o dos conteu´dos em sala de aula, ja´ que a ementa semestral e´ extensa por atender os to´picos de Geome- tria Anal´ıtica e A´lgebra Linear. Logo, este material foi elaborado com o intuito de proporcionar ao aluno um melhor acompanhamento da aula e consiste somente de algumas anotac¸o˜es para serem utilizadas durante as aulas. Sem preocupac¸o˜es em copiar definic¸o˜es e enunciados espera-se que o aluno possa se concentrar nas demonstrac¸o˜es e resoluc¸a˜o de exemplos e exerc´ıcios que sera˜o feitas em sala. O Cap´ıtulo 1 trata das Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equac¸o˜es Lineares por se tratarem de ferramentas ba´sicas para o estudo da Geometria Anal´ıtica e da A´lgebra Linear. Os Cap´ıtulos 2, 3, 4, 5 e 6 se ocupam dos Vetores, Retas, Planos, Coˆnicas e Qua´dricas, objetos do plano bidimensional e do espac¸o tridimensional aqui tratados geometricamente e algebricamente, dando forma anal´ıtica a` geometria e suporte teo´rico para outras disciplinas das Engenharias como F´ısica, Mecaˆnica, Ca´lculo 2 e 3, entre outras. O Cap´ıtulo 7 traz a generalizac¸a˜o do estudo dos vetores apresentando o espac¸o n−dimensional R n, suas operac¸o˜es e propriedades euclidianas (como norma, distaˆncia e ortogonalidade) garan- tidas pela existeˆncia de produto interno. Os Cap´ıtulos 8, 9 e 10 apresentam um sucinto curso de A´lgebra Linear, expondo resumi- damente os Espac¸os Vetoriais, as Transformac¸o˜es Lineares, os Autovalores e Autovetores, ob- jetivando a utilizac¸a˜o de uma linguagem alge´brica axioma´tica e o embasamento teo´rico para disciplinas como Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias e Ca´lculo Nume´rico. 8 Agradec¸o a` professora Msc. Viviane Colucci pelo incentivo e colaborac¸a˜o na edic¸a˜o do texto sobre Matrizes e Determinantes e na digitalizac¸a˜o de exerc´ıcios sobre o tema. Esta contribuic¸a˜o foi inserida nestas notas a partir de 2011. Agradec¸o o apoio dos professores Dr. Adilandri Me´rcio Lobeiro e Esp. Luciano Ferreira da Silva nas orientac¸o˜es sobre a utilizac¸a˜o do editor TeXnicCenter e incentivo na divulgac¸a˜o destas notas. Agradec¸o a participac¸a˜o e parceria dos alunos das Engenharias nos projetos desenvolvidos nas APS e deixo registrado na capa destas notas, algumas das obras modeladas no decorrerdestes semestres. Fico muito grata em ver o empenho, a motivac¸a˜o e amadurecimento matema´tico ad- quirido na utilizac¸a˜o da Geometria Anal´ıtica para modelar algebricamente e computacionalmente no software Maple superf´ıcies tridimensionais do nosso cotidiano. Estes projetos tem evidenci- ado a relac¸a˜o existente entre a teoria e a pra´tica e espero divulga´-los em publicac¸o˜es e eventos, objetivando a motivac¸a˜o ao uso de novas possibilidades de ensino e aprendizagem de Geometria Anal´ıtica nas Engenharias. Sou grata tambe´m ao apoio dos professores do departamento de matema´tica que utilizam estas notas em suas aulas e espero que o material seja u´til tanto aos discentes quanto aos docentes da disciplina Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear. Novas parcerias, eventuais correc¸o˜es e ou sugesto˜es de aprimoramento sera˜o bem acolhidas e agradecidas. Sara Coelho da Silva Campo Moura˜o, 2013. 9 Cap´ıtulo 1 Matrizes e Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Introduc¸a˜o Muitas vezes na Engenharia e na Matema´tica uma informac¸a˜o e´ organizada em linhas e colunas formando agrupamentos retangulares chamados matrizes. Estas matrizes podem ser tabelas de dados nume´ricos surgidos de observac¸o˜es f´ısicas, mas tambe´m ocorrem em va´rios contextos matema´ticos. Por exemplo, veremos que para resolver um sistema de equac¸o˜es lineares toda informac¸a˜o requerida para chegar a` soluc¸a˜o esta´ encorpada em uma matriz e que a soluc¸a˜o pode ser obtida efetuando operac¸o˜es apropriadas nesta matriz. Isto e´ particularmente importante no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equac¸o˜es lineares, porque os computadores sa˜o muito bons pra manipular colec¸o˜es de nu´meros. Durante o curso voceˆ tera´ oportunidade de pesquisar e manipular um software matema´tico com capacidade de efetuar operac¸o˜es com matrizes, o que facilita muito os ca´lculos alge´bricos matriciais no trabalho com cieˆncias exatas e podem enriquecer a experieˆncia do aprendizado, bem como ajudar com os ca´lculos tediosos. No entanto, todo futuro engenheiro precisa dominar todas as te´cnicas ba´sicas de a´lgebra linear resolvendo a` ma˜o exemplos iniciais. A tecnologia pode enta˜o ser usada para resolver exemplos subsequentes e aplicac¸o˜es que possuem dados que tornam os ca´lculos a` ma˜o na˜o pra´ticos. Entretanto, voceˆ deve fazer tantos exemplos quanto puder com la´pis e papel ate´ que se sinta conforta´vel com as te´cnicas e mesmo quando utilizar um software, pense sempre como voceˆ faria os ca´lculos manualmente e depois de obter uma resposta do software, avalie se ela e´ razoa´vel. Na˜o se esquec¸a nunca: ”E´ o homem que manipula a ma´quina, na˜o e´ a ma´quina que manipula o homem.” 10 1.1 Matrizes A palavra matriz deriva da palavra latina mater, que significa ”ma˜e”. Quando o sufixo -iz e´ acrescentado, o significado torna-se ”u´tero”. Assim como um u´tero envolve um feto, os colchetes de uma matriz envolvem seu elementos, e assim como no u´tero e´ gerado um bebeˆ, uma matriz gera certos tipos de func¸o˜es, chamadas transformac¸o˜es lineares, que seram estudadas posteriormente. As matrizes sa˜o tabelas de nu´meros reais utilizadas em va´rios ramos da Cieˆncia e da Enge- nharia. Va´rias operac¸o˜es executadas por ce´rebros eletroˆnicos sa˜o computac¸o˜es por matrizes. Vejamos um exemplo: Considere a tabela a seguir, que indica as notas (0 − 10) dos Alunos A1, A2 e A3 em uma determinada disciplina do curso de Engenharia: Aluno Prova 1 Atividade Aluno A1 9,0 7,0 Aluno A2 3,0 5,0 Aluno A3 6,5 8,4 No quadro indicado os nu´meros colocados nas disposic¸o˜es horizontais formam o que denomi- namos linha e os colocados nas disposic¸o˜es verticais formam o que denominamos coluna. Para sabermos a nota de atividade do Aluno A3 basta procuramos o nu´mero que esta´ na terceira linha e na segunda coluna. Se no´s suprimirmos os t´ıtulos, ficaremos com a seguinte colec¸a˜o retangular de nu´meros com treˆs linhas e duas colunas, denominada matriz : A = 9, 0 7, 03, 0 5, 0 6, 5 8, 4 Generalizando, apresentamos a seguinte definic¸a˜o. Definic¸a˜o 1.1 Uma matriz de ordem m × n, e´ um quadro A com elementos (nu´meros, po- linoˆmios, func¸o˜es etc.) dispostos em m linhas e n colunas da forma: Am×n = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn 11 em que os nu´meros aij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, em nosso estudo, sa˜o nu´meros reais. O nu´mero aij chama-se o elemento de ordem ij de A. De forma mais compacta, a matriz acima pode ser escrita como A = [aij ]m×n ou A = [aij ] (Usamos letras maiu´sculas para denotar matrizes e letras minu´sculas para denotar quantidades nume´ricas.) A i-e´sima linha de A e´ a n-upla Ai = (ai1, . . . , ain) Ja´, a j-e´sima coluna de A e´ a m-upla Aj = a1j ... ... amj Portanto, uma matriz de ordem m × n, denotada por Am×n = [aij]m×n, possui m linhas e n colunas. Exemplo 1.1 O quadro A = [ 2 1 1 3 −2 5 ] e´ uma matriz real de ordem 2× 3. onde: a11 = 2, a12 = 1, a13 = 1 a21 = 3, a22 = −2, a23 = 5 Exemplo 1.2 B = [ 2 1 0 −3 ] e´ uma matriz real de ordem 1× 4; C = [ 1 3 ] e´ uma matriz real de ordem 2× 1 e; D = [ 4 ] e´ uma matriz real de ordem 1× 1; Definic¸a˜o 1.2 Duas matrizes Am×n = [aij]m×n e Br×s = [bij]r×s sa˜o iguais se elas teˆm o mesmo nu´mero de linhas (m = r) e o mesmo nu´mero de colunas (n = s), e se todos os seus elementos correspondentes sa˜o iguais (aij = bij). Notac¸a˜o: A = B. Exemplo 1.3 [ 32 1 log1 2 22 5 ] = [ 9 sen90◦ 0 2 4 5 ] 12 Exerc´ıcio 1.1 Escreva, explicitamente, as matrizes a) A = (aij)3×2, sendo aij = i+ j b) B = (bij)3×6, sendo bij = i j c) C = (cij)3×3, sendo cij = i 2 + j2 d) M = (mij)2×2, sendo mij = 2(i− j). Determine x, y, z, t para que se tenha: M = [ x+ y z − t x− y 2z − t ] Exerc´ıcio 1.2 Dada a matriz M = (aij)6×8, tal que aij = i− j, obtenha o elemento a43. 1.2 Alguns tipos especiais de matrizes 1. Matriz linha: e´ a n-upla A1×n = [a11 . . . a1n], isto e´, uma matriz de ordem 1× n. Exemplo 1.4 A = [2 1 2] 2. Matriz coluna: e´ a m-upla Am×1 = a11 ... ... am1 , isto e´, uma matriz de ordem m× 1. Exemplo 1.5 A = 2 4 0 6 3. Matriz Quadrada An×n: e´ a matriz em que o nu´mero de linhas e´ igual ao nu´mero de colunas. Exemplo 1.6 A = [ 3 ] B = [ 3 1 2 −5 ] C = −1 1 02 −5 9 7 3 9 4. Matriz Nula: e´ a matriz, denotada por 0m×n, que possui todos os elementos nulos. Exemplo 1.7 01×1 = [ 0 ] 02×1 = [ 0 0 ] 03×3 = 0 0 00 0 0 0 0 0 13 5. Matriz Diagonal e´ toda matriz quadrada A tal que aij = 0, quando i 6= j. Exemplo 1.8 A= −1 0 00 1 0 0 0 3 B = [ 0 0 0 0 ] 6. Matriz Identidade e´ toda matriz quadrada I tal que aij = 1, quando i = j e aij = 0, se i 6= j. Exemplo 1.9 A= 1 0 00 1 0 0 0 1 B = [ 1 0 0 1 ] Observac¸a˜o 1.1 A diagonal principal de uma matriz quadrada An×n e´ a n-upla (a11, a22, . . . , ann). 7. Matriz Triangular Superior e´ toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i > j. Ou seja, e´ uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal sa˜o nulos. Exemplo 1.10 A= 1 1 30 −2 5 0 0 1 B = [ 3 2 0 1 ] 8. Matriz Triangular Inferior e´ toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i < j. Ou seja, e´ uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal sa˜o nulos. Exemplo 1.11 A= 1 0 0−1 −2 0 4 5 1 B = [ a 0 b c ] Observac¸a˜o 1.2 Indicaremos conjunto de todas as matrizes de de ordem m×n, com elementos em R, porMmn(R). 1.3 Operac¸o˜es usuais com Matrizes e Propriedades Apresentaremos a seguir uma aritme´tica de matrizes na qual as matrizes podem ser somadas, subtra´ıdas e multiplicadas. 14 1.3.1 Adic¸a˜o de Matrizes Considere a tabela (apresentada na pa´g. 5) das notas dos alunos A1, A2 e A3: Aluno Prova 1 Atividade Aluno A1 9,0 7,0 Aluno A2 3,0 5,0 Aluno A3 6,5 8,4 Supondo que foram aplicadas outras duas avaliac¸o˜es e os resultados obtidos esta˜o descritos nas tabelas Aluno Prova 2 Atividade Aluno A1 9,5 3,0 Aluno A2 7,3 5,5 Aluno A3 8,5 4,4 Aluno Prova 3 Atividade Aluno A1 6,0 4,0 Aluno A2 7,0 6,0 Aluno A3 5,5 9,4 para as quais extraindo somente os nu´meros, obtemos: A = 9, 0 7, 03, 0 5, 0 6, 5 8, 4 B = 9, 5 3, 07, 3 5, 5 8, 5 4, 4 C = 6, 0 4, 07, 0 6, 0 5, 5 9, 4 Somando as entradas correspondentes (de mesma posic¸a˜o matricial) de A,B e C, temos: S = A+ B + C = 9, 0 + 9, 5 + 6, 0 7, 0 + 3, 0 + 4, 03, 0 + 7, 3 + 7, 0 5, 0 + 5, 5 + 6, 0 6, 5 + 8, 5 + 5, 5 8, 4 + 4, 4 + 9, 4 logo, S = 24, 5 14, 017, 3 16, 5 20, 5 22, 2 e´ a matriz que representa o total de pontos obtidos por cada aluno em provas e atividades na disciplina. Generalizando, temos a seguinte definic¸a˜o: Definic¸a˜o 1.3 Sejam as matrizes A,B ∈Mmn(R), enta˜o a soma S = A+B e´ a matriz obtida somando as entradas de A a`s entradas correspondentes de B. Em notac¸a˜o matricial, se A = [aij ] e B = [bij ] sa˜o matrizes m× n, enta˜o sij = aij + bij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. 15 Exemplo 1.12 1 0 12 −2 0 4 5 1 + 2 3 02 7 6 1 −2 1 = 3 3 14 5 6 5 3 2 Observac¸a˜o 1.3 A matriz nula e´ o elemento neutro para a adic¸a˜o de matrizes. Isto e´, 0m×n + A = A+ 0m×n = A, ∀ A ∈Mmn(R) 1.3.2 Subtrac¸a˜o de Matrizes Suponhamos que o professor citado nos exemplos anteriores, queira comparar os primeiros e segundos resultados obtidos pelos alunos nas provas 1 e 2 e nas respectivas atividades. Para saber se houve aumento/diminuic¸a˜o de nota, podemos calcular a diferenc¸a dij = bij − aij, entre as respectivas notas de provas e atividades. Se dij > 0 enta˜o, houve um aumento de nota da prova 1 para a prova 2; Se dij < 0 enta˜o, houve uma diminuic¸a˜o de nota da prova 1 para a prova 2; Se dij = 0 enta˜o, a nota se manteve. Fazendo o ca´lculo da diferenc¸a entre as respectivas notas de provas e atividades, temos: B − A = 9, 5 3, 07, 3 5, 5 8, 5 4, 4 − 9, 0 7, 03, 0 5, 0 6, 5 8, 4 = 0, 5 −4, 04, 3 0, 5 2, 0 −4, 0 Analisando a matriz diferenc¸a B − A podemos concluir que todos alunos aumentaram suas notas de provas e dois alunos teve diminuic¸a˜o de nota de atividade. De modo geral, definimos: Definic¸a˜o 1.4 Sejam as matrizes A,B ∈ Mmn(R), enta˜o a diferenc¸a D = B − A e´ a matriz obtida subtraindo as entradas de B a`s entradas correspondentes de A. Em notac¸a˜o matricial, se A = [aij] e B = [bij] sa˜o matrizes m× n, enta˜o dij = bij − aij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Exemplo 1.13 1 0 12 −2 0 4 5 1 − 2 3 02 7 6 1 −2 1 = −1 −3 10 −9 −6 3 7 0 1.3.3 Multiplicac¸a˜o por Escalar Seja S a matriz definida na sec¸a˜o (1.3.1) que representa o total de pontos dos alunos em uma determinada disciplina avaliada por meio de provas e atividades. Para obter a me´dia aritme´tica 16 do total de pontos em provas e avaliac¸o˜es calcula-se 1 3 de cada nota disponibilizada nas colunas de S, ou seja, N = 1 3 .S = 1 3 .(24, 5) 1 3 .(14, 0) 1 3 .(17, 3) 1 3 .(16, 5) 1 3 .(20, 5) 1 3 .(22, 2) logo, N ≈ 8, 2 4, 75, 8 5, 5 6, 8 7, 4 representa a me´dia aritme´tica do total de pontos em provas e avaliac¸o˜es. Generalizando, definimos: Definic¸a˜o 1.5 Sejam A ∈ Mmn(R) e c ∈ R. A matriz cA = M e´ obtida pela multiplicac¸a˜o de cada entrada da matriz A, por c. A matriz cA = M e´ chamada mu´ltiplo escalar de A. Em notac¸a˜o matricial, se A = [aij ], enta˜o mij = caij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Exemplo 1.14 −2 [ 2 −10 1 2 ] = [ −4 20 −2 −4 ] Observac¸a˜o 1.4 A+ (−1)A = 0m×n, ∀ A ∈ Mmn(R). A matriz (−1)A, denotada por −A, e´ a matriz oposta de A. Exemplo 1.15 A matriz oposta da matriz A = [ −2 7 1 2 ] e´ −A = [ 2 −7 −1 −2 ] 1.3.4 Propriedades da Adic¸a˜o e do Produto por Escalar Sejam A,B,C ∈Mmn(R) e c, d escalares reais. 1. Se A e B sa˜o elementos de Mmn(R) enta˜o A+ B ∈Mmn(R). 2. A+ B = B + A. 17 3. A+ (B + C) = (A+ B) + C. 4. 0m×n + A = A+ 0m×n = A. 5. A+ (−1)A = 0m×n. 6. Se k e´ qualquer escalar e A ∈Mmn(R), enta˜o kA ∈Mmn(R). 7. c(A+ B) = cA+ cB. 8. (c+ d)A = cA+ dA. 9. (cd)A = c(dA). 10. 1A = A. Apresentaremos a seguir operac¸o˜es matriciais que na˜o possuem analogia com a aritme´tica dos nu´meros reais. 1.4 Operac¸o˜es na˜o usuais com Matrizes e Propriedades 1.4.1 Matriz Transposta Definic¸a˜o 1.6 A transposta de uma matriz A = [aij]m×n e´ a matriz B = A t = [aji]n×m, cujas linhas sa˜o as colunas de A, isto e´, bij = aji, para todo i e j. Exemplo 1.16 A transposta da matriz A = 2 10 3 −1 4 e´ a matriz At = [ 2 0 −1 1 3 4 ] Se A e B sa˜o matrizes de ordem m × n e c um nu´mero real, podemos verificar as seguintes propriedades: 1.(A+B)t = At + Bt 2.(cA)t = cAt 3.(At)t = A. Usando a definic¸a˜o de Matriz Transposta, podemos definir dois novos tipos de matrizes: Definic¸a˜o 1.7 Matriz Sime´trica E´ uma matriz quadrada tal que At = A. Isto e´, os elementos que esta˜o dispostos simetrica- mente em relac¸a˜o a` diagonal sa˜o iguais (aij = aji). 18 Exemplo 1.17 A = 2 1 31 6 4 3 4 1 Definic¸a˜o 1.8 Matriz Anti-Sime´trica E´ uma matriz quadrada tal que At = −A. Isto e´, os elementos que esta˜o dispostos simetrica- mente em relac¸a˜o a` diagonal sa˜o opostos (aij = −aji). Exemplo 1.18 A = 0 −2 32 0 −5 −3 5 0 Observac¸a˜o 1.5 A diagonal de uma matriz A anti-sime´trica e´ nula. Isto e´, aii = 0. 1.4.2 O trac¸o de uma Matriz Definic¸a˜o 1.9 Se A e´ uma matriz quadrada, enta˜o o trac¸o de A, denotado por tr(A), e´ definido pela soma das entradas na diagonal principal de A : a11 + a22 + . . .+ ann. O trac¸o de A na˜o e´ definido se A na˜o e´ uma matriz quadrada. Exemplo 1.19 Para A= −1 2 7 0 3 5 −8 4 1 2 7 −3 4 −2 1 0 temos: tr(A) = −1 + 5 + 7 + 0 = 11 1.4.3 Produto de Matrizes Ate´ aqui nos definimos a multiplicac¸a˜o de uma matriz por um escalar mas na˜o a multiplicac¸a˜o de duas matrizes. Como na definic¸a˜o da adic¸a˜o (e subtrac¸a˜o) somamos (e subtra´ımos) as entradas correspondentes, pareceria natural definir a multiplicac¸a˜o de matrizes multiplicando as entradas correspondentes. Contudo, ocorre que tal definic¸a˜o na˜o seria muito u´til na maioria dos proble- mas pra´ticos e teo´ricos. A experieˆncia levou os matema´ticos a` uma definic¸a˜o mais u´til para a multiplicac¸a˜o de matrizes. Ilustraremos a devida definic¸a˜o dando continuidade a situac¸a˜o exposta anteriormente: Seja N a matriz (sec¸a˜o 1.3.3) que representa o total de pontos dos alunos em uma determinada disciplina avaliada por meio de provas e atividades. Atribuindo peso 8, 0 para as provas e peso 2, 0 para as atividades podemos obter a nota final de cada aluno da seguinte maneira: 19 NF = N.P = 8, 2 4, 75, 8 5, 5 6, 8 7, 4 . [ 0, 8 0, 2 ] = 8, 2.(0, 8) + 4, 7.(0, 2)5, 8.(0, 8) + 5, 5.(0, 2) 6, 8.(0, 8) + 7, 4.(0, 2) logo, NF = 7, 55, 7 6, 9 Este exemplo nos leva a`s seguintes observac¸o˜es: - para tornar poss´ıvel o produto N.P o nu´mero de colunas deN deve coincidir com o nu´mero de linhas de P ; - o produto da linha i de N pela coluna j de P resulta em um u´nico valor (nf)ij; Generalizando, definimos: Definic¸a˜o 1.10 Seja uma matriz A de ordem m×n e B uma matriz de ordem n×p. O produto de A por B,denotado por AB, e´ a matriz de ordem m × p, cujo elemento de ordem ij e´ obtido multiplicando ordenadamente, os elementos da i-e´sima linha de A pelos elementos da j-e´sima coluna de B e somando-se os produtos assim obtidos. Isto e´, (ab)ij = AiB j = (ai1, . . . , ain) b1j ... ... bnj = ai1b1j + . . .+ ainbnj para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p. Observac¸a˜o 1.6 Podemos usar a notac¸a˜o de somato´rio: (ab)ij = n∑ k=1 aikbkj Exemplo 1.20 Dadas as matrizes A = [ 1 0 −1 2 1 3 ] e B = 1 20 1 0 1 , determine AB. Resposta: A.B = [ 1 1 2 8 ] , 20 Teorema 1.1 Desde que sejam poss´ıveis as operac¸o˜es, as seguintes propriedades sa˜o va´lidas: 1. A.(B + C) = AB + AC; 2. (B + C)A = BA+ CA; 3. A(kB) = (kA)B = k(AB), k ∈ R 4. A(BC) = (AB)C; 5. (AB)t = BtAt; 6. AI = IA = A; 7. A0 = 0A = 0m×n. 1.5 Matrizes Invert´ıveis Dada uma matriz A quadrada se pudermos encontrar uma matriz B de mesmo ordem tal que An×n.Bn×n = Bn×n.An×n = In×n, enta˜o diremos que An×n e´ invert´ıvel e que Bn×n e´ a inversa de An×n. Se na˜o puder ser encontrada tal matriz B enta˜o diremos que A e´ na˜o invert´ıvel ou A e´ dita singular. Exemplo 1.21 A matriz B = [ 3 5 1 2 ] e´ a inversa de A = [ 2 −5 −1 3 ] Teorema 1.2 A inversa de uma matriz quadrada A e´ u´nica e sera´ denotada por A−1. prova: Suponhamos que B e C sa˜o inversas da matriz A. Enta˜o: (BA) = I Multiplicando ambos os lados da igualdade pela direita por C teˆm-se: (BA)C = IC = C Por outro lado, (BA)C = B(AC) = B.I = B Portanto, B = C. Teorema 1.3 A matriz A = [ a b c d ] e´ invert´ıvel se ad − bc 6= 0, caso em que a inversa e´ dada pela fo´rmula: A−1 = 1 ad− bc [ d −b −c a ] 21 prova: Basta verificar que A.A−1 = A−1.A = I2×2. Teorema 1.4 Se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o At tambe´m e´ invert´ıvel. E ainda, (At)−1 = (A−1)t prova: Basta verificar que At.(A−1)t = (A−1.A)t = I t = I, usando o item 5 do Teorema (1.1). Exerc´ıcio 1.3 Use o Teorema (1.3) para calcular as inversas das seguintes matrizes. a) A = [ 3 1 5 2 ] b) B = [ 2 −3 4 4 ] c) C = [ 6 4 −2 −1 ] d) D = [ 2 0 0 3 ] Resposta: a) A−1 = [ 2 −1 −5 3 ] b) B−1 = 1 20 [ 4 3 −4 2 ] c) C−1 = 1 2 [ −1 −4 2 6 ] d) D−1 = 1 6 [ 3 0 0 2 ] 1.5.1 Matrizes Ortogonais Uma matriz A e´ dita ortogonal se, A e´ quadrada, invert´ıvel e A.At = At.A = I ou seja, A−1 = At. Exemplo 1.22 A matriz A = [ cosθ −senθ senθ cosθ ] e´ ortogonal pois, At.A = A.At = I. Exerc´ıcio 1.4 Verifique se A = 37 27 67−6 7 3 7 2 7 2 7 6 7 −3 7 e´ ortogonal. Resposta: Sim, verifica-se que At.A = A.At = I. 1.6 Sugesta˜o de Leitura e Estudo • Anton, H.; Rorres, C. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a Ed.. Porto Alegre: Bookman, 2001. Sec¸a˜o 1.3 e Sec¸a˜o 1.4. • Boldrini, J. L.. A´lgebra Linear . 3a Ed.. Sa˜o Paulo: Harbra Ltda, 1986. Cap´ıtulo Matrizes e Sistemas Lineares. • Steinbruch, A.; Winterle, P. Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear.Sa˜o Paulo: Makron Books, 1990. Apeˆndice. • Santos, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes - Uma introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear . 4a Ed. Sa˜o Paulo: Thompson Learning, 2007. 22 1.7 Lista 1 1. Um conglomerado e´ composto por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A matriz a seguir apresenta o faturamento em reais de cada loja nos quatro primeiros dias de fevereiro. F = 1950 2030 1800 1950 1500 1820 1740 1680 3100 2800 2700 3050 2500 2420 2300 2680 1800 2020 2040 1950 Cada elemento aij dessa matriz e´ o faturamento da loja i no dia j. a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2? b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3? c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos quatro dias? 2. Classifique cada afirmac¸a˜o como verdadeiro (V) ou falso (F): a) ( ) Toda matriz identidade e´ necessariamente quadrada. b) ( ) Existe matriz identidade que na˜o e´ quadrada. c) ( ) Toda matriz nula e´ necessariamente quadrada. d) ( ) Existe matriz nula que na˜o e´ quadrada. e) ( ) (At) t = A, qualquer que seja a matriz A. f) ( ) At 6= A para qualquer matriz A. g) ( ) Existe alguma matriz tal que At 6= A. h) ( ) Se a matriz A e´ do tipo 2× 3, enta˜o At e´ do tipo 3× 2. i) ( ) Se uma matriz A e´ sime´trica, enta˜o At = A. 3. Determinar a matriz transposta At de A = [ 2 3 −5 8 3 −7 1 9 ] . 4. Considerando a matriz anti-sime´trica A = 0 3 4−3 0 −6 −4 6 0 , calcule At. O que voceˆ observa em relac¸a˜o a A e At? 23 5. Considere A = [ 1 −2 3 4 5 −6 ] e B = [ 3 0 2 −7 1 8 ] , calcule: (a) A+ 5B (b) 3A (c) 2A− 3B 6. Considere as matrizes A = 2 1 0 3−1 0 2 4 4 −2 7 0 e B = −4 3 5 12 2 0 −1 3 2 −4 5 , encontre A+ B, A−B e 1 3 A 7. Resolva o produto de matrizes: A.B = [ 1 2 4 2 6 0 ] 4 1 4 30 −1 3 1 2 7 5 2 8. Em cada item, encontre a operac¸a˜o que se pede (adic¸a˜o, subtrac¸a˜o ou multiplicac¸a˜o) entre as matrizes dadas abaixo: a) A = [ 2 5 −7 3 −2 4 ] e B = [ 3 3 2 8 9 1 ] , encontre A+ B. b) A = [ 4 −1 −3 9 ] e B = [ 5 −6 7 −8 ] , encontre A− B; AB e BA. c) A = [ 4 2 6 2 5 3 ] e B = 5 2 4 12 3 1 0 1 2 7 6 encontre AB. d) A = 1 −3 22 1 −3 4 −3 −1 , B = 1 4 1 02 1 1 1 1 −2 1 2 e C = 2 1 −1 −23 −2 −1 −1 2 −5 −1 0 encontre AB e encontre AC. O que observou? 9. Considerando A = [ 1 0 0 0 ] , B = [ 0 0 1 0 ] e C = [ 0 1 0 0 ] , calcule (AB)C e A (BC). 10. Em cada item, fac¸a a multiplicac¸a˜o AB entre as matrizes dadas abaixo: 24 a) A = 1 0 −2 3 5 4 0 1 4×2 e B = [ 0 6 1 3 8 −2 ] 2×3 b) A = [ −2 0 1 3 0 1 ] 2×3 e B = −12 4 3×1 c) A = 2 14 2 5 3 3×2 e B = [ 1 −1 0 4 ] 2×2 d) A = 1 −1 1−3 2 −1 −2 1 0 e B = 1 2 32 4 6 1 2 3 . Neste item, encontre tambe´m BA. 11. Se A = [ 1 2 3 −1 ] e B = [ 2 0 1 1 ] , calcule AB e BA. O que observa sobre o resultado do produto AB e BA? 12. Dadas as matrizes A = 4 −53 −7 −2 4 e B = [ −4 6 −3−3 5 8 ] , calcule (AB)t. 13. Ache x, y, z e w se [ x y z w ] [ 2 3 3 4 ] = [ 1 0 0 1 ] . 14. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraˆneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa e´ dado por: Ferro Madeira V idro T inta T ijolo Moderno 5 20 16 7 17 Mediterraˆneo 7 18 12 9 21 Colonial 6 25 8 5 13 a) Represente as informac¸o˜es acima por meio de uma matriz C3×5. 25 b) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraˆneo e colonial, res- pectivamente, quantas unidades de cada material sera˜o empregadas?(Sugesta˜o: crie a matriz quantidade, Q1×3 e calcule a matriz material M = Q1×3.C3×5 ) c) Suponha agora que os prec¸os por unidades de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Com relac¸a˜o a esses materiais qual e´ o prec¸o unita´rio de cada tipo de casa?(Sugesta˜o: crie a matriz prec¸o-material PM5×1 e calcule a matriz prec¸o-casa PC = C3×5.PM5×1) d) Se ele vai construir 5,7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterraˆneo e colonial, respecti- vamente.Considerando os mesmos prec¸os, use produtode matrizes para obter o custo total de material empregado. 15. Considerando A2 = A · A, calcule [ x y z w ]2 . 16. Considerando que A = [ 2 6 −5 4 ] e X = [ x y ] , encontre AX. 17. Considerando as matrizes dadas nos itens abaixo, verifique se as matrizes A e B sa˜o inversas. a) A = [ 2 5 1 3 ] e B = [ 3 −5 −1 2 ] b) A = 1 0 22 −1 3 4 1 8 e B = −11 2 2−4 0 1 6 −1 −1 26 1.8 A func¸a˜o Determinante de uma Matriz Quadrada No Ensino Me´dio voceˆ deve ter se deparado com o ca´lculo de determinante de matrizes 2× 2 e 3× 3, fazendo uso de algumas regras e fo´rmulas. No entanto, nesta sec¸a˜o verificaremos que o ”determinante” e´ um certo tipo de func¸a˜o, que associa a cada matriz quadrada um nu´mero real, independente da ordem da matriz quadrada. Para tanto necessitaremos de alguns conceitos preliminares. Definic¸a˜o 1.11 Uma permutac¸a˜o do conjunto de inteiros {1, 2, ..., n} e´ um rearranjo destes inteiros em alguma ordem sem omisso˜es ou repetic¸o˜es. Exemplo 1.23 Existem 6 permutac¸o˜es distintas do conjunto de inteiros {1, 2, 3} Exerc´ıcio 1.5 Liste todas as permutac¸o˜es dos inteiros {1, 2, 3, 4}. Definic¸a˜o 1.12 Denotando por (j1, j2, ..., jn) uma permutac¸a˜o arbitra´ria do conjunto {1, 2, ..., n} dizemos que, ocorre uma inversa˜o numa permutac¸a˜o sempre que um inteiro maior precede um menor. Exemplo 1.24 Determine o nu´mero de inverso˜es nas seguintes permutac¸o˜es. a) (6, 1, 3, 4, 5, 2) 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8 b) (2, 4, 1, 3) 1 + 2 + 0 = 3 Observac¸a˜o 1.7 Para calcular o nu´mero de inverso˜es de uma permutac¸a˜o devemos: (1) encontrar a quantia de nu´meros menores que j1 e que esta˜o depois de j1 na permutac¸a˜o; (2) encontrar a quantia de nu´meros menores que j2 e que esta˜o depois de j2 na permutac¸a˜o. Continuar este processo ate´ jn−1 e somar estas quantias. A soma destes nu´meros sera´ o nu´mero de inverso˜es de uma permutac¸a˜o. Definic¸a˜o 1.13 Uma permutac¸a˜o e´ chamada par se o nu´mero de inverso˜es e´ um inteiro par e e´ chamada ı´mpar se o nu´mero de inverso˜es e´ ı´mpar. 27 Exerc´ıcio 1.6 Estude o nu´mero de inverso˜es das permutac¸o˜es de {1, 2, 3} e classifique estas permutac¸o˜es em par ou ı´mpar. Definic¸a˜o 1.14 Seja A = [aij]n×n uma matriz quadrada e (j1, j2, ..., jn) uma permutac¸a˜o ar- bitra´ria do conjunto {1, 2, ..., n} . O produto a1j1 .a2j2 ...anjn e´ dito um produto elementar de A. Definic¸a˜o 1.15 Seja A uma matriz quadrada. A func¸a˜o determinante denotada por det e´ definida da seguinte maneira: det(A) = ∑ (−1)ka1j1 .a2j2 ...anjn onde k e´ o nu´mero de inverso˜es de (j1, j2, ..., jn) ou seja, det(A) e´ definido como a soma de todos os produtos elementares de A acompanhados do sinal: (+) se a permutac¸a˜o (j1, j2, ..., jn) e´ par ou (−) se (j1, j2, ..., jn) e´ ı´mpar. Exemplo 1.25 Ca´lculo do determinante de uma matriz de 2a ordem. detA = ∣∣∣∣ a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 Exemplo 1.26 Ca´lculo do determinante de uma matriz de 3a ordem. detA = ∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12 1.8.1 Algumas propriedades de determinante de uma matriz Seja A uma matriz n× n. 1. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de A sa˜o nulos, enta˜o detA = 0. 2. Se B e´ a matriz que resulta quando multiplicarmos uma u´nica linha ou coluna de A por uma constante k, enta˜o detB = k.detA. 3. Se B e´ a matriz que resulta quando duas linhas ou duas colunas de A sa˜o permutadas, enta˜o detB = −detA. 28 4. Se B e´ a matriz que resulta quando uma linha de A e´ somada a um mu´ltiplo de outra linha, enta˜o detB = detA 5. O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais e´ zero. Se uma linha e´ mu´ltipla de outra linha, enta˜o o determinante e´ zero. 6. det(A ·B) = detA · detB. 7. det(An) = (detA)n. Teorema 1.5 Se A e´ uma matriz triangular n × n, enta˜o detA e´ o produto das entradas na diagonal principal da matriz; ou seja, det(A) = a11.a22...ann. 1.8.2 Ca´lculo do determinante por triangularizac¸a˜o Usando as propriedades de determinante e o teorema acima, podemos calcular o determinante de uma matriz quadrada qualquer reduzindo esta ao formato triangular superior usando as operac¸o˜es elementares: 1. Li −→ k.Li, para k 6= 0 Neste caso, temos: det(A) = D =⇒ det(B) = k.det(A) Portanto, quando utilizarmos esta operac¸a˜o sobre A para triangulariza´-la e ainda obter o determinante de A, devemos lembrar de multiplicar o novo determinante pela frac¸a˜o 1 k , pois: det(A) = D =⇒ det(B) = k.det(A) =⇒ det(A) = 1 k .det(B) 2. Li −→ Lj, Neste caso, temos: det(A) = D =⇒ det(B) = −det(A) 29 Portanto, quando utilizarmos esta operac¸a˜o sobre A para triangulariza´-la e ainda obter o determinante de A, devemos lembrar de multiplicar o novo determinante por k = −1 pois det(A) = D =⇒ det(B) = −1.det(A) =⇒ det(A) = −1.det(B) 3. Li → Li + k.Lj Neste caso, sabemos que o determinante na˜o se altera, ou seja, det(A) = det(B) Portanto, a operac¸a˜o pode ser utilizada sem que haja preocupac¸o˜es com mudanc¸as no determinante de A. Aplicaremos este me´todo de Reduc¸a˜o por linhas em nossas aulas para o ca´lculo do determinante das seguintes matrizes: A = 0 1 53 −6 9 2 6 1 , B = 3 6 −90 0 −2 −2 1 5 e C = 0 3 11 1 2 3 2 4 . Exerc´ıcio 1.7 Calcule o determinante das matrizes indicadas abaixo usando o Me´todo de Reduc¸a˜o por linhas: 1. A = 2 1 3 1 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 2. B = 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 0 −1 3 2 3 0 0 30 1.8.3 Desenvolvimento de Laplace: A expansa˜o em cofatores Observando o Exemplo (1.26) notamos que o determinante da matriz de ordem 3 × 3 pode ser desenvolvimento em func¸a˜o de determinantes de submatrizes 2× 2 como segue: detA = a11 (a22a33 − a23a32) + a12 (−a21a33 + a23a31) + a13 (a21a32 − a22a31) (1) = a11 ∣∣∣∣ a22 a23a32 a33 ∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33 ∣∣∣∣+ a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32 ∣∣∣∣ . Observe que o determinante da matriz 3× 3 pode ser expresso em func¸a˜o dos determinantes de submatrizes 2× 2, isto e´, detA = a11M11 − a12M12 + a13M13, no qual Mij e´ o determinante da submatriz obtida de A, onde a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna foram retiradas. Ale´m disso, se chamarmos Cij = (−1)i+jMij, obtemos a expressa˜o detA = a11C11 + a12C12 + a13C13. Rearranjando os termos em (1), e´ poss´ıvel obter outras fo´rmulas como: detA = a11C11 + a21C21 + a31C31 = a12C12 + a22C22 + a32C32 = a13C13 + a23C23 + a33C33. = a21C21 + a22C22 + a23C23 = a31C31 + a32C32 + a33C33 Note que em cada uma dessas equac¸o˜es as entradas e os cofatores sa˜o todos da mesma linha ou coluna. Estas equac¸o˜es sa˜o chamadas expansa˜o em cofatores de det(A). Estes resultados que acabamos de ver para matrizes 3 × 3 formam somente um caso especial de um teorema geral, que enunciaremos a seguir: 31 Teorema 1.6 Expansa˜o em Cofatores O determinante de uma matriz A de tamanho n × n pode ser calculado multiplicando as entradas de qualquer linha(ou coluna) pelos seus cofatores e somando os produtos resultantes, ou seja, detAn×n = ai1Ci1 + · · ·+ ainCin = n∑ j=1 aijCij (expansa˜o em cofatores ao longo da i-e´sima linha) detAn×n = a1jC1j + · · ·+ anjCnj = n∑ i=1 aijCij (expansa˜o em cofatores ao longo da j-e´sima coluna) O nu´mero Cij e´ chamado cofator ou complemento alge´brico do elemento aij, onde Cij e´ o determinante afetado pelo sinal (−1)i+j da submatriz obtida de A retirando-se a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna. Exemplo 1.27 Encontre o determinanteda matriz A = 3 1 −42 5 6 1 4 8 usando Laplace. Primeiro vamos calcular o determinante menor da entrada aij. O menor de a11 e´ M11 = ∣∣∣∣ 5 64 8 ∣∣∣∣ = 40− 24 = 16; O menor de a12 e´ M12 = ∣∣∣∣ 2 61 8 ∣∣∣∣ = 16− 6 = 10; O menor de a13 e´ M13 = ∣∣∣∣ 2 51 4 ∣∣∣∣ = 8− 5 = 3. Enta˜o detA = a11M11 − a12M12 + a13M13 = 3(16)− 1(10) + (−4)3 = 26. Exerc´ıcio 1.8 Encontre o determinante da matriz abaixo usando o me´todo de Laplace. A = 2 4 31 −5 7 −3 8 9 resposta: detA = −343 O desenvolvimento de Laplace e´ uma fo´rmula de recorreˆncia que permite calcular o determi- nante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n−1. Em grande parte dos casos ele simplifica muito o ca´lculo de determinantes, principalmente se for utilizado em conjunto com outras propriedades dos determinantes. 32 1.8.4 Ca´lculo do determinante de uma matriz de ordem maior que 3 O ca´lculo de determinante de ordem maior que 3 envolve um nu´mero elevado de operac¸o˜es, por isso, na˜o e´ feito usando a definic¸a˜o. Usaremos me´todos alternativos para calcular determinante para ordem maior que 3. O me´todo de Laplace pode ser usado, ou podera´ ser feito o ca´lculo do determinante por meio de reduc¸a˜o de linhas. Exerc´ıcio 1.9 Aplique o me´todo de Laplace para calcular o determinante de A = −5 2 3 −4 0 2 0 0 −5 2 −3 0 −8 5 3 1 (Observe que e´ mais conveniente usar a linha 2, pois esta tem como elementos o maior nu´meros de zeros e isso facilita os ca´lculos). det A = ∣∣∣∣∣∣∣∣ −5 2 3 −4 0 2 0 0 −5 2 −3 0 −8 5 3 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 + 2(−1)2+2 ∣∣∣∣∣∣ −5 3 −4 −5 −3 0 −8 3 1 ∣∣∣∣∣∣+ 0 + 0 = 372. Exerc´ıcio 1.10 Calcule detA = ∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 2 3 −4 4 2 0 0 −1 2 −3 0 2 5 3 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ usando a linha (e depois a coluna) mais apropriada. 1.9 Ca´lculo da Matriz Inversa usando Cofatores Estamos em condic¸o˜es de obter uma fo´rmula para a inversa de uma matriz invert´ıvel usando os cofatores. Definic¸a˜o 1.16 Se A e´ uma matriz n × n e Cij e´ o cofator de Aij , enta˜o a matriz Cof = [Cij] e´ chamada matriz de cofatores de A ou Cofatora de A. A transposta desta matriz e´ chamada adjunta de A e denotada por adj(A). 33 Exemplo 1.28 Seja A = 3 2 −11 6 3 2 −4 0 Verifique que, adj(A) = 12 4 126 2 −10 −16 16 16 Calcule enta˜o det(A) e verifique que, A−1 = 1 det(A) adj(A). Para generalizar este resultado, verificamos que A.adj(A) = det(A).I considerando o produto A.adj(A) e observando que a entrada na i-e´sima linha e j-e´sima coluna do produto A.adj(A) e´: ai1Cj1 + · · ·+ ainCjn = 0, i 6= j pois e´ o determinante de uma matriz A, obtida de A trocando a linha j pela linha i. E, ai1Ci1 + · · ·+ ainCin = det(A), i = j Assim, podemos enunciar o seguinte resultado: Teorema 1.7 A inversa de uma Matriz usando a Adjunta Se A e´ uma matriz invert´ıvel, enta˜o A−1 = 1 det(A) adj(A). Exemplo 1.29 Usando a matriz A enunciada no exemplo (1.28) e o teorema (1.7) temos: A−1 = 1 64 12 4 126 2 −10 −16 16 16 Exerc´ıcio 1.11 Calcule a inversa de A utilizando o teorema (1.7), sendo: A = 2 5 5−1 −1 0 2 4 3 34 1.10 Ca´lculo da Matriz Inversa usando Operac¸o˜es Ele- mentares Nesta sec¸a˜o vamos desenvolver um algoritmo para encontrar a inversa de uma matriz invert´ıvel fazendo uso das operac¸o˜es elementares ja´ enunciadas. Definic¸a˜o 1.17 Uma matriz n × n que pode ser obtida da matriz identidade In executando uma u´nica operac¸a˜o elementar sobre linhas e´ chamada matriz elementar. Teorema 1.8 Operac¸o˜es sobre Linhas por Multiplicac¸a˜o Matricial Se a matriz elementar E resulta de efetuar uma certa operac¸a˜o sobre linhas em Im e se A e´ uma matriz m × n, enta˜o o produto EA e´ a matriz que resulta quando esta mesma operac¸a˜o sobre linhas e´ efetuada sobre A. Este teorema nos auxiliara´ nos ca´lculos, pois e´ prefer´ıvel (e a´gil) efetuar operac¸o˜es sobre linhas diretamente sobre uma matriz A do que calcular o produto EA, multiplicando a` esquerda por uma matriz elementar. Teorema 1.9 Qualquer matriz elementar e´ invert´ıvel e a inversa e´, tambe´m, uma matriz ele- mentar. Teorema 1.10 Afirmac¸o˜es Equivalentes Se A e´ uma matriz n × n enta˜o as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes: (a) A e´ invert´ıvel. (b) Usando operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A obtermos a matriz In. Ek...E2.E1.A = In (2) (c) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. A = (E1) −1.(E2) −1...(Ek) −1 (3) 1.10.1 Um Me´todo para Inverter Matrizes Usando a equac¸a˜o (2) apontada anteriormente podemos escrever: A−1 = Ek...E2.E1.In (4). 35 Esta equac¸a˜o nos indica que A−1 pode ser obtida multiplicando In sucessivamente a` esquerda pelas matrizes elementares. Por outro lado, observe que estas mesmas operac¸o˜es aplicadas sobre A faz com que obtemos In. Portanto, podemos enunciar o seguinte Me´todo: Para encontrar a inversa de uma matriz invert´ıvel A, no´s devemos encontrar uma sequeˆncia de operac¸o˜es elementares sobre linhas que reduz A a` identidade I. Estas mesmas operac¸o˜es efetuadas em I nos dara´ A−1. Simbolicamente temos: [A|I] ≈ [I|A−1] Exemplo 1.30 Encontre a inversa de A = 1 2 32 5 3 1 0 8 Exemplo 1.31 Verifique se A = 1 6 42 4 −1 −1 2 5 e´ invert´ıvel. Exemplo 1.32 Determine a inversa de A = 1 0 0 0 1 3 0 0 1 3 5 0 1 3 5 7 1.11 Sugesta˜o de Leitura e Estudo • Anton, H.; Rorres, C. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. 8a Ed.. Porto Alegre: Bookman, 2001. Sec¸a˜o 1.5 e Cap´ıtulo 2. • Boldrini, J. L.. A´lgebra Linear . 3a Ed.. Sa˜o Paulo: Harbra Ltda, 1986. Cap´ıtulo Matrizes e Sistemas Lineares. • Steinbruch, A.; Winterle, P. Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear.Sa˜o Paulo: Makron Books, 1990. Apeˆndice. • Santos, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes - Uma introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear . 4a Ed. Sa˜o Paulo: Thompson Learning, 2007. 36 1.12 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o (Lista 2) Exerc´ıcio 1.12 Encontrar a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas. a) A = [ 3 5 1 2 ] resposta: A−1 = [ 2 −5 −1 3 ] b) B = −3 4 −50 1 2 3 −5 4 resposta: B−1 = −143 −93 −133−2 −1 −2 1 1 1 c) C = 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 , resposta: C−1 = 1 0 0 0 −2 1 0 0 1 −2 1 0 0 1 −2 1 . d) D = 1 0 −22 −2 −2 −3 0 2 resposta: D−1 = −12 0 −121 4 −1 2 −1 4−3 4 0 −1 4 . e) E = −4 0 −10−2 −4 −4 2 −2 6 resposta: E−1 = −4 52 −51 2 −1 2 1 2 3 2 −1 2 . f) F = −3 −6 −120 3 −3 −6 −9 −24 resposta: F−1 = 113 43 −2−2 3 0 1 3−2 3 −1 3 1 3 . g) G = 1 2 32 5 3 1 0 8 resposta: G−1 = −40 16 9−13 −5 −3 5 −2 −1 . Exerc´ıcio 1.13 Seja dada a matriz A = 1 0 22 −1 3 4 1 8 , encontre sua inversa. Exerc´ıcio 1.14 Encontre a inversa da matriz dada usando operac¸o˜es elementares. a) 0 0 2 0 1 0 0 1 0 −1 3 0 2 1 5 −3 b) −8 17 2 1 3 4 0 2 5 −9 0 0 0 0 −1 13 4 2 c) √ 2 3 √ 2 0 −4√2 √2 0 0 0 1 d) −1 3 −42 4 1 −4 2 −9 e) 2 6 62 7 6 2 7 7 37 Exerc´ıcio 1.15 Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4× 4, onde k, k1, k2, k3, k4 e k5 sa˜o todos na˜o nulos. a) k1 0 0 0 0 k2 0 0 0 0 k3 0 0 0 0 k4 b) 0 0 0 k1 0 0 k2 0 0 k3 0 0 k4 0 0 0 c) k 0 0 0 1 k 0 0 0 1 k 0 0 0 1 k d) k 1 0 0 0 k 1 0 0 0 k 1 0 0 0 0 e) k k k0 k k 0 0 k Exerc´ıcio 1.16 Calcule o determinante da matriz dada usando as propriedades de Determinante e as operac¸o˜es elementares. a) 0 0 0 0 −3 0 0 0 −4 0 0 0 −1 0 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 0 b) 5 0 0 0 0 0 0 0 −4 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 −2 0 0 0 c) 4 −9 9 2 −2 5 6 4 1 2 −5 −3 1 −2 0 −2 d) 2 1 3 1 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 e) 1 3 1 5 3 −2 −7 0 −4 2 0 0 1 0 1 0 0 2 1 1 0 −0 0 1 1 Exerc´ıcio 1.17 Sabendo que ∣∣∣∣∣∣ a b c d e f g h i ∣∣∣∣∣∣ = −6, encontre a) ∣∣∣∣∣∣ d e f g h i a b c ∣∣∣∣∣∣ b) ∣∣∣∣∣∣ 3a 3b 3c −d −e −f 4g 4h 4i ∣∣∣∣∣∣ c) ∣∣∣∣∣∣ a+ g b+ h c+ i d e f g h i ∣∣∣∣∣∣ d) ∣∣∣∣∣∣ −3a −3b −3c d e f g − 4d h− 4e i− 4f ∣∣∣∣∣∣ e) ∣∣∣∣∣∣ 3d 3e 3f a b c g h i ∣∣∣∣∣∣ Exerc´ıcio 1.18 Use det(A) para determinar quais das seguintes matrizes sa˜o invert´ıveis. a) 1 0 −19 −1 4 8 9 −1 b) 4 2 8−2 1 −4 3 1 6 c) √ 2 −√7 0 3 √ 2 −3√7 0 5 −9 0 d) −3 0 15 0 6 8 0 3 38 e) 3 0 61 0 2 2 3 7 Exerc´ıcio 1.19 Seja A = a b cd e f g h i Supondo que det(A) = −7, obtenha a) det(3A) b) det(A−1) c) det((2A)−1) d) det(2A−1) e) det a d gb e h c f i Exerc´ıcio 1.20 Estude o determinante de A por cofatores da linha ou coluna mais apropriada e use A−1 = 1 detA .adjA para o ca´lculo da inversa de A. a) 2 −3 50 1 −3 0 0 2 b) 2 0 08 1 0 −5 3 6 c) 3 3 0 5 2 2 0 −2 4 1 −3 0 2 10 3 2 d) 4 0 0 1 0 3 3 3 −1 0 1 2 4 2 3 9 4 6 2 3 2 2 4 2 3 e) 2 0 30 3 2 −2 0 −4 1.13 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares Os sistemas de equac¸o˜es alge´bricas lineares e suas soluc¸o˜es constituem um dos principais to´picos estudados em cursos de A´lgebra Linear. Nesta sec¸a˜o iremos introduzir alguma terminologia ba´sica e discutir um me´todo para resolver estes sistemas. Definic¸a˜o 1.18 Equac¸a˜o Linear Definimos uma equac¸a˜o linear nas n varia´veis x1, x2, ..., xn como uma equac¸a˜o que pode ser expressa na forma a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = b onde a1, a2, ..., an e b sa˜o constantes reais. As varia´veis de uma equac¸a˜o linear sa˜o chamadas inco´gnitas. 39 Observac¸a˜o 1.8 Uma equac¸a˜o linear na˜o envolve quaisquer produtos ou ra´ızes de varia´veis. Todas as varia´veis ocorrem somente na primeira poteˆncia e na˜o aparecem como argumentos de func¸o˜es trigonome´tricas ou exponenciais. Exemplo 1.33 As equac¸o˜es x+ 3y = 7, y = 1 2 x+ 3z + 1 e x1 − 2x2 − 3x3 + x4 = 7 sa˜o lineares. Ja´ as equac¸o˜es, x+ 3 √ y = 5, 3x+ 2y − z + xz = 4 e y = senx sa˜o na˜o-lineares. Exerc´ıcio 1.21 Classifique as equac¸o˜es em lineares ou na˜o lineares. a) x1 + 3x2 + x1x3 = 2 b) x −2 1 + x2 + 8x3 = 5 c) πx1 − √ 2x2 + 1 3 x3 = 7 1 3 Definic¸a˜o 1.19 Uma soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o linear a1x1+a2x2+ ...+anxn = b e´ uma n-upla (s1, s2, ..., sn) tais que a equac¸a˜o e´ satisfeita quando substitu´ımos x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn. O conjunto de todas as soluc¸o˜es de uma equac¸a˜o e´ chamado seu conjunto-soluc¸a˜o ou soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o. Definic¸a˜o 1.20 Um conjunto finito de equac¸o˜es lineares nas varia´veis (x1, x2, . . . , xn) e´ chamado de sistema de equac¸o˜es lineares ou um sistema linear. A n-upla (x1, x2, . . . , xn) e´ chamada soluc¸a˜o do sistema se x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn e´ soluc¸a˜o de cada uma das equac¸o˜es: S1 : a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 ... ... · · · ... am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm (1.13.1) onde bi, aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ i ≤ n, pertencem a R. O conjunto de equac¸o˜es 1.13.1 chama-se sistema de m equac¸o˜es lineares com n inco´gnitas. O sistema S1 pode ser escrito como AX = B, onde A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn X = x1 x2 ... xm B = b1 b2 ... bm matriz dos coeficientes matriz das inco´gnitas matriz dos termos independentes Outra matriz associada ao sistema e´: 40 a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 ... ... . . . ... ... am1 am2 · · · amn bm , chamada matriz ampliada do sistema. Observac¸a˜o 1.9 O sistema S1 e´ dito homogeˆneo se b1 = b2 = · · · = bm = 0. Exemplo 1.34 A forma matricial do sistema S1 : x− 2y + z = 0 2x+ y − z = 0 3x− y + 2z = 0 e´ 1 −2 12 1 −1 3 −1 2 xy z = 00 0 e a matriz ampliada associada ao sistema e´: 1 −2 1 02 1 −1 0 3 −1 2 0 Exerc´ıcio 1.22 Encontre a matriz ampliada de cada um dos seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares. (a) 3x− 2y = −1 4x+ 5y = 3 7x+ 3y = 2 (b) 2x+ 2z = 1 3x− y + 4z = 7 6x+ y − z = 0 (c) x+ 2y − t+ w = 1 3y + z − w = 2 z + 7w = 1 Nosso objetivo agora, e´ estudar um me´todo para resoluc¸a˜o de sistemas em geral. O processo consiste em substituir o sistema inicial por um sistema ”equivalente” cada vez mais simples, fazendo a eliminac¸a˜o sucessiva das inco´gnitas atrave´s de operac¸o˜es elementares (ja´ apresen- tadas no estudo das Matrizes e Determinantes) ate´ que possamos visualizar facilmente a soluc¸a˜o do sistema. 1.13.1 Operac¸o˜es Elementares sobre as equac¸o˜es de um Sistema 1. Multiplicar uma equac¸a˜o inteira por uma constante na˜o nula. 41 2. Trocar duas equac¸o˜es entre si. 3. Somar um mu´ltiplo de uma equac¸a˜o a uma outra equac¸a˜o 1.13.2 Operac¸o˜es Elementares sobre as linhas da matriz ampliada Como as linhas (horizontais) de uma matriz aumentada correspondem a`s equac¸o˜es no sistema associado, as treˆs operac¸o˜es elementares aplicadas sobre as equac¸o˜es de um sistema linear correspondem a`s seguintes operac¸o˜es nas linhas da matriz ampliada do sistema: 1. Multiplicac¸a˜o de uma linha inteira por um escalar c na˜o-nulo (Li −→ cLi); 2. Permutac¸a˜o da i -e´sima linha pela j -e´sima linha (Li ←→ Lj). 3.Substituic¸a˜o da i -e´sima linha pela i -e´sima linha mais c vezes a j -e´sima linha (Li −→ Li+cLj); Exemplo 1.35 Determine a soluc¸a˜o do sistema abaixo, realizando operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz ampliada. x+ y + 2z = 9 2x+ 4y − 3z = 1 3x+ 6y − 5z = 0 1.14 Eliminac¸a˜o Gaussiana Apresentaremos um procedimento para reduzir a matriz ampliada de um sistema a uma outra matriz ampliada ”escalonada”. Definic¸a˜o 1.21 Uma matriz A chama-se escalonada ou dizemos que esta´ na forma escalonada, se o nu´mero de zeros precedendo o primeiro elemento na˜o-nulo de cada linha aumenta por linhas e se aparecerem linhas nulas, estas devem estar abaixo de todas as outras linhas. Definic¸a˜o 1.22 Uma matriz A chama-se escalonada reduzida por linhas se: a) esta´ na escalonada; 42 b) o primeiro elemento na˜o-nulo de cada linha na˜o-nula de A for igual a 1. Chamamos este nu´mero 1 de pivoˆ; c) cada coluna de A que conte´m o primeiro elemento na˜o-nulo de alguma linha de A tiver todos os outros elementos iguais a zero. Exemplo 1.36 Dadas as matrizes A = 1 0 0 00 1 −1 0 0 0 1 0 B = 0 2 11 0 −3 0 0 0 C = 0 1 −3 0 10 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 D = 0 1 −3 0 20 0 0 1 2 0 0 0 0 0 Quais sa˜o escalonadas e quais sa˜o escalonadas reduzidas por linhas? Definic¸a˜o 1.23 Se A e B sa˜o matrizes de ordem m × n, diremos que A e´ equivalente por linhas a B se B pode ser obtida de A apo´s um nu´mero finito de operac¸o˜es elementaressobre as linhas de A. Notac¸a˜o: A ∼ B Exemplo 1.37 A matriz A = 1 04 −1 −3 4 e´ equivalentes por linhas a B = 1 00 1 0 0 Teorema 1.11 Toda matriz e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz escalonada reduzida por linhas. Definic¸a˜o 1.24 Dois sistemas lineares sa˜o equivalentes se, e somente se, toda soluc¸a˜o de um deles, e´ tambe´m soluc¸a˜o do outro. Teorema 1.12 Todo sistema de equac¸o˜es lineares homogeˆneo, cujo nu´mero de equac¸o˜es e´ menor que o nu´mero de inco´gnitas, possui soluc¸a˜o na˜o-nula, isto e´, possui infinitas soluc¸o˜es. 43 Teorema 1.13 Dois sistemas de equac¸o˜es lineares que possuem matrizes ampliadas equivalentes sa˜o equivalentes. Definic¸a˜o 1.25 O posto de uma matriz A e´ o nu´mero de linhas na˜o nulas de alguma matriz escalonada , equivalente a A. Exemplo 1.38 Determine o posto da matriz A = 1 3 1 02 6 2 0 1 −3 −1 0 . 1.14.1 Classificac¸a˜o de um Sistema Linear quanto a` Soluc¸a˜o No teorema a seguir veremos que um sistema so´ admite uma (e somente uma) das seguintes classificac¸o˜es: SPD: Sistema Poss´ıvel Determinado, com uma u´nica soluc¸a˜o. SPI: Sistema Poss´ıvel Indeterminado, com infinitas soluc¸o˜es. S.I: Sistema Imposs´ıvel, sem nenhuma soluc¸a˜o. O estudo do posto de uma matriz nos auxiliara´ na classificac¸a˜o de um sistema linear. Teorema 1.14 Consideremos um sistema linear de m equac¸o˜es a n varia´veis. Seja Pc o posto da matriz dos coeficientes e Pα o posto da matriz ampliada do sistema. a) Se Pc = Pα = p, enta˜o o sistema tem soluc¸a˜o u´nica no caso em que n = p (SPD) e tem infinitas soluc¸o˜es se p < n; (SPI) b) Se Pc 6= Pα enta˜o o sistema na˜o tem soluc¸a˜o. ( SI) Observac¸a˜o 1.10 No caso de um sistema de n inco´gnitas apresentar infinitas soluc¸o˜es, p varia´veis podem ser escrita em func¸a˜o de outras n− p escolhidas convenientemente. Estas n− p varia´veis sa˜o chamadas de varia´veis livres e o nu´mero (n− p) denota o grau de liberdade do sistema. Quando aplicamos operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz ampliada associada a um sistema ate´ transformarmos na forma escalonada, obtemos um novo sistema equivalente que pode ser resolvido por substituic¸a˜o de tra´s para frente, tambe´m dita retro substituic¸a˜o. 44 1.14.2 O Me´todo de Gauss 1. Escreva a matriz ampliada A do sistema; 2. Use operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz A ate´ transforma´-la numa matriz A′ escalonada; 3. Fazendo substituic¸a˜o de tra´s para frente, resolva o sistema equivalente associado a A′. Exemplo 1.39 Determine a soluc¸a˜o do sistema S : x+ 2y + z = 0 −x+ 3z = 5 x− 2y + z = 1 utilizando o Me´todo de Gauss. 1.14.3 O Me´todo de Gauss-Jordan Neste me´todo, procedemos como no me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss, mas reduzimos ainda mais a matriz ampliada ate´ a` forma escalonada reduzida por linha. 1. Escreva a matriz ampliada A do sistema; 2. Use operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A ate´ transforma´-la numa matriz A′ escalo- nada reduzida por linhas; 3. Se o sistema for poss´ıvel e determinado, a matriz A′ indica a soluc¸a˜o; 4. Se o sistema resultante for poss´ıvel e indeterminado, resolva-o para as varia´veis dependentes em termos de quaisquer varia´veis livres que tenham sobrado. Exemplo 1.40 Determine a soluc¸a˜o do sistema abaixo usando eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan. 2x+ 4y + 6z = −6 3x+−2y − 4z = −38 x+ 2y + 3z = −3 Exerc´ıcio 1.23 Determine a soluc¸a˜o de cada sistema abaixo usando eliminac¸a˜o de Gauss- Jordan. 45 (a) 2x+ 2y + z = 5 −x− y = −2 x+ 2y + 3z = 6 (b) 2x+ 2y − z + w = 0 −x− y + 2z − 3t+ w = 0 x+ y − 2z − w = 0 z + t+ w = 0 (c) 2x+ 2y + z = 2 −x− y = 0 x+ y + z = 5 46 1.15 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o ( Lista 3) 1. Considere as matrizes A = 3 0−1 2 1 1 , B = [ 4 −1 0 2 ] , C = [ 1 4 2 3 1 5 ] , D = 1 5 2−1 0 1 3 2 4 , E = 6 1 3−1 1 2 4 1 3 Calcule, quando poss´ıvel: a) D + E b)D − E c) 2B − C d) 4E − 2D e) − 3(D + 2E). 2. Usando as matrizes do Exercicio 1, calcule (se poss´ıvel): a) tr(D) b) 4tr(7B) c) tr(DDT ) d) tr(4ET −D) e) tr(CTAT + 2ET ). 3. Usando as matrizes do Exercicio 1, calcule os seguintes (quando poss´ıvel). a) (2DT−E)A b) (4B)C+2B c) (−AC)T+5DT d) (BAT−2C)T e)BT (CCT−AAT ). 4. Sejam A = 3 −2 76 5 4 0 4 9 e B = 6 −2 40 1 3 7 7 5 Use a definic¸a˜o de produto de matrizes da pa´gina 9 do Cap´ıtulo 1 para encontrar a) a primeira linha de AB b) a terceira linha de AB c) a segunda coluna de AB d) a primeira coluna de BA e) a terceira coluna de AA. 5. Em cada item, encontre uma matriz [aij ] de tamanho 6 × 6 que satisfaz a condic¸a˜o dada. Deˆ respostas ta˜o gerais quanto poss´ıvel, usando letras e na˜o nu´meros para entradas na˜o nulas espec´ıficas. Classifique as matrizes obtidas quanto ao tipo, utilizando a sec¸a˜o 1.2. a) aij = 0 se i 6= j b) aij = 0 se i > j c) aij = 0 se i < j d) aij = i+ j e) aij = i− j 6. Sejam A = 2 −1 30 4 5 −2 1 4 , B = 8 −3 −50 1 2 4 −7 6 , e C = 0 −2 31 7 4 3 5 9 , a = 4, b = −7. Mostre que 47 a) A + (B + C) = (A+ B) + C b) (AB)C = A(BC) c) a(B − C) = aB − aC d) (AT )T = A e) (AB)T = BT .AT . 7. Use o Teorema 1.3 para calcular as inversas das seguintes matrizes. a) A = [ 3 1 5 2 ] b) B = [ 2 −3 4 4 ] c) C = [ 6 −4 −2 −1 ] d) D = [ 2 0 0 3 ] e) E = [ 3 0 0 2 ] . 8. Use as matrizes A e B do exerc´ıcio anterior para verificar que a) (A−1)−1 = A b) (BT )−1 = (B−1)T c) (AB)−1 = B−1.A−1 d) (ABC)−1 = C−1.B−1.A−1 e)(CA)−1 = A−1.C−1 . 9. Em cada parte use a informac¸a˜o dada para encontrar A. a) A−1 = [ 2 −1 3 5 ] b) (7A)−1 = [ −3 7 1 −2 ] c) (5AT )−1 = [ −3 −1 5 2 ] d) (I + 2A)−1 = [ −1 2 4 5 ] e) A−1 = [ 2 3 −1 5 ] . 10. Mostre que a) An×n = a11 0 · · · 0 0 a22 · · · 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · ann e´ invert´ıvel e encontre sua inversa, sabendo que a11.a22. · · · .ann 6= 0 b) Uma matriz An×n com uma linha de zeros na˜o pode ter inversa. c) Uma matriz An×n com uma coluna de zeros na˜o pode ter inversa. d) Se A,B sa˜o matrizes quadradas tais que AB = 0 e A e´ invert´ıvel enta˜o,B = 0. e) Se A e´ uma matriz quadrada tal que Li = k.Lj enta˜o A na˜o e´ invert´ıvel. 11. Encontre uma operac¸a˜o sobre linhas que retorna a matriz elementar dada a uma matriz identidade. a) [ 1 0 −3 1 ] b) 1 0 00 1 0 0 0 3 c) 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 d) 1 0 −1 7 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 e) 2 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 12. Encontre a inversa da matriz dada usando operac¸o˜es elementares. 48 a) 0 0 2 0 1 0 0 1 0 −1 3 0 2 1 5 −3 b) −8 17 2 1 3 4 0 2 5 −9 0 0 0 0 −1 13 4 2 c) √ 2 3 √ 2 0 −4√2 √2 0 0 0 1 d) −1 3 −42 4 1 −4 2 −9 e) 2 6 62 7 6 2 7 7 13. Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 × 4, onde k, k1, k2, k3, k4 e k5 sa˜o todos na˜o nulos. a) k1 0 0 0 0 k2 0 0 0 0 k3 0 0 0 0 k4 b) 0 0 0 k1 0 0 k2 0 0 k3 0 0 k4 0 0 0 c) k 0 0 0 1 k 0 0 0 1 k 0 0 0 1 k d) k 1 0 0 0 k 1 0 0 0 k 1 0 0 0 0 e) k k k0 k k 0 0 k 14. Calcule o determinante da matriz dada usando as propriedades de Determinante e as operac¸o˜es elementares. a) 0 0 0 0 −3 0 0 0 −4 0 0 0 −1 0 0 0 2 0 0 0 5 0 0 0 0 b) 5 0 0 0 0 0 0 0 −4 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 −2 0 0 0 c) 4 −9 9 2 −2 5 6 4 1 2 −5 −3 1 −2 0 −2 d) 2 1 3 1 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3 e) 1 3 1 5 3 −2 −7 0 −4 2 0 0 1 0 1 0 0 2 1 1 0 −0 0 1 1 15. Sabendo que ∣∣∣∣∣∣ a b c d e f g h i ∣∣∣∣∣∣ = −6, encontre a) ∣∣∣∣∣∣ d e f g h i a b c ∣∣∣∣∣∣ b) ∣∣∣∣∣∣ 3a 3b 3c −d −e −f 4g 4h 4i ∣∣∣∣∣∣ c) ∣∣∣∣∣∣ a+ g b+ h c+ i d e f g h i ∣∣∣∣∣∣ 49 d) ∣∣∣∣∣∣ −3a −3b −3c d e f g − 4d h− 4e i− 4f ∣∣∣∣∣∣ e) ∣∣∣∣∣∣ 3d 3e 3f a b c g h i ∣∣∣∣∣∣ 16. Use det(A) para determinar quais das seguintes matrizes sa˜o invert´ıveis. a) 1 0 −19 −1 4 8 9 −1 b) 4 2 8−2 1 −4 3 1 6 c) √ 2 −√7 0 3 √ 2 −3√7 0 5 −9 0 d) −3 0 15 0 6 8 0 3 e) 3 0 61 0 2 2 3 7 17. Seja A = a b cd e f g h i Supondo que det(A) = −7, obtenha a) det(3A) b) det(A−1) c) det((2A)−1) d) det(2A−1) e) det a g db h e c i f 18. Use A−1 = 1 detA .adjA para o ca´lculo da inversa de A e estude o determinante de A por cofatores da linha ou coluna mais apropriada. a) 2 −3 50 1 −3 0 0 2 b) 2 0 08 1 0 −5 3 6 c) 3 3 0 5 2 2 0 −2 4 1 −3 0 2 10 3 2 d) 4 0 0 1 0 3 3 3 −1 0 1 2 4 2 3 9 4 6 2 3 2 2 4 2 3 e) 2 0 30 3 2 −2 0 −4 50 19. Quais das seguintes matrizes 3× 3 esta˜o em forma escalonada? a) 1 2 00 1 0 0 0 0 b) 1 0 00 1 0 0 2 0 c) 1 3 40 0 1 0 0 0 d) 1 5 −30 1 1 0 0 0 e) 1 2 30 0 0 0 0 1 20. Quais das seguintes matrizes 3× 3 esta˜o em forma escalonada reduzida por linhas? a) 1 0 00 1 0 0 0 0 b) 0 1 00 0 1 0 0 0 c) 1 0 00 0 1 0 0 0 d) 1 1 00 1 0 0 0 0 e) 1 0 20 1 3 0 0 0 21. Em cada parte, determine se a matriz esta´ em forma escalonada, escalonada reduzida por linhas, ambas ou nenhuma das duas. a) 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 b) 1 0 0 50 0 1 3 0 1 0 4 c) [ 1 0 3 1 0 1 2 4 ] d) [ 1 −7 5 5 0 1 3 2 ] e) 1 3 0 2 0 1 0 2 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 22. Em cada parte, suponha que a matriz de um sistema de equac¸o˜es lineares foi reduzida por operac¸o˜es sobre linhas a` forma escalonada ou a` forma escalonada reduzida por linhas. Resolva o sistema. a) 1 0 0 −30 1 0 0 0 0 1 7 b) 1 0 0 −7 80 1 0 3 2 0 0 1 1 −5 c) 1 0 8 −5 60 1 4 −9 3 0 0 1 1 2 51 d) 1 −3 0 00 0 1 0 0 0 0 1 e) 1 −3 7 10 1 4 0 0 0 0 1 23. Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminac¸a˜o de Gauss. (a) x+ y + 2z = 8 −x− 2y + 3z = 1 3x− 7y + 4z = 10 (b) 2x+ 2y + 2z = 0 −2x+ 5y + 2z = 1 8x+ y + 4z = −1 (c) x− y + 2z − w = −1 2x+ y − 2z − 2w = −2 −x+ 2y − 4z + w = 1 3x− 3w = −3 (d) −2y + 3z = 1 3x+ 6y − 3z = −2 6x+ 6y + 3z = 5 (e) 3x+ 2y − z = −15 5x+ 3y + 2z = 0 3x+ y + 3z = 11 −6x− 4y + 2z = 30 24. Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan. (a) 10y − 4z + w = 1 x+ 4y − z + w = 2 3x+ 2y + z + 2w = 5 −2x− 8y + 2z − 2w = −4 x− 6y + 3z = 1 (b) x− 2y + z − 4w = 1 x+ 3y + 7z + 2w = 2 x− 12y − 11z − 16w = 5 (c) w + 2x− y = 4 x− y = 3 w + 3x− 2y = 7 2u+ 4v + w + 7x = 7 (d) 2x− 3y + 4z − w = 0 7x+ y − 8z + 9w = 0 2x+ 8y + z − w = 0 (e) 2x+ 2y + 4z = 0 −y − 3z + w = 0 3x+ y + z + 2w = 0 x+ 3y − 2z − 2w = 0 25. Resolva os seguintes sistemas por eliminac¸a˜o de Gauss ou elimac¸a˜o de Gauss-Jordan. (a) 2x− y − 3z = 0 −x+ 2y − 3z = 0 x+ y + 4z = 0 (b) v + 3w − 2x = 0 2u+ v − 4w + 3x = 0 2u+ 3v + 2w − x = 0 −4u− 3v + 5w − 4x = 0 52 (c) x+ 3y + w = 0 x+ 4y + 2z = 0 −2y − 2z − w = 0 2x− 4y + z + w = 0 x− 2y − z + w = 0 (d) 2x− y + 3z + 4w = 9 x− 2z + 7w = 11 3x− 3y + z + 5w = 8 2x+ y + 4z + 4w = 10 (e) z + w + t = 0 −x− y + 2z − 3w + t = 0 x+ y − 2z − t = 0 2x+ 2y − z + t = 0 26. As situac¸o˜es apontadas a seguir ilustram aplicac¸o˜es da resoluc¸a˜o de sistemas lineares. a) (Fuvest2008) Joa˜o entrou na lanchonete BOB pediu 3 hambu´rgues, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$21, 50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambu´rgues, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$57, 00. Sabendo que o prec¸o de um hambu´rguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$10, 00, calcule o prec¸o de cada um desses itens. b) (Unesp2007) Uma pessoa consumiu na segunda-feira, no cafe´ da manha˜, 1 pedac¸o de bolo e 3 pa˜ezinhos, o que deu um total de 140 gramas. Na terc¸a-feira, no cafe´ da manha˜, consumiu 3 pedac¸os de bolo e 2 pa˜ezinhos (iguais aos do dia anterior e de mesma massa), totalizando 210 gramas. Cada 100 gramas de bolo e de pa˜ozinho fornecem (aproximada- mente) 420 kcal e 270kcal de energia, respectivamente. Usando estas informac¸o˜es, deter- mine a quantidade em gramas de cada pedac¸o de bolo e de cada pa˜ozinho e calcule o total de quilocalorias (kcal) consumido pela pessoa, com esses dois alimentos, no cafe´ da manha˜ de segunda-feira. c) (Fuvest2005) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas lima˜o e coco. A com- pra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma lima˜o do que no aroma coco, determine o nu´mero de frascos entregues, no aroma lima˜o. d) Uma copeira lavou os 800 copos usados em uma festa. Ela recebeu R$0, 05 por copo que lavou e teve de pagar R$0, 25 por copo que quebrou. Terminado o servic¸o, a copeira recebeu R$35, 80. Determine o nu´mero de copos que ela quebrou. 53 e) (Fuvest2002) Carlos, Lu´ıs e S´ılvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicac¸a˜o que rendia 15% ao ano. Lu´ıs, uma que rendia 20% ao ano. S´ılvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 20% ao ano, investindo a outra metade numa aplicac¸a˜o de risco, com rendimento anual po´s-fixado. Depois de um ano, Carlos e Lu´ıs tinham juntos 59 mil reais; Carlos e S´ılvio, 93 mil reais; Lu´ıs e S´ılvio, 106 mil reais. Determine, quantos reais cada um tinha inicialmente e qual o rendimento da aplicac¸a˜o de risco. 54 Cap´ıtulo 2 Vetores Existem grandezas chamadas escalares, exemplos: a´rea, comprimento, massa, etc... que ficam completamente determinadas assim que for dada sua magnitude. Outras quantidades f´ısicas no entanto requerem mais do que isso. Por exemplo, uma forc¸a ou uma velocidade, para que fiquem bem definidas precisamos dar a direc¸a˜o, a intensidade e o sentido. Tais grandezas sa˜o chamadas vetoriais. 2.1 Segmentos Orientados Dois pontos A e B do espac¸o determinam uma reta r. O conjunto dos pontos de r que esta˜o entre A e B e´ um segmento de reta AB que podemos orientar considerando um dos pontos como origem e outro como extremidade. Denotaremos por AB o segmento orientado de origem em A e extremidade em B. Figura 2.1: segmento AB O segmento AA e´ dito segmento nulo. Observac¸a˜o 2.1 a) Tamanho ou comprimento de um segmento orientado AB e´ o comprimento do segmento geome´trico AB. 43 b) Dizemos que os segmentos orientados AB e A′B′ tem mesma direc¸a˜o se a reta determinada por A e B e´ paralela a reta determinada por A’ e B’.
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