Lista 01

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
DEPARTAMENTO DE ESTATI´STICA
Estat´ıstica Aplicada para Engenharia
Primeira Lista de Exerc´ıcios
24/02/2014
1. Lanc¸am-se, simultaneamente, uma moeda e um dado.
(a) Determine o espac¸o amostral correspondente a esse experimento.
(b) Obtenha a tabela da distribuic¸a˜o conjunta, considerando X o nu´mero de caras no
lanc¸amento da moeda e Y o nu´mero da face do dado.
(c) Verifique se X e Y sa˜o independentes.
(d) Calcule:
1. P (X = 1)
2. P (X ≤ 1)
3. P (X < 1)
4. P (X = 2, Y = 3)
5. P (X ≥ 0, Y ≤ 4)
6. P (X = 0, Y ≥ 1)
2. A tabela abaixo da´ a distribuic¸a˜o conjunta de X e Y.
Y \X 1 2 3
0 0.1 0.1 0.1
1 0.2 0 0.3
2 0 0.1 0.1
(a) Determine as distribuic¸o˜es marginais de X e Y.
(b) Obtenha as esperanc¸as e variaˆncias de X e Y.
(c) Verifique se X e Y sa˜o independentes.
(d) Calcule P (X = 1|Y = 0) e P (Y = 2|X = 3).
(e) Calcule P (X ≤ 2) e P (X = 2, Y ≤ 1).
3. Suponha que a func¸a˜o de probabilidade conjunta de X e Y seja dada por
p(x, y) =
{
c‖x + y‖, x = −2,−1, 0, 1, 2, y = −2,−1, 0, 1, 2
0, c.c.
Pede-se:
(a) o valor da constante c;
(b) a func¸a˜o de probabilidade marginal de X;
(c) P (‖X − Y ‖ ≥ 1).
4. Considere o lanc¸amento de dois dados balanceados e defina X1 = mı´nimo obtido
e X2 = ma´ximo obtido. (Quando ha´ empate faz-se X1 = X2.) Pede-se:
(a) a func¸a˜o de probabilidade conjunta de X1 e X2
(b) as func¸o˜es de probabilidade marginais de X1 e X2
(c) X1 e X2 sa˜o varia´veis aleato´rias independentes? Por que?
(d) Calcule P (X1 + X2 > 9)
5. Uma urna conte´m treˆs bolas numeradas de 1 a 3. Duas bolas sa˜o retiradas ao
acaso e sem reposic¸a˜o. Sejam X o nu´mero da primeira bola retirada e Y o nu´mero da
segunda. Calcule P (X < Y ).
6. Considere realizac¸o˜es independentes de um ensaio de Bernoulli com paraˆmetro p.
Sejam X o nu´mero de realizac¸o˜es ate´ a ocoreˆncia do primeiro sucesso e Y o nu´mero de
realizac¸o˜es ate´ a ocorreˆncia do quarto sucesso. Pede-se:
(a) a func¸a˜o de probabilidade conjunta de X e Y
(b) as func¸o˜es de probabilidade marginais de X e Y
7. Considere o lanc¸amento de dois dados balanceados e defina X1 = mı´nimo obtido
e X2 = ma´ximo obtido. (Quando ha´ empate faz-se X1 = X2.) Pede-se:
2
(a) a func¸a˜o de probabilidade condicional de X1 dado X2 = 4
(b) a func¸a˜o de probabilidade condicional de X2 dado X1 = 4
8. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias cuja func¸a˜o de probabilidade conjunta esta´
representada na tabela a seguir:
Y \X 1 2 3
1 0 1/5 0
2 1/5 1/5 1/5
3 0 1/5 0
Pede-se
(a) a densidade condicional de X dado Y = 2
(b) a func¸a˜o de probabilidade condicional de Y dado X = 2
(c) Pode-se dizer que as varia´veis X e Y sa˜o independentes e identicamente
distribu´ıdas? Explique.
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