Prova Algebra UFRGS

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UFRGS – Instituto de Matema´tica
Depto. de Matema´tica Pura e Aplicada
Algebra Linear I-A
Segunda Prova -Turma F1 - 18 de junho de 2013
Nome: Matr´ıcula: Turma:
1) Seja T : R4 → R4 definida por T (x, y, z, w) = (0, 5x, 6y, 7z). Fac¸a as seguintes questo˜es:
(i) Ache a matriz canoˆnica da T .
(ii) Ache os auto-valores e os auto-vetores da matriz canoˆnica de T . A matriz canoˆnica de T e´ diago-
naliza´vel? Justifique sua resposta.
.
2) Seja a forma quadra´tica q : R3 → R definida por q(x, y) = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 4yz. Fac¸a as
seguintes questo˜es:
(i) Ache a matriz da forma quadra´tica q.
(ii) Classifique a forma quadra´tica q.
(iii) Ache o ma´ximo e o mı´nimo da forma quadra´tica q e um vetor de norma 1 que atinge estes valores.
3) (a) Ache uma base ortogonal para o subespac¸o W = Span{(1, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1)}.
(b) Ache a fatorac¸a˜o QR da matriz A =


1 0
0 1
0 0
1 1

.
4) Ache uma soluc¸a˜o e o erro de mı´nimos quadra´ticos para o sistema linear
2x+ 3y = 1
3x− 2y = 1
2x− y = 0
2x+ 2y = 1
.
5) A matriz A =


1 0 0
0 1 2
0 −1 1

 e´ diagonaliza´vel ou na˜o,justificando sua resposta.