Apostila Introdução à Lógica 2018

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2018/1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS 
 
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA – NOTURNO 
 
 
 
 
 
 
NOTAS de 
Introdução à Lógica 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF.A Patrícia Fantinel 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Pelotas 
Instituto de Física e Matemática 
Introdução à Lógica 
Profª Patrícia Fantinel 
 
 
 
1 
1. RACIOCÍNIO LÓGICO X RACIOCÍNIO ANALÍTICO 
 
 
Raciocínio Analítico 
 
Verdade (Julgamento) 
 
Interpretação Textual 
 
“O que” foi dito 
 
Raciocínio Lógico 
 
Validade (Forma) 
 
Estrutura Lógica 
 
“Como” foi dito 
 
O Raciocínio Lógico preocupa-se com a estrutura lógica (“como” foi dito) e não com seu 
conteúdo (“o que” foi dito), a menos que a questão solicite que seja realizado um 
julgamento de valor. 
 
O Raciocínio Analítico por outro lado preocupa-se com a interpretação textual, assumimos 
como verdadeira única e exclusivamente as premissas do argumento, ou seja, o enunciado 
do exercício (“o que” foi dito), e avaliamos a argumentação de acordo com as respostas ou 
a conclusão do argumento. 
 
 
2. INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 
 
Embora existam muitas definições para o campo de estudo da lógica há um certo consenso 
entre os autores de que a Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, 
e as formas de aplicar essas leis corretamente na investigação da verdade. 
É tradicionalmente aceito que a Lógica tenha nascido na Grécia antiga, por volta do século 
IV antes de Cristo, embora tenham sido encontrados na Índia, textos sobre o assunto, 
escritos em épocas remotas. Os primeiros trabalhos sobre Lógica são devidos a 
Parmênides, Zenão, e ao grupo conhecido como “sofistas”, mas foi Aristóteles quem 
sistematizou e organizou o conhecimento da Lógica, elevando-a à categoria de Ciência. 
Aristóteles em sua obra chamada Organum estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos 
que dominou o pensamento ocidental durante dois mil anos, e até hoje são considerados 
válidos. 
Aristóteles tinha como objetivo a busca da verdade, ele se preocupava com as formas de 
raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos 
conhecimentos. Assim coube à Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos de 
conceitos e juízos que levariam à descoberta de novas verdades. Essa forma de 
encadeamento é chamada de argumento, enquanto as afirmações envolvidas são 
chamadas proposições. 
A Lógica se preocupa com o relacionamento entre as premissas e a conclusão, com a 
estrutura e a forma do raciocínio, e não com seu conteúdo, isto é, com as proposições 
tomadas individualmente. O objeto da Lógica é determinar se a conclusão é ou não uma 
consequência das premissas. Pelo fato do objeto da Lógica ser a forma pela qual o 
raciocínio está estruturado, esta costuma receber o nome de Lógica Formal. 
A Lógica dispõe de duas ferramentas principais que podem ser utilizadas pelo pensamento 
na busca de novos conhecimentos: a dedução e a indução, que dão origem a dois tipos de 
argumentos, dedutivos e indutivos. Os argumentos dedutivos pretendem que suas 
premissas forneçam uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. Tal argumento é 
válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua 
 
 
 
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conclusão (também verdadeira. Os argumentos indutivos, por outro lado, não pretendem 
que suas premissas forneçam provas cabais da veracidade da conclusão, mas apenas que 
forneçam indicações dessa veracidade. Os termos “válidos” e “inválidos” não se aplicam 
aos argumentos indutivos; eles costumam ser avaliados de acordo com a maior ou menor 
possibilidade com que suas conclusões sejam estabelecidas. O desenvolvimento da Lógica 
tem dependido, em grande parte, da habilidade em combinar os dois tipos de raciocínio. 
Os argumentos formulados em uma linguagem natural são, muitas vezes, de difícil 
avaliação, principalmente por causa da ambiguidade inerente e das construções às vezes 
vagas ou confusas dos termos. Consequentemente, a partir dos trabalhos de George Boole, 
em meados do século XIX, foram sendo utilizados cada vez mais símbolos de origem 
matemática para expressar os enunciados e raciocínios da Lógica. A Lógica apresentada 
dessa forma é chamada Lógica Matemática ou Lógica Simbólica, enquanto a Lógica 
baseada em linguagem natural é chamada Lógica Clássica. 
 
 
3. LÓGICA PROPOSICIONAL 
 
Durante muitos séculos filósofos, cientistas e historiadores se esforçaram para elaborar 
regras que permitissem representar matematicamente sentenças ou frases proferidas por 
uma pessoa. Foi deste esforço que surgiu a Lógica Proposicional. 
 
3.1 CLASSIFICAÇÃO DAS SENTENÇAS (FRASES) 
 
As frases da linguagem natural podem ser classificadas como: 
 
Declarativas: informar um fato. As sentenças declarativas podem ser afirmativas, como: 
“Hoje está chovendo”, ou negativas, como “Hoje não está chovendo”. 
Interrogativas: expressam dúvida. Ex.: O que aprenderemos na disciplina? 
Exclamativas: expressam surpresa ou uma exclamação. Ex.: Boa tarde! 
Imperativas: expressam ordens ou pedidos. As sentenças imperativas podem ser 
afirmativas, como “Deixem o celular no silencioso”, ou negativas, como “Não falte às 
aulas”. 
 
A linguagem matemática é declarativa, assim devemos saber identificar e simbolizar tais 
sentenças. 
 
 
3.2 PROPOSIÇÃO 
 
Chama-se enunciado ou proposição o conjunto de palavras que exprimem um pensamento 
de sentido completo. Por exemplo, a frase “Hoje teremos aula de lógica matemática.” é 
uma proposição. 
 
Para toda proposição valem os dois princípios lógicos: 
Princípio do terceiro excluído: Toda proposição assume um dos dois valores lógicos: 
falso ou verdadeiro. 
Princípio de não contradição: Uma proposição não pode ser, ao mesmo tempo, falsa e 
verdadeira. Por este princípio afirma-se que a Lógica é bivalente. 
 
 
 
 
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3.3. VALOR VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO 
 
O valor verdade de uma proposição p é a verdade se p for verdadeira e a falsidade se p for 
falsa. Simbolicamente representamos a verdade por V e a falsidade por F. Na Lógica 
Booleana os valores verdades simbolizam os estados 0 para falsidade e 1 para verdade. 
Por exemplo, seja p a proposição “Pelé foi jogador de futebol” e q a proposição “Sete é um 
número par”. O valor verdade de p é a verdade (V) e o da proposição q é a falsidade (F). 
 
3.4 PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS 
 
As proposições podem ser classificadas como proposições simples ou compostas. 
 
Simples (convenção: letras minúsculas): uma única proposição. Ex.: p: Fábio é médico. 
 
Composta (convenção: letras maiúsculas): combinação de 2 ou mais proposições simples. 
Ex.: Fábio é médico ou engenheiro. 
 
 
3.5 CONECTIVOS LÓGICOS 
 
Os conectivos são usados para formar novas proposições. 
Conectivo Leitura Símbolo 
Negação não ~, , ’ 
Conjunção e  
Disjunção ou  
Condicional se...então  
Bicondicional se e somente se  
 
O conectivo de negação é unário, pois age sobre uma expressão para produzir uma 
segunda expressão. Os demais conectivos são binários, pois juntam duas expressões 
produzindo uma terceira expressão. 
 
 
3.6 SIMBOLIZAÇÃO E TRADUÇÃO DE PROPOSIÇÕES 
 
Dada a proposição composta A: “Se Carlos é nadador, então Débora é atriz” temos como 
alfabeto proposicional (conjunto de sentenças simples): 
p: Carlos é nadador 
q: Débora é atriz 
 
A simbolização da proposição é A: p  q. 
 
A proposição B: “Débora é atriz,se e somente se Carlos é nadador” é simbolizada 
utilizando-se o alfabeto acima como B: q  p. 
A proposição composta C: p  ~q é traduzida como “Carlos é nadador ou Débora não é 
atriz”. 
A proposição C: “Se Carlos é nadador ou Beatriz não é atriz, então Carlos é nadador” é 
simbolizada como C: (p  ~q)  p. 
 
 
 
 
 
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Exemplo: ANPAD (02/2012) Sejam dadas as proposições P, Q e R: 
P: Assistir às aulas é importante. 
Q: Escrever é importante. 
R: Aprender é essencial. 
A proposição composta “Se assistir às aulas é importante, então escrever é importante ou 
aprender é essencial.” pode ser simbolizada por: 
a) P  (Q ∨ R) 
b) (P  Q) ∨ R 
c) P ∨ (Q  R) 
d) (P  Q)  R 
e) P  (Q  R) 
 
Observe que nos exemplos anteriores para compor a expressão composta dada, o símbolo 
que representa o conectivo é sempre colocado entre as proposições se for binário ou em 
frente à proposição se for unário. 
 
3.7 TABELA-VERDADE 
 
O valor verdade de uma proposição composta depende dos valores lógicos das proposições 
simples que a constituem e do conectivo lógico envolvido. O dispositivo denominado 
tabela-verdade na qual figuram todos os possíveis valores verdade determina todas as 
possibilidades de valor verdade de uma proposição composta 
Por exemplo, no caso de uma proposição simples p as únicas possibilidades são: 
i) A proposição p é verdadeira. ii) A proposição p é falsa. 
 
Neste caso a tabela-verdade tem apenas duas linhas. 
 
p 
V 
F 
 
Quando se trata de uma proposição composta cujas proposições componentes são p e q, 
as combinações possíveis são: 
i) As duas proposições são verdadeiras: p: V e q: V. 
ii) A primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa: p: V e q: F. 
iii) A primeira proposição é falsa e a segunda é verdadeira: p: F e q: V. 
iv) As duas proposições são falsas: p: F e q: F. 
 
Neste caso, para abranger todas as possibilidades, a tabela-verdade será formada por 
quatro linhas. 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
Para uma proposição composta por três proposições simples p, q e r, o número de linhas 
da tabela-verdade será oito para que possamos abranger todas as combinações possíveis 
dos valores lógicos, observe: 
 
 
 
 
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p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
Consequentemente, podemos dizer que o número de linhas da tabela-verdade de uma 
proposição composta depende do número de proposições simples que a compõem. Assim, 
a tabela-verdade de uma proposição composta por n proposições simples contém 2n linhas. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Classifique as frases abaixo: 
 
a) O Rio de Janeiro é uma cidade turística. 
b) Qual a duração da prova? 
c) Quatro é um número primo. 
d) Não esqueça de fazer o tema. 
e) Os índios reconquistaram suas reservas. 
f) Será que meu médico é competente? 
g) Jô Soares é um artista consagrado. 
 
2. Determine o valor verdade das seguintes proposições: 
 
a) O número 5 é ímpar. 
b) O número  pertence ao conjunto dos números irracionais. 
c) A divisão de oito por dois tem como resultado três. 
d) O quadrado é um polígono que possui quatro lados iguais. 
e) O diâmetro de uma circunferência corresponde à metade do raio. 
 
3. Dadas as proposições simples: p: Paulo é matemático. 
 q: Paulo estuda lógica. 
 r: Paulo é programador. 
Escreva em forma simbólica cada uma das seguintes frases: 
 
a) P1: Paulo não é matemático. 
b) P2: Paulo é programador e estuda lógica. 
c) P3: Paulo é matemático ou não estuda lógica. 
d) P4: Se Paulo não for programador, então ele não será matemático. 
e) P5: Paulo estuda lógica, se e somente se ele for programador. 
 
 
 
 
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4. Considerando as proposições dadas no exemplo anterior, enuncie, em linguagem 
natural, as seguintes expressões: 
 
a) P1: ~r 
b) P2: ~q  p 
c) P3: r  ~p 
d) P4: p  q 
e) P5: r  ~p 
f) P6: ~p  r 
g) P7: ~r  (~q  p) 
 
5. Dada a frase: Mara vai ao dentista e João ao cinema. 
Responda as questões abaixo, justificando sua resposta: 
 
a) Esta frase é uma sentença declarativa? 
b) Esta frase representa uma proposição simples ou composta? 
c) Se houver algum conectivo envolvido, qual seu nome? 
d) A partir de seus conhecimentos de lógica proposicional, simbolize-a, especificando o 
alfabeto utilizado. 
 
6. Considere as proposições: 
p Fabiana é alegre. 
q Fabiana é elegante. 
r Fabiana é loira. 
Enuncie, na linguagem natural, as seguintes expressões: 
 
a) ~q 
b) p  r 
c) ~p  q 
d) ~q  r 
 
7. Considerando as proposições dadas no exercício anterior, escreva em forma simbólica 
cada uma das seguintes proposições: 
 
a) Fabiana é alegre e não é elegante. 
b) Se Fabiana não for elegante, então ela não é alegre. 
c) Fabiana é elegante ou loira. 
d) Fabiana é alegre, se e somente se não for elegante. 
e) Se Fabiana for loira e elegante, então Fabiana é alegre. 
 
8. Para cada proposição composta abaixo determine a operação lógica envolvida e 
simbolize-a utilizando um alfabeto adequado: 
 
a) Os cães ladram e a caravana passa. 
b) Se com ferro ferires, então com ferro serás ferido. 
c) O vaso quebra se e somente se for ruim. 
 
 
 
 
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9. Dadas as proposições simples: 
 
p Letícia é famosa. 
q Letícia é jornalista. 
r Letícia é gaúcha. 
s Letícia é apresentadora. 
e as proposições compostas: 
 
A Letícia é uma jornalista gaúcha famosa. 
B Letícia não é apresentadora ou é famosa. 
C Se Letícia é uma jornalista famosa, então não é gaúcha. 
D q  p 
E p  ~r 
F (~q  ~s) r 
 
a) Escreva simbolicamente as proposições A,B e C. 
b) Traduza para linguagem natural as proposições D, E e F. 
 
10. Sejam as proposições: 
 
p Machado de Assis é um escritor 
q Os escritores têm boas ideias 
r Machado de Assis é consagrado 
 
Escreva, na forma simbólica cada uma das proposições seguintes: 
 
a) Se Machado de Assis é um escritor então os escritores têm boas ideias. 
b) Machado de Assis é um escritor e os escritores não têm boas ideias. 
c) Machado de Assis é um escritor consagrado. 
d) Os escritores têm boas ideias e Machado de Assis não é escritor. 
e) Os escritores não têm boas ideias e Machado de Assis é consagrado. 
f) Machado de Assis é escritor se e somente se ele é consagrado. 
g) Os escritores têm boas ideias ou Machado de Assis não é consagrado. 
 
11. Quais das proposições abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F)? 
 
a) O triângulo é um polígono de três lados. 
b) O número 9 é primo. 
c) cos(35°)>1. 
d) -30=1 
e) A capital do Paraná é Curitiba. 
f) Todos os números primos são ímpares. 
g) 42 - 32 = 7 
 
12. Dadas as proposições simples: 
 
p Letícia é famosa. 
q Letícia é escritora. 
r Letícia é gaúcha. 
 
 
 
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s Letícia escreve romances. 
e as proposições compostas: 
 
A Letícia é uma escritora gaúcha famosa. 
B Letícia não escreve romances ou é famosa. 
C Ou Letícia é uma escritora famosa, ou não é gaúcha 
D q  p 
E p  ~r 
F (~q  ~s) r 
 
a) Escreva simbolicamenteas proposições A,B e C. 
b) Traduza para linguagem natural as proposições D, E e F. 
 
 
3.8 OPERAÇÕES LÓGICAS 
 
Abaixo indicaremos as operações lógicas com sua respectiva notação na linguagem da 
Lógica Booleana. Veja que só há simbolização booleana para as operações de negação 
(not), conjunção (and), disjunção (or) e disjunção exclusiva (xor). 
 
 
3.8.1 NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO 
 
A negação de uma proposição p simbolicamente é representada por ~p e pode ser lida da 
como: 
 
Não p - Não se dá que p - Não é verdade que p - Não se tem - É falso que p - Não é fato 
que p 
 
A operação de negação inverte o valor verdade de uma proposição p, assim o valor 
verdade de “não p” é oposto ao de p e é definido pela seguinte tabela-verdade: 
 
p ~p 
V F 
F V 
 
Exemplo: Escreva a negação das seguintes expressões: 
a) p: 2 é um número primo. c) t: x < y 
 ~p: 2 não é um número primo ~t: x  y 
 
b) s: x > y d) r: x = y 
 ~s: x  y ~r: x  y 
 
 
3.8.2 CONJUNÇÃO DE DUAS PROPOSIÇÕES 
 
A conjunção de duas proposições p e q é representada simbolicamente por pq e pode ser 
lida como: 
 
 
 
 
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p e q - p e então q - p todavia q - p assim como q - p embora q - p mas q - p enquanto q 
- Não só p, mas ainda q - p e também q - p no entanto q - p contudo q - p além disso q - 
p apesar de que também q 
 
A operação de conjunção significa simultaneidade, assim o valor lógico da conjunção de 
duas proposições p e q será verdadeiro somente quando p e q forem ambas verdadeiras; 
será falso quando pelo menos uma das preposições p e q for falsa. Assim sua tabela-
verdade é: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Representação por Conjuntos: 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a 
conjunção “p e q” corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos: 
 
 
Exemplo: Determine o valor lógico das seguintes proposições compostas: 
a) P1: (3 + 5  7)  (30 = 1)  V  V  V 
b) P2: O número  pertence ao conjunto dos números reais assim como 12 é um número 
primo.  V  F  F 
 
 
3.8.3 DISJUNÇÃO DE DUAS PROPOSIÇÕES 
 
A disjunção de duas proposições p e q é representada simbolicamente por pq, que se lê: 
“p ou q”. 
A operação de disjunção significa pelo menos um, assim o valor lógico da disjunção de 
duas proposições p e q será falso somente quando ambas proposições p e q forem falsas; 
será verdadeiro quando pelo menos uma das proposições p e q for verdadeira. Assim a 
tabela-verdade correspondente a disjunção é: 
 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Representação por Conjuntos 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a 
disjunção “p ou q” corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q. Teremos: 
 
 
 
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Exemplo: Determine o valor verdade das seguintes proposições compostas: 
a) P1: O triângulo é um polígono de três lados ou o pentágono é um polígono de quatro 
lados. 
  V  F  V 
b) P2: Maradona foi jogador de basquete ou Leonardo da Vinci era inglês.  F  F  F 
 
 
3.8.4 CONDICIONAL DE DUAS PROPOSIÇÕES 
 
A proposição condicional das proposições p e q é representada simbolicamente por pq e 
pode ser lida como: 
se p, então q - p somente se q - p acarreta q - Se p, isto significa que q - 
Tendo-se p, então q - p é condição suficiente para q - q é condição necessária para p - 
q é resultante de p - p, só se q - q sempre que se tenha p - q, se p - q segue de p 
- p implica q - p, logo q – Quando p, q – Todo p é q 
 
Na linguagem computacional é escrita como if ..., then ... 
 
A proposição condicional Se é quarta, então tem aula de Lógica poderá ser reescrita como: 
Se é quarta, tem aula de Lógica. 
Tem aula de Lógica, se é quarta. 
Quando é quarta, tem aula de Lógica. 
Ser quarta implica em ter aula de Lógica. 
Ser quarta é condição suficiente para ter aula de Lógica. 
Ter aula de Lógica é condição necessária para ser quarta. 
É quarta somente se tem aula de Lógica. 
Toda vez que é quarta, tem aula de Lógica. 
 
 
Na expressão pq, p constitui o antecedente (hipótese ou premissa) e q, o consequente 
(tese ou conclusão). 
 
Por exemplo, a sentença “Flores é uma condição necessária para ser primavera” pode ser 
reformulada como: “Se é primavera, então há flores”. E, portanto, o seu antecedente será: 
“É primavera” e o consequente: “Há flores”. 
 
Podemos reescrever a sentença Henrique ter nascido em Porto Alegre é condição suficiente 
para ele ser portoalegrense com: 
 
 
 
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Se Henrique nasceu em Porto Alegre, então ele é portoalegresnse. 
Se alguém diz: Henrique ser portoalegrense é condição necessária para ele ter nascido em 
Porto Alegre, esta pessoa está afirmando que: 
 Se Henrique nasceu em Porto Alegre, então ele é portoalegrense. 
 
Observe que o fato de Henrique ter nascido em Porto Alegre é CONDIÇÃO SUFICIENTE 
(BASTA ISSO!!) para que se torne um resultado NECESSÁRIO que ele seja portoalegrense. 
Uma condição suficiente gera um resultado necessário! 
 
A operação condicional deve ser entendida como uma promessa, assim o valor verdade da 
proposição pq será falso apenas quando o antecedente for verdadeiro e o consequente 
falso, nos demais casos será verdadeiro. 
 
Por exemplo, suponha que um amigo seu lhe diga “Se eu passar em Cálculo I, então farei 
uma festa”. Caso seu amigo passe na disciplina; contudo, não dê uma festa; você poderá 
afirmar que frase dita por seu amigo é falsa, uma vez que sua promessa foi que “ao passar 
em Cálculo I daria uma festa”. Mas se ele não passar na disciplina, independentemente de 
dar ou não uma festa, você não pode afirmar que a frase dita é falsa; logo deve ser 
considerada verdadeira, uma vez que a lógica matemática como vista anteriormente é 
binária. Assim, a tabela-verdade referente a condicional é: 
 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Representação por Conjuntos 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a 
condicional “se p então q” corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está 
contido em q). 
 
 
Exemplo: Determine o valor lógico das seguintes proposições compostas: 
a) P1: O número nove ser primo acarreta 24 = 8.  F  F  V 
b) P2: Se o mês de janeiro tem 31 dias, então a Páscoa é comemorada em dezembro. 
 V  F  F 
c) P3: 
981 
 é condição necessária para 
  164 22  xx
.  F  V  V 
 
 
 
 
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3.8.4.1 Recíproca, contrária e contrapositiva de uma condicional 
 
Quando temos uma expressão condicional podemos a partir desta determinar sua 
recíproca, sua contrária ou inversa e sua contrapositiva. 
Recíproca 
Dada a condicional pq, definimos como sua recíproca a proposição: qp. Na recíproca, o 
antecedente da condicional dada passa a ser o consequente e vice-versa. 
Por exemplo, a condicional “Se o ângulo é reto, então esse ângulo tem 90 graus.”, seu 
antecedente é “o ângulo é reto” e seu consequente é “o ângulo tem 90 graus”. Assim 
temos a recíproca “Se o ângulo tem 90 graus, então ele é reto”. 
 
Contráriaou Inversa 
Dada a condicional pq, definimos como sua contrária a proposição ~p~q. Essa 
proposição composta é também conhecida como inversa da proposição pq. Na contrária, 
o antecedente e consequente correspondem, respectivamente, à negação do antecedente e 
do consequente da condicional dada. 
Por exemplo, a proposição contrária de P: “Se o ângulo é reto, então esse ângulo tem 90 
graus.” é dada por R: “Se o ângulo não for reto, então ele não tem 90 graus”. 
 
Contrapositiva 
Dada a condicional pq, definimos como sua contrapositiva a proposição ~q~p. Na 
contrapositiva, o antecedente e consequente correspondem, respectivamente, à negação 
do consequente e do antecedente da condicional dada. 
Por exemplo, a proposição contrapositiva de P: “Se o ângulo é reto, então esse ângulo tem 
90 graus.” é dada por R: “Se o ângulo não tem 90 graus, então ele não é reto.”. 
 
Exemplo: Considere a afirmação: “Num triângulo isósceles os ângulos da base são iguais.” 
a) Escreva a proposição acima na forma “ Se ... então...” 
 Se o triângulo é isósceles, então os ângulos da base são iguais. 
b) Escreva a recíproca do item a) 
 Se no triângulo os ângulos da base são iguais, então ele é isósceles. 
c) Escreva a inversa do item a). 
 Se o triângulo não é isósceles, então os ângulos da base não são iguais. 
d) Escreva a contrapositiva do item (a). 
Se no triângulo os ângulos da base não são iguais, então ele não é isósceles. 
 
 
3.8.5 BICONDICIONAL DE DUAS PROPOSIÇÕES 
 
A proposição bicondicional é representada simbolicamente por pq e pode ser lida como: 
p se e somente se q - p é condição necessária e suficiente para q - q é condição 
necessária e suficiente para p - p se e só se q - Todo p é q e todo q é p - Todo p é 
q e reciprocamente 
 
A bicondicional pq equivale a (pq)  (qp). Portanto, a bicondicional entre p e q é 
verdadeira quando pq for verdadeira e sua recíproca também, ou seja, apenas quando 
ambas proposições p e q forem verdadeira ou ambas falsas; será falsa somente quando p e 
q tiverem valores lógicos diferentes. Assim bicondicional é definida pela seguinte tabela-
verdade: 
 
 
 
 
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p q p q qp p  q 
(pq)  (qp) 
V V V V V 
V F F V F 
F V V F F 
F F V V V 
 
Representação por Conjuntos 
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a 
bicondicional “p se e somente se q” corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. 
 
 
Exemplo: Determine o valor lógico das seguintes proposições compostas: 
a) P1: 21 = -½ se e somente se 21 for primo.  F  F  V 
b) P2: O heptágono ser um polígono de oito lados é condição necessária e suficiente para 
FHC ter sido presidente do Brasil.  F  V  F 
 
3.8.6 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA DE DUAS PROPOSIÇÕES 
 
A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é a proposição representada 
simbolicamente por pq, que se lê: “ou p ou q, mas não ambas”. A disjunção exclusiva 
entre p e q é falsa somente quando ambas proposições p e q são verdadeiras ou ambas 
falsas; será verdadeira quando p e q tiverem valores lógicos diferentes. Note que as 
operações de disjunção exclusiva de p e q é a negação da bicondicional de p e q, vice-
versa. Assim a disjunção exclusiva é definida pela seguinte tabela-verdade: 
 
p q p  q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
A disjunção exclusiva corresponde ao sentido que tem a palavra ou quando, por exemplo, 
no cardápio de um restaurante se lê: sopa ou salada. É obvio que o freguês poderá 
escolher ou sopa ou salada, mas não ambas. 
 
Exemplo: Determine o valor verdade das seguintes proposições compostas: 
a) P1: Ou Uruguaiana se localiza no Rio Grande do Sul ou Niterói se localiza no estado do 
Rio de Janeiro.  V  V  F 
b) P2: Ou o Brasil é uma nação asiática ou é uma nação sul-americana.  F  V  V 
 
 
 
 
 
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3.8.7 CONECTIVOS DE SCHEFFER 
 
Os conectivos de Scheffer são representados pelos símbolos  e , são eles a negação 
conjunta e a negação disjunta, respectivamente. 
 
 
3.8.7.1 NEGAÇÃO CONJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES 
 
A negação conjunta de duas proposições p e q é representada simbolicamente por pq, 
que se lê: “nem p, nem q”. A negação conjunta de duas proposições equivale a ~p  ~q, 
assim a expressão será verdadeira quando as negações de p e q forem verdadeiras, ou 
seja, quando p e q forem ambas falsas, nos demais casos a expressão será falsa. A 
negação conjunta é definida pela seguinte tabela-verdade: 
 
p q p  q 
V V F 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Exemplo: Determine o valor lógico das seguintes proposições compostas: 
a) P1: Nem Ziraldo escreveu O menino Maluquinho nem Machado de Assis escreveu O 
Tempo e o Vento.  V  F  F 
b) P2: Nem o Flamengo é um time gaúcho nem o Grêmio é um time paulista.  F  F  V 
 
3.8.7.2 NEGAÇÃO DISJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES 
 
A negação disjunta de duas proposições p e q é representada simbolicamente por pq, que 
se lê: “não p, ou não q”. A negação conjunta de duas proposições equivale a ~p  ~q, 
assim a expressão será falsa somente quando as negações de p e q forem falsas, ou seja 
quando ambas forem verdadeiras, caso contrário a expressão será verdadeira. A negação 
disjunta é definida pela seguinte tabela-verdade: 
 
p q p  q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F V 
 
Exemplo: Determine o valor lógico das seguintes proposições compostas: 
a) P1: Não é fato que Itamar Franco foi Presidente do Brasil, ou não é verdade que FHC foi 
presidente do Brasil.  V  V  F 
b) P2: É falso que Monteito Lobato escreveu Dom Casmurro, ou é falso que Euclides da 
Cunha escreveu Os Sertões.  F  V  V 
 
 
 
 
 
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3.8.8 APLICAÇÕES 
 
As operações lógicas aparecem em várias situações, como por exemplo na construção de 
algoritmos (comandos); nas funções lógicas representadas por circuito de interruptores ou 
de portas lógicas, em situações cotidianas, entre outras. 
 
3.8.8.1 COMANDOS 
 
A maior parte das linguagens de programação utilizam-se dos operadores de negação, 
conjunção, disjunção e condicional. Vejamos o comando representado pela condicional, em 
que há execução de uma tarefa se o valor verdade de uma determinada expressão é 
verdadeiro, e execução de outra tarefa, se o valor verdade for falso. 
 
Resumidamente: Se condição, então tarefa A. 
 Se não, tarefa B. 
 
Exemplo: Dado o comando: 
 
Se [((c>3)  (c<b))  (b<5)], então escreva (c+b). 
 Caso contrário, escreva 





 
2
bc
. 
Suponha que b=4 e c=3, determine a saída do comando acima. 
 
Primeiramente devemos verificar o valor verdade da condição dada para os valores de entrada 
das variáveis: 
((c>3)  (c<b))  (b<5)  ((3>3)  (3<4))  (4<5)  ( F  V)  (V)  F  V  V 
Assim haverá a execução da tarefa A, ou seja, a saída do comando será: 
c+b = 3 + 4 = 7 
 
3.8.8.2 CIRCUITO DE INTERRUPTORES 
 
Um interruptor é um dispositivo ligado a um ponto de um circuito elétrico, que pode 
assumir dois estados: fechado (ligado) ou aberto (desligado). Quando o interruptor está 
fechado há permissão de passagem de corrente pelo ponto; enquanto aberto, nenhuma 
corrente pode passar pelo ponto. Cada estado é representado por um valor verdade, para o 
fechado o valor V (1) e para o aberto, F (0). 
Além disso, os interruptores podem ser ligados em um circuito em paralelo ou em série. 
Qualquercombinação de interruptores será representada através de operações lógicas: 
negação, conjunção ou disjunção. 
Exemplo: Um circuito formado por uma bateria, dois interruptores ligados em série e um 
pequeno motor pode ter seu funcionamento descrito por uma tabela-verdade. Sabemos 
que quando os interruptores ligados em série estão fechados a corrente circula pelo circuito 
e o motor funciona. Quando um dos interruptores está aberto, o motor não funciona. 
 int 1 int 2
 bateria motor
 
 
Assumimos que: Motor ligado = V Interruptor fechado= V 
 Motor desligado = F Interruptor aberto = F 
 
 
 
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Veja que como temos apenas dois interruptores, estes podem ser combinados de quatro 
maneiras: 
i) Os dois interruptores fechados. 
ii) Interruptor 1 fechado e interruptor 2 aberto. 
iii) Interruptor 1 aberto e interruptor 2 fechado. 
iv) Os dois interruptores fechados. 
 
Logo a tabela-verdade que descreve o funcionamento do motor é: 
 
Interruptor 1 Interruptor 2 Motor 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Portanto, podemos observar que funcionamento do motor em um circuito em série é 
representado pela conjunção uma vez que o motor funciona apenas quando os dois 
interruptores estão fechados. A expressão proposicional que representa o funcionamento 
do motor é: int1  int2 
 
3.8.8.3 SITUAÇÕES DO COTIDIANO 
 
As mais diversas situações cotidianas podem envolver processos que tenham 
implicitamente relação com as operações lógicas. Observe o exemplo: Ao pedir a conta em 
um restaurante, Carolina recebe a informação de que tem direito a uma sobremesa por 
conta da casa: ou sorvete ou salada de frutas. Neste exemplo, podemos assumir: 
 
a) p: Carolina escolhe o sorvete: V. 
b) Carolina não escolhe o sorvete: F. 
c) q: Carolina escolhe a salada de frutas: V. 
d) Carolina não escolhe a salada de frutas: F. 
e) Carolina come a sobremesa por conta da casa: V. 
f) Carolina não come a sobremesa por conta da casa: F. 
 
A tabela-verdade que descreve o fato de Carolina ter comido a sobremesa por conta da 
casa é: 
p q Sobremesa 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Portanto, podemos observar que o fato de Carolina ter comido a sobremesa por conta da 
casa é representado pela disjunção exclusiva, uma vez que a sobremesa só é concedida 
quando Carolina escolhe apenas uma das sobremesas, mas não ambas. A expressão lógica 
é: p  q 
 
 
 
 
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3.8.8.4 Lógica de Correlação 
 
Problemas lógicos que envolvem relações de correlação entre informações de vários tipos 
como, por exemplo: nomes, veículos, cores, profissões , etc. podem ser resolvidas através 
de um diagrama cruzado de informações ou uma tabela compacta de informação como 
vemos no exemplo a seguir. 
 
Exemplo: Os maridos Carlos, Luís e Paulo são casados com Lúcia, Maria e Patrícia, não 
necessariamente nesta ordem. Um dos maridos é advogado, outro é engenheiro e o outro, 
médico. Utilizando as dicas abaixo, tente descobrir a profissão de cada um dos maridos e o 
nome de suas respectivas esposas. 
 
1. O médico é casado com Maria. 
2. Paulo é advogado. 
3. Patrícia não é casada com Paulo. 
4. Carlos não é médico. 
 
Para resolver o problema podemos começar construindo o Diagrama 1, sobre o qual iremos 
trabalhar. Primeiramente, colocamos (n-1) grupos nas linhas isto é, excluímos um deles. 
No caso, colocamos maridos e esposas, excluindo profissões. Nas colunas procedemos da 
mesma forma, usamos os grupos profissão e esposas, excluindo maridos. Usaremos (S) 
para indicar uma informação verdadeira, e um (N) para informação falsa. 
 
Diagrama 1 
Sendo assim, colocamos um S em todas as afirmações dadas nas dicas, e preenchemos 
com N as casas restantes que estão na mesma linha e coluna, pois, por exclusão não 
representam informações verdadeiras. Veja no Diagrama 2 o resultado das dicas "O 
médico é casado com Maria" e "Paulo é advogado". 
 
 
 
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Diagrama 2 
 
Finalmente, marcamos com N as informações negativas que aparecem nas dicas: "Patrícia 
não é casada com Paulo" e "Carlos não é médico". Depois disso, obtemos o Diagrama 3, 
mostrado a seguir. 
 
Diagrama 3 
 
Perceba que ao analisarmos a coluna "Médico" vemos que a única opção que encerra uma 
informação positiva é Luís. Então, colocamos um S na posição correspondente. De forma 
análoga, Carlos deve ser o engenheiro. Esses resultados aparecem no Diagrama 4 a seguir. 
 
Diagrama 4 
Destas informações deduzidas até este momento, sabemos que, se Luís é médico, então 
ele é casado com Maria (informação 1). Marcamos com S a posição referente a estes 
elementos (Luís/Maria), completando com N a linha e a coluna com as opções restantes 
para Luís e Maria. Dessa forma, temos, por dedução, que Paulo só pode ser casado com 
Lúcia (esta opção será o único quadrinho em branco na linha de Paulo e, por isso, deverá 
 
 
 
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ser preenchido com um S. Sendo assim, sobra apenas a opção de Patrícia ser casada com 
Carlos. Dando sequência as deduções, temos que, se Patrícia é casada com Carlos e Carlos 
é engenheiro, então Patrícia é casada com o engenheiro. Por eliminação, temos que Lúcia é 
casada com o advogado. Neste ponto, nosso problema está totalmente resolvido 
(Diagrama 5), ou seja: 
• Carlos é engenheiro e casado com Patrícia. 
• Luís é médico e casado com Maria. 
• Paulo é advogado e casado com Lúcia. 
 
 
Diagrama 5 
 
3.8.8.5 Problemas envolvendo verdades e mentiras 
Os problemas abordando “Verdades e Mentiras”, normalmente envolvem situações onde 
pessoas, irão fazer declarações verdadeiras ou falsas. Normalmente, há uma pessoa que 
sempre diz a verdade, outra sempre mente e uma terceira tanto pode mentir quanto falar 
a verdade. O ponto principal na resolução destes problemas consiste, em geral, que não se 
sabe qual dessas afirmações é verdadeira ou mentirosa! Em alguns casos sabe-se quem 
são as pessoas que falam sempre a verdade, as que mentem e as que as vezes mentem ou 
falam a verdade e nestes casos busca-se saber a quem pertence uma frase dita ou ainda 
sua localização em uma sequência. O problema a seguir mostra esta situação. 
 
Exemplo 1: (AFTN, 1996/ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas 
lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; 
Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está 
sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está 
sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à 
esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: 
a) Janete, Tânia e Angélica 
b) Janete, Angélica e Tânia 
c) Angélica, Janete e Tânia 
d) Angélica, Tânia e Janete 
e) Tânia, Angélica e Janete 
 
 
Sabemos sobre as três amigas que: 
1) Tânia sempre fala a verdade. 
2) Janete às vezes fala a verdade. 
3) Angélica nunca fala a verdade. 
 
 
 
 
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20 
Temos as seguintes declarações: 
1) A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentadano meio". 
2) A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". 
3) A que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". 
 
Tânia sempre fala a verdade assim temos como a única frase possível de ser falada por 
ela: "Angélica é quem está sentada no meio", pois caso ela fale "Tânia é quem está 
sentada no meio" ou "Eu sou Janete" ela estará mentindo. Assim, podemos concluir que 
Tânia está sentada à direita, Angélica está sentada no meio e Janete está sentada à 
esquerda. 
 
 
Outra situação em problemas de verdades e mentiras ocorre quando não sabemos quem 
diz a verdade, quem mente e quem as vezes mente ou diz a verdade. Nestes casos, 
procura-se onde ocorre uma contradição entre as afirmações das pessoas envolvidas (pois 
não podemos ter uma afirmação ao mesmo tempo verdadeira e falsa) e após analisamos 
as possibilidades da questão. Vejamos o exemplo a seguir: 
 
Exemplo 2: (ANPAD, 2013) Elisa esqueceu a lapiseira na sala de aula, e uma das três 
pessoas que ficaram em sala quando ela saiu guardou a lapiseira. No dia seguinte, Elisa 
comentou com o professor que havia esquecido a lapiseira e mencionou as três pessoas 
que ficaram na sala. Então ele, que havia recebido a lapiseira de quem a havia encontrado, 
propôs-lhe um problema. Informou-lhe que: (i) das três pessoas que permaneceram na 
sala de aula no dia anterior, uma sempre fala a verdade, outra às vezes fala a verdade e 
outra sempre mente; (ii) uma delas é morena, outra é ruiva e outra, loira; e (iii) quem 
entregou a lapiseira às vezes fala a verdade e às vezes mente. O professor perguntou a 
essas três pessoas quem lhe entregou a lapiseira. A loira disse: "Eu entreguei a lapiseira". 
A ruiva apontou para a loira e disse: "Sim, ela entregou a lapiseira". A morena disse: "Eu 
entreguei a lapiseira". Então, Elisa concluiu corretamente que 
a) a morena entregou a lapiseira e a loira sempre mente. 
b) a loira entregou a lapiseira e a morena sempre mente. 
c) a ruiva entregou a lapiseira e a morena sempre mente. 
d) a loira entregou a lapiseira e a loira sempre diz a verdade. 
e) a morena entregou a lapiseira e a loira sempre diz a verdade. 
 
Perceba que neste caso não sabemos exatamente, qual das três fala a verdade, então 
devemos supor para cada uma a possibilidade de ser aquela que sempre diz a verdade e 
buscar contradições. 
 
Das 3 pessoas que ficaram na sala uma é morena, outra é ruiva e a terceira é loira. Uma 
delas sempre fala a verdade, outra às vezes fala a verdade e outra sempre mente. 
Quem entregou a lapiseira às vezes fala a verdade e às vezes mente. 
 
Vamos supor que a loira sempre diga a verdade, isto seria uma contradição ("Eu entreguei 
a lapiseira."), pois quem entregou a lapiseira ora diz a verdade e ora não. Logo, a loira não 
é quem sempre diz a verdade. O mesmo ocorre com a morena, pois fez a mesma 
afirmação. Assim, quem sempre diz a verdade será a ruiva, que afirma: “Sim, ela (a loira) 
entregou a lapiseira." Consequentemente, a loira é quem entregou, ou seja, as vezes diz a 
verdade e a morena é quem sempre mente. 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1. Determine o valor verdade de cada uma das seguintes proposições compostas: 
 
a) Não é verdade que janeiro tem trinta e um dias. 
b) São Luís é a capital do Piauí ou Recife é a capital de Alagoas. 
c) O estado do Rio Grande do Sul se localiza na região sul ou sudeste do Brasil. 
d) O número 7 não é primo ou ¾ não pertence ao conjunto dos números inteiros. 
e) O número  pertence ao conjunto dos números naturais e o número 
2
 pertence ao 
conjunto dos números reais. 
f) Não é verdade que Pelé foi jogador de futebol. 
g) Se Glória Pires é uma atriz, então Getúlio Vargas não foi presidente do Brasil. 
h) Se o Brasil é um país da América Latina, então o Equador também é. 
i) O triângulo equilátero possui três lados iguais, mas o isósceles tem apenas dois. 
 
2. Indique o antecedente e o consequente em cada uma das seguintes condicionais. 
 
a) Se a chuva continuar, o rio vai transbordar. 
b) Ter quatro lados iguais é uma condição necessária para que o polígono seja um 
quadrado. 
c) O mar estar calmo é uma condição suficiente para o banho ser apreciado pelos turistas. 
 
3. Dada a proposição condicional: “Se não parar de chover, então Maria não poderá viajar”. 
Em linguagem natural, escreva: 
 
a) sua recíproca. b) sua contrária. c) sua contrapositiva. 
 
 
4. Dadas as proposições: 
p Jorge é alto. 
q Jorge é elegante. 
 
Escreva cada uma das proposições abaixo na forma simbólica: 
 
a) Jorge é mas não é elegante. 
b) É falso que Jorge não é alto. 
c) Jorge não é alto nem elegante. 
d) Jorge é alto ou Jorge não é alto e não é elegante. 
e) Se Jorge é alto, então Jorge é elegante. 
f) Jorge não é alto, se não é elegante. 
g) Jorge é alto apesar de que também é elegante. 
h) Ou Jorge não é alto ou é elegante. 
i) Jorge ser alto é condição suficiente para ser elegante. 
j) Nem Jorge é alto, nem é elegante. 
k) Jorge não é elegante ou não é alto. 
 
5. Utilizando as proposições dadas no exercício anterior, traduza para linguagem natural as 
seguintes expressões: 
 
 
 
 
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a) ~p  ~q 
b) ~q  (p  ~q) 
c) p  ~q 
d) q  ~p 
e) q  p 
 
6. Dadas as proposições: 
 
 
Determine o valor verdade das seguintes expressões: 
 
a) (p  q)  ~p 
b) p  (p  ~q) 
c) p  ~(~q  p) 
d) ~q  (p  q) 
e) (q  p)  ~q 
 
7. Considere as proposições simples 
 
p O outono inicia em março. 
q A temperatura aumenta. 
r Chove no final da tarde. 
s Há neblina pela manhã. 
E as proposições compostas: 
A (s  q)  r 
B p  (~q  r) 
C Uma condição necessária e suficiente para que chova no final da tarde é 
que haja neblina pela manhã e que a temperatura aumente. 
D O outono inicia em março, mas a temperatura aumenta e não chove no 
final da tarde. 
E Se o outono inicia em março, então há neblina pela manhã. 
 
a) Escreva as proposições A e B em linguagem natural. 
b) Escreva a proposição C, D e E em linguagem simbólica. 
c) Determine o antecedente e o consequente de E. 
d) Escreva a proposição contrapositiva da proposição E. 
 
8. Seja p a proposição “1 + 1 = 2” e q a proposição “3 + 5 = 6”. Determine o valor 
verdade de cada uma das seguintes proposições: 
 
a) p  ~ q e) ~ p  ~ q 
b) p  ~ q f) ~ (~ p  ~ q) 
c) ~ p  q g) p  (~ p  q) 
d) ~ p  ~ q h) (~ p  ~ q)  (p  ~ q) 
 
9. Determine o valor verdade de cada uma das seguintes proposições compostas: 
 
a) (sen(45°)=1)  (21 é primo) 
b) 9 - 20  3 = 6 e  não é um número real. 
p O número 5 é primo. 
q O número 
2
 pertence ao conjunto dos números inteiros. 
 
 
 
 
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c) Se “Feliz Páscoa” é uma expressão declarativa então Benedito Rui Barbosa é autor de 
novelas. 
d) A soma é uma operação comutativa se e somente se a multiplicação também o for. 
 
10. Indique o antecedente e o consequente em cada uma das seguintes sentenças. 
 
a) Se o Juventude perder o jogo, então comerei minha camisa. 
b) Aplicarmos dinheiro na poupança é condição suficiente para ficarmos ricos. 
c) Se o advogado mora no mesmo prédio que o professor então o advogado ganha 
exatamente o dobro do que o professor. 
 
11. Determine o valor lógico da proposição p em cada um dos seguintes casos: 
 
a) O valorlógico de “q” é F e o valor lógico de “p  q” é F. 
b) O valor lógico de “q” é F e o valor lógico de “p  q” é V. 
c) O valor lógico de “q” é V e o valor lógico de “p  q” é V. 
 
12. Dado o circuito formado por uma bateria, dois interruptores ligados em paralelo e um 
motor: 
 
Escreva a expressão lógica que representa o funcionamento do motor. 
 
13. A concessão de bolsas de estudos para alunos provenientes de outras cidades é 
determinada por duas condições: o candidato deve comprovar residência no local da 
faculdade e ter desempenho satisfatório em todas as disciplinas cursadas. Apresente sua 
tabela-verdade que representa a concessão de bolsas e escreva a expressão lógica 
correspondente. 
 
14. (ANPAD, 2006) Três amigos, Regis, Silvio e Tiago, foram juntos a uma loja que vende 
camisetas, calcas e bonés somente nas cores verde, vermelho e azul. Sabe-se que: 
• cada um deles comprou um boné, uma camiseta e uma calca; 
• cada uma das pecas compradas ( bonés, ou camisetas, ou calcas) tem cor diferente; 
• todas as pecas da mesma pessoa apresentam cores diferentes; 
• Regis não comprou o boné vermelho, nem a calca azul; 
• Silvio comprou a camiseta azul; 
• Tiago comprou o boné verde. 
 
Considerando as proposições acima, e CORRETO afirmar que 
a) a calca do Tiago e azul. 
b) a camiseta do Regis e vermelha. 
c) a calca do Silvio e vermelha. 
d) a camiseta do Tiago e azul. 
e) o boné do Silvio e azul. 
 
 int 2 
 int 1 
bateria motor 
 
 
 
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24 
15. (ANPAD, 2013) Um disque-entrega de marmitex oferece a seus clientes três opções de 
escolha do prato principal - bife, nhoque ao sugo ou frango frito - e três opções de arroz - 
integral, branco ou à grega. Três amigos - Adão, Bruno e César - fizeram o seu pedido. 
Sabe-se que 
I. todos pediram prato principal e arroz diferentes: 
II. cada um deles só pediu um único prato principal e um único tipo de arroz; 
III. César pediu bife; 
IV. Um deles é vegetariano e pediu arroz integral; e 
V. Adão escolheu arroz à grega. 
 
Nessas condições, é correto afirmar que 
a) Adão é vegetariano. 
b) Bruno pediu frango frito. 
c) Bruno pediu arroz branco. 
d) César pediu arroz branco. 
e) Adão pediu nhoque ao sugo. 
 
16. Dado o comando: 
Se (x < y ou z é ímpar) ou (x  y e z é ímpar), então escreva o valor de x - y. 
Caso contrário, escreva z. 
 
Suponha que x = -1, y = -3 e z = 4, determine a saída do comando acima. 
 
17. Determine o valor lógico de cada item abaixo. Apresente seu desenvolvimento. 
 
a) O número ½ pertence ao conjunto dos números racionais e pode ser representado em 
potência de base dois. 
b) Ou o número dois é primo ou é par. 
c) O módulo de um número é um valor maior que zero se e somente se |7|=7. 
d) Se o número 15 tem cinco divisores, então 15 não é um número primo. 
 
18. Suponha que x = 4, determine a saída do comando abaixo: 
 Se 






 0
2
 0
2
x
x
x
x
, então faça 
xx 
. 
Senão, faça 
x
x . 
 
19. De acordo com a proposição A: "Se um recém-nascido for privado do contato materno, 
então ele futuramente terá distúrbios emocionais", responda os seguintes itens: 
 
a) Qual é a operação lógica envolvida na proposição A? Justifique sua resposta. 
b) Qual o antecedente e o consequente da proposição A? 
c) Qual a recíproca da proposição A? 
d) Qual é a inversa da proposição A? 
 
20. (ANPAD, 2014) Em uma garagem há três carros, um vermelho, um verde e um azul. 
Um deles pertence a Jorge, outro a Carlos e o outro a Luís. 
Sabe-se que, das seguintes afirmações, apenas uma é falsa. 
I. O carro de Jorge é verde. 
 
 
 
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II. O carro de Carlos não é azul. 
III. O carro de Luís não é azul. 
IV. O carro de Luís não é verde e o de Carlos é azul. 
As cores dos carros de Carlos, Jorge e Luís são, respectivamente, 
a) vermelha, azul e verde. 
b) vermelha, verde e azul. 
c) verde, azul e vermelha. 
d) azul, vermelha e verde. 
e) azul, verde e vermelha. 
 
21. (ANPAD, 2013) Tia Olga presenteou as três sobrinhas com uma blusa. Entregou a blusa 
vermelha para Vera, a amarela para Amanda e a rosa para Ruth. Logo em seguida, a tia 
ainda disse: "Nenhuma de vocês recebeu a sua própria blusa. Vou lhes dar três dicas e 
somente uma delas é correta: a da Vera não é rosa; a da Amanda não é vermelha; e a da 
Ruth é a amarela". Então, as cores das blusas de Vera, Amanda e Ruth são, 
respectivamente, 
a) amarela, vermelha e rosa. 
b) amarela, rosa e vermelha. 
c) rosa, amarela e vermelha. 
d) rosa, vermelha e amarela. 
e) vermelha, rosa e amarela. 
 
22. (AFTN, 1996/ESAF) Sabe-se que na equipe do X Futebol Clube (XFC) há um atacante 
que sempre mente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um meio-campista que às 
vezes fala a verdade e às vezes mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a um torcedor 
que não sabia o resultado do jogo que terminara, um deles declarou "Foi empate", o 
segundo disse "Não foi empate" e o terceiro falou "Nós perdemos". O torcedor reconheceu 
somente o meio-campista, mas pôde deduzir o resultado do jogo com certeza. A declaração 
do meio-campista e o resultado do jogo foram, respectivamente: 
 
a) "Foi empate"/ o XFC venceu 
b) "Não foi empate"/ empate 
c) "Nós perdemos / o XFC perdeu 
d) "Não foi empate" / o XFC perdeu 
e) "Foi empate" / empate 
 
3.9 FÓRMULAS BEM FORMULADAS E A CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE 
 
Para formação de novas expressões podemos encadear proposições, conectivos e 
parênteses (ou colchetes), mas como em qualquer linguagem de programação devem ser 
obedecidas certas regras de sintaxe (regras que mostram quais cadeias formam 
expressões válidas). 
 
Uma expressão válida é chamada de fórmula bem formulada (wff – well formed formula). A 
ordem de precedência na qual os conectivos devem ser aplicados: 
1. Para conectivos dentro de vários parênteses, efetua-se primeiro as expressões dos 
parênteses mais internos para continuar-se aos mais externos. 
2. O mesmo vale para os colchetes. 
3. ~ (de proposições simples) 
4. , , , ,  (na ordem que aparecer na expressão) 
 
 
 
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5.  
6.  
Os parênteses servem para denotar o "alcance" dos conectivos, por exemplo: 
p  q  ~ r  (p  ~ q) deve ser entendida como 
 
(((p  q)  (~ r))  (p  (~ q))) 
 
Em fórmulas bem formuladas com diversos conectivos, o último a ser aplicado é o 
conectivo principal. Na fórmula anterior o conectivo principal é a primeira condicional (). 
 
Exemplo 1: Construa a tabela-verdade para a expressão (~p  q)  ~r 
A precedência das operações é dada por: (~p  q)  ~r 
 1 2 3 1 
p q r ~p ~r ~p  q (~p  q)  ~r 
V V V F F F F 
V V F F V F V 
V F V F F V V 
V F F F V V V 
F V V V F V V 
F V F V V V V 
F F V V F F F 
F F F V V F V 
 
A coluna resultante de uma tabela-verdade determina se a expressão é uma tautologia 
(apenas valores resultantes verdadeiros); uma contradição (apenas valores resultantes 
falsos) ou uma contingência (valores resultantes verdadeiros e falsos). Para o exemplo 
anterior temos uma continência, pois a expressão pode ser verdadeira e pode ser falsa. 
 
Exemplo 2: Sejam p, q, r, s e t proposições lógicas tais que r é falsa e a proposição 
composta 
(p  q)  (q  r)  (r  s)  (s  t) 
é verdadeira 
É necessariamente verdadeira a proposição:a) p  t 
b) p  t 
c) s  q 
d) q  t 
e) t  s 
 
Veja que r é falsa e toda a expressão dada é verdadeira, ou seja: 
(p q) (q r) (r s) (s t)
(p ) (q F) (F s) (s t) Vq
      
       
 
Para que as conjunções sejam verdadeiras cada parêntese deve ser verdadeiro, assim (q  
F)  V, fazendo com que a proposição q tenha que ter valor verdade Falso. 
Consequentemente, teremos: 
(p q) (q r) (r s) (s t)
(p ) (F F) (F s) (s t) VF
      
       
 
Como (p  F)  V, teremos p falso. 
 
 
 
 
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Para o terceiro parêntese (F  s)  V poderemos ter para s tanto a possibilidade deste ser 
verdadeiro ou falso. Supondo s verdadeiro, o quarto parêntese será (V  t)  V, logo t 
deve ser verdadeiro. Contudo, se s for falso, o valor verdade de t [(F  t)  V] poderá ser 
verdadeiro ou falso. 
 
Resumindo: r  F; q  F; p  F; s e t podem assumir qualquer valor verdade. Logo a única 
alternativa verdadeira será q  t  F  t  V 
 
Exemplo 3: ANPAD (06/2014) Três proposições simples, p, q e r, possuem valores lógicos 
que tornam as proposições compostas p  q e (~r)  (~q) verdadeiras. Para tais valores 
lógicos de p, q e r, também será verdadeira a expressão 
a) p  (~r) 
b) q  (p  r) 
c) p  [(~q)  r] 
d) (~r)  ~(p  q) 
e) (p  (~q))  (~r) 
 
Veja que para p  q e (~r)  (~q) serem ambas verdadeiras conforme a tabela abaixo nas 
linhas 1 e 5, ou seja q e r devem ser verdadeiras e p pode ter qualquer um dos valores 
lógicos. 
p q r ~q ~r p q (~r)(~q) p  (~r) (p  r) q  (p  r) (~q)  r p  [(~q)  r] (p  q) ~(p  q) (~r)  ~(p  q) p  (~q) (p  (~q))  (~r) 
V V V F F V V F V V F F V F V V F 
V V F F V V F V F F F F V F F V V 
V F V V F F V F V V V V V F V V F 
V F F V V F V V F V F F V F F V V 
F V V F F V V V F F F V V F V F V 
F V F F V V F V F F F V V F F F V 
F F V V F V V V F V V V F V V V F 
F F F V V V V V F V F V F V V V V 
A única expressão que nestas mesmas linhas é verdadeira é (~r)  ~(p  q). 
 
Exemplo 4: ANPAD (02/2016) Considere uma lógica fundamentada em dois princípios: 
 
Princípio do Quarto Excluído 
Uma proposição lógica ou é UNO (U), ou é DUE (D), ou é TER (T), não existindo um quarto 
valor que ela possa assumir. 
 
Princípio da Não Contradição 
Uma proposição lógica assume apenas um dos valores UNO (U), DUE (D), ou TER (T), não 
podendo assumir dois ou mais desses valores ao mesmo tempo. 
 
Nessa lógica, são definidos dois conectivos,  e , de acordo com a tabela de valores a 
seguir, na qual e p são q proposições lógicas: 
 
 
p q p q p q 
U U U U 
U D D T 
U T T D 
D U U T 
 
 
 
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D D U D 
D T U U 
T U D D 
T D D U 
T T D T 
Se r é uma proposição lógica que assume o valor U e s é uma proposição lógica que 
assume o valor D, então (r  s)  (s  r) e (r  s)  (s  r) assumem, respectivamente, os 
valores 
A) D e T 
B) D e U 
C) T e D 
D) T e T 
E) U e D 
 
Substitua os valores lógicos dados em cada proposição e verifique pela tabela os valores 
correspondentes da operação. 
(r  s)  (s  r) 
(U  D)  (D  U) 
D U 
T 
(r  s)  (s  r) 
(U  D)  (D  U) 
T  T 
D 
EXERCÍCIOS 
 
1. Construa a tabela-verdade das seguintes proposições e verifique se é uma tautologia, 
contingência ou uma contradição: 
 
a) (p  q)  (q  ~p) 
b) (~p  ~r)  (q  r) 
c) (p  q)  (q  ~r) 
d) ~p  (p  q) 
e) [(p  q)  (q  r)]  (p  r) 
 
2. ANPAD(09/2010) Sejam dadas as sentenças a seguir: 
 
I. 1 + 1 = 2  (2 + 4 = 8 ↔ 2 + 2 = 5) 
II. ~(3 + 4 = 8 ↔ 3 + 3 = 6) 
III. 3 + 4 = 7  4 + 4 = 8 
IV. 4 + 4 = 8  3 + 4 = 7 
 
Os valores lógicos (V, se verdadeiro; F, se falso) das proposições são, respectivamente, 
a) V V V V 
b) V V F F 
c) V V V F 
d) V F V V 
e) F F V V 
 
3. ANPAD(09/2010) Sejam dadas as proposições verdadeiras a seguir: 
 
I. Tavares é estudioso. 
II. Aranhas voam. 
 
 
 
 
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Qual alternativa apresenta uma verdade? 
a) Se aranhas voam, então Tavares não é estudioso. 
b) Aranhas não voam se, e somente se, Tavares for estudioso. 
c) Aranhas não voam se, e somente se, Tavares não for estudioso. 
d) Se aranhas voam, então Tavares é estudioso e aranhas não voam. 
e) Se Tavares é estudioso ou aranhas não voam, então Tavares não é estudioso. 
 
4. ANPAD (09/2009) Assinale a alternativa que representa a proposição composta com 
valor lógico verdadeiro. 
 
a) Se 785 for divisível por 5, então 60 é divisível por 2 e 337 é divisível por 60. 
b) Se 785 for divisível por 5 ou 60 é divisível por 2, então 337 é divisível por 60. 
c) Se 60 for divisível por 2, então 60 é divisível por 2 e 337 é divisível por 60. 
d) Se 60 for divisível por 2 ou 337 for divisível por 60, então 785 é divisível por 5. 
e) Se 60 for divisível por 2, então 337 é divisível por 60. 
 
5. ANPAD (02/2009) Considere a proposição p: Q ou R, em que 
Q: Lia é frentista. 
R: Se Milton é pedreiro, então Nei é jardineiro. 
Ora, sabe-se que a proposição p é falsa. Logo, 
 
a) Lia é frentista; Milton é pedreiro; Nei não é jardineiro. 
b) Lia é frentista; Milton não é pedreiro; Nei não é jardineiro. 
c) Lia não é frentista; Milton é pedreiro; Nei não é jardineiro. 
d) Lia não é frentista; Milton não é pedreiro; Nei não é jardineiro. 
e) Lia não é frentista; Milton é pedreiro; Nei é jardineiro. 
 
6. ANPAD(06/2009) Sejam as proposições compostas: 
 
I. Se Maria foi à festa, então ela sabe dançar se, e somente se, se Pedro foi à festa, então 
ele sabe dançar. 
II. Se Maria foi à festa, então Pedro sabe dançar. 
III. se Pedro foi à festa, então Maria sabe dançar. 
 
Sabendo que as proposições “Maria foi à festa”, “Pedro foi à festa”, “Maria sabe dançar” e 
“Pedro não sabe dançar” são verdadeiras, pode-se concluir que os valores-verdade (V, se 
verdadeiro; F, se falso) das proposições I, II e III são, respectivamente, 
 
a) V, V e V. 
b) V, F e V. 
c) F, F e F. 
d) F, V e V. 
e) F, F e V. 
 
 
 
 
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7. ANPAD(02/2012) Sejam dadas as seguintes proposições: 
 
I. Eu vou à praia. II. O dia está ensolarado. III. Estou de folga. 
 
Sabendo que as proposições acima são verdadeiras, qual das alternativas a seguir 
apresenta uma proposição que tem valor verdade falso? 
 
a) Se estou de folga e o dia está ensolarado, então vou à praia. 
b) Se estou de folga ou o dia não está ensolarado, então vou à praia. 
c) Se não estou de folga e o dia não está ensolarado, então vou à praia. 
d) Se estou de folga e o dia não está ensolarado, então não vou à praia. 
e) Se estou de folga ou o dia não está ensolarado, então não vou à praia. 
 
8. ANPAD(02/2016) Na tabela verdade abaixo, a coluna consiste em todos os valores 
lógicos que são assumidos na operação lógica p * q, considerando as variações possíveis 
dos valores lógicos de p e de q, apresentados na primeira e na segunda coluna. 
 
p q p * q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
A disposição dos valores lógicos V e F na última coluna, considerados de cima para baixo, 
da tabela verdade de (p * q) * r é 
 
a) F V V F F F V V 
b) F F V V F V F F 
c) V V F V F F V V 
d) V F V V F V V F 
e) V F F V F V V F 
 
 
9. Construaa tabela-verdade da proposição composta (p  ~ q)  (r  p) e determine se 
ela é uma tautologia, contradição ou contingência, justificando sua resposta. 
 
 
10. Considere as proposições: 
P : "2 é um número primo, mas não é par 
Q : "Se (0,5  Z), então 3 é ímpar" 
R : "(3  Z) ou (3 N)" 
 
Determine o valor lógico de: 
a) (P  Q)  ~R 
b) (Q  R)  P 
 
 
11. Construa a tabela-verdade da proposição composta (p  q)  (r  ~p) e determine se 
ela é uma tautologia, contradição ou contingência, justificando sua resposta. 
 
 
 
 
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31 
12. Sabendo que as proposições p e q são falsas. Marque a alternativa correta, justificando 
sua resposta adequadamente: 
a) O valor lógico das proposição composta ~[(p q) q] é: 
( ) Verdadeira ( ) Falsa 
b) Para que a proposição ~p (q  r) seja verdadeira, a proposição r deve ser: 
( ) Verdadeira ( ) Falsa 
 
13. Dadas as seguintes proposições: 
p 3 é par. 
q 3 é primo. 
r 3 pertence ao conjunto dos números racionais. 
 
Determine o valor lógico das seguintes wffs. Apresente todo o desenvolvimento. 
 
a) (q  r)  p 
b) p  q r 
c) q ~ p 
d) q  r 
e) p ~ r 
f) p  r 
 
 
3.10 EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
 
Duas proposições compostas são ditas logicamente equivalentes quando elas têm 
tabelas-verdade idênticas, ou seja, a bicondicional entre as duas proposições será uma 
tautologia. Simbolicamente, denotamos a equivalência das proposições p e q escrevendo p 
 q ou p  q. 
 
Exemplo 1: Mostre que ~~p equivale logicamente a p. 
 
p ~p ~~p ~~p  p 
V F V V 
F V F V 
 
 
Exemplo 2: Use a tabela-verdade para mostrar a equivalência lógica das proposições 
~p~q e ~(pq). 
 
p q ~p ~q ~p~q pq ~(pq) (~p~q)  [ ~(pq)] 
V V F F F V F V 
V F F V F V F V 
F V V F F V F V 
F F V V V F V V 
 
 
Idênticos 
Idênticos 
 
 
 
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Exemplo 3: Verifique se ~(p  q) equivale logicamente a ~p  ~q (ou seja, se a negação 
de uma condicional é a sua contrária). 
 
p q ~p ~q pq ~( pq) ~p~q ~( pq)  [~p~q] 
V V F F V F V V 
V F F V F V V F 
F V V F V F F F 
F F V V V F V V 
 
 
 
Como a bicondicional entre as proposições não é tautologia, então não são equivalentes, ou 
seja, a negação de uma condicional não é a sua contrária! 
 
Exemplo 4: ANPAD (02/2016) Há uma estratégia de argumentação comumente utilizada 
na demonstração de que uma proposição é verdadeira; supõe-se que é falsa e, em 
seguida, busca-se algum absurdo, ou contradição, que decorra de tal suposição. Quando 
tal contradição é alcançada, conclui-se que a proposição é verdadeira, uma vez que a 
hipótese de ela ser falsa foi refutada. 
A conclusão de que p deve ser verdadeira, a partir de tal refutação, perpassa a 
equivalência lógica 
 
a) p  (~p) 
b) ~(~p)  p 
c) p  [p  (~p)] 
d) p  [p  (~p)] 
e) (~p)  [p  (~p)] 
 
Na demonstração por absurdo ao supormos a negação da proposição por consequência é 
gerado um fato absurdo, logo o erro foi fazer tal suposição, assim percebemos que 
devemos retornar a proposição original. Para voltarmos à proposição original teremos que 
negar a negação que supomos anteriormente, ou seja, ~(~p). 
 
Observe que as demais alternativas não são válidas, pois não representam equivalências: 
p ~p p(~p) ~~p ~(~p)p p  (~p) p[p(~p)] p(~p) p[p(~p)] ~p[p(~p)] 
V F F V V F F V V V 
F V F F V F F V F F 
 a) b) c) d) e) 
 
 
Duas proposições são equivalentes quando traduzem a mesma ideia, diferindo apenas a 
forma de apresentar essa ideia. 
Decorre da definição que todas as tautologias, bem como todas as contradições, são 
equivalentes entre si. 
A relação de equivalência possui as propriedades: 
• Reflexiva: p  p 
• Simétrica: Se p q então q  p 
• Transitiva: Se p q e q  r então p  r 
Não são 
idênticos 
 
 
 
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Listamos abaixo algumas das equivalências mais importantes (e úteis) da Lógica; cada 
uma delas pode ser provada, simplesmente mostrando que a bicondicional correspondente 
é uma tautologia, bastando, para isso, construir sua Tabela Verdade. 
 
3.10.1 EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS 
 
As equivalências estabelecidas nos exemplos propostos fazem parte de um conjunto de 
equivalências conhecidas como Equivalências Notáveis. 
A partir de agora iremos conhecê-las, todas equivalências notáveis serão verificadas 
através da construção da tabela-verdade. 
Toda equivalência lógica é simétrica, isto é, se P equivale a Q, então Q equivale a P. Assim 
cada expressão apresentada pode ser lida da esquerda para a direita, quanto da direita 
para a esquerda. 
 
3.10.1.1 LEIS IDEMPOTENTES (ID) 
a) P  P  P 
P P  P (P  P)  P 
V V V 
F F V 
b) P  P  P 
P P  P (P  P)  P 
V V V 
F F V 
Exemplo: 
Reescreva as proposições: 
a) ~pq  (~pq)  (~pq) 
b) x>2  x>2  x>2 
 
3.10.1.2 LEIS COMUTATIVAS (COM) 
a) P  Q  Q  P 
P Q P  Q Q  P (P  Q)  (Q  P) 
V V V V V 
V F F F V 
F V F F V 
F F F F V 
 
b) P  Q  Q  P 
P Q P  Q Q  P (P  Q)  (Q  P) 
V V V V V 
V F V V V 
F V V V V 
F F F F V 
 
Exemplo: 
“Fui ao teatro ou ao cinema” equivale a “Fui ao cinema ou ao teatro” 
Reescreva as proposições: 
a) O número 2 é par e primo.  O número 2 é primo e par. 
b) q  (p  ~q)  (p  ~q)  q 
 
 
 
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3.10.1.3 LEIS ASSOCIATIVAS (ASSOC) 
a) (P  Q)  R  P  (Q  R) 
P Q R P  Q Q  R (P  Q)  R P  (Q  R) ((P  Q)  R)  (P  (Q  R)) 
V V V V V V V V 
V V F V F F F V 
V F V F F F F V 
V F F F F F F V 
F V V F V F F V 
F V F F F F F V 
F F V F F F F V 
F F F F F F F V 
 
b) (P  Q)  R  P  (Q  R) 
P Q R P  Q Q  R (P  Q)  R P  (Q  R) ((P  Q)  R)  (P  (Q  R)) 
V V V V V V V V 
V V F V V V V V 
V F V V V V V V 
V F F V F V V V 
F V V V V V V V 
F V F V V V V V 
F F V F V V V V 
F F F F F F F V 
Exemplo: Reescreva as proposições: 
a) x=2  (y=5  z=0)  (x=2  y=5)  z=0 
b) (y>5  z=4)  w1  y>5  (z=4  w1) 
 
3.10.1.4 LEIS DISTRIBUTIVAS (DIST) 
a) P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) 
P Q R Q  R P  Q P  R P  (Q  R) (P  Q)  (P  R) 
(P  (Q  R))  ((P  Q) 
 (P  R)) 
V V V V V V V V V 
V V F V V F V V V 
V F V V F V V V V 
V F F F F F F F V 
F V V V F F F F V 
F V F V F F F F V 
F F V V F F F F V 
F F F F F F F F V 
 
b) P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) 
P Q R Q  R P  Q P  R P  (Q  R) (P  Q)  (P  R) 
(P  (Q  R))  ((P  Q)  
(P R)) 
V V V V V V V V V 
V V F F V V V V V 
V F V F V V V V V 
V F F F V V V V V 
F V V V V V V V V 
F V F F V F F F V 
F F V F F V F F V 
F F F F F F F F V 
 
 
 
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35 
Exemplo: Reescreva as proposições: 
a) x=3  (y=1  z<9)  (x=3  y=1)  (x=3  z<9) 
b) (w=5  z =0)  (x>2  w=5)  w=5  (z=0  x>2) 
 
3.10.1.5 LEIS DE ABSORÇÃO (ABS) 
a) P  (P  Q)  P 
P Q P  Q P  (P  Q) (P  (P  Q) )  P 
V V V V V 
V F V V V 
FV V F V 
F F F F V 
 
b) P  (P  Q)  P 
P Q P  Q P  (P  Q) (P  (P  Q) )  P 
V V V V V 
V F F V V 
F V F F V 
F F F F V 
 
Exemplo: Reescreva as proposições: 
a) ~p  (~p  r)  ~p 
b) x>0  (z=2  x>0)  x>0 
 
 
3.10.1.6 DUPLA NEGAÇÃO (DN) 
~~P  P 
P ~P ~~P ~~P  P 
V F V V 
F V F V 
 
Exemplo: Reescreva as proposições: 
a) É falso que Maria não é magra.  Maria é magra 
b) ~[~(p~q)]  p~q 
 
3.10.1.7 LEIS DE DE MORGAN (DM) 
a) ~(P  Q)  ~P  ~Q 
P Q ~P ~Q P  Q ~(P  Q ) ~P  ~Q ~(P  Q)  (~P  ~Q) 
V V F F V F F V 
V F F V F V V V 
F V V F F V V V 
F F V V F V V V 
 
b) ~(P  Q)  ~P  ~Q 
P Q ~P ~Q P  Q ~(P  Q ) ~P  ~Q ~(P  Q)  (~P  ~Q) 
V V F F V F F V 
V F F V V F F V 
F V V F V F F V 
F F V V F V V V 
 
 
 
 
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Exemplo: 
“É falso que João tenha ido ao cinema e ao teatro” equivale a “João não foi ao cinema ou 
não foi ao teatro” 
 
Reescreva as proposições: 
a) ~(x=2  z<1)  x2  z1 
b) z>9  z=3  ~(z9  z3) 
c) João está com frio ou com febre.  João não está com frio e não está com febre. 
d) Está calor, mas o ar condicionado não funciona.  Não está calor ou o ar condicionado 
funciona. 
e) ~[(p~r)  (q~s)]  (~p  r)  (~q  s) 
 
 
3.10.1.8 LEI CONDICIONAL (COND) 
P  Q  ~P  Q 
P Q ~P P  Q ~P  Q (P  Q)  (~P  Q) 
V V F V V V 
V F F F F V 
F V V V V V 
F F V V V V 
 
Exemplo: 
“Se continuar chovendo, o rio vai transbordar” equivale a “Para de chover ou o rio vai 
transbordar” 
 
Reescreva as proposições: 
a) x2  y=3  x=2  y=3 
b) x>0  y1  x0  y1 
  y=1  x>0 
c) Carlos é engenheiro, só se terminou a graduação.  Carlos não é engenheiro ou 
terminou a graduação. 
d) O polígono é um quadrado ou não é um pentágono.  Se o polígono não é um quadrado, 
então não é um pentágono. 
 
 
3.10.1.9 CONTRAPOSIÇÃO (CP) 
P  Q  ~Q  ~P 
P Q ~P ~Q P  Q ~Q  ~P (P  Q)  (~Q  ~P) 
V V F F V V V 
V F F V F F V 
F V V F V V V 
F F V V V V V 
 
Exemplo: 
“Se João estudar, será aprovado” equivale a “Se João não estudar, não será aprovado” 
 
Reescreva as proposições: 
a) x=-1  y0  y<0  x-1 
b) Se Carlos não é ator, então ele é cantor.  Se Carlos não é cantor, então ele é ator. 
 
 
 
 
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3.10.1.10 BICONDICIONAL (BC) 
a) P  Q  (P  Q)  (Q  P) 
P Q P  Q P  Q Q  P (P  Q)  (Q  P) (P  Q )  ((P  Q)  (Q  P)) 
V V V V V V V 
V F F F V F V 
F V F V F F V 
F F V V V V V 
 
 
b) P  Q  (P  Q)  (~P  ~Q) 
P Q ~P ~Q P  Q P  Q ~Q  ~P (P  Q)  (~P  ~Q) (P  Q )  ((P  Q)  (~P  ~Q)) 
V V F F V V F V V 
V F F V F F F F V 
F V V F F F F F V 
F F V V V F V V V 
 
Exemplo: 
“Um numero é divisível por 10 se e somente se terminar por zero” equivale a “Se um 
número terminar por zero, então é múltiplo de 10, e, se for múltiplo de 10, então termina 
por zero”; também equivale a “O número é múltiplo de 10 e termina em zero, ou não é 
múltiplo de 10 e não termina em zero” 
 
Reescreva as proposições: 
a) (x>2  y=1)  (y=1  x>2)  (x>2  y=1) 
  (y=1  x>2) 
 
b) (p  ~r)  q  ((p  ~r)  q)  (q  (p  ~r)) 
  ((p  ~r)  q)  (~(p  ~r) ~q)  ((p  ~r)  q)  (~p  r  ~q)) 
 
 
 
3.10.1.11 DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (DE) 
P  Q  (P  Q)  (~P  ~Q) 
P Q ~P ~Q P  Q P  Q ~P  ~Q (P  Q)  (~P  ~Q) P  Q  ((P  Q)  (~P  ~Q)) 
V V F F F V F F V 
V F F V V V V V V 
F V V F V V V V V 
F F V V F F V F V 
 
Exemplo: Reescreva as proposições: 
a) x3  x<2  (x3  x<2)  (x=3  x2) 
b) Carmem vai a Paris ou à Grécia e Carmem não vai a Paris ou não vai à Grécia.  Ou 
Carmem vai a Paris ou à Grécia. 
 
 
 
 
 
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3.10.1.12 LEIS DE IDENTIDADE (IDENT) 
 
Para T: tautologia e C: contradição temos: 
a) P  T  P 
P T P  T P  T  P 
V V V V 
V V V V 
F V F V 
F V F V 
 
b) P  C  C 
P C P  C P  T  C 
V F F V 
V F F V 
F F F V 
F F F V 
 
c) P  C  P 
P C P  C P  C  P 
V F V V 
V F V V 
F F F V 
F F F V 
 
d) P  T  T 
P T P  T P  T  T 
V V V V 
V V V V 
F V V V 
F V V V 
 
e) P  ~P  T 
P T ~P P  ~P (P  ~P)  T 
V V F V V 
V V F V V 
F V V V V 
F V V V V 
 
f) P  ~P  C 
P C ~P P  ~P (P  ~P)  C 
V F F F V 
V F F F V 
F F V F V 
F F V F V 
Exemplo: Reescreva as proposições: 
a) (x=3)  (4  IN)  x=3  T  T  4  IN 
b) (x=3)  (4  IN)  x=3  T  P  x=3 
c) (x+1)2 = x2 +1  (x+1)2  x2 +1  p  ~p  C  (x+1)2 = x2 +1 
d) 4 é um número ímpar ou Carla é bióloga  C  P  P  Carla é bióloga 
 
 
 
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e) 4 é um número ímpar e Carla é bióloga  C  P  C 4 é um número ímpar 
f) (x+1)2 = x2 +1  (x+1)2  x2 +1  p  ~p  T  (x+1)2  x2 +1 
g) (x=3)  (4 

 IN)  x=3  C  P  x=3 
h) (x=3)  (4 

 IN)  x=3  C  C  4 

 IN 
 
3.10.1.13 CONECTIVOS DE SCHEFFER (CS) 
a) P  Q  ~P  ~Q (NC) 
P Q ~P ~Q P  Q ~P  ~Q P  Q  (~P  ~Q) 
V V F F F F V 
V F F V F F V 
F V V F F F V 
F F V V V V V 
 
b) P  Q  ~P  ~Q (ND) 
P Q ~P ~Q P  Q ~P  ~Q P  Q  (~P  ~Q) 
V V F F F F V 
V F F V V V V 
F V V F V V V 
F F V V V V V 
Exemplo: Reescreva as proposições: 
a) x5  w2  x=5  w<2 
b) x=3  z>4  x3  z4 
c) Nem Pedro é gremista, nem é colorado.  Pedro não é gremista e não é colorado. 
 
Nome Equivalências 
Leis Idempotentes (ID) P  P  P 
P  P  P 
P  P  P 
P  P  P 
Leis comutativas (COM) P  Q  Q  P 
P  Q  Q  P 
Q  P  P  Q 
Q  P  P  Q 
Leis associativas (ASSOC) (P  Q)  R  P  (Q  R) 
(P  Q)  R  P  (Q  R) 
P  (Q  R)  (P  Q)  R 
P  (Q  R)  (P  Q)  R 
Leis distributivas (DIST) P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) 
P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R) 
(P  Q)  (P  R)  P  (Q  R) 
(P  Q)  (P  R)  P  (Q  R) 
Leis de absorção (ABS) P  (P  Q)  P 
P  (P  Q)  P 
P  P  (P  Q) 
P  P  (P  Q) 
Dupla negação (DN) ~~P  P P  ~~P 
Leis de De Morgan (DM) ~(P  Q)  ~P  ~Q 
~(P  Q)  ~P  ~Q 
~P  ~Q  ~(P  Q) 
~P  ~Q  ~(P  Q) 
Condicional (COND) P  Q  ~P  Q ~P  Q  P  Q 
Contraposição (CP) P  Q  ~Q  ~P ~Q  ~P  P  Q 
Bicondicional (BC) P  Q  (P  Q)  (Q  P) 
P  Q  (P  Q)  (~P  ~Q) 
(P  Q)  (Q  P)  P  Q 
(P  Q)  (~P  ~Q)  P  Q 
Disjunção exclusiva (DE) P  Q  (P  Q)  (~P  ~Q) (P  Q)  (~P  ~Q)  P  Q 
Leis de identidade (IDENT) 
T: tautologia 
C: contradição 
P  T  P 
P  C  C 
P  C  P 
P  T  T 
P  ~P  T 
P  ~P  C 
P  P  T 
C  P  C 
P  P  C 
T  P  T 
T  P  ~P 
C  P  ~P 
Conectivos de Scheffer (CS) P  Q  ~P  ~Q 
P  Q  ~P  ~Q 
~P  ~Q  P  Q 
~P  ~Q  P  Q 
 
 
 
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3.10.2 PRINCÍPIO DE SUBSTITUIÇÃO 
 
As equivalências estudadas permitem a substituição de parte de uma expressão por outra 
logicamente equivalente, uma vez que essa substituição