Lista 4 Gabarito

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Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo 3
Mudanc¸a de Coordenadas na Integral
Dupla (2) - Gabarito
Prof. Leonardo Silvares
1. Ache a a´rea da regia˜o D limitada pelos arcos de para´bolas x2 = ay, x2 = by, y2 = αx e y2 = βx,
com 0 < a < b e 0 < α < β.
Soluc¸a˜o: Introduzimos as novas varia´veis u e v e pomos u = x
2
y e v =
y2
x . A regia˜o e´ transformada
em um retaˆngulo dado por {
a ≤ u ≤ v
α ≤ q ≤ β .
Temos que
∂(x, y)
∂(u, v)
=
[
∂(u, v)
∂(x, y)
]−1
,
onde
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣∣ 2xy −x
2
y2
− y2x2 2yx
∣∣∣∣∣ = 4xyxy − x2y2x2y2 = 4− 1 = 3.
Logo, J = 1/3.
Assim,
A´rea(D) =
∫∫
D
dx dy =
∫ β
α
∫ b
a
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ du dv = 13
∫ β
α
∫ b
a
du dv =
1
3
(b− a)(β − α).
2. Calcule I =
∫ 1
0
∫ 1−x
0
√
x+ y(y − 2x)2 dy dx.
Soluc¸a˜o: Queremos calcular
I =
∫∫
D
√
x+ y(y − 2x)2 dx dy,
onde D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x}. Na faixa vertical 0 ≤ x ≤ 1, esboc¸amos y = 0 e
y = 1− x. Assim, o esboc¸o de D e´
1
A expressa˜o complicada no integrando sugere a mudanc¸a{
u = x+ y
v = y − 2x ⇔
{
x = u−v3
y = 2u+v3
.
O jacobiano ∂(x,y)∂(u,v) e´
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣ xu xvy
u
y
v
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 13 − 132
3
1
3
∣∣∣∣ = 19 + 29 = 13 .
As equac¸o˜es x+ y = 1, x = 0 e y = 0 transformam-se em u = 1, v = u e v = −2u respectivamente.
Assim, o esboc¸o da regia˜o da variac¸a˜o de u e v e´
Pela mudanc¸a de varia´veis, temos
I =
∫∫
D
√
x+ y(y − 2x)2 dx dy
=
1
3
∫ 1
0
∫ u
−2u
u1/2v2 dv du
=
1
3
∫ 1
0
u1/2
[
v3
3
]v=u
v=−2u
du
=
1
9
∫ 1
0
u1/2(u3 + 8u3) du
=
∫ 1
0
u7/2 du
=
2
9
.
2
3. Use a mudanc¸a u = x + y, v = x − y e calcule a integral de f(x, y) = (x + y)2 sen2(x − y) sobre a
regia˜o D : |x|+ |y| ≤ pi.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o da regia˜o esta´ na figura abixo
De u = x+ y e v = x− y, temos x = u+v2 e y = u−v2 . Portanto, o jacobiano da mudanc¸a e´
∂(x, y)
∂(u, v)
=
∣∣∣∣ xu xvy
u
y
v
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 12 121
2 − 12
∣∣∣∣ = −12 .
Como dx dy =
∣∣∣∂(x,y)∂(u,v) ∣∣∣ du dv, temos dx dy = 12 du dv. A func¸a˜o f(x, y) = (x + y)2 sen2(x − y)
transforma-se em u2 sen2 v.
Como D e´ limitada pelas retas x+ y = pi, x+ y = −pi, x− y = pi e x− y = −pi, enta˜o a regia˜o nas
coordenadas u e v e´ limitada pelas retas u = pi, u = −pi, v = pi e v = −pi.
Assim, pela fo´rmula da mudanc¸a de varia´veis temos∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D
(x+ y)2 sen2(x− y) dx dy = 1
2
∫ pi
−pi
∫ pi
−pi
u2 du dv =
=
1
2
∫ pi
−pi
sen2 v
[
u3
3
]u=pi
u=−pi
dv =
1
2
· 2pi
3
3
∫
−pi
pi sen2 v dv =
pi3
3
· 1
2
[
v − sen 2v
2
]pi
−pi
=
pi4
3
.
4. Use a mudanc¸a de varia´veis u = xy e v = y/x e calcule a integral dupla
∫∫
D
(x2 + 2y2) dx dy, sendo
D a regia˜o do plano xy no primeiro quadrante, delimitada pelas xy = 1, xy = 2, y = x, y = 2x.
Soluc¸a˜o: Se u = xy e v = y/x, vemos que uv = y2 e uv = x
2. Assim, x2 + 2y2 = uv + 2uv. Por outro
lado
∂(x, y)
∂(u, v)
=
[
∂(u, v)
∂(x, y)
]−1
,
3
e
∂(u, v)
∂(x, y)
=
∣∣∣∣∣ ∂u∂x ∂u∂y∂v∂x ∂v∂y
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ y x− yx2 1x
∣∣∣∣ = yx + yx = 2yx = 2v.
Logo, ∂(x,y)∂(u,v) =
[
∂(u,v)
∂(x,y)
]−1
= [2v]
−1
= 12v . Como dx dy =
∣∣∣∂(x,y)∂(u,v) ∣∣∣ du dv, logo
dx dy =
∣∣∣∣ 12v
∣∣∣∣ du dv.
Como D esta´ limitada por xy = 1, xy = 2, y = x (ou y/x = 1) e y = 2x (ou y/x = 2) enta˜o a regia˜o
de variac¸a˜o de u e v esta´ limitada por u = 1, u = 2, v = 1 e v = 2.
Logo, ∫∫
D
(x2 + 2y2) dx dy =
1
2
∫ 2
1
∫ 2
1
(u
v
+ 2uv
) 1
2v
du dv =
1
2
∫ 2
1
∫ 2
1
u
(
1
v2
+ 2
)
du dv =
=
1
2
∫ 2
1
(
1
v2
+ 2
)[
u2
2
]v=2
u=1
dv =
3
4
∫ 2
1
(
1
v2
+ 2
)
dv =
3
4
[
−1
v
+ 2v
]2
1
=
3
4
[(
−1
2
+ 4
)
− (−1 + 2)
]
=
15
8
.
5. Calcule
∫∫
D
xy3 dx dy da regia˜o D do primeiro quadrante, limitada y = x, y = 3x, xy = 1 e xy = 4.
Soluc¸a˜o: A regia˜o D esta´ representada abaixo.
Com a transformac¸a˜o u = y/x e v = xy, a regia˜o D transforma-se na regia˜o limitada pelas retas
u = 1, u = 3, v = 1 e v = 4, representada abaixo.
4
Temos enta˜o
∂(x, y)
∂(u, v)
=
[
∂(u, v)
∂(x, y)
]−1
,
e
∂(u, v)
∂(x, y)
=
∣∣∣∣∣ ∂u∂x ∂u∂y∂v∂x ∂v∂y
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ − yx2 1xy x
∣∣∣∣ = −yx − yx = −2yx = −2u.
Logo
∂(x, y)
∂(u, v)
= − 1
2u
.
De u = y/x e v = xy, temos que uv = y2. Portanto, a func¸a˜o xy3 = xy · y2 transforma-se em
v · uv = uv2. Assim, da fo´rmula da mudanc¸a de varia´veis, temos∫∫
D
xy3 dx dy =
∫ 3
1
∫ 4
1
uv2
∣∣∣∣− 12u
∣∣∣∣ du dv = 12
∫ 3
1
∫ 4
1
v2 du dv =
1
2
∫ 3
1
[
v3
3
]4
1
du =
=
1
6
(64− 1)
∫ 3
1
du =
63
3
[u]31 =
21
3
(3− 1) = 21.
5