Aula 1 Revisão de Estatística

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TQC – UFF 
Eng. de Produção 2012/1 
 
Revisão de Estatística 
 
Níveis de Mensuração das Variáveis 
Escala nominal (QUALITATIVA) 
Os indivíduos são classificados em categorias segundo uma 
característica. Ex: 
•  sexo (masculino, feminino), 
•  Setor da empresa (produção, montagem, financeiro, CQ, etc) 
•  Pessoal (próprio, terceirizado) 
Não existe ordem entre as categorias e suas representações, 
se numéricas, são destituídas de significado numérico. 
Ex: sexo masculino=1, sexo feminino = 2. Os valores 1 e 2 são 
apenas rótulos. 
Escala ordinal (QUALITATIVA) 
Os indivíduos são classificados em categorias que possuem algum 
tipo de ordem inerente. 
Neste caso, uma categoria pode ser "maior" ou "menor" do que 
outra. 
Ex: classificação de fornecedores (A a E onde E é a pior 
classificação de excluído); 
Embora exista ordem entre as categorias, a diferença entre 
categorias adjacentes não tem o mesmo significado em toda a 
escala. 
Níveis de Mensuração das Variáveis Níveis de Mensuração das Variáveis 
Nível intervalar (quantitativo/intervalar) 
Nos indica a distância exata entre as categorias. 
Pode ser uma escala discreta ou contínua. 
Escala discreta: 
Existe um número finito de valores possíveis entre dois valores quaisquer. 
Ex: nota em prova objetiva, número de NC em um lote de produtos. 
Escala contínua: 
Existe um número infinito de valores possíveis entre dois valores 
quaisquer. 
Ex: tempo de vida , peso (g), altura (cm), pressão arterial (mmHg). 
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2	
  
Dados Quantitativos 
Histogramas 
DADOS QUANTITATIVOS 
12 14 19 18
15 15 18 17
20 27 22 23
22 21 33 28
14 18 16 13
TABELA 2.2 TEMPO EM DIAS DE AUDITORIA DE SMS
•  Como fazer um gráfico de barras para estes dados? 
•  Em quantos intervalos de classe devo dividir a 
amostra? 
•  Qual deve ser o tamanho do intervalo de classe? 
HISTOGRAMA 
R = Maior valor – Menor valor 
1. Tabule os dados disponíveis. 
2. Verifique o número de dados 
disponíveis, contando-os (n). 
3. Determine a amplitude R dos 
dados. 
 
4.  Divida R em um número de classes 
 pela regra de Sturges (k = 1 + 3,222 x log n) 
ou pela tabela 
5.  Largura aprox. da classe = R/(nº de classes) 
 Pode ser arredondado para um número mais conveniente 
HISTOGRAMA 
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3	
  
No nosso exemplo 
•  R = 33 – 12 = 21 
•  Número de intervalos para n=20 => 5 
•  Largura aproximada da classe = 21/5 = 4,2 => 5 
•  Limites de classe (opção) (10 – 14) a (30 – 34) 
12 14 19 18
15 15 18 17
20 27 22 23
22 21 33 28
14 18 16 13
TABELA 2.2 TEMPO EM DIAS DE AUDITORIA DE SMS
TABELA 2.3 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA DOS TEMPOS DE AUDITORIA
Tempo de 
auditoria 
(dias)
Freqüência
.10 |-| 14 4
15 |-| 19 8
20 |-| 24 5
25 |-| 29 2
30 |-| 34 1
Total 20
Em algumas situações usa-se o ponto médio entre os limites 
de classe. Neste caso: 12, 17, 22, 27 e 32. 
12
17
22
27
32
Tempo de 
auditoria 
(dias)
Freqüência
12 4
17 8
22 5
27 2
32 1
Total 20
 12 17 22 27 32 
FREQ. 
4 
8
5 
2 1 
Tempo de Auditoria em dias (ponto médio) 
10	
  
5	
  
10|-|14 15|-|19 20|-|24 25|-|29 30|-|34 
12 
Medidas de Variabilidade 
 
Variância, Desvio-padrão 
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4	
  
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VARIÂNCIA (σ2 ou s2) 
•  É a medida de variabilidade que utiliza todos os dados. 
•  É a média do quadrado das diferenças dos indivíduos em 
relação à média da população envolvida. 
Aluno Média
Antônio 10 10 5 0 0 5
Notas
Dispersão = (10-5) + (10-5) + (5-5) + (0-5) + (0-5) = 
 5 + 5 + 0 + (-5) + (-5) = 0 
Logo, eleva-se ao quadrado a 
diferença para eliminar os 
valores negativos 
VariânciaAntônio:….[52 + 52 +02 +(-5)2 +(-5)2 ]/4= 25 
1
)(
2
2
−
−
= ∑
n
xxs i
14 
Variância de uma amostra (s2) 
Geralmente, entretanto, lidamos com amostras e não com o 
universo completo de indivíduos. 
Assim a definição de variância para amostra deve levar em 
consideração os graus de liberdade e como para a Variância 
usamos uma outra estatística (a Média), perdemos um grau de 
liberdade, logo: 
1
)(
2
2
−
−
= ∑
n
xxs i
A Variância do Universo é 
definida por: N
ix
2)(2 ∑ −= µσ
15 
A desvantagem da variância: 
 
Apresenta uma medida da dispersão em 
que é o quadrado da unidade da variável 
estudada. 
Ex: Estatura das pessoas em metros (m) 
 Variância em metros quadrados (m2). 
16 
DESVIO-PADRÃO 
Para evitar diferenças de unidade usa-se a raiz quadrada 
da variância que é chamada de DESVIO-PADRÃO, 
assim as unidades da variável da dispersão ficam iguais. 
( )
1
2
−
−
= ∑
n
xx
s i
No nosso exemplo: 
15
)50()50()55()510()510( 22222
−
−+−+−+−+−
4
)5()5(055 22222 −+−+++
= 5
4
100
4
252502525
==
++++
=
sAntônio= 
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5	
  
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MEDIDAS DE POSIÇÃO RELATIVA 
•  Onde z é a distância de xi à média em desvios-padrão 
•  Se zi = 2, então xi está a 2s da média 
s
xxz i −=
• Em uma distribuição podemos usar a média e o desvio 
padrão para encontrarmos a posição de um indivíduo i em 
relação ao ponto central da distribuição. 
• Podemos comparar esta distância com o desvio-padrão, 
assim: 
x- Distância de xi à média = (xi - ) 
• Comparando com s temos: 
INTRODUÇÃO	
  À	
  
PROBABILIDADE	
  
Prof. Fernando Toledo Ferraz 
PROBABILIDADE 
•  Probabilidade	
  é	
  a	
  medida	
  numérica	
  da	
  possibilidade	
  de	
  
ocorrência	
  de	
  um	
  evento.	
  
•  O	
  valor	
  de	
  uma	
  Probabilidade	
  será	
  sempre	
  entre	
  0	
  e	
  1.	
  
•  Uma	
  Probabilidade	
  próxima	
  a	
  0	
  indica	
  um	
  evento	
  com	
  
poucas	
  ou	
  quase	
  nenhuma	
  esperança	
  de	
  ocorrer.	
  
•  Uma	
  Probabilidade	
  próxima	
  de	
  1	
  indica	
  um	
  evento	
  
muito	
  possível	
  de	
  ocorrer.	
  	
  
•  Uma	
  Probabilidade	
  de	
  0,5	
  indica	
  um	
  evento	
  em	
  que	
  é	
  
tão	
  esperada	
  sua	
  ocorrência	
  como	
  sua	
  não	
  ocorrência.	
  
Experimento, espaço amostral e ponto 
amostral 
•  Um experimento é um processo que gera 
resultados bem definidos. 
 
•  O espaço amostral de um experimento é o 
conjunto de resultados experimentais. 
 
•  Um ponto amostral é um elemento de um 
espaço amostral, qualquer um resultado 
experimental particular. 
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6	
  
EXEMPLO 
Um investidor investe em duas empresas (X e Y) 
e considera que seus rendimentos em 3 meses 
podem ser os seguintes em função da evolução 
dos cenários: 
30	
  
5	
  
0	
  
-­‐10	
  
PERDAS	
  E	
  GANHOS	
  EM	
  3	
  MESES	
  (x	
  R$	
  1.000,00)	
  
Empresa	
  X	
   	
  Empresa	
  Y	
  
15	
  
5	
  
0	
  
REGRAS DE CONTAGEM 
•  Consideremos as letras A, B e C, de quantas 
maneiras podem ser arrumadas? 
ABC, BAC, BCA, ACB, CAB, CBA ou 
Ax1x2	
  
x1Ax2	
  
x1x2A	
  
By	
  
yB	
  
C	
  
A	
  variando	
  de	
  posição	
  
Pode	
  assumir	
  3	
  posições	
  
B	
  variando	
  de	
  posição	
  
Pode	
  assumir	
  2	
  posições	
  
C	
  variando	
  de	
  posição	
  
Pode	
  assumir	
  1	
  posição	
  
Poderíamos	
  formar	
  
3x2x1	
  arranjos	
  
diferentes	
  
Etapa	
  1	
   Etapa	
  2	
   Etapa	
  3	
  
REGRA	
  DE	
  CONTAGEM	
  PARA	
  MÚLTIPLAS	
  ETAPAS	
  
(1,2...i)	
  
N	
  =	
  n1.n2.	
  ...	
  .ni,	
  	
  	
  	
  	
  onde	
  :	
  
N=	
  número	
  total	
  de	
  possibilidades	
  em	
  todas	
  as	
  etapas	
  
n1=	
  número	
  de	
  possibilidades	
  para	
  etapa	
  1	
  
n2=número	
  de	
  possibilidades	
  para	
  etapa	
  2	
  
...	
  
ni=	
  número	
  de	
  possibilidades	
  para	
  etapa	
  i	
  
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
O número de arranjos possíveis, portanto, seria: 
3x2x1 = 6 
Para n objetos teríamos 
n . (n-1) . (n-2)..... 2 . 1 = n! 
Caso quiséssemos arranjar um grupo de letras de uma 
palavra onde houvesse r letras repetidas como CARRO 
(5 letras com 2 repetições), teríamos que dividir o total 
pelas possibilidade de arranjo das letras repetidas (r!): 
P5(2)= 5!/2!=(5 . 4 . 3 . 2. 1)/(2 .1) = 
60 possibilidades 
Obs:	
  A	
  permutação	
  é	
  um	
  caso	
  par[cular	
  de	
  experimento	
  de	
  múl[pla	
  etapa	
  onde	
  
cada	
  etapa	
  tem	
  1	
  possibilidade	
  a	
  menos	
  que	
  a	
  anterior.	
  
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7	
  
ARRANJO SIMPLES 
Arranjos simples de N elementos p a p 
são agrupamentos de p elementos 
distintos tomados de um conjunto de N 
que se diferenciam pela natureza ou 
ordem dos elementos. 
 
Por exemplo, com os elementos de 
A = {a, b, c} 
podemos formar os arranjos dois a dois: 
ab, ba, ac, ca, bc, cb. 
Ou: A(3,2)=3.2.1/(3-2)!=6/1 
De	
  um	
  modo	
  geral:AN,p=N!/(N-­‐p)!	
  
COMBINAÇÕES 
Combinações simples dos elementos de um 
conjunto tomados p a p são agrupamentos de p 
elementos de A, que se diferenciam apenas pela 
natureza de seus elementos. 
 
As combinações simples dos elementos de {a, b, c} 
tomados 2 a 2 são: ab, ac e bc. 
ab ≡ ba, ac ≡ ca, cb ≡ bc 
Assim: 3
)1.(1.2
1.2.3
)!23(!2
!33
2 ==−
=C
De	
  um	
  modo	
  geral:	
  
)!(!
!
nNn
NCNn −
=
Um auditor tem 50 relatórios para auditar. 
Decide tomar 4 ao acaso. Quantas 
possibilidades ele teria de combinar os 50 
relatórios em grupos de 4? 
A	
  ordem	
  dos	
  relatórios	
  não	
  importa,	
  isto	
  
é:	
  R13, R25, R44 e R48 ≡ R44, R48, R25 e R13	
  
ARRANJOS	
  E	
  COMBINAÇÕES	
  
LOGO:	
  
230300
)!46!.(4
!46.47.48.49.50
)!450(!4
!5050
4 ==−
=C
Um pesquisador identificou 9 variáveis importantes para seu 
tema. Ele busca relações entre variáveis de 2 a 2. Quantas 
possibilidades de experimentos ele tem caso considere a 
definição de variável dependente e independente importante 
para a metodologia e quantas caso isto não seja relevante? 
a) Se definição de var. depend/independente importa 
=> Arranjo Simples 
b) Se NÃO importa => Combinação 
LOGO:	
  
36	
  
)	
  !	
  7	
  !.(	
  2	
  
!	
  7	
  .	
  8	
  .	
  9	
  
)!	
  2	
  9	
  (	
  !	
  2	
  
!	
  9	
  	
  	
  )	
   9	
  2	
   =	
  =	
  -	
  
=	
  C	
  b	
  
72	
  
)	
  !	
  7	
  (	
  
!	
  7	
  .	
  8	
  .	
  9	
  
)!	
  2	
  9	
  (	
  
!	
  9	
  	
  	
  )	
   9	
  2	
   =	
  =	
  -	
  
=	
  A	
  a	
  
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8	
  
EXERCÍCIO 
Quantos	
  resultados	
  são	
  
possíveis	
  para	
  o	
  experimento	
  	
  
Lançar	
  um	
  dado,	
  jogar	
  uma	
  
moeda	
  e	
  re[rar	
  um	
  naipe	
  de	
  
um	
  baralho?	
  
•  Um	
  evento	
  é	
  uma	
  coleção	
  de	
  pontos	
  
amostrais.	
  
•  A	
  probabilidade	
  de	
  qualquer	
  evento	
  é	
  igual	
  
à	
  soma	
  das	
  probabilidades	
  dos	
  pontos	
  
amostrais	
  do	
  evento.	
  
Eventos	
  e	
  suas	
  Probabilidades	
  
EXEMPLO 
Qual o evento do investidor ter lucro? (i.e. um 
resultado >0) 
30	
  
5	
  
0	
  
-­‐10	
  
PERDAS	
  E	
  GANHOS	
  EM	
  3	
  MESES	
  (x	
  R$	
  1.000,00)	
  
Empresa	
  X	
   	
  Empresa	
  Y	
  
15	
  
5	
  
0	
  
30,15 5,15 0,15 -10,15 
30,5 5,5 0,5 -10,5 
30,0 5,0 0,0 -10,0 
30,15 5,15 0,15 -10,15 
30,5 5,5 0,5 -10,5 
30,0 5,0 0,0 -10,0 
Atribuição	
  de	
  Probabilidades	
  a	
  
resultados	
  experimentais	
  
•  Método	
  Clássico	
  
	
  A	
  atribuição	
  de	
  probabilidades	
  é	
  feita	
  a	
  par[r	
  da	
  
premissa	
  de	
  que	
  todos	
  os	
  resultados	
  têm	
  a	
  
mesma	
  chance	
  de	
  ocorrência.	
  (dados	
  ou	
  cartas)	
  
•  Método	
  da	
  Freqüência	
  Rela[va	
  
	
  A	
  probabilidade	
  é	
  atribuída	
  em	
  função	
  de	
  dados	
  
históricos	
  disponíveis.	
  (vendas	
  ou	
  acidentes)	
  
•  Método	
  Subje[vo	
  
	
  A	
  atribuição	
  de	
  probabilidades	
  é	
  feita	
  a	
  par[r	
  da	
  
experiência	
  ou	
  intuição.	
  (cenários	
  polí[cos)	
  
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9	
  
Considere que um analista experiente atribuiu as probabi-
lidades (método subjetivo) abaixo para os resultados da sua 
carteira de investimento. Dado isto, qual a probabilidade do 
evento lucro maior que R$ 10.000,00 na sua carteira? 
	
  	
  	
  	
  Resultado	
  (xR$1.000,00)	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Lucro/Perda	
  	
  	
  Probabilidade	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (30,15) 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  $45,000 	
  Lucro 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .10	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (30,	
  5)	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  $35,000 	
  Lucro 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .10	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (30,	
  0)	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  $30,000 	
  Lucro 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .10	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (5,	
  15)	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  $20,000 	
  Lucro 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .05	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (5,	
  5)	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  $10,000 	
  Lucro 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .05	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (5,	
  0)	
  	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  $5,000 	
  Lucro	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .05	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (0,	
  15)	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  $15,000 	
  Lucro 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .05	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (0,	
  5)	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  $5,000 	
  Lucro 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .10	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (0,	
  0)	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  $0 	
  	
  	
  	
  	
  -­‐	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .20	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (-­‐10,	
  15)	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  $5,000 	
  Lucro	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .05	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (-­‐10,	
  5)	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ($5,000)	
   	
  Perda	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .05	
  
	
   	
  	
  	
  	
  	
  (-­‐10,	
  0)	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ($10,000) 	
  Perda	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  .10 	
  	
  
RESP.:	
  
40%	
  
Complemento	
  de	
  um	
  Evento	
  
•  O	
  complemento	
  de	
  um	
  evento	
  A	
  é	
  definido	
  
como	
  o	
  evento	
  composto	
  de	
  todos	
  os	
  
pontos	
  amostrais	
  que	
  não	
  pertencem	
  a	
  A.	
  
•  	
  O	
  complemento	
  de	
  A	
  é	
  denotado	
  por	
  Ac.	
  
•  O	
  Diagrama	
  de	
  Venn	
  abaixo	
  ilustra	
  o	
  
conceito	
  de	
  complemento.	
  
Ac Evento A 
•  A	
  união	
  de	
  dois	
  eventos	
  A	
  e	
  B	
  é	
  o	
  evento	
  
que	
  contém	
  todos	
  os	
  pontos	
  amostrais	
  de	
  
Ae	
  todos	
  os	
  pontos	
  amostrais	
  de	
  B.	
  
•  A	
  união	
  é	
  denotada	
  por	
  A	
  ∪ B.	
•  A	
  união	
  de	
  A	
  e	
  B	
  é	
  representada	
  abaixo.	
  
União	
  de	
  Dois	
  Eventos	
  
Espaço 
Amostral S 
Evento A Evento B 
Interseção	
  de	
  dois	
  Eventos	
  
•  A	
  interseção	
  dos	
  eventos	
  A	
  e	
  B	
  é	
  o	
  conjuntos	
  de	
  
todos	
  os	
  pontos	
  amostrais	
  que	
  estão	
  tanto	
  em	
  	
  
A	
  como	
  em	
  B.	
•  A	
  interseção	
  é	
  denotada	
  por	
  A	
  ∩ Β.	
•  A	
  interseção	
  de	
  A	
  e	
  B	
  é	
  a	
  área	
  da	
  sobreposição	
  
na	
  figura	
  abaixo.	
  
Espaço Amostral S 
Evento A Evento B 
interseção 
12/03/12	
  
10	
  
EVENTOS EXAUSTIVOS 
P(azul)	
   	
  =	
  3/9	
  
P(verm.)	
  	
   	
  =	
  2/9	
  
P(verde) 	
  =	
  2/9	
  
P(laranja) 	
  =	
  1/9	
  
P(lilás) 	
  =	
  1/9	
  
Se	
  P(A∪B)	
  =	
  1,	
  então	
  A	
  e	
  B	
  são	
  exaus`vos	
  ou	
  se	
  
P(A∪B∪C∪D)=1	
  ,	
  então	
  A,	
  B,	
  C	
  e	
  D	
  são	
  exaus`vos	
  	
  
∑Pi = 1	
  
P	
  (azul	
  ou	
  verm.	
  ou	
  verde	
  ou	
  laranja	
  ou	
  lilás)	
  =	
  1	
  
P(todos)	
  =	
  1	
  	
  
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
Qual	
  a	
  probabilidade	
  de	
  um	
  Mineiro	
  com	
  Pais	
  Belgas?	
  
P(Mineiro	
  e	
  P.Belgas)	
  =	
  0	
  (zero)	
  
	
  
Evento	
  MINEIROS	
  e	
  evento	
  PAIS	
  BELGAS	
  são	
  MUTUAMENTE	
  
EXCLUSIVOS,	
  
Cariocas	
   Pais	
  Japoneses	
  
Comunidade	
  
Mineiros	
  
João	
  
Joaquina	
  
Maria	
  
Carlos	
  
José	
  
Takashi	
  
Pedro	
  
Pais	
  Belgas	
  
Hans	
  
pois	
  M∩PB	
  é	
  vazio	
  e	
  P(M∩PB)	
  =	
  0	
  
LEI DA ADIÇÃO 
É	
  ú[l	
  quando	
  queremos	
  calcular	
  a	
  
probabilidade	
  de	
  acontecer	
  um	
  
evento	
  ou	
  outro.	
  
Se	
  quisermos	
  saber	
  a	
  probabilidade	
  de	
  
[rarmos	
  um	
  elemento	
  do	
  conjunto	
  A	
  
ou	
  um	
  do	
  conjunto	
  B	
  temos	
  a	
  UNIÃO	
  
de	
  dois	
  conjuntos:	
  A ∪ B 
A	
  
B	
  
A∩B	
  
SOMA DE PROBABILIDADES 
Qual	
  a	
  probabilidade	
  de	
  um	
  membro	
  ser	
  Mineiro	
  ou	
  ter	
  Pais	
  
Japoneses?	
  
Cariocas	
   PJ	
  =	
  Pais	
  
Japoneses	
  
Comunidade	
  
M	
  =	
  Mineiros	
  
João	
  
Joaquina	
  
Maria	
  
Carlos	
  
José	
  
Takashi	
  
Pedro	
  
Pais	
  Belgas	
  
Hans	
  
Contei	
  Carlos	
  duas	
  vezes!!!	
  
N	
  =	
  8	
  
Carlos	
  é	
  {M	
  ∩ PJ}	
  
P(M	
  ou	
  PJ)	
  =	
  P(M	
  ∪	
  PJ)	
  =	
  P	
  (M)	
  +	
  P(PJ)	
  =	
  3/8+3/8	
  =	
  6/8	
  =	
  ¾	
  P(M	
  ou	
  PJ)	
  =	
  P(M	
  ∪	
  PJ)	
  =	
  P	
  (M)	
  +	
  P(PJ)	
  =	
  3/8+3/8	
  =	
  6/8	
  =	
  ¾	
  
Mas	
  não	
  são	
  5	
  mineiros	
  ou	
  com	
  pais	
  japoneses???????	
  
Carlos	
  
12/03/12	
  
11	
  
LEI DA ADIÇÃO 
Se	
  queremos	
  calcular	
  P	
  (A ∪ B),	
  
portanto,	
  temos	
  que	
  subtrair	
  a	
  
interseção	
  deles.	
  
Assim:	
  
A	
  
B	
  
A∩B	
  
P	
  (AUB)	
  =	
  P(A)	
  +	
  P(B)	
  -­‐	
  P	
  (A∩B)	
  
E	
  no	
  nosso	
  exemplo:	
  
P	
  (MUPJ)	
  =	
  3/8	
  +	
  3/8	
  –	
  1/8	
  =	
  5/8	
  
CARLOS	
  
EVENTOS MUTUAMENTE 
EXCLUSIVOS 
Para	
  eventos	
  	
  MUTUAMENTE	
  EXCLUSIVOS,	
  temos:	
  
P(Mineiros∩Pais	
  Belgas)	
  =	
  0	
  (ZERO)	
  e	
  
P(Mineiros	
  U	
  Pais	
  Belgas)	
  =	
  P(M)	
  +	
  P(PB)	
  	
  
Cariocas	
   Pais	
  Japoneses	
  
Comunidade	
  
Mineiros	
  
João	
  
Joaquina	
  
Maria	
  
Carlos	
  
José	
  
Takashi	
  
Pedro	
  
Pais	
  Belgas	
  
Hans	
  
Se E1 é o evento “extração de uma dama de um 
baralho” e E2 é o da “extração de uma carta de 
copas”, qual a probabilidade de se extrair uma 
dama ou uma carta de copas? 
P(E1	
  U	
  E2)	
  =	
  P(E1)	
  +	
  P(E2)	
  -­‐	
  P(E1∩E2)	
  
=	
  	
  4/52	
  +	
  13/52	
  –	
  1/52	
  =	
  16/52	
  =	
  4/13	
  
SOMA	
  DE	
  PROBABILIDADES	
  
Alunos	
  
Um professor descobriu que 5 dos seus 50 alunos 
não faziam as listas de exercícios, que 10 
chegavam sempre atrasados e que 3 não faziam as 
listas nem chegavam na hora. 
Qual a probabilidade de um aluno chegar na hora 
e fazer as listas? 
P(ÑH)	
  =	
  0,20	
  
P(ÑL)	
  =	
  0,10	
  
P(ÑH	
  ∩	
  ÑL)	
  =	
  0,06	
  
P(H	
  e	
  L)	
  =	
  1-­‐	
  P(ÑH	
  ou	
  ÑL)	
  =	
  1-­‐(0,10	
  +	
  0,20	
  –	
  0,06)	
  =	
  0,76	
  
ÑL	
  
ÑH	
  
ÑL∩ÑH	
  
12/03/12	
  
12	
  
Homens (H) Mulheres (M)
Promovidos (P) 288 36 324
Não Promovidos (NP) 672 204 876
960 240 1.200
PROMOÇÕES NA POLÍCIA NOS ÚLTIMOS 2 ANOS
PROBABILIDADE	
  CONDICIONAL	
  
Seja:	
  
P	
  –	
  Evento	
  oficial	
  promovido	
  
NP	
  –	
  Evento	
  oficial	
  não	
  promovido	
  (Pc)	
  
H	
  –	
  Evento	
  oficial	
  Homem	
  
M	
  –	
  Evento	
  oficial	
  Mulher	
  
P (P∩H) = 288/1200 = 0,24 
P (NP∩H) = 672/1200 = 0,56 
P (P∩M) = 36/1200 = 0,03 
P (NP∩M) = 204/1200 = 0,17 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Qual a probabilidade do oficial ter sido promovido dado 
que ele é homem? 
Homens (H) Mulheres (M)
Promovidos (P) 0,24 0,03 0,27
Não Promovidos (NP) 0,56 0,17 0,73
0,80 0,20 1,00
PROBABILIDADE PARA PROMOÇÕES
Probabilidades	
  
marginais	
  
P(P|H)	
  =	
  288/960	
  =	
  
288 	
  36 	
  	
  
672 	
  204 	
  	
  
	
   	
  (288/1200)/(960/1200)	
  =	
  
=	
  0,24/0,80	
  =	
  P(P∩H)/P(H)	
  
960	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  240	
  
324	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
876	
  
1200	
  
288	
  
960	
  
Logo: 
 
P (A|B) = P (A∩B) 
 P(B) 
 
P (B|A) = P (A∩B) 
 P(A) 
PROBABILIDADE	
  CONDICIONAL	
  
Se tirarmos dois clipes, qual a 
probabilidade dos dois serem azuis? 
•  Se eu recoloco o clipe teremos 3 chances em 9 nas 
duas retiradas (do primeiro e do segundo), logo: 
 P(2 azuis) = P(1 azul) x P (1 azul) = 3/9 x 3/9 
•  Se não recoloco o 1º clipe teremos apenas 2 
chances em 8 se o 1º for azul (que é o que 
queremos calcular), logo: 
 P(2 azuis) = P(1º azul) x P´(1azul) 
 = 3/9 x 2/8 =1/12 
12/03/12	
  
13	
  
EVENTOS DEPENDENTES E 
INDEPENDENTES 
•  No primeiro caso dizemos que as retiradas 
são EVENTOS INDEPENDENTES. 
 
P(E1 e E2) = P(E1∩E2) = P(E1E2 ) 
 = P(E1) . P(E2) 
No segundo caso são eventos DEPENDENTES 
e precisamos considerar a PROBABILIDADE 
CONDICIONAL, probabilidade de x dado y. 
 P(E1∩E2) = P(E1) . P(E2|E1) ou 
 P(E2|E1) = P(E1∩E2) / P(E1) 
 (lê-se probabilidade de E2 dado E1) 
EVENTOS	
  DEPENDENTES	
  E	
  
INDEPENDENTES	
  
EXEMPLOS 
1) Imaginem que vocês estão 
jogando moedas, qual a 
probabilidade de se ter uma cara 
na 5ª jogada e na 6ª jogada? 
2)Você tem 3 canetas azuis e 2 
vermelhas na pasta, pega 
rapidamente duas delas. Qual a 
probabilidade de se ter duas 
canetas azuis? 
3) Se você quer uma caneta azul e 
tira a primeira vermelha, qual a 
probabilidade da segunda ser azul? 
Independentes	
  	
  
1/2	
  .	
  1/2	
  =	
  1/4	
  
	
  
Dependentes	
  
P(2az)=P(1ªa).P(2ªa|1ªa)	
  =	
  
3/5.(3-­‐1)/(5-­‐1)	
  =	
  
3/5.2/4	
  =	
  3/10	
  
	
  
Dependentes	
  
P(2ªa|1ªv)	
  depte	
  
P(2ªa)=3/
(5-­‐1)=3/4