calculo 1 aula 28

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Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Aplicac¸o˜es da Integral
Bras´ılia, 2o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Aplicac¸o˜es da Integral
Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Conteu´do
Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Aplicac¸o˜es da Integral
Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
A´reas entre curvas e o eixo “x”
I Ja´ vimos que a integral
pode ser usada para
calcular a´reas sob curvas;
I Curvas acima do eixo “x”
sa˜o positivas e abaixo sa˜o
negativas;
I Note que o diferencial dx
esta´ muito relacionado
com o incremento ∆xi da
soma de Riemman;
a
cb
A1<0
A2>0
x
y
lim
n→∞
n∑
i=1
f (ξi )∆xi =
∫ b
c
f (x) dx
Aplicac¸o˜es da Integral
Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
A´reas entre curvas
x
y
a
b

f ξi -g ξi( ) ( )
∆xi
g
f
A =
n∑
i=1
[f (ξi )−g(ξi )]∆xi =
∫ b
a
[f (x)−g(x)] dx
I Observe que a
integral sempre e´
positiva, sempre
que f > g ;
I O que importa e´
que curva esta´
acima uma da
outra;
Aplicac¸o˜es da Integral
Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Exemplo - 1
I Sejam f (x) = x2 e g(x) = −x2 + 4x , determine a a´rea entre
as duas curvas;
I Primeiro determinamos os pontos de intersecc¸a˜o, fazendo
f (x) = g(x) e resolvendo a equac¸a˜o resultante;
I Com isto, obtemos dois pontos P1 = (0, 0) e P2 = (2, 4).
I Como g(x) ≥ f (x) no intervalo fechado [0, 2], a a´rea entre as
duas curvas e´ dada por
∫ 2
0
[g(x)− f (x)] dx .
I Finalmente, resolvendo a integral obtemos que a a´rea entre as
curvas mede
8
3
unidades quadradas.
Aplicac¸o˜es da Integral
Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Exemplo - 1
I Sejam f (x) = x2 e g(x) = −x2 + 4x , determine a a´rea entre
as duas curvas;
I Primeiro determinamos os pontos de intersecc¸a˜o, fazendo
f (x) = g(x) e resolvendo a equac¸a˜o resultante;
I Com isto, obtemos dois pontos P1 = (0, 0) e P2 = (2, 4).
I Como g(x) ≥ f (x) no intervalo fechado [0, 2], a a´rea entre as
duas curvas e´ dada por
∫ 2
0
[g(x)− f (x)] dx .
I Finalmente, resolvendo a integral obtemos que a a´rea entre as
curvas mede
8
3
unidades quadradas.
Aplicac¸o˜es da Integral
Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Exemplo - 1
I Sejam f (x) = x2 e g(x) = −x2 + 4x , determine a a´rea entre
as duas curvas;
I Primeiro determinamos os pontos de intersecc¸a˜o, fazendo
f (x) = g(x) e resolvendo a equac¸a˜o resultante;
I Com isto, obtemos dois pontos P1 = (0, 0) e P2 = (2, 4).
I Como g(x) ≥ f (x) no intervalo fechado [0, 2], a a´rea entre as
duas curvas e´ dada por
∫ 2
0
[g(x)− f (x)] dx .
I Finalmente, resolvendo a integral obtemos que a a´rea entre as
curvas mede
8
3
unidades quadradas.
Aplicac¸o˜es da Integral
Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Exemplo - 1
I Sejam f (x) = x2 e g(x) = −x2 + 4x , determine a a´rea entre
as duas curvas;
I Primeiro determinamos os pontos de intersecc¸a˜o, fazendo
f (x) = g(x) e resolvendo a equac¸a˜o resultante;
I Com isto, obtemos dois pontos P1 = (0, 0) e P2 = (2, 4).
I Como g(x) ≥ f (x) no intervalo fechado [0, 2], a a´rea entre as
duas curvas e´ dada por
∫ 2
0
[g(x)− f (x)] dx .
I Finalmente, resolvendo a integral obtemos que a a´rea entre as
curvas mede
8
3
unidades quadradas.
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Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Exemplo - 1
I Sejam f (x) = x2 e g(x) = −x2 + 4x , determine a a´rea entre
as duas curvas;
I Primeiro determinamos os pontos de intersecc¸a˜o, fazendo
f (x) = g(x) e resolvendo a equac¸a˜o resultante;
I Com isto, obtemos dois pontos P1 = (0, 0) e P2 = (2, 4).
I Como g(x) ≥ f (x) no intervalo fechado [0, 2], a a´rea entre as
duas curvas e´ dada por
∫ 2
0
[g(x)− f (x)] dx .
I Finalmente, resolvendo a integral obtemos que a a´rea entre as
curvas mede
8
3
unidades quadradas.
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Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Exemplo - 2
I Sejam f (x) = sin(x) e g(x) =
√
2
2
, determine a a´rea entre as
duas curvas e as retas x = −pi
2
e x =
3pi
4
;
I Temos dois pontos de intersecc¸a˜o no itervalo, P1 = (
pi
4
,
√
2
2
)
e P2 = (
3pi
4
,
√
2
2
).
I Como g(x) ≥ f (x) no intervalo fechado [−pi
2
,
pi
4
], e
f (x) ≥ g(x) no intervalo [pi
4
,
3pi
4
] a a´rea e´ dada por∫ pi
4
−pi
2
[g(x)− f (x)] dx +
∫ 3pi
4
pi
4
[f (x)− g(x)] dx .
I Finalmente, resolvendo as integrais obtemos que a a´rea entre
as curvas mede
√
2
(
1 +
5pi
8
)
unidades quadradas.
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Ca´lculo de a´reas entre curvas
Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Exemplo - 2
I Sejam f (x) = sin(x) e g(x) =
√
2
2
, determine a a´rea entre as
duas curvas e as retas x = −pi
2
e x =
3pi
4
;
I Temos dois pontos de intersecc¸a˜o no itervalo, P1 = (
pi
4
,
√
2
2
)
e P2 = (
3pi
4
,
√
2
2
).
I Como g(x) ≥ f (x) no intervalo fechado [−pi
2
,
pi
4
], e
f (x) ≥ g(x) no intervalo [pi
4
,
3pi
4
] a a´rea e´ dada por∫ pi
4
−pi
2
[g(x)− f (x)] dx +
∫ 3pi
4
pi
4
[f (x)− g(x)] dx .
I Finalmente, resolvendo as integrais obtemos que a a´rea entre
as curvas mede
√
2
(
1 +
5pi
8
)
unidades quadradas.
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Ca´lculos de volumes de so´lidos de revoluc¸a˜o
Exemplo - 2
I Sejam f (x) = sin(x) e g(x) =
√
2
2
, determine a a´rea entre as
duas curvas e as retas x = −pi
2
e x =
3pi
4
;
I Temos dois pontos de intersecc¸a˜o no itervalo, P1 = (
pi
4
,
√
2
2
)
e P2 = (
3pi
4
,
√
2
2
).
I Como g(x) ≥ f (x) no intervalo fechado [−pi
2
,
pi
4
], e
f (x) ≥ g(x) no intervalo [pi
4
,
3pi
4
] a a´rea e´ dada por∫ pi
4
−pi
2
[g(x)− f (x)] dx +
∫ 3pi
4
pi
4
[f (x)− g(x)] dx .
I Finalmente, resolvendo as integrais obtemos que a a´rea entre
as curvas mede
√
2
(
1 +
5pi
8
)
unidades quadradas.
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Exemplo - 2
I Sejam f (x) = sin(x) e g(x) =
√
2
2
, determine a a´rea entre as
duas curvas e as retas x = −pi
2
e x =
3pi
4
;
I Temos dois pontos de intersecc¸a˜o no itervalo, P1 = (
pi
4
,
√
2
2
)
e P2 = (
3pi
4
,
√
2
2
).
I Como g(x) ≥ f (x) no intervalo fechado [−pi
2
,
pi
4
], e
f (x) ≥ g(x) no intervalo [pi
4
,
3pi
4
] a a´rea e´ dada por∫ pi
4
−pi
2
[g(x)− f (x)] dx +
∫ 3pi
4
pi
4
[f (x)− g(x)] dx .
I Finalmente, resolvendo as integrais obtemos que a a´rea entre
as curvas mede
√
2
(
1 +
5pi
8
)
unidades quadradas.
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Conteu´do
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So´lidos de revoluc¸a˜o ao redor do eixo “x”
I Desejamos calcular o volume de um so´lido obtido pela rotac¸a˜o
de uma a´rea definida acima do eixo x em torno do eixo x .
I Para isto, observamos que podemos”fatiar”o so´lido em fatias
de espessura ∆xi ;
I O volume de cada fatia e´ dado por piR2∆xi ;
I Note que o raio R da fatia e´ dado por R = f (x);
I Assim, podemos aproximar o volume do so´lido pela soma de
Riemman lim
n→∞
n∑
i=1
pif (ξi )
2∆xi = pi
∫ b
a
f (x)2 dx
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Exemplo - 1 - volume do cone
I Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do
eixo x da a´rea delimitada pelo eixo x , pela reta y = x e pela
reta x = a, com a > 0.
I Pela discussa˜o anterior, este volume e´ dado por
V = pi
∫ a
0
x2 dx = pi
a3
3
;
I Note que neste caso espec´ıfico, o raio do cone e´ igual a sua
altura.
I Usando argumentac¸a˜o similar a esta, e´ poss´ıvel mostrar que o
volume de um cone ”gene´rico”e´ dado por V = piR2
h
3
, onde R
e´ o raio da base e h a altura do cone.
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Exemplo - 2 - volume da esfera
I Para calcular o volume de uma esfera de raio R, observamos
que a esfera e´ o resultado da rotac¸a˜o do semi-c´ırculo
x2 + y2 = R2, com y ≥ 0 em torno do eixo x .
I Note que podemos escrever a equac¸a˜o do semi-c´ırculo como
y =
√
R2 − x2.
I Assim, o volume da esfera e´ dado por
V = pi
∫ R
−R
(R2 − x2) dx = 4
3
piR3.
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Exemplo - 3 - volume do toro´ide
I Suponha que a esfera do exemplo anterior tenha centro em
(x0, 0), e desejamos calcular o volume do so´lido de revoluc¸a˜o
formado pela rotac¸a˜o deste c´ırculo em torno do eixo y .
I Note que neste caso e´ mais fa´cil proceder com a integrac¸a˜o na
varia´vel y ;
I Assim, podemos escrever as equac¸a˜o dos semi-c´ırculos como
x(y) = ±
√
R2 − y2 + x0;
I Observe que o volume de cada uma das fatias e´ dado por
pi(R21 − R22 )∆xi , onde R1 e´ o raio externo e R2 o interno;
I Como R1 =
√
R2 − y2 + x0 e R2 = −
√
R2 − y2 + x0, o
volume desta rosquinha e´ dado por
pi
∫ b
a (f (x)
2 − g(x)2) dx = pi ∫ R−R(R21 − R22 ) dx ;
I Resolva a integral resultante, e mostre que V = 2pi2x0R2
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Exemplo - 4 - corneta de Gabriel
I Qual o volume do so´lido formado pela rotac¸a˜o em torno do
eixo x da a´rea delimitada pela hipe´rbole y =
1
x
, pelo eixo x e
pela reta x = 1 ?
I Considere agora a a´rea externa de uma fatia deste so´lido.
Note que esta a´rea e´ dada por 2pif (x)∆si , onde ∆si e´ o
comprimento de arco da func¸a˜o y(x). Observe tambe´m que
∆si ≥ ∆xi ;
I Assim, a a´rea superficial do so´lido e´ maior que a integral
A = 2pi
∫ b
a f (x) dx ;
I Qual e´ enta˜o a a´rea superficial da corneta de Gabriel (tambe´m
conhecida como trompete de Torricelli) ?
I Como voceˆ interpreta estes resultados?
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Refereˆncias
I Livro texto, sec¸o˜es 5.6 e 6.1;
I Pro´xima aula: livro texto, sec¸o˜es 6.2 e 6.3;
Aplicac¸o˜es da Integral
	Cálculo de áreas entre curvas
	Cálculos de volumes de sólidos de revolução