VETORES aula 1_

Prévia do material em texto

Quando se fixa nela um sentido de 
percurso, positivo e indicado por uma 
seta; 
 
 r 
O sentido oposto é negativo. 
 
É determinado por um par ordenado 
de pontos, o 1º origem e o segundo 
extremidade; 
 B 
 
 A C 
 D 
 
 
Extremidade coincide com a 
origem. 
1.2.2 Segmentos opostos 
Se AB é um segmento orientado, o 
segmento orientado BA é oposto de AB. 
Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm 
a mesma direção se as retas suportes desses 
segmentos são paralelas 
 
 
 
 
 
Ou coincidentes 
 
 
 
Obs.: 1-) só se pode comparar os sentidos de dois 
segmentos orientados se eles têm mesma direção; 
 2-) Dois segmentos orientados opostos têm 
sentidos contrários. 
AB CDDefinição: O segmento orientado é eqüipolente ao segmento orientado 
 se ambos são segmentos nulos, ou se têm mesma medida e mesmo sentido. 
 AB ~ AB 
 AB ~ CD CD ~ AB 
 Dados AB e um ponto C existe um único 
ponto D tal que AB ~ CD 
 AB ~ CD então AC ~ BD 
AB
AB
Definição: Chamamos vetor determinado por um segmento 
 
 orientado ao conjunto de todos os segmentos orientados 
 
 equipolentes a . 
 
AB ABO vetor determinado pelo segmento indicamos 
 é determinado por uma infinidade de 
segmentos orientados, que são chamados representantes desse vetor, e 
 que são todos equipolentes entre si. 
 
 
 
AB
Obs.: Um mesmo vetor 
AB
CD CDAB ~
Dois vetores e são iguais se, e somente se 
Os segmentos nulos são representantes de um único vetor, que 
chamamos de vetor nulo. 
Dado um vetor u , todos os seus representantes têm a mesma 
medida. Essa medida denominamos módulo do vetor u e indicamos | u | 
• Um vetor u é unitário se | u | =1 e chamamos de 
 versor de um vetor não nulo, 
Indicamos por u0 
 Vetores Opostos 
 Vetores Paralelos ou Colineares 
 Vetores Ortogonais 
 Vetores Coplanares 
 
 
Definição: Dados n vetores v1 , v2
 ,..., vn , e n escalares 
 
a1,a2 , ... , an , chamamos o vetor v = a1v1+a2v2+...+anvn de 
 
combinação linear dos vetores v1 , v2 ,..., vn 
 
com coeficientes a1, a2 , ... , an 
 
Exemplos 
 Os vetores u e v são paralelos se, e somente 
se, podemos escrever um deles como 
combinação linear do outro. 
 u, v e w são coplanares se, e somente se, 
podemos escrever um deles como 
combinação linear dos outros. 
 
Definição: Dados um ponto A e um vetor v, 
existe um único ponto B tal que AB =v. O 
ponto B chamamos de soma do ponto A com 
o vetor v. 
 
Propriedades: A + 0 = 
(A – v ) + v = 
A + v = B + v 
A + u = A +v 
A + AB = 
Definições: 
 
1) Dado um vetor diferente do vetor nulo, 
dizemos que {v} é uma base pra um 
conjunto de vetores paralelos a v. 
2) Dados dois vetores não paralelos, dizemos 
que {u, v} é uma base para o conjunto de 
vetores coplanares com u e v. 
 
3) Dados três vetores não coplanares dizemos 
que {u,v,w} é uma base para o conjunto de 
vetores do espaço R3. 
 
Base ortogonal 
 
Base ortonormal ( Base canônica) 
 
 
 
Dada a base {u,v} podemos escrever qualquer 
vetor do R2 como combinação linear de {u,v}. 
s = au +bv 
 
Os escalares a, b são as coordenadas do vetor 
s em relação a base {u, v} 
s= (a,b) 
 
 
R2 = R X R = { (x; y) / x; y є R} → v = ( x; y) 
 y 
 
 
 v 
 
 i 
 j x 
 
 
 
Dada a base {u,v,w} podemos escrever 
qualquer vetor do R3 como combinação linear 
de {u,v,w}. 
s = au +bv +cw 
 
Os escalares a, b, c são as coordenadas do 
vetor s em relação a base {u, v, w} 
s= (a,b,c) 
 
BASE CANÔNICA 
 
 
 z 
 
 k j y 
 i 
 
 x 
 
i = (1; 0; 0) 
j = (0; 1; 0) 
k = (0; 0; 1) 
 
Geometricamente 
 
Consideremos dois vetores u e v, e um ponto 
qualquer A. Sejam B=A + u e C=B+v. O vetor 
s= AC é chamado vetor soma de u e v e 
indicamos por s=u+v. 
 
Algebricamente 
 
Sendo o vetor u=(x1, y1) e o vetor v = (x2, y2) 
então u + v = (x1 + x2, y1 + y2). 
 
 
I) Associativa: ( u + v) + w = u + (v + w); 
II) Comutativa: u + v = v + u; 
III) Elemento neutro: u + 0 =u 
IV) Elemento oposto: u + (-u) = 0 
Definição: Seja a € R* e v ≠ 0. Chamamos 
a.v=w o vetor que satisfaz as condições 
abaixo: 
1) Módulo: |a.v| = |a||v| 
2) Direção: a.v é paralelo a v 
 
3) Sentido: a.v a>0, a.v tem mesmo sentido de v 
 a<0, a.v tem sentido oposto de v 
 
Kv = K (x2, y2) = (Kx2, Ky2 ) 
 
 
 
Dado um vetor u = (x1 , y1 ) | u |= 2121 yx 
 IGUALDADE DE VETORES 
Dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2,y2) são iguais, se 
somente se, x1 = x2 e y1 = y2, e escreve-se u = v. 
O módulo v=(x,y,z) é definido por: 
D (P,Q) = | PQ | = 
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxx 
Ponto médio entre P e Q 
Dado um segmento orientado com origem no ponto 
P = (x1,y1,z1) e extremidade no ponto Q==(x2,y2,z2), 
o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y,z) onde 
 
 
 
2
21 xxx


2
21 yyy


2
21 zzz


Ex: P = (1,2,0) e Q = (4,2,4) 
 
d(P,Q) = ? M = ? 
Localização dos pontos: 
A(2; 0; 0) є ao eixo x; 
C(0; 4; 0) є ao eixo y; 
E(0; 0; 3) є ao eixo z; 
B(2; 4; 0) є ao plano xy; 
D(0; 4; 3) є ao plano yz; 
F(2; 0; 3) є ao plano xz; 
A B 
C 
E 
F 
D 
P 
x 
2 
O 
4 
3 
y 
z 
 
CONDIÇÃO DE PARALELISMO 
Se dois vetores u = (x1; y1; z1) e v = 
(x2; y2; z2) são colineares (ou 
paralelos) existe um número k tal que 
(x1; y1; z1) = k(x2; y2; z2) donde 
teremos: 
k = x1 / x2 = y1 / y2 = z1 / z2. 
(as coordenadas são proporcionais) 
 1) Considere um paralelogramo ABCD, onde 
A(1,0,2), B(1,-1,2), C(0,2,-2). Determine as 
coordenadas dos vetores AB e BC, do vértice 
D e do versor de AB. 
 Ache um vetor paralelo a u = (3,5,6) 
 Verifique se os vetores são coplanares 
u=(2,3,4), v=(1,4,3) e w=(2,5,4).