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Lista de Exerc´ıcios 5
Jorge C. Lucero
21 de Abril de 2009
1. Utilize o algoritmo da Eliminac¸a˜o de Gauss para resolver os sistemas lineares a seguir,
se poss´ıvel.
(a)
⎧⎨
⎩
x1 − x2 + 3x3 = 2,
3x1 − 3x2 + x3 = −1,
x1 + x2 = 3,
(b)
⎧⎨
⎩
2x1 − 1.5x2 + 3x3 = 1,
−x1 + 2x3 = 3,
4x1 − 4.5x2 + 5x3 = 1.
(c)
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
2x1 = 3,
x1 + 1.5x2 = 4.5,
− 3x2 + 0.5x3 = −6,
2x1 − x2 + x3 + x4 = 0.8
(d)
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
x1 − 12x2 + x3 = 4,
2x1 − x2 − x3 + x4 = 5,
x1 + x2 = 2,
x1 − 12x2 + x3 + x4 = 5.
(e)
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
x1 + x2 + x4 = 2,
2x1 + x2 − x3 + x4 = 1,
4x1 − x2 − 2x3 + 2x4 = 0,
3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3.
(f)
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
x1 + x2 + x4 = 2,
2x1 + x2 − x3 + x4 = 1,
−x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 4,
3x1 − x2 − x3 + 2x4 = −3.
2. Dado o sistema linear {
2x1 − 6αx2 = 3,
3αx1 − x2 = 32
(a) Encontre valor(es) para α para o(s) qual(is) o sistema na˜o tem soluc¸o˜es.
(b) Encontre valor(es) para α para o(s) qual(is) o sistema tem um nu´mero infinito de
soluc¸o˜es.
(c) Assumindo que existe uma u´nica soluc¸a˜o para um valor de α dado, encontre essa
soluc¸a˜o.
(Obs.: utilize a Eliminac¸a˜o de Gauss)
3. Dado o sistema linear ⎧⎨
⎩
x1 − x2 + αx3 = −2,
−x1 + 2x2 − αx3 = 3,
αx1 + x2 + x3 = 2.
1
(a) Encontre valor(es) para α para o(s) qual(is) o sistema na˜o tem soluc¸o˜es.
(b) Encontre valor(es) para α para o(s) qual(is) o sistema tem um nu´mero infinito de
soluc¸o˜es.
(c) Assumindo que existe uma u´nica soluc¸a˜o para um valor de α dado, encontre essa
soluc¸a˜o.
(Obs.: utilize a Eliminac¸a˜o de Gauss)
4. Suponha que em um sistema biolo´gico ha´ n espe´cies de animais e m fontes de alimento.
Suponha tambe´m que xj e´ a populac¸a˜o da j-e´sima espe´cie, com j = 1, . . . , n; bi e´
o suprimento dia´rio dispon´ıvel do i-e´simo alimento, e aij e´ a quantidade do i-e´simo
alimento consumido em me´dia por um membro da j-e´sima espe´cie. O sistema linear
⎧⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
...
an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
representa uma situac¸a˜o de equil´ıbrio no qual o suprimento dia´rio de alimentos iguala
o consumo me´dio dia´rio de cada espe´cie.
(a) Seja
A = [aij ] =
⎛
⎝1 2 0 31 0 2 2
0 0 1 1
⎞
⎠
x = (xj) = [1000, 500, 350, 400]T , e b = (bi) = [3500, 2700, 900]T . Ha´ alimento
suficiente para satisfazer o consumo me´dio dia´rio?
(b) Qual a quantidade ma´xima de animais de cada espe´cie que pode ser adicionada
individualmente ao sistema, tal que o suprimento de alimento ainda satisfac¸a o
consumo?
(c) Se a espe´cie 1 se torna extinta, qual o incremento individual de cada uma das
espe´cies restantes que os sistema suporta?
(d) Se as espe´cies 1 e 2 se tornam extintas, qual o incremento individual de cada uma
das espe´cies restantes que os sistema suporta?
5. Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando Eliminac¸a˜o de Gauss, permutando as
linhas quando for necessa´rio.
(a)
⎧⎨
⎩
x1 − 5x2 + x3 = 7,
10x1 + 20x3 = 6,
5x1 − x3 = 4.
(b)
⎧⎨
⎩
x1 + x2 − x3 = 1,
x1 + x2 + 4x3 = 2,
2x1 − x2 + 2x3 = 3.
(c)
⎧⎨
⎩
2x1 − 3x2 + 2x3 = 5,
−4x1 + 2x2 − 6x3 = 14,
2x1 + 2x2 + 4x3 = 8.
2
(d)
⎧⎨
⎩
x2 + x3 = 6,
x1 − 2x2 − x3 = 4,
x1 − x2 + x3 = 5.
6. Repita o Exerc´ıcio 1 usando pivotamento parcial.
7. Repita o Exerc´ıcio 1 usando pivotamento completo.
Respostas
1. (a) x1 = 1.1875, x2 = 1.8125, x3 = 0.875.
(b) x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1.
(c) x1 = 1.5, x2 = 2, x3 = −1.2, x4 = 3.
(d) x1 = 22/9, x2 = −4/9, x3 = 4/3, x4 = 1.
(e) Na˜o tem uma soluc¸a˜o u´nica.
(f) x1 = −1, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 1.
2. (a) Quando a = −1/3, na˜o ha´ soluc¸a˜o.
(b) Quando a = 1/3, ha´ um nu´mero infinito de soluc¸o˜es com x1 = x2 + 1.5, e x2
arbitra´rio.
(c) Se a �= ±1/ 3, enta˜o a soluc¸a˜o u´nica e´
x1 =
3
2(1 + 3α)
x1 =
3
2(1 + 3α)
3. (a) α = 1
(b) α = −1
(c) x1 = −1/(1 − α), x2 = 1, x3 = 1/(1 − α)
4. (a) Ha´ alimento suficiente para satisfazer o consumo.
(b) Poder´ıamos adicionar 200 animais da espe´cie 1, ou 150 da espe´cie 2, ou 100 da
espe´cie 3, ou 100 da espe´cie 4.
(c) Poderiamos adicionar 650 animais da espe´cie 2, ou 150 da espe´cie 3, ou 150 da
espe´cie 4.
(d) Poderiamos adicionar 150 animais da espe´cie 3, ou 150 da espe´cie 4.
5. (a) Nenhuma permuta de linhas
(b) Permuta das linhas 2 e 3.
(c) Nenhuma permuta de linhas
(d) Permuta das linhas 1 e 2.
Fonte: Richard L. Burden e J. Douglas Faires. Ana´lise Nume´rica. Cengage Learning, Sa˜o Paulo, 2008.
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