analise combinatoria aluno

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ANÁLISE ANÁLISE 
COMBINATÓRIACOMBINATÓRIA
 
Análise combinatória
● As primeiras atividades matemáticas da humanidade 
estavam ligadas à contagem de objetos de um 
conjunto, enumerando seus elementos. 
● A análise combinatória é a área de Matemática que 
trata dos problemas de contagem.
● Vamos aprender agora a determinar o número de 
possibilidades de ocorrência de um evento, sem a 
necessidade de descrever todas as possibilidades.
 
Fundamentos de análise combinatória
Se um acontecimento ocorrer por várias etapas 
sucessivas e independentes, de tal modo que:
p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa
p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa
...
pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa,
Então p1.p2 ... pk é o número total de possibilidades 
do acontecimento ocorrer.
Princípio multiplicativo
 
Fundamentos de análise combinatória
Exemplo 1:
André tem duas bermudas (preta e cinza) e quatro 
camisetas (branca, verde, amarela e roxa). De 
quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir 
usando uma bermuda e uma camiseta?
 
Fundamentos de análise combinatória
Exemplo 2:
Os números dos telefones de uma cidade têm 8 
algarismos. Determinar a quantidade máxima de 
telefones a serem instalados, sabendo que os 
números não devem começar com zero.
 
Fundamentos de análise combinatória
Sendo n um número inteiro maior que 1, define-se 
fatorial de n como o produto dos n números naturais 
consecutivos de n a 1. Indica-se n!.
n! = n(n – 1). (n – 2 )....3 . 2 . 1, sendo n N e n > 1.∊
8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320
Fatorial
 
Fundamentos de análise combinatória
Se tivermos n elementos distintos, então o número de 
agrupamentos ordenados que possam obter com 
todos esses elementos, chamamos de permutações 
simples, e indicamos por:
Pn = n.(n – 1).(n - 2) ... 3.2.1
 
Permutação simples
 
Fundamentos de análise combinatória
Exemplo 1:
Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser 
formados, usando os algarismos 1, 3, 5, 7 e 8?
 
Fundamentos de análise combinatória
Exemplo 2:
Quantos anagramas há na palavra MITO?
 
Fundamentos de análise combinatória
Se tivermos n elementos distintos, então o número de 
permutações com repetição de n elementos, onde a, b 
e c são números de elementos iguais é 
Permutação com repetição
 
Fundamentos de análise combinatória
Exemplo 1:
Vamos considerar os anagramas da palavra bolo, 
supondo inicialmente que existam duas letras o 
diferentes o o azul e o o vermelho, ou seja os 
anagramas da palavra bolo.
 
Denomina-se arranjo simples dos n elementos 
tomados p a p, com (p ≤ n) são os agrupamentos 
ordenados diferentes que se podem formar com p 
dos n elementos dados.
Fundamentos de análise combinatória
Arranjos Simples
 
Fundamentos de análise combinatória
Exemplo 1:
Calcule A10,4
A10,4 = 10!/(10-4)! = 10 .9 .8 .7!/7! = 5040
 
Fundamentos de análise combinatória
Exemplo 2:
Quantos números de dois algarismos diferentes 
podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9?
 
Fundamentos de análise combinatória
Solução:
Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a 
ordem é importante, pois, por exemplo, 12 ≠ 21. 
Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2. 
Assim, temos:
Portanto, existem 72 números de 2 algarismos 
distintos que podem ser escritos com os algarismos de 
1 a 9.
 
Fundamentos de análise combinatória
Exemplo 3:
Quantos números pares de quatro algarismos obtemos 
com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los?
 
Combinações simples de m elementos tomados p a p 
(p≤m) são os subconjuntos com exatamente p 
elementos que se podem formar com os n elementos 
dados (com repetição). Indicamos por:
Fundamentos de análise combinatória
Combinações simples
 
Fundamentos de análise combinatória
Exemplo 1:
Quantas comissões de 3 participantes podem ser 
formadas com 5 pessoas?
 
Fundamentos de análise combinatória
Solução:
No exemplo, as comissões devem ter 3 participantes, 
isto é,não usaremos todas as pessoas. Vamos chamar 
de A, B, C, D e E as 5 pessoas que podem ser 
indicadas para a comissão. Dessas escolhemos 3.
 
A B C
Invertendo-se a ordem, temos B A C. Como A, B e C 
são a mesma comissão de B, A, C, o problema é de 
combinação (não depende da ordem). Logo:
 
Fundamentos de análise combinatória
Solução:
Podemos formar 10 comissões.
 
Fundamentos de análise combinatória
Exemplo 2:
Em uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se 
comissões de 4 alunos e duas alunas. Determine o 
número de comissões em que participa o aluno x e 
não participa a aluna y.
 
 
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