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See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/306031833 QUADRIPOLOS - Teoria e Prática Technical Report · August 2016 DOI: 10.13140/RG.2.2.31033.47203 CITATIONS 0 READS 1,997 1 author: Some of the authors of this publication are also working on these related projects: DC Power Supply from 0 to 30 V (5 A) along with my students at IAV. View project only translator View project Homero Sette 156 PUBLICATIONS 4 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Homero Sette on 16 August 2016. The user has requested enhancement of the downloaded file. Quadripolos - Teoria e Prática Original: 05 – 06 – 2016 Homero Sette Silva Revisão: 15 – 08 – 2016 Quadripolos representam circuitos elétricos com duas portas, ou seja, dotados de quatro terminais (dois de entrada e dois de saída) permitindo que sejam analisados de forma sistemática e padronizada, através da aplicação de um procedimento uniforme, o que trás inúmeras vantagens. Os primeiros estudos sobre os quadripolos foram feitos pelo matemático alemão Franz Breisig, em 1921. As variáveis que definem o quadripolo são em número de quatro: as tensões de entrada e de saída e suas respectivas correntes. Das quatro variáveis duas são consideradas independentes e duas são as variáveis dependentes. Como são quatro variáveis no total tendo sido duas escolhidas como independentes, estaremos combinando duas de quatro variáveis, o que leva a um total de seis combinações possíveis, conforme abaixo: 4 Elementos a , b , c , d a b c d Combinados 2 a 2 Produzem 6 Possibilidades 1 2 3 4 5 6 a b a c a d b c b d c d 24 4! 4 3 2 1 24 24 24C 6 2! 4 2 ! 2 1 2 ! 2 2 1 2 2 4 a b c d Variáveis de Entrada Variáveis de Saída 1i 1e 2i 2e Variáveis Independentes 1i 2i 1e 2e 1e 2i 1i 2e 2e 2i 1e 1i 1 2 3 4 5 9 Parâmetros z y g h T t 1e 2e 1i 2i 2e 1i 1e 2e 1e 1i 2e 2i Variáveis Dependentes Representação Externa dos Quadripolos Sem terminação na entrada e na saída. Exemplo de terminação na entrada e na saída. No quadripolo de Transmissão T a corrente na saída é invertida, por conveniência. 2i No quadripolo definido pela matriz t = T ' temos a inversão da corrente de entrada . 1i Os quadripolos só podem ser aplicados a circuitos com as seguintes características: 1 – Sem excitação externa a energia armazenada é nula; 2 - Sem fontes independentes; 3 - Sem ligações externas entre as portas de entrada e de saída; Parâmetros de Impedância z Todos os parâmetros em Ohms Quadripolo Parâmetros Z 1 1e f i , i 2 1 2e f i , i2 1 11 1 12e z i z i 2 2 21 1 22e z i z 2i 11 12 21 22 z z Z = z z 1 11 12 1 2 21 22 2 e z z i = e z z i 11 12 11 22 12 21 21 22 z zΔZ = z z z z z z Equações de definição Circuito equivalente Definição dos Parâmetros 2 1 11 1 i = 0 ez = i Impedância de entrada com a saída aberta 1 1 12 2 i = 0 ez = i Impedância reversa com entrada aberta Todos os parâmetros z são definidos com correntes nulas sendo denominados parâmetros de circuito aberto. 2 2 21 1 i = 0 ez = i Impedância direta com saída aberta 1 2 22 2 i = 0 ez = i Impedância de saída com a entrada aberta Parâmetros de Admitância y Todos os parâmetros em Siemens Quadripolo Parâmetros Y 1 1i f e , e 2 2 1 2i f e , e 1 11 1 12i y e y e 2 2 21 1 22i y e y e 2 11 12 21 22 y y Y = y y 1 11 12 1 2 21 22 2 i y y e = i e y y 11 12 11 22 12 21 21 22 y yΔY = y y y y y y Equações de definição Circuito equivalente Definição dos Parâmetros 2 1 11 1 e = 0 iy = e Admitância de entrada com a saída em curto 1 1 12 2 e = 0 iy = e Admitância reversa com a entrada em curto Todos os parâmetros y são definidos com tensões nulas sendo denominados parâmetros de curto circuito. 2 2 21 1 e = 0 iy = e Admitância direta com a saída em curto 1 2 22 2 e = 0 iy = e Admitância de saída com a entrada em curto 11g -1 22g Parâmetros Híbridos g 12g 21g adimensionais Quadripolo Parâmetros g 1 1i f e , i 2 2 1 2e f e , i 1 11 1 12i g e g i 2 2 21 1 22e g e g 2i 11 12 21 22 g g G = g g 1 11 12 1 2 21 22 2 i g g e = e i g g 11 12 11 22 12 21 21 22 g gΔG = g g g g g g Equações de definição Circuito equivalente Definição dos Parâmetros 2 1 11 1 i = 0 ig = e Admitância de entrada com a saída aberta 1 1 12 2 e = 0 ig = i Ganho reverso de corrente com a entrada em curto Os parâmetros híbridos são assim chamados em virtude de apresentarem impedâncias e admitâncias. 2 2 21 1 i = 0 eg = e Ganho de tensão com a saída aberta 1 2 22 2 e = 0 eg = i Impedância de saída com a entrada em curto 11h 22h -1 Parâmetros Híbridos h 12h 21h adimensionais Quadripolo Parâmetros h 1 1e f i , e 2 2 1 2i f i , e 1 11 1 12e h i h e 2 2 21 1 22i h i h e 2 11 12 21 22 h h H = h h 1 11 12 1 2 21 22 2 e h h i = i h h e 11 12 11 22 12 21 21 22 h h H = h h h h h h Equações de definição Circuito equivalente Definição dos Parâmetros 2 1 11 1 e = 0 eh = i Impedância de entrada com a saída em curto 1 1 12 2 i = 0 eh = e Ganho reverso de tensão com a entrada aberta Os parâmetros híbridos são assim chamados em virtude de apresentarem impedâncias e admitâncias. 2 2 21 1 e = 0 ih = i Ganho de corrente com a saída em curto 1 2 22 2 i = 0 ih = e Admitância de saída com a entrada aberta A D adimensionais Parâmetros de Transmissão T B C -1 Quadripolo Parâmetros T 1 2e f e , i 2 1 2 2i f e , i 1 2e = A e B i 2 1 2i C e D i 2 11 12 21 22 T TA B T = = C D T T 2 1 1 2i e eA B = i C D A BΔT = A D B C C D Equações de definição Circuito equivalente Definição dos Parâmetros 2 2 1 i = 0 eA = e Ganho reverso de tensão com a saída aberta 2 1 e = 02- i eB = Impedância de transferência com a saída em curto 2 1 2 i = 0 iC = e Admitância de transferência com a saída aberta 2 1 e = 02- i iD = Ganho reverso de corrente com a saída em curto a d adimensionais Parâmetros de Transmissão t b c -1 Quadripolo Parâmetros t 2 1e f e , i 1 2 1 1i f e , i 2 1e = a e b i 1 2 1i c e d 1i 11 12 21 22 t ta b t = = c d t t 2 1 12 i e ea b = i c d a bΔt = a d b c c d Equações de definição Circuito equivalente Definição dos Parâmetros 11 2i = 0 ea = e Ganho de tensão com a saída aberta 1 2 e = 01- i eb = Impedância de transferência com a saída em curto 1 2 1 i = 0 ic = e Admitância de transferência com a saída aberta 1 2 e = 01- i id = Ganho de corrente com a saída em curto Resumo dos Quadripolos Parâmetros de Impedância z 1Z = Y 1Y = Z Parâmetros de Admitância y 1 11 1 12e z i z i 2 2 21 1 22 2e z i z i 1 11 1 12 2i y e y e 2 21 1 22i y e y e 2 1 11 1 e z i 112 2 e z i 221 1 e z i 222 2 e z i 111 1 i y e 112 2 i y e 221 1 i y e 222 2 i y e 2i = 0 1i = 0 2i = 0 1i = 0 2e = 0 1e = 0 2e = 0 1e = 0 Ohms Siemens Parâmetros Híbridos g 1G = H 1H = G Parâmetros Híbridos h 1 11 1 12i g e g i 2 2 21 1 22 2e g e g i 1 11 1 12 2e h i h e 2 21 1 22i h i h e 2 1 11 1 i g e 112 2 i g i 221 1 e g e 111 112 2 e h e 221 1 i h i 222 e g i 2i = 0 1e = 0 2i = 0 2 1e = 0 1 2e = 0 e h i 222 2 i h e 1i = 0 2e = 0 1i = 0 Siemens - - Ohms Ohms - - Siemens Parâmetros de Transmissão T 1T = t 1t = T Parâmetros de Transmissão t 1 2e = A e B i 2 1 2 2i C e D i 2 1 1e = a e b i 2 1i c e d 1i 1 1 2 e B i 1 2 2 1 2 2 12 2i = 0 e A e 2e = 0 2 2i = 0 i C e 1iD i 2 2e = 0 1 1i = 0 e a e eb i 1 e = 0 1 1i = 0 i c e iD i 1 e = 0 - Ohms Siemens - - Ohms Siemens - Definição dos Parâmetros T Definição dos Parâmetros t 1 2e = A e B i 2 1 2i C e D i 2 2 1e = a e b i1 2 1i c e d 1i Explicitando 2i Explicitando 1i 1 2 2 2 1i C e D i D i i C e 2 2 1 1 1 1i c e d i d i c e i2 2 1 1 Ci i D D 2e 1 1c 1i ed d 2i Circuito Equivalente T Circuito Equivalente t 1 2e = A e B i 2 2 11 Ci iD D 2e 2 1e = a e b i1 1 1 c 1i e d d 2i Obtendo as equações dos circuitos equivalentes dos quadripolos T e t. Associação em cascata de dois quadripolos T. O que explica a conveniência da inversão do sentido da corrente . 2i Associação em cascata de dois quadripolos t. O que explica a conveniência da inversão do sentido da corrente . 1i Matriz de Transmissão Os quadripolos definidos pelas matrizes T e t , que são inversas uma da outra, são os preferidos para uso em linhas de transmissão, circuitos de filtros e outras aplicações onde a saída de um quadripolo vai alimentar a entrada do seguinte, ligado em cascata com o anterior. Pelo motivo acima convém inverter o sentido da corrente , na saída do quadripolo T, para que ela tenha o mesmo sentido que a corrente , na entrada do quadripolo T seguinte, uma vez que , na ligação em cascata. 2i 1i 2i i 1 O quadripolo resultante da associação em cascata, de qualquer quantidade de quadripolos T (ou t), será dado pelo produto matricial entre eles, lembrando que esse produto não é comutativo, ou seja, deve ser tomado na ordem correta da seqüência. A matriz T foi proposta para uso em sistemas telefônicos por P. K. Webb, do British Post Office Research Department, no Report 630, de 1977, conforme http://rf-opto.etc.tuiasi.ro/docs/files/DCMR_2009_Curs_1.pdf . DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS Z e Y Definição dos Parâmetros Z Saída Aberta 2 1 11 1 i = 0 ez = i 2 2 21 1 i = 0 ez = i Definição dos Parâmetros Z Entrada Aberta 1 1 12 2 i = 0 ez = i 1 2 22 2 i = 0 ez = i Medição dos Parâmetros Z Definição dos Parâmetros Y Saída em Curto 2 1 11 1 e = 0 iy = e 2 2 21 1 e = 0 iy = e Definição dos Parâmetros Y Entrada em Curto 1 1 12 2 e = 0 iy = e 1 2 22 2 e = 0 iy = e Medição dos Parâmetros Y DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS G e H Definição dos Parâmetros G Saída Aberta 2 1 11 1 i = 0 ig = e 2 2 21 1 i = 0 eg = e Definição dos Parâmetros G Entrada em Curto 1 1 12 2 e = 0 ig = i 1 2 22 2 e = 0 eg = i Medição dos Parâmetros G Definição dos Parâmetros H Saída em Curto 2 1 11 1 e = 0 eh = i 2 2 21 1 e = 0 ih = i Definição dos Parâmetros H Entrada em Aberta 1 1 12 2 i = 0 eh = e 1 2 22 2 i = 0 ih = e Medição dos Parâmetros H DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS T e t Definição dos Parâmetros T Saída Aberta 2 2 1 i = 0 eA = e 2 1 2 i = 0 iC = e Definição dos Parâmetros T Saída em Curto 2 1 e = 02- i eB = 2 1 e = 02- i iD = Medição dos Parâmetros T Definição dos Parâmetros t Entrada Aberta 11 2 i = 0 ea = e 1 2 1 i = 0 ic = e Definição dos Parâmetros t Entrada em Curto 1 2 e = 01- i eb = 1 2 e = 01- i id = Medição dos Parâmetros t RESUMO de MATRIZES O termo Matriz foi modernamente cunhado por James Joseph Sylvester, e divulgado em 1858 no Memoir on the Theory of Matrices, de Arthur Cayley, publicado em Londres, em 1858. No entanto a referência mais antiga data de 2500 A.C. no livro chinês Chuí-Chang Suan-Shu. http://pt.slideshare.net/aidre/04-algebra-linear-33373290 http://www.somatematica.com.br/historia/oriental3.php Exemplos de Matrizes 1 3 m a a a 2a 1 2 na a a3a 23a 2a 11 12 13 1n 21 22 2n 31 32 33 3n m1 m2 m3 mn a a a a a a a a a a a a a a a Genérico: ; Ex.: ia ii = 2 a = Genérico: ja ; Ex.: jj = 3 a = 3a 2 3ai , ja ; Ex.: ; i ji = 2 j = 3 a = Matriz Coluna Matriz Linha Matriz Genérica Duas matrizes são iguais se e somente se forem de mesma ordem e se todos os seus elementos correspon- dentes forem iguais entre si, ou seja, i j i jA = B a = b . Notação Notação Operação Simbólica Indicial Condições Adição e Subtração C = A ± B i j i j i jc = a ± b A , B e C devem ter o mesmo número de linhas e colunas. Multiplicação de Matrizes C = A B n k 1 i j ik k jc = a b O número de colunas em A deverá ser igual ao número de linhas em B. Multiplica-se cada elemento da linha i de A pelo correspondente da coluna j de B, somando-se algebricamente os resultados dos produtos. . A B B A 6 12 24 14 27 36 41 64 7 82 2 9 8 9 8 9 3 33 5 5 5 324 40 76 7 6 284 47 5 2 4 4 B CA 4 56 66 8 8 8 2 3 4 5 4 7 77 9 9 2 3 52 40 53 529 63 9 B DA Multiplicação por Escalar C = k B i j i jc = kb C terá a mesma ordem de B . Exemplo: 7 219 27 3 p 8 20 a 3 1 34 0 ar C = k B = = k Inversão de Matriz 2 x 2 -1 1b b d1 1B = B = = ×ΔA a d - - b d - ba a c c -c a c ad d b -c Resumo do Procedimento: 1) Calcular ΔA = a d - b c 2) Inverter o sentido da diagonal principal 3) Inverter os sinais dos termos na diagonal secundária Quadripolo com Terminações e suas Variáveis Tensões, correntes e impedâncias de entrada e de saída em um quadripolo. 1 in 1 e Z = i Impedância de entrada com na saída LZ g ing g in 1 e Z = = R + Z i Impedância de entrada, vista pelo Gerador Eg, com na saída LZ OZ = Impedância de saída com na entrada gZ O C S C 2 2 O 2 2 e e Z = = = Z i i TH O C2 e = Tensão na saída com LZ S C2 e = Tensão na saída com 0LZ 2e , = variações de tensão e de 2i corrente para diferentes valores de . LR THZ = Impedância de Thevenin 2 V 1 e A = e Ganho de tensão do quadripolo 2 Vg g e A = E Ganho de tensão do gerador Ganho de Potência 2 i 1 i A = - i Ganho de corrente 2 2 2 P 1 1 1 e i cos θ A = e i cos θ é o ângulo de fase Quadripolo otimizado para tensão Quadripolo otimizado para corrente in gZ Z O LZ Z in gZ Z O LZ Z Quadripolo otimizado para potência in gZ = Z O LZ = Z Para cargas complexas as impedâncias deverão ser o conjugado complexo uma da outra: R + j X e R - j X . Relações Importantes nos Quadripolos com Terminação Z Y H G T t inZ 11 L L 22 Z Z z Z Z 22 L 11 L 1 Y Z Y y Z 11 L 22 L h h Z 1 h Z 22 L 11 L g Z g g Z L L A Z B C Z D L L d Z b c Z a 1 1 E I OZ g 22 g 11 z Z Z Z Z 11 g 22 g 1 Y Z Y y Z 11 g g 22 h Z h Z h 22 g 11 g g g Z 1 g Z g g B Z D A Z C g g b a Z d c Z ThZ VA 21 11 L Z zZ Z 21 22 L Y 1 Y Z 21 L L 1 h Z h Z h 1 21 22 L g g1 Z L 1 BA Z L t bd Z 2 1 E E iA 21 L 22 Z Z Z 21 11 L y y y Z 21 22 L h 1 h Z 21 11 L g g g Z L 1 C Z D L t c Z a 2 1 I I VgA in V in g ZA Z Z in V in g ZA Z Z in V in g ZA Z Z in V in g ZA Z Z in V in g ZA Z Z in V in g ZA Z Z 2 g E E Z Y H G T t Determinantes das Matrizes 11 12 11 22 12 21 21 22 z zΔZ = z z z z z z 11 12 11 22 12 21 21 22 y yΔY = y y y y y y 11 12 11 22 12 21 21 22 g gΔG = g g g g g g 11 12 11 22 12 21 21 22 h h H = h h h h h h A BΔT = A D B C C D a bΔt = a d b c c d Tabela de Conversão de Parâmetros Z Y T t H G Z 11 12 21 22 z z z z 22 12 21 11 y - y ΔY ΔY - y y ΔY ΔY A ΔT C C 1 D C C d 1 c c Δt a c c 12 22 22 21 22 22 hΔH h h -h 1 h h 1 12 11 11 21 11 11 - g g g g ΔG g g Z Y 22 12 21 11 z - z ΔZ ΔZ - z z ΔZ ΔZ 11 12 21 22 y y y y D -ΔT B B -1 A B B a - b b -Δt d b b 1 12 11 11 21 11 11 -h1 h h h ΔH h h 12 22 22 21 22 22 gΔG g g -g 1 g g Y T 11 21 21 22 21 21 z ΔZ z z z1 z z 22 21 21 11 21 21 - y -1 y y - y-ΔY y y A B C D d b Δt Δt c a Δt Δt 11 21 21 22 21 21 -h-ΔH h h - h -1 h h 1 22 21 21 11 21 21 g g g g ΔG g g T t 22 12 12 11 12 12 z ΔZ z z z1 z z 11 12 12 22 12 12 - y -1 y y - y-ΔY y y D B ΔT ΔT C A ΔT ΔT a b c d 11 12 12 22 12 12 h1 h h h ΔH h h 22 12 12 11 12 12 - g-ΔG g g -g -1 g g t H 12 22 22 21 22 22 zΔZ z z z 1 z z 12 11 11 21 11 11 - y1 y y y ΔY y y B ΔT D D -1 C D D b 1 a a - t c a a 11 12 21 22 h h h h 22 12 21 11 g -g ΔG ΔG -g g ΔG ΔG H G 12 11 11 21 11 11 - z1 z z z ΔZ z z 1 12 22 22 21 22 22 yΔY y y - y y y C -ΔT A A 1 B A A c -1 d d t b d d 22 12 21 11 h -h ΔH ΔH -h h ΔH ΔH 11 12 21 22 g g g g G Z Y T t H G Determinantes das Matrizes 11 12 11 22 12 21 21 22 z zΔZ = z z z z z z 11 12 11 22 12 21 21 22 y yΔY = y y y y y y 11 12 11 22 12 21 21 22 g gΔG = g g g g g g 11 12 11 22 12 21 21 22 h h H = h h h h h h A BΔT = A D B C C D a bΔt = a d b c c d Associação de Quadripolos Série Parâmetros Z Paralelo Parâmetros Y Série - paralelo Parâmetros H Paralelo - série Parâmetros G Parâmetros T Cascata Parâmetros t Parâmetros Z Parâmetros Y 1 1e f i , i 2 2 1e f i , i 2 1 1i f e , e 2 2 1i f e , e 2 Porta 1 1i Porta 2 2i Porta 1 1e Porta 2 2e Ligação Série Ligação Série Ligação Paralela Ligação Paralela Parâmetros G Parâmetros H 1 1i f e , i 2 2 1e f e , i 2 1 1e f i , e 2 2 1i f i , e 2 Porta 1 1e Porta 2 2i Porta 1 1i Porta 2 2e Ligação Paralela Ligação Série Ligação Série Ligação Paralela Parâmetros T Parâmetros t 1 2e f e , i 2 1 2i f e , i 2 2 1e f e , i 1 2 1i f e , i 1 Porta 1 - Porta 1 - Porta 2 - Porta 2 - Quando dois quadripolos e são associados os parâmetros do quadripolo resultante, em um A B dos pares de portas ( ou ), será a soma dos parâmetros de cada quadripolo, na referida 1A, 1B 2B2A, porta, desde que a variável independente, nesses pares de portas, seja comum a ambos. Se a variável comum for corrente, a associação das portas será em série. Se a variável comum for tensão, a associação das portas será em paralelo. Como podemos ver os quadripolos T e t, de transmissão, não satisfazem o acima exposto e são associados em cascata. Os parâmetros resultantes são dados pelo produto matricial dos dois quadripolos. Associação Série de Dois Quadripolos Z 1 1A 1B 2 2A 2B 1 1A 1B 2 2A 2B E = e + e ; E = e + e I = i = i ; I = i = i 11A 12A 21A B 1 2 1 + +E I= E I+ z z z 11B 12 2221B 22A 2Bz z z z+ z 1 11 12 2 21 22 E Z Z I = E Z Z I 1 2 ; ; 12A11B 1212 BZ +z z zz 11A11 21 2221A 221B 2BA2 Z + Z + Z +z z zz 2 Associação Paralela de Dois Quadripolos Y 1 1A 1B 2 2A 2B 1 1A 1B 2 2A 2B E = e e ; E = e = e I = i + i ; I = i + i 11A 12A 21A B 1 2 1 + +I E= I E+ y y y 11B 12 2221B 22A 2By y y y+y 1 11 12 2 21 22 I Y Y E = I Y Y E 1 2 ; ; 12A11B 1212 BY +y y yy 11A11 21 2221A 221B 2BA2 Y + Y + Y +y y yy 2 Associação Paralela - Série de Dois Quadripolos G 1 1A 1B 2 2A 2B 1 1A 1B 2 2A 2B E = e e ; E = e + e I = i + i ; I = i = i 11A 12A 21A B 1 2 1 + +I E= E I+ g g g 11B 12 2221B 22A 2Bg g g g+ g 1 11 12 2 21 22 I G G E = E G G I 1 2 ; ; 12A11B 1212 B 2 G +g g 11A11 21 2221A 221B 2BA G + G + G +g g gg g g2 Associação Série - Paralela de Dois Quadripolos H 1 1A 1B 2 2A 2B 1 1A 1B 2 2A 2B E = e + e ; E = e = e I = i = i ; I = i + i B 211A 12A 21A B 1 2 1 + +E I= I E+ h h h 11 1 2221B 22A 2Bh h h h+ h 1 11 12 2 21 22 E H H I = I H H 1 2E ; ; 12A11B 1212 B 2 2 H +h h hh 11A11 21 2221A 221B 2BA H + H + H +h h hh Associação em Cascata de Dois Quadripolos T 1 1A 1B 2A 2 2B 1 1A 2A 1B 2 2 E = e ; e e ; E = e I = i ; i = i ; I = i B A A A A B B 2 B 2B 1 1 AE = I A B C D E I 1 2 1 2 E EA B = I C D I C B D B BABA CAAA = ; B BABB = B DAA B BADA C B BADD = B DACC = ; AC B B B BB B B B B B B A A A B BA A A B A B D C D A C B DA B T C D A BC D AA A A A A A AA B T C D C A B T = = = C D Associação em Cascata de Dois Quadripolos t 1 1A 1B 2A 2 2B 1 1A 2A 1B 2 2 E = e ; e e ; E = e I = i ; i = i ; I = i B A A A A B B 1 B 1B 2 2 aE = I a b c cd E I 2 1 2 1 E Ea b = I c d I b d B BAba c B BAbb dAaa = ; b = Aa B BAda c B BAdd = b dAcc = ; Ac B B B BB B B B B B B A A A B BA A A B A B D C D A C B DA B T C D A BC D AA A A A A A AA B T C D C A B T = = = C D Quadripolos Enfatizando Conceitos 1.1 Matriz Z Sem terminações na entrada e na saída. Correntes mostradas no sentido positivo convencionado. ; ;1 1 21 1 2 2 12 2;e = 0 i = 0 z i = 0 e = 0 i = 0 z i = 0 Como as portas estão abertas, as correntes são nulas, o que anula as fontes controladas, restando apenas as impedâncias. 2 1 11 1 i = 0 ez = i Impedância de entrada com saída aberta. 1 2 22 2 i = 0 ez = i Impedância de saída com entrada aberta. Com gerador ideal na porta 1 e sem terminação na porta 2. Sem terminação na porta 1 e com gerador ideal na porta 2. Embora a Porta 1 seja normalmente considerada entrada, e a Porta 2 saída, nada impede que isso seja invertido. Entrada na Porta 1 Saída na Porta 2 Saída na Porta 1 Entrada na Porta 2 ; ;1 11 1 IN 11 2 21 1 2 11 1 e ee = Eg i = Z = = z e = z i i = 0 z i ; ; ;2 22 2 IN 22 1 12 2 1 22 2 e ee = Eg i = Z = = z e = z i i = 0 z i ; 1 2 21 1 21 11 ee = z i = z z 2 2V 1 1 e zA = = e z 1 1 Ganho com VA Porta 2 aberta 2 1 12 2 12 22 ee = z i = z z 1 1V 2 2 e zA = = e z 2 2 Ganho com VA Porta 1 aberta 21 1 2OC 11 22 1 22 22 O IN 11 22 212SC 11 1 11 11 1 22 Z e e Z Z e Z ZZ = = = = Z = Z = ZZi Z i Z Zi Z 12 2 1OC 22 11 2 11 11 O IN 22 11 121SC 22 2 22 22 2 11 Z e e Z Z e Z ZZ = = = = Z = Z = ZZi Z i Z Zi Z Trocar índices 1 para obter as equações da direita. 2 Trocar índices 1 2 para obter equações da esquerda. Com gerador real na porta 1 e sem terminação na porta 2. Sem terminação na porta 1 e com gerador real na porta 2. Entrada na Porta 1 Saída na Porta 2 Saída na Porta 1 Entrada na Porta 2 ;11 1 11 1 IN 11 11 11 11 1 z e eEge = Eg i = = Z = = z Rg + z z Rg + z i ;22 2 22 2 IN 22 22 22 22 2 z e eEge = Eg i = = Z = = z Rg + z z Rg + z i ; ;21 2 212 21 1 1 V 2 O 11 1 11 z e ze = z i = e A = = i = 0 Z = Z z e z 22 ; ;12 1 121 12 2 2 V 1 O 22 2 22 z e ze = z i = e A = = i = 0 Z = Z z e z 11 Trocar índices 1 para obter as equações da direita. 2 Trocar índices 1 2 para obter as equações da esquerda. Quadripolos Enfatizando Conceitos 1.2 Matriz Z Com terminações na entrada e na saída. Gerador real na porta 1 e carga na porta 2. Sinal de entrada aplicado na Porta 1 e sinal de saída obtido na Porta 2. 1 1IN1 IN Ze = Eg Rg + Z 11 IN IN 11 e e zEgi = = = Z Rg + Z z 2 2i 2 O 2 L 21 1 22e = E = i R = z i z i2 O sinal (-) indica que está saindo 2i 11 IN 12 Iz = Z z 1 212 1 1 1 1 11 e iz i i i= i z IN 11 12 IZ z + z I2 21 N 11 I 1 i Z - z i Α z 2122 2 2 L 21 1 2 1 22 L zz i i R = z i i = i z R L22 - z z R L 12 21 IN 11 IN 11 21 Z 11 L 2 L2 2 221 - z z= Z = + z = + z z R Z Rz z z R- L L O2 2 2 22 Ee z- i = = = R R z RL 1 1i 2 1 i = i L 21 I 22 - zA = z R 1 111 LIN L 22 Eg Egi = = = i z R + zRg + Z Rg + R + z L L LL LIN 2 1 22 221 1 INR e Z - i z z i z R z R LIN O IN O21 21R Z E Z E R= = = Z e R 11 L 1 1 IN 11 L L 22 L 22 z R + zEge = i Z = z R + z R + zRg + R + z L L Z 1 O 21 2 1 L 1 L V 1 22 22 L L + z R z R E R z z R= A = = e z R 11z R + z 11 L 1 L 22 11 L Eg z R + z e = Rg R + z + z R + z O 21 L V 1 11 L E z R= A = e z R + z L 21 L O 2 L 22 11 L Eg z RE = I R = Rg z R + z R + z L L 1 11 21 21 22 22 Egi z R +Rg + - z - z z R z R L 21 2 2 L 22 11 L L 22 - zi = i = Egz Rg z R + z R + z R + z Calculando a Impedância de Entrada INZ Calculando a Impedância de Saída OZ O gerador equivale a 1e g gE - R i1 . Gerador substituído por sua resistência . gE Rg A polaridade da tensão na saída é dada por . 2i 2 O 2 eZ = i Polaridade da tensão na entrada dada por . 1i Resistor de carga substituído por gerador de tensão . LR 2e 1 IN 1 eZ = i 2 21 1 22 2 L 2 21 1 22 2e = z i z i R i = z i z i 1 11 1 12 2 1 11 1 12 2e = z i z i Rg i = z i z i 1 11 1 12e = z i z i 2 212 1 L 22 zi = i R + z 2 21 1 22e = z i z i2 121 2 11 zi = i Rg + z 12 21 1 11 1 L 22 z ze = z i i R + z 1 1 12 21IN 11 1 L 22 e z z= Z = z i R + z 122 21 2 22 11 ze = z i z i Rg + z 2 2 12 21O 2 2 1 e z z= Z = z i Rg + z 2 1 12 21 11 22 L 11 L 11 IN L 22 L 22 z z z z R z z + R zZ = = R + z R + z 12 21 11 22 22 22 O 11 11 z z z z Rg z z + Rg zZ = = Rg + z Rg + z Quadripolos Enfatizando Conceitos 1.3 Matriz Z Com terminações na entrada e na saída. Equações obtidas trocando-se os índices 1 2 nas equações correspondentes da página anterior. Gerador real na porta 2 e carga na porta 1. Sinal de entrada aplicado na Porta 2 e sinal de saída obtido na Porta 1. 1 O 1 L 12 2 11e = E = i R = z i z i 1 O sinal (-) indica que está saindo 1i IN 2 IN Ze = Eg Rg + Z 2 2 22 IN IN 22 e eEgi = = = Z Rg + Z z 1 1z i 22 IN 21 Iz = Z z 1211 1 1 L 12 2 1 2 11 L zz i i R = z i i = i z R 2 121 2 2 2 22 e iz i i i= i z 2 IN 22 21 IZ z + z I1 12 N 22 I 2 i Z - z i Α z L L O1 12 1 11 Ee z- i = = = R R z R L 2i L 12 I 11 - zA = z R 1 2 i = i L11 - z z R L 21 12 IN 22 IN 22 12 Z 22 L 1 L1 1 112 - z z= Z = + z = + z z R Z Rz z z R- L 2 L LL L 1 112 INR e Z - i z z i z R z R LIN O IN O IN 12 12 112 R Z E Z E R= = = Z e R 2 222 LIN L 11 Eg Egi = = = iz R + zRg + Z Rg + R + z L L Z 2 O 12 1 2 L 2 L V 2 11 11 L L + z R z R E R z z R= A = = e z R 22z R + z 22 L 2 2 IN 22 L L 11 L 11 z R + zEge = i Z = z R + z R + zRg + R + z 22 L 2 L 11 22 L Eg z R + z e = Rg R + z + z R + z O 12 L V 2 22 L E z R= A = e z R + z L 12 L O 1 L 11 22 L Eg z RE = I R = Rg z R + z R + z 1 L 12 1 L 11 22 L L 11 - zi = i = Egz Rg z R + z R + z R + z L L 2 22 12 12 11 11 Egi z R +Rg + - z - z z R z R Calculando a Impedância de Saída OZ Calculando a Impedância de Entrada INZ Gerador substituído por sua resistência . gE Rg O gerador equivale a 1e g gE - R i2 . 1 O 1 eZ = i Polaridade da tensão na entrada dada por . 2i 2 IN 2 eZ = i A polaridade da tensão na saída é dada por .1i Resistor de carga substituído por gerador de tensão . LR 1e 2 22 2 21 1 2 22 2 21 1e = z i z i Rg i = z i z i 1 12 2 11 1 L 1 12 2 11e = z i z i R i = z i z i1 1 12 2 11e = z i z i 1 212 1 22 zi = i Rg + z 2 22 2 21e = z i z i1 121 2 L 11 zi = i R + z 21 1 12 1 11 22 ze = z i z i Rg + z 1 1 21 12O 11 1 22 e z z= Z = z i Rg + z 21 122 22 2 L 11 z ze = z i i R + z 2 2 2 21 12 IN 22 L 11 e z z= Z = z i R + z 21 12 22 11 11 11 O 22 22 z z z z Rg z z + Rg zZ = = Rg + z Rg + z 21 12 22 11 L 22 L 22 IN L 11 L 11 z z z z R z z + R zZ = = R + z R + z Conceitos Relativos a s = σ + j ω s j j ts t t j tE e E e E e e s t t tE e E e cos t j E e s en t tte E e cos t Componente Real tte E e s en t Componente Imaginária Para Neper / segundo e 0,5 f 2 Hz 2 f 4 rad / s, vem: 0,5 tte 10 e cos 4 t 0,5 tte 10 e s en 4 t Desenvolvimento de . s tE e Componentes senoidal e cossenoidal de s t1 e para 0 . Componente senoidal amortecida no eixo imaginário. Componente cossenoidal amortecida no eixo real. Amplitude do Fasor A variável complexa s ( = sigma e j = omega), merece ser analisada em detalhe. Como a velocidade angular é expressa em radianos/segundo isso obriga que tenha a mesma dimensão, ou seja, 1/segundo, para que possam ser adicionadas. O termo , em rad / s, indica a velocidade de giro do fasor (e o seu sentido: trigonométrico reqüências positivas , horário freqüências negativas). Mas qual f será o significado de ? Para responde a essa questão comecemos lembrando que j 1 como , assim radianos (razão entre o comprimento de um arco e o seu raio), são adimensionais, ou seja, não têm unidade. Em seguid a vamos analisar j ts t t j t t tE e E e E e e E e cos t j E e sen t : Se for positivo, o sinal cresce em amplitude ao longo do tempo; se for negativo, o sinal será atenuado. Usando como referência o valor de tE e em t = 0, ou seja, 0E e E 1 E , e tomando o logaritmo Neperiano do cociente t tL E e / L e t obti t / E , expressa em Ne-N NE vemos a razão E e per (análogo ao Bell, mas com base 2,718 ao invés de 10 omo ). C t ar que NL e / t podemos afirm é expresso em Neper / segundo e retrata a taxa de crescimento (o mplitude, em relação a u atenuação) da a o tempo. Assim, em 1 s, para 0,5 o nível em Neper será dado por 0,5 1NL e 0,5 1 0,5 , ou seja, sofreu uma atenuação d r, o que está perfeitamente de ac ada e 0,5 Nepe ordo com a taxa de variação d por 0,5 Neper / segundo . Com 0,o Volts, esta é a amplitude do sinal em t = 1 s, o que pode ser 0,5 1 0,510 e 10 e 10 6066 6,1 confirm à componente cossenoidal. ado na figura acima, ao meio, referente Em resumo, determina a variação da amplitude ao longo do tempo, em Neper / s e a freqüência. Finalmente, quando fazemos s j estamos interessados na resposta completa do sistema, ou seja, as respostas transitória e a perm tomarmos s janente. Ao obteremos, exclusivamente, a resposta perma- nente senoidal, que é a mais procurada, na maioria da . s vezes Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.4 Matriz Z Filtro RC Passa Altas Sem Terminações na Entrada e Saída Filtro RC Passa Baixas Determinação dos Parâmetros Z 1 1 1 1 e 1R i s C 11 1 1 1 1z R 1 s R C 1 11 1 1 11 1 e z = i 2i = 0 2i = 0 e z = i 1 2 1 2 e 1R i s C 11 2 2 2 1z R 1 s R C 1 2 1e e R i 2 12 1 z R 1 12 2 1 12 2 e z = i 1i = 0 1i = 0 e z = i 2 1 2 2 i e e s C 12 2 1z s C 2 1e R i 2 22 1z R 2 22 2 2 22 2 e z = i 1i = 0 1i = 0 e z = i 2 2i e s C2 22 2 1z s C 2 21 1 e z = i 2i = 0 2 1e i R 1 21 1z R 2 21 1 2i = 0 e z = i 1 2 1 2 i e e s C 21 2 1z s C Filtro RC Passa Altas. Com Terminações na Entrada e Saída Filtro RC Passa Baixas. 11 22 12 21Δz = z z - z z O V 1 EA = e 21 11 L Z ΔzZ + Z OZ g 22 g 11 Δz - Z Z Z + Z O Vg g EA = E V g IN A Z 1 + Z INZ 11 L L 22 Z Z + Δz Z + Z iA 21 L 22 - Z Z + Z INg g INZ R Z 11 Lg L 22 Z Z + ΔzR + Z + Z Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.5 Análise de Circuitos Filtro RC Passa Altas Com Terminações na Entrada e Saída Filtro RC Passa Baixas 1 L INg 1 1 R R1Z Rg s C R R L INg g 2 2 L 1Z R R 1s C R g 1Rg 0 E e 1 1 L L IN 1 1 1 e R R1Z i s C R R g 1Rg 0 E e 1 IN 2 1 2 L e 1Z R 1i s C R g 1 INg E I Z g1 INg E I Z g 1 L O 2 INg 1 L E R RE e Z R R g O 2 INg 2 L E 1E e 1Z s C R g O 2 1 L INg 1 L E E e R RZ R R gO 2 INg 2 L EE e 1Z s C R gO 2 L 1 L INg 1 EEI R R RZ R gO 2 L INg L EEI R Z 1 s R C 2 g I2 I 1 g1 L INg 1 E ZIA I ER RZ R Ng g I2 I 1 INg L 2 E ZIA I Z 1 s R C E Ng g 2 1 I L1 1 L 1 I R 1A RI R R 1 R 2 I 1 L I 1A I 1 s R C 2 O L VG g 1 L L INg INg 1 L 1 E R1A E R R RZ Z 1 R R R O LVG g INg L E RA E Z 1 s R C 2 O L V 1 1 L L IN IN 1 L 1 E R1A e R R RZ Z 1 R R R O LV 1 IN L E RA e Z 1 s R C 2 1 O 1 1 1 RZ s R C1 1 s Rg C 2O 2 2 Rg RZ 1 s Rg R C Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.6 Análise de Circuitos Filtro RC Passa Banda Com Terminações na Entrada e Saída Passa Altas e Passa Baixas em Cascata Os dois quadripolos, com as seções passa altas e passa baixas, associados em cascata. A impedância de entrada do segundo Quadripolo é a carga do primeiro. O Thevenin equivalente na saída do primeiro quadripolo alimenta o segundo A saída do primeiro quadripolo Alimenta a entrada do segundo. IN2 2 2 L 1Z = R + 1s C + R TH1 O1 1 1 1R = Z = 1 1+1 RRg + s C 1 TH1 1 1 RE = Eg 1Rg + R + s C IN2 2 2 L 2 L 1 1 1 1Z R + s C +1 Rs C + R 2 IN2 2 1 1 TH1 1 O1 1 1 1 Z +1 1+1 RRg + s Z R + Eg R 1Rg + R e = e = = + s C C + E Saída Passa Baixas Acoplada à Entrada Passa Altas A tensão , na saída do passa altas é igual à tensão , na entrada do passa baixas, quando acoplados. 2e 1e IN2 IN2 IN2 I O 2 V 2IN2 T 2 O1 O1 H1 T N2 IN2 LL H1 TH O1 11 1E = e = A = = 1 + + + +1 s C +Z s C Z Z Z Z Z RR Z Z Z E E E IN2 L 2 Z 1s C + R O 2 2 2 L L 1 1 T O1 1 1 H1 1 2 Eg R 1Rg + R + E s 1Z +1 1+1 R 1 1E = e = =1 1+ 1R + R s C C + s C g R C + + R s A tensão , na saída do Passa Baixas, alimentado pela saída Passa Altas, é a tensão , na saída do Passa Banda. 2e OE Manipulando algebricamente a equação anterior obteremos a expressão do ganho do passa banda: 1 1 O 1 2 L 2 2 2 L 1 1 R 1Rg R E s C 1Eg s C R Rs R C 11 1 R 1 RRg s C 1 1 O 1 2 1 L 2 2 2 L 1 1 R 1Rg R E s C Eg 1 1Rg s C s C R Rs R C 11 RRg s C1 R 1 1 O 1 2 1 L 2 2 2 L 1 1 1 R 1Rg R E s C Eg 1 1Rg s C s C R Rs R C 11 RRg R s C R 1 1 O 1 1 2 1 L 2 2 2 L 1 1 R 1Rg R E s C Eg 1 1R Rg s C s C R Rs R C 11 RRg R s C O 1 2 1 2 1 2 2 1 L 1 L E R Eg R1 1 1R Rg s C Rg R s R C 1 s C R s C R O 2 2 2 2 1 L 1 1 1 L E 1 Eg R1 1 Rg 1Rg s C 1 1 s R C s C R R s R C R Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.7 Análise de Circuitos Filtro RC Passa Banda Com Terminações na Entrada e Saída Freqüências de Corte @ - 3 dB A freqüência de corte é aquela em que a potência cai para a metade, ou seja, a tensão fica dividida por 2 (o que equivale a multiplicar a amplitude por 0,707 1 / 2 ). Em dB isso equivale a uma redução de 3 dB no nível da região plana (a banda passante). 1210 10 10 101 120 Log 20 Log 2 20 Log 2 10 Log 2 10 0,3010 3,0122 Vamos aplicar o raciocínio acima na função de transferência do circuito Passa Banda, abaixo: O 2 2 2 2 1 L 1 1 1 L E 1 Eg R1 1 Rg 1Rg s C 1 1 s R C s C R R s R C R Mas, para maior comodidade algébrica, vamos trabalhar com o inverso da função de transferência: 2 2 2 2 O 1 L 1 1 1 L REg 1 1 Rg 1Rg s C 1 1 s R C E s C R R s R C R 2 2 O L L 1 1 2 2 2 1 L 1 2 2 2 1 1 L 1 1 CEg Rg 1s Rg C ... E R s R C C RRg Rg1 1 s R C 1 ... R R R R R C1 1 s R C R R C Efetuando as multiplicações indicadas na função de transferência invertida. 2 2 2 2 2 O L L 1 1 1 L 1 2 2 2 1 1 L 1 1 C REg Rg 1 Rg Rgs Rg C 1 1 s R C 1 ... E R s R C C R R R R R C1 1 s R C R R C Efetuando as multiplicações indicadas. 2 2 2 2 O L 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 L 1 1 L REg 1 Rg 1s Rg C s R C 1 1 ... E s R C R s R C R R C C RRg Rg1 1 R C R C R R L Ordenando e agrupando os termos semelhantes. 2 2 2 2 O 1 L 1 1 1 2 2 2 1 1 L 1 L REg Rg 1 1 1s Rg C R C 1 1 ... E R s R C R C C R RRg Rg1 1 1 C R R R R LR Substituindo s por j ω 2 2 2 2 O 1 L 1 1 1 2 2 2 1 1 L 1 L REg Rg 1 1 1j Rg C R C 1 1 ... E R j R C R C C R RRg Rg1 1 1 C R R R R LR 2 2 2 O 1 1 L 1 L 2 2 2 2 1 L 1 1 1 C R REg Rg Rg1 1 1 ... E C R R R R RRg 1 1 1j Rg C R C 1 j 1 R R C R C LR Colocando na forma cartesiana a + j b . 2 2 2 2 2 2 1 L 11 1R R C R C 2 O 1 1 L 1 L L RRg 1 1 1Rg C R C 1 C R REg Rg Rg1 1 1 ... E C R R R R j 1 R Forma cartesiana de . Parte real em azul e parte imaginária em vermelho. OEg / E 2 2 2 2 2 1 L 1 1 1 L RRg 1 1 1Rg C R C 1 1 R R C R C R 2 2 2 2 1 1 L 1 L ...C R RRg Rg2 1 1 1 C R R R R Módulo de , nas freqüências de corte, elevado ao quadrado: OEg / E . 22 = 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 L 1 1 2 2 2 2 2 1 L 1 1 L1 RRg 1 1 1Rg C R C 1 1 R R C R ... C R 1 L RgRg C R C 1 ... R RRg 1 12 Rg C R C 1 1 R R C R C R 2 2 2 L 1 1 1 L R1 1 1 1 R C R C R Desenvolvimento do quadrado da parte imaginária: 2 2 2x y = x 2 x± y + y . 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 L 1 L 2 2 2 2 2 1 L 1 1 1 L RRg 1 1 1Rg C R C 1 1 R R C R C ... R 2 2 1 L 1 RgC Rg R 1 ... R C RRg 1 12 Rg R 1 1 C R R R R 1 1 1 1 C R R 2 2 L R R Colocando termos semelhantes em evidência. Forma Cartesiana e Módulo c a j b Número Complexo j 1 Número Imaginário 2 2 2c a b Módulo 2 2c a 2 2b Módulo ao quadrado 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 L 1 L C R RRg Rg2 1 1 . 1 2 2 2 1 1 L 1 L 2 2 2 2 1 L 1 L RgC Rg R 1 ... R C RRg 1 12 Rg R 1 1 C R R R R R1 1 1 1 1 C . R . R R R C R R R Valores associados aos pontos de meia potência Equação que permitirá o cálculo das freqüências de corte inferior e superior. 2 2 2 2 2 2 1 1 L 1 L 2 4 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 L 1 2 2 1 L 1 L C R RRg Rg2 1 1 1 ... C R R R R RgC Rg R 1 ... R C RRg 1 12 Rg R 1 1 C R R R R1 1 1 1 C R R R 2 LR Multiplicando ambos os membros por . 2ω 2 4 2 2 2 1 2 2 22 2 2 1 1 L 1 L 2 2 2 2 1 1 L 1 L 2 2 1 L 1 L RgC Rg R 1 ... R C R RRg Rg1 1 1 2 ... C R R R R C RRg 1 12 Rg R 1 1 C R R R R R1 1 1 1 C R R R 2 0 Ordenando o polinômio em função de e agrupando os termos semelhantes. 2 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 L 1 L 1 1 L 1 L 2 2 2 1 L 1 L RgC Rg R 1 ... R C R R C RRg Rg Rg 1 11 1 1 2 2 Rg R 1 1 ... C R R R R C R R R R R1 1 1 1 C R R R 0 Polinômio (quarto grau) ordenado e com os termos semelhantes agrupados. Valores Numéricos Rg 500 1R 10 K 1C 1 F LF 23,78 Hz LR 100 K 2R 10 K 2C 0,47 nF HF 2,472 kHz 4 2 2 2 2 2 2 2 1 1 L 1 L 1 1 L 1 L2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 L 1 L ... C R R C RRg Rg Rg 1 11 1 1 2 Rg R 1 1 C R R R R C R R R R ... RgC Rg R 1 R R1 1 1 1 C R R R C 2 2 2 2 2 1 0 RgRg R 1 R Dividindo ambos os membros da igualdade pelo coeficiente de . 4ω 2 2 2 2 2 2 2 1 1 L 1 L 1 1 L 1 L 2 2 2 2 1 C R R C RRg Rg Rg 1 11 1 1 2 Rg R 1 1 C R R R R C R R R R b RgC Rg R 1 R 2 Coeficiente de . 2ω 2 2 L 1 L 2 2 2 1 2 2 1 R1 1 1 R R R c RgC C Rg R 1 R Termo independente. 4 2 b c 0 2 3 b b c 2 2 2 3 1 b bF c 2 2 2 2 L 1 b bF c 2 2 2 2 H 1 b bF c 2 2 2 Freqüência de corte inferior. Freqüência de corte superior. Obtenção das freqüências de corte inferior, , e superior, , através da solução da equação biquadrada. LF HF 101 102 103 104 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 R es po st a P as sa B an da e m d B F r e q ü ê n c i a e m H z Resposta de freqüência e as freqüências de corte: Hz , kHz e HF = 2,472 O L HF = F F = 242,47 Hz . LF = 23,78 Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.8 Matriz Z Filtro RC Passa Banda Sem Terminações na Entrada e Saída Parâmetros Z da Cascata Filtro RC Passa Banda Matriz Z Equivalente 1 11 1 11 1 1 2 2 1 1z 1 1s C 1R R s C 2i = 0 e z = i Impedância de entrada Com a saída aberta 1 12 2 1 1 2 22 1 2 Re i z R R 1 1 12 22 21 2 1 2 e Rz z i R R 1i = 0 e z = i z 1 1 112 22 211 2 1 2 1 2 2 2 1 2 R R R1z z z1R R R R s R R C 1s C R R Diferentes formas de representar . 12z 2 22 2 e z = i 1i = 0 22 2 1 2 1z 1s C R R Impedância de saída Com a entrada aberta 2 21 1 2i = 0 i e z = 1 2 1 12 1 2 2 2 1 2 2 2 1 i s C i Re 1 1 1 s R R C 1R1R s CR s C 121 1 2 2 Rz s R R C 1 Com Terminações na Entrada e Saída 11 22 12 21Δz = z z - z z g 22O g 11 Δz - Z Z Z Z + Z 11 Lin L 22 Z Z + ΔzZ Z + Z ing g inZ R Z 11 Ling g L 22 Z Z + ΔzZ R + Z + Z O 21V 1 11 L E ZA = Δze Z + Z O inVg V g in E ZA = A E Z + gZ 21i L 22 - ZA Z + Z Quadripolos Exemplo Conceitual 1.9 Matriz Z Quadripolos em Cascata Com Terminações na Entrada e Saída Parâmetros Z em Cascata Quadripolos A e B, definidos por suas matrizes Z, associados em cascata. Como Associar em Cascata Quadripolos Definidos pela Matriz Z g1 22 TH1 O1 g1 11 Δz - R z Z = Z = R + z 21 TH1 O1 1 1 1 zE = E = Eg Rg + z 1 O quadripolo resultante é o quadripolo B alimentado pelo Thevenin equivalente da saída do Quadripolo A. L L LL 1 IN11 21 1 11 21 1 21 1 TH1 O1 21 1 Z 1 11 1 IN1 11 1 11 11 1 11Z ZZ Eg ZEg z Eg z z Eg zi E E z i Rg + z Rg + Z z Rg + z z Rg + z Obtendo a expressão de . TH1 O1E = E Quantidades em amarelo - Quadripolo A Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.10 Matriz Z Filtro RC Passa Banda Com Terminações na Entrada e Saída Parâmetros Z em Cascata Passa Banda Passa Altas 11 22 12 21Δz = z z - z z Passa Baixas OZ 22 11 Δz z z TH1 TH1Z - + Z 11z 1 1 1 1R 1 + s R C 11z 2 2 2 1R 1 + s R C inZ 11 L L 22 z Z + Δz Z + z 12z 1R TH1ing inZ Z Z 12z11 L L 22 z Z + Δz Z + z1TH Z + 2 1 s C O2 V 1 1 EeA = = e e 21 11 L z Δzz + Z 21z 1R 21z 2 1 s C O Vg TH1 EA = E inV i TH1n ZA Z + Z 22z 1R iA 22z21 L 22 - z Z + z 2 1 s C Quantidades em amarelo - Quadripolo A Quantidades em vermelho - Quadripolo B Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.11 Matriz Z Filtro RC Passa Banda Com Terminações na Entrada e Saída Solução por DeterminantesCorrentes convencionais arbitradas , , e , definem as três malhas necessárias para resolver o circuito. 1i 2i 3i 101 102 103 104 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 R es po st as P as sa A lta s, P as sa B ai xa s e P as sa B an da e m d B F r e q ü ê n c i a e m H z Passa Altas Matriz Z Passa Baixas Matriz Z Passa Banda Matriz Z Passa Banda Ana Circ Passa Banda Determin Analise Circ + Matriz Z Passa Banda com Buffer ___ Passa Banda, Associação em Cascata com Buffers . . . Passa Altas Matriz Z - - - Passa Baixas Matriz Z ___ Passa Banda – Associação das seções Passa Altas e Passa Baixas em Cascata, Matriz Z. ___ Passa Banda – Passa Altas e Passa Baixas em Cascata – análise de circuitos - - - Passa Banda – Passa Altas e Passa Baixas em Cascata – análise por Determinantes -.-. Passa Banda – Passa Altas e Passa Baixas em Cascata – análise de circuitos - Outra Forma Comparação das diversas respostas obtidas. MATLAB % Analise do Circuito Passa Altas Acoplado ao Passa Baixas, por Determinantes Fmin = 0 ; Fmax = 4; NP = 1000 ; f = logspace(Fmin, Fmax, NP) ; w = 2*pi*f ; s = j*w ; R1 = 1E4 ; C1 = 1E-6 ; Rg1 = 500 ; ZL1 = 1E4 ; % Passa Altas R2 = 1E4 ; C2 = 0.0047E-6 ; Rg2 = 500 ; ZL2 = 1E5 ; % Passa Baixas Da = (Rg1 + R1 + 1./s/C1) ; Db = (1./s.^2/C2^2) ; Dc = (ZL2 + 1./s/C2) ; Dd = (R1 + R2 + 1./s/C2) ; DELTA = -Da.*Db - R1^2*Dc + Da.*Dd.*Dc ; DELTAI1 = -Eg.*Db + Eg*Dc.*Dd ; DELTAI2 = -Eg*R1./s/C2 ; DELTAI3 = Eg*R1*(ZL2 + 1./s/C2) ; I1 = DELTAI1./DELTA ; I2 = DELTAI2./DELTA ; I3 = DELTAI3./DELTA ; EO2 = -I2*ZL2 ; AVT = EO2/Eg ; MAVT = abs(AVT) ; MAVTdB = 20*log10(MAVT) ; Exemplo resumido de rotina no Matlab utilizada no cálculo das respostas desejadas e seus respectivos módulos. Resolução do Circuito por Determinantes 1 1 1 3 1 1 1 2 1 2 3 2 2 L 2 3 2 2 1Eg Rg R I R I 0 s C 1 1R I I R R I 0 s C s C 1 1R I I 0 s C s C 1 3 1 2 3 2 3 1R R 0I s C I 2 2 2 1 1 1 L 2 2 1 1 R I 1 I s C 1R I s C 1Rg R I s C R Eg 1 0 I s C Aplicando o método das malhas, correntes convencionais. Passando os termos independentes para o segundo membro. 11 1 2 22 1 1 L 2 1Rg R s C R 0 1 s C R 1R s C 1R s s 0 R C 1 C 2 1 1 1 1 L L2 2 2 2 12 2 1 1Rg R R Rg1 1 1R R s s CCs R C s C s C 1 2 2 1R R s C Determinante principal. 1 2 L 1 1 2 2 1R R C 2 2 0 1I s C 1 R s C R s C 1 E s g 0 0 1 1 2 1 I C 1 L2 2 1 222 Eg Eg R R C s 1I R I s Cs Determinação da corrente . 1I 1 1 2 2 2 2 g s C s C C I 1 1 1 12 2 2 R I1R 1Rg R s C Eg 0 ER 1 RI R s 00 Determinação da corrente . 2I 1 1 1 1 3 3 L 3 2 2 L 2 0 I1 1I R s 1Rg Eg 0 C s C 1R Eg R s 0 R 0 s R C C I Determinação da corrente . 3I Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.12 Matriz Z Filtro RC Passa Banda Filtro RC Passa Baixas Alimentado pela Saída do RC Passa Altas Sem Terminações na Entrada e Saída Com Terminações na Entrada e Saída 11 z 11 2 2 2 1z = R 1 + s R C OZ g 22 g 11 Δz - Z Z Z + Z 12 z 12 2 1z = s C inZ 11 L L 22 Z Z + Δz Z + Z 22 z 22 2 1z = s C ing g inZ R Z 11 L g L 22 Z Z + ΔzR + Z + Z 21 z 21 2 1z = s C O V 1 EA = e 21 11 L Z ΔzZ + Z Δz 11 22 12 21z z - z z OVg g EA = E inV in g ZA Z + Z IN2 2 2 L 1Z = R + 1s C + R iA 21 L 22 - Z Z + Z 1 TH1 1 1 IN2 Eg RE = 1 1Rg + + 1 1s C + R Z O1 1 1 1Z = 1 1+1 RRg + s C OT IN2 V2 VgT V2 O1TH1 IN2 O1 IN2 E ZA = = A = ZE Z + Z 1 + Z A O2 21V2 21 11 L2 E ZA = Δze Z + R 21 2 11 L2 VgT O1 IN2 Z ΔzZ + RA = Z1 + Z A impedância de entrada do segundo Quadripolo é a carga do primeiro. O Thevenin equivalente na saída do primeiro quadripolo alimenta o segundo A saída do primeiro quadripolo Alimenta a entrada do segundo. Exemplos com Circuitos 1.13 Análise de Circuitos Filtro RC Passa Banda Com Terminações na Entrada e Saída Acoplamento com Buffers Passa banda com estágios acoplados através de buffers com INZ = , e . OZ = VA = A utilização de amplificadores de ganho unitário, impedância de entrada infinita e impedância de saída nula, denominados buffers, fazendo o acoplamento na entrada e na saída dos circuitos, impede que as impedâncias internas das fontes de sinal e o valor das cargas interfiram na função de transferência. Amplificadores operacionais são muito utilizados para essa finalidade. O1 1 1 1E Eg 11 s R C O O1 2 2 1E E 1 s R C O 2 2 1 1 1 1E Eg 1 1 s R C1 s R C O 2 2 1 1 E 1 1 1Eg 1 s R C1 s R C O 10 10 2 2 1 1dB E 120 Log 1 20 Log 1 s R C Eg s R C O 2 22 2 2 2 1 1 1 1 E 1 1 1 1 1Eg 1 s R C1 1 s R C s R C s R C s R C O 1 11 1 2 2 2 2 E s R C Eg s R C 1 s R C 1 s R C O 1 1 1 12 21 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 E s R C s R C Eg s R C s R R C C 1 s R C s R R C C s R C R C 1 O 1 12 1 2 1 2 1 1 2 2 E j R C Eg R R C C j R C R C 1 O 1 12 1 2 1 2 1 1 2 2 E j R C Eg 1 R R C C j R C R C 22 1 1 2 22 2 1 2 1 2 1 1 2 2 R C1 2 1 R R C C R C R C 2 2 22 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 11 R R C C R C R C 2 R C 2 22 4 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 11 2 R R C C R R C C R C R C 2 R C 0 2 2 24 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1R R C C R C R C 2 R R C C 2 R C 1 0 2 2 2 2 24 21 2 1 2 1 1 2 2 1 1R R C C R C R C 2 R C 1 0 2 2 24 21 2 1 2 2 2 1 1R R C C R C R C 1 0 2 2 2 2 1 14 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 R C R C 1 0 R R C C R R C C 2 2 2 2 1 14 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 R C R C 1 0 R R C C R R C C R R C C 2 4 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 0 R C R C R R C C Dividindo ambos os membros da igualdade pelo coeficiente de . 4ω 2 21 1 2 2 1 1b R C R C 21 2 1 2 1c R R C C Coeficiente de . 2ω Termo independente. 4 2 b c 0 2 3 b b c 2 2 2 3 1 b bF c 2 2 2 2 L 1 b bF c 2 2 2 2 H 1 b bF c 2 2 2 Freqüência de corte inferior. Freqüência de corte superior. Obtenção das freqüências de corte inferior, , e superior, , através da solução da equação biquadrada. LF HF 101 102 103 104 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 R es po st a P as sa B an da c om B uf fe r e m d B F r e q ü ê n c i a e m H z Resposta de freqüência e as freqüências de corte: Hz , kHz e HF = 3,386 O L HF = F F = 232,15 Hz . LF = 15,92 Exemplos com Circuitos 1.14 Análise de Circuitos Filtro Passa Banda Com Terminações na Entrada e Saída Fator de Qualidade Q Em um filtro passa banda a diferença entre as freqüências de corte define a banda passante BW, enquanto a média geométrica L HF F indica a freqüência central dessa região (em escala logarítmica), denominada . O Fator de qualidade Q, dado por , inversamente proporcional a BW, indica o formato da curva. OF OF / BW 2 L b b c 2 2 2 2 L b b c 2 2 2 H b b c 2 2 2 2 H b b c 2 2 Freqüências angulares em radianos por segundo. 2 2 2 L H b b b b b b b bc c c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c 2 2 2 L H b b b b b bc c c 2 2 2 2 2 2 2 c L H c Produto das freqüências angulares em radianos por segundo. 2 2 H L b b b bc c 2 2 2 2 Diferença entre as freqüências angulares em radianos por segundo. 2 2 2 2 H L b b b bc c 2 2 2 2 Diferença entre as freqüências angulares, elevada ao quadrado. 2 2 22H L b b b b b b b bc c 2 c2 2 2 2 2 2 2 2 2 c Desenvolvendo a diferença ao quadrado. 2 22H L b b b bb 2 c2 2 2 2 c 2 22H L b b b bb 2 c2 2 2 2 c Simplificando os termos semelhantes. 2 22H L b bb 2 c b2 2 2 c 2H L H L H L b 2 cb 2 c b 2 c F F BW 2 Banda Passante BW. L H L H L H O c c c F F F 2 Determinação de . OF L H L HO H L H L cF F cFQ BW F F b 2 cb 2 c Fator de qualidade (ou de mérito) Q. H LBW F F O L HF F F OFBW Q 1.7 Filtro Passa Banda - Valores Calculados 1.13 LF 23,78 HF 2472 OF 242,47 LF 15,92 HF 3386 OF 232,15 BW OQ F / BW BW 3370 OQ F / BW 0,0682 Amplificador Representado como Quadripolo 1.15 Quadripolos Qualquer um dos seis conjuntos de parâmetros abaixo pode ser utilizado. Z Y H G T t inZ 11 L L 22 Z Z z Z Z 22 L 11 L 1 Y Z Y y Z 11 L 22 L h h Z 1 h Z 22 L 11 L g Z g g Z L L A Z B C Z D L L d Z b c Z a 1 1 E I OZ g 22 g 11 z Z Z Z Z 11 g 22 g 1 Y Z Y y Z 11 g g 22 h Z h Z h 22 g 11 g g g Z 1 g Z g g D Z B C Z A g g b a Z d c Z ThZ VA 21 11 L Z zZ Z 21 22 L Y 1 Y Z 21 L L 1 h Z h Z h 1 21 22 L g g1 Z L 1 BA Z L t bd Z 2 1 E E iA 21 L 22 Z Z Z 21 11 L y y y Z 21 22 L h 1 h Z 21 11 L g g g Z L 1 C Z D L t c Z a 2 1 I I VgA in V in g ZA Z Z in V in g ZA Z Z in V in g ZA Z Z in V in g ZA Z Z in V in g ZA Z Z in V in g ZA Z Z 2 g E E Z Y H G T t 2 iVg V n g in g e ZA = = A E Z + R 11 in ei = Z 22 L ei = R in1 g g i Ze E Z Z n g i g 1 in Z Z E e Z n Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.16 Matriz T Filtro RC Passa Altas Sem Terminações na Entrada e Saída Filtro RC Passa Baixas Determinação dos Parâmetros Z 1 1 1 1 1e i R s C 2 1e i R 1 1 1 2 2 1e i R s C 2 1 2 1e i s C 1 2 2i = 0 e A = e 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 e i R 1 1A 1 e i R s R C s R C 1 2 2i = 0 e A = e 1 1 2 2 2 2 2 1 2 e i s C 1A R 1 s R C e i s C 1 1 1 1 1i e / R s C 2 1e i R 1 1 1 2 2 1i e / R s C 2 1 2 1e i s C 1 2 2i = 0 i C = e 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1R i e s C 1C 1e e RR s C 1R 1 2 2i = 0 i C = e 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1R i e s C s C C s C 1e eR s C 1 1e i / s C 1 2 1i i 1 1e i R2 2 1i i 2 1 2e = 0 e B = - i 1 1 1 2 1 1 e i / s C 1B i i s C 2 1 2e = 0 e B = - i 1 1 2 2 2 1 e i R B R i i 1 2i i 1 2 i 1 i 1 2i i 1 2 i 1 i 2 1 2e = 0 i D = - i 2 1 2e = 0 i D = - i 1 2 i D 1 i 1 2 i D 1 i Filtro RC Passa Altas. Com Terminações na Entrada e Saída Filtro RC Passa Baixas. ΔT = A D - B C O V 1 EA = e L 1 BA + Z OZ g g D Z + B C Z + A O Vg g EA = E V g in A Z 1 + Z INZ L L A Z + B C Z + D iA L 1 C Z + D INgZ g INR Z Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.17 Matriz T Filtro RC Passa Banda Sem Terminações na Entrada e Saída P arâmetros T da Cascata Filtro RC Passa nda Ba Matriz T Equiv lente a 1 2 2i = 0 e A = 1 1 TH TH 1 1 2 1 2 TH 2 2 TH 2 2 TH 2 2 s R C E E 1 s R1e e 1 s C s R R C 1 s R R C 1R R s C C e TH 1 1 1R 1 s C R 1 TH 1 1 1 RE e 1R s C TH 2 2 1 1TH 2 21 1 12 1 1 1 s R R C 1 s R C1 s R R Ce A s R Ce s R 1 s R C 1 1C 1 1 TH 1 1 1 s R C E e 1 s R C 1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2i i i1 1 1e 1 1 1 1 s R C 1s R CR s C1 s 1R s C R RR s C C 2 2R s 1 C s C 1 2 1 2 2i = 0 i C = e 1 2 21 1 2 1 1 2 2 2 1 1 s R R CR i e i C s R R C 1 e R 1 1 1 1 2 1 1e i 1 1s C R R 2 1 2 1 2 1 1i i 1 1 R R R 2- i 1 2e = 0 e B = 2R 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 e i R R R1 1 1 1B R 1 R R B 1 1i i s C R R s C s C R R 1 1 1 1 1 2 ei 1 1 1 1s C R R 2 1 2 1 2 1 1i i 1 1 R R R 2 1 2e = 0 i D = - i 1 1 2 2 1 1 2 1 2 i i RD 1 1 1i i 1 1 R R R R 2 1 R D 1 R Com Terminações na Entrada e Saída ΔT = A D - B C O V 1 EA = e L 1 BA + Z OZ g g D Z + B C Z + A O Vg g EA = E V g in A Z 1 + Z INZ L L A Z + B C Z + D iA L 1 C Z + D INgZ g INR Z 101 102 103 104 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 1 0 -1 R es po st as P as sa B an da e m d B F r e q ü ê n c i a e m H z Passa Banda Matriz T Passa Banda [Ta][Tb] Passa Banda Matriz Z Ta TbRespostas do filtro Passa Banda resultante, obtidas com as matrizes T, e Z . Matrizes Iguais em Cascata 2 2 2 2 2 A A B C A = A A = C A D B C D C B B D B D D D AA BA B C D CC C CA B B A D Esta operação equivale a elevar a matriz ao quadrado. 101 102 103 104 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 R es po st as P as sa A lta s e P as sa B ai xa s e m d B F r e q ü ê n c i a e m H z Passa Altas Matriz T Passa Altas Matriz Z Passa Baixas Matriz T Passa Baixas Matriz Z Respostas dos filtros Passa Altas e Passa Baixas obtidas com as matrizes T e Z. 101 102 103 104 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 I m pe dâ nc ia s d e S aí da em O hm s F r e q ü ê n c i a e m H z Passa Altas Matriz T Passa Altas Matriz Z Passa Baixas Matriz T Passa Baixas Matriz Z Impedâncias de saída dos filtros Passa Altas e Passa Baixas obtidas com as matrizes T e Z. 101 102 103 104 0 2 4 6 8 10 12 x 104 I m pe dâ nc ia s d e E nt ra da em O hm s F r e q ü ê n c i a e m H z Passa Altas Matriz T Passa Altas Matriz Z Passa Baixas Matriz T Passa Baixas Matriz Z Impedâncias de entrada dos filtros Passa Altas e Passa Baixas obtidas com as matrizes T e Z. MATRIZ DE TRANSMISSÃO - Exemplos Disponível em: http://slideplayer.com/slide/4128171/ Constante de Propagação 2 N A B C A B C1 L 2 A B C Disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/Two-port_network Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.18 Matriz T Filtros RC Associando Quadripolos Simples Parâmetros T da Cascata Capacitor em Série Resistor em Paralelo 11 s C 0 1 1 0 1 1 R Associação em Cascata C - R 1111 R 1 11R R 11 s R C s C 1 1 R 1 1 1 s C s C s C 0 10 1 1 1 1 00 1 10 1 10 resultante. Filtro RC paFiltro RC passa altas ssa baixas resultante. Associação em Cascata R - C Resistor em Série Capacitor em Paralelo 1 R 0 1 1 0 s C 1 s C1 1 1 s R C R s C 1 R RR 1 1 11 0 0 0 01 1 s 0 C 11 C 11 s 0 Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.19 Matriz T Filtros RC Adaptando Circuitos Genéricos Parâmetros T A solução acima pode ser adaptada para os circuitos Passa Altas e Passa Baixas, fazendo , conforme abaixo. 2Z = 0 1 3 ZA 1 Z 1B Z 3 1C Z D 1 Passa Altas Passa Baixas 1 1 1Z s C 3 1Z R 1 2Z R 3 2 1Z s C 1 1 3 1 1 1 1 1A 1 1 1 Z R s Z s C R C 1 21 1 s1Z 2 23 Z RA 1 R C 2s C 1 1 1B Z s C 3 1 1 1C Z R D 1 1 2B Z R 2 3 1C s Z C D 1 1 1 1A 1 s R C 1 1B s C 1 1C R D 1 2 2A 1 s R C 2B R 2C s C D 1 1 1 1 1 1 11 s R C s CA B C D 1 1 R 2 2 2 2 1 s R C RA B C D s C 1 Os resultados acima concordam com aqueles anteriormente obtidos por outras soluções. Quadripolos Exemplos com Circuitos 1.20 Matriz T Filtros rdem LC de a2 O Passa Altas e Passa Baixas Parâmetros T A solução acima pode ser adaptada para os circuitos Passa Altas e Passa Baixas, fazendo , conforme abaixo. 2Z = 0 1ZA 1 3Z 3 1C 1B Z D 1 Z Passa Altas Passa Baixas 1 1 1Z s C 3 1Z s L 1 2Z s L 3 2 1Z s C 1 1 2 3 1 1 1 Z s C 1A 1 1 1 Z s L s L C 1 21 2 2 2 3 2 Z sA 1 1 s L C1Z s C L1 1 1 1B Z s C 3 1 1 1C Z s L D 1 1 2B Z s L 23 1C s Z C D 1 2 1 1 1A 1 s L C 1 1B s C 1 1C s L D 1 2 2 2A 1 s L C 2B s L 2C s C D 1 2 1 1 1 1 1 11 s L C s CA B C D 1 s L 2 2 2 2 2 A B 1 s L C s L C D s C 1 1 O 2 V 1 1 L E e 1A = Be e A + Z O 2V 1 1 L E e 1A = Be e A + Z Particulariz Segunda Pass P ando para Linkwitz – Riley de Ordem a Altas LR = 8 Ohms assa Baixas 1 L O 250000C R F L 1 O 1000 R L F O L 1 250000F R C 2 L O 250000C R F L 2 O 1000 R L F O L 2 250000F R C 1C 10 F O L 1 250000 250000F 994,7 Hz 2C 10 FR C 8 10 O L 2 250000 250000F 9 R C 8 10 94,7 Hz L 1 O 1000 R 1000 8L F 994,7 2,56 mH L 2 O 1000 R 1000 8L 2,56 mH 94,7 F 9 Particularizando para Butterworth de Segunda Ordem Passa Altas Ohms Passa Baixas LR = 8 1 L O 2 250000C R F L 1 O 1000 R L 2 F O L 1 2 250000F R C 2 L O 2 250000C R F L 2 O 1000 R L 2 F O L 2 2 250000F R C OF 994,7 Hz 1 L O 2 250000 2 250000C 14 F R F 8 994,7 2C 14 F O L
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