Apostila Engenharia de confiabilidade Anexo2 Lognormal

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ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE 
ANEXO 2 - DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL 
 
Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: Anx. II.1 
 
 
A distribuição lognormal descreve muito bem o tempo de paralisação (tempo de repa-
ro ou de manutenção) para uma grande variedade de equipamentos. A distribuição é 
utilizada na descrição de situações onde podemos observar poucos tempos de parali-
sação de curta duração, um grande número de observações agrupadas em torno de um 
valor modal e um número insignificante de longos tempos de paralisação. 
 
A lognormal fornece um meio para relacionar quantitativamente os vários parâmetros 
da manutenabilidade, numa forma a qual é operacionalmente significativa. 
 
1- Expressões matemáticas básicas: 
 
• Função Distribuição Cumulativa [M(t)] 
 
M t
Ln t Ln
( ) = −⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟Φ
β
α onde: φ (normal padronizada) 
 
α ⇒ fator de forma β ⇒ parâmetro de escala t ⇒ tempo 
 
• Tempo Médio para Reparo ou Manutenção (TMPR ou TMPM) 
 
TMPR TMPM t Exp= = + ⋅ ⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟0
2
2
β α 
 
• Desvio Padrão (σ) 
 ( )[ ]σ β α α2 2 2 2 1= ⋅ ⋅ −Exp Exp 
 
• Forma Linear (Y = aX + b) 
 [ ]Ln t M t Ln = ⋅ +−α φ β1 ( ) onde: φ−1(inversa da normal padronizada) 
 
2- Significado dos parâmetros da lognormal: 
 
2.1- Parâmetro de Forma ou Dispersão (α) 
 
Quanto menor for o parâmetro de forma (α), mais simétrica torna-se a distribuição. 
Pode-se observar nas figuras abaixo que a distribuição é bem simétrica para os valores 
de “α“ igual ou menor que 0,2. 
 
O parâmetro de forma (α) fornece a variabilidade do desempenho das equipes de ma-
nutenção. 
 
Nos casos práticos, é importante que “α“ seja o menor possível, pois com isto, os 
tempos de reparação ou de manutenção ficam melhor distribuídos em torno de um 
valor médio. 
 
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ANEXO 2 - DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL 
 
Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: Anx. II.2 
 
 
2.2- Parâmetro de Escala (β) 
 
O parâmetro de escala (β), fornece o nível de desempenho das equipes de manuten-
ção. 
 
Nos casos práticos, é importante que “β“ seja o menor possível, pois este afeta dire-
tamente o valor do “TMPR” (Tempo Médio Para Reparação) ou “TMPM” (Tempo 
Médio Para Manutenção). 
 
3- Variação entre “α” e “β” 
 
Indica as variações no método de diagnose das falhas, arranjo físico dos componentes, 
nível de habilidade das equipes de manutenção, motivação, incentivo, rotinas de trou-
bleshooting, técnicas de substituição de componentes, ... . 
 
A manutenção de um equipamento pode envolver diversas atividades, com diversos 
graus de aprendizagem e dificuldades, podendo ter suas origens no projeto do equi-
pamento e/ou nos recursos direcionados para as equipes de manutenção. 
 
Os possíveis fatores que afetam os tempos de reparo ou os tempos de manutenção de 
determinado equipamento, são: 
 
• acessibilidade inadequada 
• pouca ou nenhuma modularização 
• sistema de localização de falhas inadequados ou inexistentes 
• manuais inadequados 
• ferramentas inadequadas 
• equipamentos de teste inadequados 
• ... 
 
O desempenho, em maior ou menor grau, das equipes de manutenção está associado a 
diversos fatores, tais como: 
 
• treinamento 
• nível de habilidades 
• aprendizagem 
• salários 
• motivação 
• incentivo 
• capacidade de análise 
• experiência e familiaridade 
• ... 
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ANEXO 2 - DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL 
 
Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: Anx. II.3 
 
 
4- Análise Estatística da Manutenabilidade 
 
Equipamento: Circuito de Via Reed 
Dados: Jan/Fev/Mar de 1986 
Local: Taubaté - SP 
Área: Sinalização Ferroviária 
Parâmetros obtidos da lognormal: α = 0,8478 e β = 2,0598 
Coeficiente de Correlação = 0,9927 
 
Os parâmetros e o coeficiente de correlação foram obtidos a partir da aplicação da 
regressão linear. 
 Item: CIRCUITO DE VIA REED 
 Dados do Tempo para Reparo de Falhas no Período de Jan à Mar de 1986 
 
4.1- Gráfico 
 
Tempo de Repa-
ro (horas) 
Frequência 
Observada 
Freq. Relativa 
Simples Observada 
Freq. Relativa Simples 
Acumulada 
M(t) 
Teórica 
0,2 → 0,5 6 0,0674 0,0674 0,0475 
0,5 → 1,0 12 0,1348 0,2022 0,1970 
1,0 → 1,5 8 0,0899 0,2921 0,3542 
1,5 → 2,0 22 0,2472 0,5393 0,4861 
2,0 → 2,5 3 0,0337 0,5730 0,5904 
2,5 → 3,0 11 0,1236 0,6966 0,6713 
3,0 → 3,5 2 0,0225 0,7191 0,7341 
3,5 → 4,0 5 0,0562 0,7753 0,7831 
4,0 → 4,5 3 0,0337 0,8090 0,8217 
4,5 → 5,0 2 0,0225 0,8315 0,8522 
5,0 → 5,5 1 0,0112 0,8427 0,8767 
5,5 → 6,0 5 0,0562 0,8989 0,8964 
6,0 → 6,5 1 0,0112 0,9101 0,9124 
6,5 → 7,0 1 0,0112 0,9213 0,9255 
7,0 → 7,5 1 0,0112 0,9325 0,9363 
7,5 → 8,0 2 0,0225 0,9550 0,9452 
8,0 → 8,5 1 0,0112 0,9662 0,9527 
8,5 → 9,0 1 0,0112 0,9774 0,9590 
10,0 → 10,5 1 0,0112 0,9886 0,9726 
12,0 → 12,5 1 0,0112 0,9998 0,9833 
Total 89 ------- ≅ 1,0000 0,9833 
GRÁFICO DO AJUSTE DOS DADOS OBSERVADOS VERSUS DADOS TEÓRICOS
ITEM: CIRCUITO DE VIA REED
TPR (horas)
M
A
N
U
TE
N
IB
IL
ID
A
D
E
 [M
(t)
]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
.500
1
1.500
2
2.500
3
3.500
4
4.500
5
5.500
6
6.500
7
7.500
8
8.500
9
10.500
12.500
OBSERVADA
TEÓRICA (LOGNORMAL)
Alfa = 0,8478 Beta = 2,0598
TMPR = 3,0 horas
Frequência Relativa Simples Acumulada
Manutenibilidade (Teórica)
 
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ANEXO 2 - DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL 
 
Eduardo de Santana Seixas – Abraman Pág: Anx. II.4 
 
 
5- Exemplo para desenvolvimento 
 
Os dados abaixo, são relativo aos “Tempos Ativos de Reparação” do Conjunto Moto-
Bomba de três centros de manutenção de regiões distintas. 
 
Pede-se: 
 
• determinar a variabilidade do desempenho das equipes de manutenção (α). 
• determinar o nível de desempenho das equipes de manutenção (β). 
• determinar o tempo médio de reparação para este equipamento (TMPR). 
• determinar o coeficiente de correlação (r). 
• comparar os resultados obtidos no seu grupo com os outros grupos e apresentar 
comentários. 
 
TPR (horas) 
Centro de Manut. A 
Freq. Observada 
Centro de Manut. B 
Freq. Observada 
Centro de Manut. C 
Freq. Observada 
0,0 → 0,5 49 3 2 
0,5 → 1,0 31 11 5 
1,0 → 1,5 19 24 13 
1,5 → 2,0 7 12 17 
2,0 → 2,5 1 2 35 
2,5 → 3,0 2 1 8 
3,0 → 3,5 2 1 2 
3,5 → 4,0 1 1 3 
4,0 → 4,5 1 1 2 
4,5 → 5,0 - - 1 
5,0 → 5,5 - - - 
5,5 → 6,0 - - 2 
6,0 → 6,5 - - - 
6,5 → 7,0 1 - - 
7,0 → 7,5 - - - 
7,5 → 8,0 1 1 1