1362623 04 Determinantes ELE E CIV

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Determinantes
Introdução
Determinante é uma função que associa a uma matriz quadrada um número real. Nas
próximas seções do texto vamos aprender como é calculado o determinante.
Permutação
Uma permutação do conjunto de inteiros {1,2,3,....n} é um rearranjo desses inteiros sem
repetições e omissões.
Exemplo1. Escreva todas permutações de {1,2,3}
Inversão de uma Permutação
Toda vez que um número maior precede um número menor em uma permutação temos
uma inversão.Um mesmo número pode provocar várias inversões. Para saber o número
de inversões de uma permutação, somamos a quantidade de inversões de cada
número.
Exemplo 2. Determine o número de inversões nas seguintes permutações :
a) {6, 1, 3, 4, 5, 2}
b) {2,4,1,3}
c){1,2,3,4}
Permutação Par e Permutação Ímpar
Uma permutação é chamada par se o número de inversões é par. Se o número de
inversões for ímpar, a permutação é ímpar.
Exemplo 3. Classifique as permutações do exemplo anterior em par ou ímpar.
a) {6, 1, 3, 4, 5, 2}
b) {2,4,1,3}
c){1,2,3,4}
Produto Elementar com Sinal
Seja A uma matriz quadrada de tamanho nxn. Um produto com n entradas de A, de
forma que nestas entradas não existam elementos da mesma linha e da mesma coluna,
será chamado de um produto elementar da matriz A. Qualquer produto elementar pode
ser encontrado considerarando o primeiro fator um número da primeira linha, o segundo
fator um número da segunda linha e assim sucessivamente, sem repetir elementos da
mesma coluna. Por exemplo numa matriz quadrada de ordem 4, temos que
a11.a23.a34.a42 é um produto elementar. Podemos associar as colunas que aparecem
nos fatores uma permutação. No exemplo dado a permutação é {1,3,4,2} O produto
elementar com sinal será positvo se a permutação associada ao número das colunas
for par. Será negativo se a permutação associada ao número de colunas for ímpar.
Exemplo 4. Em cada caso complete a tabela referente a matriz A.
a) A  a11 a12
a21 a22
Produto Elementar Permutação associada Par ou Ímpar Produto Elementar com Sinal
b) A 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Produto Elementar Permutação associada Par ou Ímpar Produto Elementar com Sinal
Determinante
Seja A uma matriz quadrada. Chamamos de determinante de A, det(A), a soma de
produtos elementares com sinal de A.
Regras Práticas para o Cálculo de Alguns Determinantes
Se a matriz A  [a11,evidentemente det(A)  a11.
Para a matriz quadrada de ordem 2 , A  a11 a12
a21 a22
,observando o exemplo 3,
temos que det(A)  a11.a22  a12.a21.
Podemos dizer que o det(A) é a diagonal principal menos a diagonal secundária.
Agora seja A 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
.Observando o exemplo 3, temos que
det(A)  a11.a22.a33 - a11.a23.a32 - a12.a21.a33  a12.a23.a31  a13.a21.a32 -
a13.a22.a31
Uma regra prática é dobrarmos as duas primeiras colunas. Somamos a flechas
direcionadas para a direita e subtraimos as flechas direcionas para a esquerda.
Notação: Se as entradas de uma matriz A estão entre duas barras é o mesmo que
det(A).
Exemplo 5. Calcule:
a) 8 2
5 3
b)
3 7 1
0 4 5
2 1 6
Menores e Co-fatores
Se A é uma matriz quadrada, então o menor da entrada aij,que denotaremos por Mij,é
definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos de A a
i-ésima linha e a j-ésima coluna.O número Cij  1 ij.Mij é denominado o co-fator da
entrada aij.
Exemplo 6. Seja A 
2 3 2 1
3 4 0 2
1 2 1 0
3 1 2 4
.Calcule M21 e C21.
Expansão em Co-fatores
Seja A uma matriz quadrada. Podemos provar que o determinante de A é a soma dos
produtos de cada elemento aij pelo seu co-fator Mij de qualquer linha ou coluna de A.
Exemplo 7. Calcule
2 0 0 5
1 2 4 1
3 0 0 3
8 6 0 0
.
Propriedades dos Determinantes
Podemos provar as propriedades abaixo.
1) Se todos elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz A são nulos então
det(A)  0.
2) det(A)  det(AT.
3) Se multiplicarmos uma linha(coluna) de uma matriz por uma constante, então o
determinante fica multiplicado por esta constante.
4) Se trocarmos duas linhas(colunas) de uma matriz entre si, então o determinante
troca de sinal.
5)O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por
uma constante.
6) O determinante de uma matriz que tem duas linhas(colunas) iguais é igual a zero.
7) O determinante de uma matriz que tem duas linhas(colunas) proporcionais é igual a
zero.
8) det(A.B)  det(A) . det(B)
9) Se A é uma matriz triangular, então det(A) é o produto das entradas na diagonal
principal.
Matriz Inversa e Determinantes
Teorema 1. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, det(A)  0.
Exemplo 8. Usando determinantes, verifique se a matriz A é invertível.
a) A 8 2
5 3
b) A 
3 7 1
0 4 5
2 1 6
Teorema 2. Se A é uma matriz nxn , então as seguintes afirmações são equivalentes.
(a) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.
(b) A pode ser escrita como um produto de matrizes elementares.
(c) A é invertível.
(d) Ax  0 tem somente a solução trivial.
(e) Ax  b tem exatamente uma solução para cada b de Rn .
(f) det(A)  0.
Matriz de Co-fatores e Matriz Adjunta
Trocando cada elemento de uma matriz quadrada A pelo seu co-fator, obtemos a matriz
dos co-fatores de A, que denotaremos por C. A transposta da matriz dos co-fatores de
A é denominada de matriz adjunta de A, cuja notação é adj(A).
Exemplo 9. Seja A 
3 2 1
1 6 3
2 4 0
.Determine a matriz dos cofatores e a matriz
adjunta de A.
Teorema 3. Se A é uma matriz invertível, então A1  1detA adjA.
Regra de Cramer
Teorema 4. Seja Ax  b um sistema linear de n equações e n incógnitas. O sistema tem
única solução se, e somente se, det(A)  0 . Quando det(A)  0 a solução única é dada
por
x1 
detA1
detA , x2 
detA2
detA , ............................, xn 
detAn
detA ,
onde A j é matriz que resulta quando substituimos a j-ésima coluna de A por b.
Exemplo ’10. Usando a regra de Cramer resolva o sistema 1,71x  4,17y  24,27
0,12x  0,05y  0,01 .
Aplicações dos Determinantes
Já vimos que os determinantes servem para resolver sistemas lineares possíveis
determinados com n equações e n incógnitas. Além disto, os determinantes têm
inúmeras aplicações. Vamos citar algumas.
1- Área do Paralelogramo. Sejam os vetores-colunas v1 
x1
y1
e v2 
x2
y2
cujos pontos iniciais são coincidentes. Podemos provar que a área do paralelogramo
formados por estes vetores é A  |det(A)| , sendo A  x1 x2
y1 y2
2. Volume do Paralelepípedo. Sejam os vetores-colunas v1 
x1
y1
z1
, v2 
x2
y2
z2
e v3 
x3
y3
z3
cujos pontos iniciais são coincidentes. Podemos provar que o volume
do paralelepípedo formado por estes vetores é V  |det(A)| ,
sendo A 
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
.
3. Área de um Triângulo. Seja o triângulo de vértices A (x1,y1, B(x2,y2 e
C(x3,y3.Podemos provar que a área de triângulo é A  12 |det(A)| ,
sendo A 
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
.