Apostila fisica 3 L5 capacitância

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Capacitância, Capacitores e Dielétricos
Física 3
Sylvio Quezado
Capacitância
Dois condutores isolados de qualquer formato com 
cargas iguais e opostas definem um capacitor.
CVq =
• Os condutores estão 
em potenciais 
diferentes.
• A carga e a diferença 
de potencial são 
proporcionais.
• Proporcionalidade 
depende somente da 
geometria.
+Q na placa 
superior
-Q na placa inferior
Linhas de campo 
1 farad = 1 F = 1 C / V
Carregando um Capacitor
• Uma bateria leva cargas 
de um ponto de baixo (l) 
potencial para um ponto de 
potencial elevado (h), 
carregando assim as 
placas de um capacitor.
Símbolo de um 
capacitor
Símbolo de 
uma bateria
Calculando a Capacitância
Considere 
uma carga q 
nas placas
Calcule E pela 
Lei de Gauss
Calcule o 
potencial
Determine a 
capacitância
qC
V
≡ ∆qAdE =⋅∫
vv
0ε ∫ ⋅−=−
f
i
if sdEVV
vv
V Eds
−
+
∆ = ∫qEA =0ε
Capacitor de Placas Paralelas
EAq 0ε=
Guassiana V Eds E ds Ed
− −
+ +
= = =∫ ∫
Caminho de integração
Ed
EA
V
qC 0ε==
d
AC 0ε=
Capacitor Cilíndrico
( )rLEEAq πεε 200 ==
Lr
qE
02πε=
02
b
a
q drV Eds
L rπε
−
+
= =∫ ∫
( )ab
LC
ln
2 0πε=
Carga Total +q
Linhas de campo
Carga Total q
0
ln
2
q b
L aπε
 =   
Gaussiana
( )200 4 rEEAq πεε ==
2
04 r
qE πε=
2
04
b
a
q drV Eds
rπε
−
+
= =∫ ∫
ab
abC −= 04πε
Carga Total +q
Linhas de campo
Carga Total -q
0
1 1
4
q
a bπε
 = −  
0 04 4b
abC Lim a
b a
πε πε
→∞
 = = − 
Gaussiana
Capacitor Esférico
Capacitores em Paralelo
• Qualquer potencial 
aplicado através de 
capacitores em paralelo 
será o mesmo através de 
cada um.
• A carga total acumulada 
será a soma das cargas.
VCq 33 =VCq 11 = VCq 22 =
( )VCCCqqqq 321321 ++=++=
321 CCCV
qCeq ++==
∑
=
=
n
j
jeq CC
1
Exemplos de conexão em paralelo
Aqui não!
Capacitores em Série
• As cargas são iguais 
numa conexão em série.
• As voltagens se somam.
1
1 C
qV =



 ++=++=
321
321
111
CCC
qVVVV
2
2 C
qV =
3
3 C
qV =
321
1111
CCCq
V
Ceq
++==
∑
=
=
n
j jeq CC 1
11
1
2 3 4
C2
C3
C4
C5 C23 C235
C4
C2354
Ceq
Exemplo
C1
CVCq µ100101011 =×==
23
1 5
1 10 1 10
µ= =+C F1
CVCq eqtot µ1601610 =×==
2354 1 4160 60q q q Cµ= − = = 235
235
235
60 4
15
qV V
C
= = =
2 235 5 10 15C Fµ= + =
4 4 4 6 10 60q V C Cµ= = × =
2354
1 6
1 10 1 15
C Fµ= =+
4 23510 6V V V= − =
3
2 3 560 20q q q Cµ= = − = 5 510 40q F V Cµ µ= × =
2 3 2
204 2
10
V V V V V+ = ⇒ = =4 FCeq µ16106 =+=
Energia Armazernada num 
Campo Elétrico
qd
C
qqdVdW ′′=′′=
C
qqdq
C
dWW
q
2
1 2
0
=′′== ∫∫
Considere um capacitor com uma carga q’ submetido
a uma ddp V’. Temos que consumir energia para
aumentar a carga de uma quantidade dq’.
O trabalho total requerido para carregar totalmente o 
capacitor será
Este trabalho é armazenado como energia
potencial no capacitor
C
qU
2
2
= 2
2
1CVU =ou
Considere uma capacitor de placas paralelas com cargas
iguais e opostas em suas placas e separados por uma
distância d. Suponha que as palcas seja puxadas
afastando-as uma da outra até uma distância D > d. A 
energia eletrostática armazenada no capacitor será
1. Maior que
2. A mesma
3. Menor do que 
Antes de as placas serem afastadas.
Densidade de Energia
Para um capacitor de placas paralelas, como o 
campo é (aproximadamente) uniforme entre as 
placas, a energia por unidade de volume, i.e. a 
densidade de energia deve também ser 
uniforme.
Ad
CV
Ad
U
V
Uu
2
2
===
2
02
1 

=
d
Vu ε
2
02
1 Eu ε= Este resultado é válido 
para qualquer campo.
Exercício
Esfera condutora isolada, raio R. A Energia total 
armazenada no campo elétrico
2 2
0
1
2 2 4
q qU
C Rπε= =
2
02
1 Eu ε=
Densidade de energia num ponto r do centro da esfera
2
2 4
032
qu
rπ ε=
Metade na energia armazenada em um raio R0
2( )4dU udV u r r drπ= = 2
08
q dr
rπε=
0 1
2
R
R R
dU dU
∞
=∫ ∫ 0 2R R⇒ =A solução pede
Capacitor com um Dielétrico
Um dielétrico é um material isolante (óleo, plástico, mica, etc.)
Preenchendo-se o espaço entre as placas de um capacitor 
com com um dielétrico aumentamos sua capacitância de um 
fator κ, conhecido como constante dielétrica.
airCC κ=
A presença de um 
dielétrico altera as 
equações da 
eletrostática trocando ε0
por κε0.
Exercício
Um dielétrico é inserido entre as placas de um 
capacitor. O sistema é então carregado e o dielétrico é
removido. A energia eletrostática armazenada no 
capacitor é
1. >
2. =
3. <
do que seria se o dielétrico fosse deixado no lugar.
Exercício
Condutor
Dielétrico
(poliestireno)
6.2=pκ
( )abL
C
ln
12 0πε=( )ab
LC
ln
2 0πε= Vácuo (ou ar)
( )0
12
lnp
C
L b a
πκ ε= Com poliestireno
( ) ( )0
12 2.6 80.7
ln 0.6 0.1
C pF
L
π ε= =
Visão Atômica de Dielétricos
Um campo externo 
aplicado cria seu 
próprio campo 
interno oposto, ou 
alinhando os dipolos 
(dielétricos polares) 
ou polarizando as 
moléculas (dielétricos 
não-polares).
Dielétricos: revendo a Lei de Gauss
A
qE
qAEAdE
0
0
000
ε
εε
=
==⋅∫ vvGaussiana
0
q qE
Aε
′−=0 0E dA EA q qε ε ′⋅ = = −∫ vv�Gaussiana
A
qEE
0
0
κεκ == κ
qqq =′−
qAdE =⋅∫ vvκε 0
Sumário
• Capacitores são arranjos geométricos de 
condutores que armazenam cargas.
• A capacitância pode ser calculada aplicando-se 
a Lei de Gauss.
• Conexões em série e em paralelo.
• Dielétricos aumentam a capacitância.
Próxima aula
	Capacitância
	Carregando um Capacitor
	Calculando a Capacitância
	Capacitor de Placas Paralelas
	Capacitor Cilíndrico
	Capacitor Esférico
	Capacitores em Paralelo
	Capacitores em Série
	Exemplo
	Energia Armazernada num Campo Elétrico
	Densidade de Energia
	Capacitor com um Dielétrico
	Exercício
	Visão Atômica de Dielétricos
	Dielétricos: revendo a Lei de Gauss
	Sumário
	Próxima aula