lógica matemática

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MATEMÁTICA 
 
 
LÓGICA MATEMÁTICA 
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LÓCICA MATEMÁTICA 
Introdução ao Cálculo Proposicional (Lógica Proposicional) 
Proposição(premissa) 
Definição: Chama-se proposição todo o conjunto de palavras os símbolos que exprimem um pensamento 
de sentido completo, ao qual pode-se atribuir uma verdade ou falsidade. 
As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que 
formamos a respeito de determinados entes. 
Alguns exemplos de proposições: 
(a) A Lua é um satélite da Terra; 
(b) Recife é a capital de Pernambuco; 
(c) 3 > 1. 
Informalmente, uma proposição é uma sentença declarativa que pode assumir os valores verdade (V) ou 
falso (F). 
Alguns exemplos de termos que não são proposições: 
(d) A distância entre Paraty e Ubatuba; 
(e) Um filme de terror; 
(f) Paula. 
Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, um destes casos sempre 
ocorre, nunca um terceiro. 
As proposições são designadas por letras latinas minúsculas, por exemplo, p, q, r, s, t,..., chamadas de 
letras proposicionais. Um literal é um átomo ou a negação de um átomo. 
Valores Lógicos das Proposições 
Definição: Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade 
se a proposição é falsa. 
Por exemplo: 
g) Todo homem é mortal; 
h) Todo homem consegue sucesso. 
O valor lógico da proposição g é verdade (V) e o valor lógico da proposição h é falso (F). 
Proposições Simples e Compostas 
As proposições podem ser classificadas como simples (atômicas ou átomos) ou compostas. 
Definição: Uma proposição é dita simples ou atômica quando não contém nenhuma outra proposição 
como parte integrante de si mesma. Por exemplo: 
(i) Todo homem é mortal; 
(j) Meu carro é um fusca; 
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(k) Está chovendo. 
As proposições anteriores são proposições simples. 
É possível construir proposições compostas através do uso de conectivos (usados para construir 
proposições a partir de outras). O s conectivos são: 
e (^) com este conectivo, a partir de duas proposições, obtém-se uma terceira chamada conjunção. Assim, 
de: 
Maria estuda o problema e José vai pescar 
pode-se formar a conjunção: 
Maria estuda o problema e José vai pescar 
A conjunção de duas proposições tem o valor V somente se ambas tiverem o valor verdade V. 
ou () com este conectivo, a partir de duas proposições, obtém-se uma terceira, chamada disjunção. 
Assim, de: 
Maria estuda o problema ou José vai pescar 
pode-se formar a disjunção: 
Maria estuda o problema ou José vai pescar 
A disjunção de duas proposições tem o valor V se pelo menos uma das proposições possuem valor 
verdade V. 
não () nega o valor verdade de uma proposição (operador). 
condicional () com o conectivo condicional lido como se...então, de duas proposições obtém-se uma 
terceira, chamada condicional ou implicação. Por exemplo, a proposição condicional: 
se eu como muito então eu engordo 
é obtida das sentenças: 
eu como muito e eu engordo. 
A condicional p  q tem o valor verdade F somente se os valores verdade de p e q forem V e F, 
respectivamente. 
bicondicional () utilizando o conectivo bicondicional (ou equivalência), lido como ... se e somente se..., 
de duas proposições obtém-se uma terceira chamada bicondicional. Por exemplo: 
Um triângulo ABC é retângulo se e somente se tem um ângulo reto. 
A bicondicional p  q tem valor verdade V se e somente se os valores verdade de p e q são 
idênticos. 
Deve ser observado que em expressões em linguagem natural freqüentemente p ou q é uzadon 
com o significado de: ou p é V ou q é V, mas p e q não são V ao mesmo tempo. Por exemplo: 
Ele está jogando futebol ou está nadando 
Este ou é chamado de ou exclusivo. No cálculo proposicional usa-se o ou inclusivo, ou seja, usa-se 
p ou q com o significado de: ou p é V, ou q é V, ou ambos são V. 
Por exemplo, a sentença chove ou faz frio é verdadeira nos casos em que: chove, faz frio, chove e 
faz frio. 
Fórmulas Bem Formadas 
Como visto anteriormente, novas proposições podem ser construídas através da combinação de 
símbolos, que representam proposições, e de conectivos lógicos. Essas proposições — bem como 
as proposições atômicas — são chamadas fórmulas bem formadas — wff (well-formed formula). 
Uma wff é definida recursivamente como segue: 
1. Um átomo é uma wff. 
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2. Se  e  são wff, então as seguintes também são wff. 
wff lida como 
 não  
    e  
    ou  
   Se  então  
 implica  
    se e somente se  
 é equivalente a  
 
Cada uma das expressões envolvendo  e  é chamada de forma sentencial. Uma forma 
sentencial é uma especificação abstrata da sintaxe de um número infinito de wff compostas de 
símbolos que representam proposições atômicas. Por exemplo, a wff: p  (q  r) é uma instância 
de substituição de qualquer uma das seguintes formas sentenciais: 
1.  onde  = p  (q  r) 
2.    onde  = p e  = q  r 
3.   (  ) onde  = p,  = q e  = r 
Exercícios: 
1. Deteminar o valor verdade de cada uma das seguintes proposições: 
(a) número 17 é primo. 
(b) Fortaleza é a capital do Maranhão. 
(c) Tiradentes morreu enforcado. 
(d) (3+5)2 = 32 + 52 
(e) -1 < -7 
(f) hexaedro regular tem 8 arestas. 
2. Sejam as proposições 
p: Pedro saiu. 
q: Maria está aqui. 
Forme sentenças na linguagem natural que correspondam às seguintes proposições:
a) p 
b) q 
c) p  q 
d) p  q 
e) p  q 
f) p  q 
g) (p  q) 
h) (p  q) 
i) p  q 
j) p  q
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3. Sejam as proposições: 
p: Luíza é modelo. 
q: Luíza é atriz. 
Escreva na forma sentencial cada uma das proposições abaixo: 
a) Luíza não é modelo. 
b) Luíza é modelo e atriz. 
c) Luíza é modelo e não é atriz. 
d) Luíza não é modelo e atriz. 
e) Luíza é modelo ou atriz. 
f) Luíza é modelo ou não é atriz. 
g) Luíza não é modelo ou atriz. 
h) Luíza não é modelo ou é atriz. 
i) Não é verdade que luíza é modelo ou atriz. 
j) Não é verdade que Luíza não é modelo ou não é atriz. 
k) Luíza não é modelo nem atriz. 
 
4. Sejam as proposições p: Está frio e q: Está chovendo, traduzir pára a linguagem natural as seguintes 
proposições:
a) p 
b) p  q 
c) p  q 
d) qp 
e) p  q 
f) p  q 
g) p  q 
h) p  q 
i) p  q  q
 
5. Sejam as proposições p:Jorge é rico e q: Carlos é feliz, traduzir para a linguagem natural as seguintes 
proposições:
a) q  p 
b) p  q 
c) q  p 
d) p  q 
e) p 
f) p  q  p
 
6. Sejam as proposições p: Marcos é alto e q: Marcos é elegante, traduzir para a linguagem sentencial as 
seguintes proposições: 
a) Marcos é alto e elegante. 
b) Marcos é alto mas não é elegante. 
c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante. 
d) Marcos não é nem alto e nem elegante. 
e) Marcos é alto ou é baixo e elegante. 
f) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante. 
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7. Sejam as proposições p: Suely é rica e q: Suely é feliz, traduzir para a linguagem sentencial as seguintes 
proposições: 
a) Suely é pobre, mas feliz. 
b) Suely é rica ou infeliz. 
c) Suely é pobre e infeliz. 
d) Suely é pobre ou rica, mas é infeliz. 
 
8. Sejam as proposições p: Carlos fala francês, q: Carlos fala inglês e r: Carlos fala alemão, traduzir para a 
forma sentencial as seguintes proposições: 
a) Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão. 
b) Carlos fala francês e inglês, ou não fala francêse alemão. 
c) É falso que Carlos fala francês mas não fala alemão. 
d) É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas que não fala francês. 
 
9. Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são, respectivamente V e F, determinar o valor 
lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições:
a) p  q 
b) p  q 
c) p  q 
d) p  q 
e) p  q 
f) p  (p  q)
 
10. Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo:
a) V(q) = F e V(p  q) = F 
b) V(q) = F e V(q  q) = V 
c) V(q) = F e V(p  q) = F 
d) V(q) = F e V(q  p) = V 
e) V(q) = V e V(p  q) = F 
f) V(q) = F e V(q  p) = V
 
11. Determinar V(p) e V(q) em cada um dos seguintes casos, sabendo:
a) V(p  q) = V e V(p  q) = F 
b) V(p  q) = V e V(p  q) = F 
c) V(p  q) = V e V(p  q) = V 
d) V(p  q) = V e V(p  q) = V 
e) V(p  q) = F e V(p  q) = V
 
Tabelas Verdade das Fórmulas Bem Formadas (wff) 
Os valores verdade de uma wff são definidos em termos dos valores verdade de seus componentes. 
Geralmente uma tabela-verdade é usada para tabular os valores-verdade de uma fórmula em termos os 
valores verdade de seus componentes, como mostrado a seguir. O significado, ou interpretação de uma 
fórmula, portanto, consiste em atribuir valores verdade a cada sub-fórmula. Dada a proposição (p  q), 
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sua respectiva tabela verdade pode ser construída da seguinte forma: 
 
p q q p  q (p  q) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V F V 
 
Em qualquer tabela verdade o número de linhas é determinado pelo número n de proposições simples 
que a compõe. No exemplo acima n = 2 (p e q). Pode-se obter o número de linhas de uma tabela-verdade 
calculando 2n. 
A seguir são apresentadas as tabelas verdade das operações de conjunção, disjunção, implicação, negação 
e bicondicional. 
 
Conjunção 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Disjunção 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Negação 
p p 
V F 
F V 
 
 
Condicional 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
 
Bicondicional 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
Prioridade dos Conectivos 
Dada a wff     , existe a dúvida desta wff ser (  )   ou   (  ). Este problema pode ser 
resolvido através do estabelecimento de uma hierarquia total ou parcial entre os conectivos. A convenção 
de prioridade estabelece a seguinte ordem de precedência: 
 
 
 
 
 
Maior 
 
 
 
Menor 
 
Semântica do Cálculo Proposicional 
Como visto anteriormente, a interpretação de uma fórmula é dada através da atribuição de 
valores verdade a cada um de seus componentes. Seja a fórmula (p  q)  (p  q), as seguintes 
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interpretações são possíveis: 
 p q p  q p  q (p  q)  (p  q) 
Interpretação 1 V V V V V 
Interpretação 2 V F V F F 
Interpretação 3 F V V F F 
Interpretação 4 F F F F V 
 
O valor verdade de uma fórmula está relacionado a uma interpretação particular. Portanto, 
quando são consideradas todas as interpretações de uma fórmula, uma fórmula pode ser 
classificada como tautológica, contraditória ou contingência. 
Tautologia 
Chama-se tautológica, toda proposição composta cuja última coluna da tabela verdade 
apresenta apenas o valor verdade V, ou seja, para quaisquer valores apresentados pelos seus 
componentes simples (para todas as interpretações possíveis), o valor verdade obtido é V. 
Exemplos: 
1. (p  p) (Princípio da não contradição) 
p p p  p (p  p) 
V F F V 
F V F V 
 
1.  (p  q) 
p q p  q ( p  q) p  ( p  q) 
V V V F V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F V V 
 
Contradição 
Chama-se contraditória toda a proposição composta cuja última coluna da tabela verdade 
apresenta apenas o valor F, ou seja, para quaisquer valores apresentados pelos seus 
componentes simples (para todas as interpretações possíveis), o valor verdade obtido é F. 
Exemplos: 
1. p  p (Princípio da contradição) 
p p p  p 
V F F 
F V F 
2. (p  q)  (p  q) 
p q p  q p  q ( p  q) ( p  q)  ( p  q) 
V V V V F F 
V F F V F F 
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F V F V F F 
F F F F V F 
 
Contigência 
Chama-se contingente toda a proposição composta que não é tautológica nem contraditória, ou seja, 
possui interpretações que apresentam valor verdade V e F. 
Exemplos:
p p p  p 
V F F 
F V V 
 
 
 
p q p  q p  q  p 
V V V V 
V F V V 
F V V F 
F F F V 
Exercícios 
(g) Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas:
g) (p  q)  (p  p) 
h) (p  p  p)  p 
i) (p  q)  p  q 
j) p  (q  p) 
k) (p  q)  q  p 
l) (p  q)  p  q 
m) p  p  (p  q) 
n) (p  p)  (q  q) 
o) (p  p)  (q  q) 
p) p  (p  q)  p 
q) (p  q)  (p  q) 
r) (p  q)  p  q
 
(h) Mostrar que as seguintes proposições são tautológicas:
a) (p  q)  (p  r  q) 
b) (p  q)  (p  q  r) 
c) (p  q)  (p  r  q  r) 
d) (p  q)  (p  r  q  r)
 
(i) Mostar que as seguintes proposições são contingentes:
a) p  q  p  q 
b) (q  p)  (p  q) 
c) (p  (p  q) )  q 
d) p  (p  q  q)
 
(j) Determinar quais das seguintes proposições são tautológicas, contraditórias e contingentes:
g) p  (p  q) 
h) p  q  (p  q) 
i) p  (q  (q  p)) 
j) ((p  q)  q)  p 
k) p  q  (p   q) 
l) p  q  (p  q) 
m) p  (p  q)  r 
n) p  q  (p  q  r)
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(k) Construa a tabela verdade das proposições a seguir e verifique se as mesmas são tautológicas, 
contraditórias ou contingentes:
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a) ((p  q)  p)  (q  p) 
b) (p  q)  r 
c) r  (p  q) 
d) ((p  q)  r)  (p  (q  r)) 
e) (((p  q)))  (p  r) 
f) ((p  q)  (q  p))  ((r  p)  q) 
g) (p  (q  r))  ((p  (q  r))  (p  (p  r))) 
h) p  (q  (r  s)) 
i) ((p  q))  (p  q) 
(p  q)  (p  q)