EXEMPLO MEMÓRIA DE CÁLCULO TRABALHO DE CONCRETO II

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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
TÍTULO
ANALISE DO PILAR 08
(PILAR INTERMEDIÁRIO)
Carregamento do Pilar Intermediário
	Pilar Intermediário
	Pavimento
	Cargas (KN)
	Área Adotada (cm2)
	Cobertura
Teto 03
	Reações das Vigas
	108,53
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	-
	
	
	Total
	111,41
	
	
Teto 02
	Reações das Vigas
	174,15
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	111,41
	
	
	Total
	288,44
	
	
Teto 01
	Reações das Vigas
	174,15
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	288,44
	
	
	Total
	415,47
	
	
Térreo
	Reações das Vigas
	174,15
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	415,47
	
	
	Total
	582,50
	
 Dados de Calculo:
	- le,x = le,y = 288 cm;
	- Concreto C25;
	- Esforços Normais Característicos:
		 Pavt. Térreo: Nk = 582,50 KN
		 Pavt. Tipo 01: Nk = 415,47 KN
		 Pavt. Tipo 02: Nk = 288,44 KN
		 Pavt. Tipo 03: Nk = 111,41 KN
	- Aço CA-50:
		 Utilização de barras nervuradas:
Barras Nervuradas: n1 = 2,25;
Zona I (Boa Aderência): n2 = 1,00;
Todas as Barras terão < 32 mm: n3 = 1,00.
PAVIMENTO TÉRREO
1.0 Esforço Normal de Cálculo (Nd):
Nd = γn . γf . Nk = 1,40 . 582,50 = 815,50 KN
2.0 Esbeltez (λ):
λx = 3,46 . lex = 3,46 . 288 = 49,82
 hx 20
λy = 3,46 . ley = 3,46 . 288 = 49,82
 	 hy 20
3.0 Momentos mínimos (M1d,min):
M1d,min,x = Nd (1,5 + 0,03 . hx) = 815,50 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,x = 1712,55 KN.cm
M1d,min,y = Nd (1,5 + 0,03 . hy) = 815,50 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,y = 1712,55 KN.cm
4. Excentricidades:
 
4.1 - De 1º ordem (e1):
		
4.1.1 - Inicial (ei)
Como o pilar é intermediário (MA = MB = 0), as excentricidades iniciais (ei) são nulas: 
eiA,x = eiA,y = eiB,x = eiB,y = 0.
4.1.2 - Acidental (ea): Considerando-se apenas a falta de retilineidade do eixo do pilar.
	
ea = θ1 . H , θ1 = 1 = 1 θ1 = 1 .
 	 2 100 . H ½ 100 . 2,88 ½ 169,71
(θ1,min = 1 ) ≤ θ1 ≤ (θ1,máx = 1 ) Assim, adota-se: θ1 = 1 .
 400 200 200
eax = eay = 1 . 288 = 0,72 cm
		 200 2
		
4.1.3 - Mínimas (e1,min):
- e1,min,x = 1,5 + 0,03 . hx = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm.
- e1,min,y = 1,5 + 0,03 . hy = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm.
		4.1.4 – Excentricidades Finais de 1° Ordem
			 e iA,x + e ax = 0 + 0,72 = 0,72 cm.
- Direção “x”:	e1x ≥ 	
			 e 1,min,x = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1x = 2,10 cm.
			 e iA,y + e ay = 0 + 0,72 = 0,72 cm.
- Direção “y”:	e1y ≥ 	
			 e 1,min,y = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1y = 2,10 cm.
		4.1.5 – Esforços Finais de 1º Ordem, nas seções de extremidades do pilar:
Nd = 815,50 KN
		M1d,x = Nd . e1x = 815,50 . 2,10 M1d,x = 1712,55 KN.cm *
	
M1d,y = Nd . e1y = 815,50 . 2,10 M1d,y = 1712,55 KN.cm *
	
* Valores maiores que o mínimo.
4.2 - De 2° ordem (e2): 
Como os pilares são contraventados, ou seja, de nós fixos, pode-se considerar apenas os efeitos locais de 2º ordem.
4.2.1 - Esbeltez limite (λ1):
 λ1 = 25 + 12,5 . e1 / h ; sendo 35 ≤ λ1 ≤ 90
 αb αb
Como os momentos iniciais são nulos (pilar intermediário), portanto menores que M1d,min , αb= 1,00
λ1x = 25 + 12,5 . (e1x / hx) = 26,312 λ1x ≥ 35 = 35
 			 αb αb (=1,00) 
λ1y = 25 + 12,5 . (e1y / hy) = 26,312 λ1y ≥ 35 = 35
 		 αb αb
Assim, concluímos:
λx = 49,82 > λ1x = 35		Considerar os efeitos de 2º ordem.
λy = 49,82 > λ1y = 35		Considerar os efeitos de 2º ordem.
4.2.2 - Determinação de e2x:
- Método do pilar-padrão com curvatura aproximada:
e2x = e2y = (lex)2 . 1 .
		 10 r
 1 = 0,005 v = Nd = 815,50 = 1,14 (v ≥ 0,5)
 r hx (v + 0,5) Ac . fcd 20 . 20 . (2,5/1,4)
1 = 0,005 = 1,52 x 10-4 cm-1
 r 20 (1,14 + 0,5) 
e2x = e2y = 2882 . 1,52 x 10-4 = 1,26 cm
 10
5. Momento total (Md,total) – Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada:
Md,total = αb . Mid,A + Nd . e2 ≥ Mid,A e Mid,A ≥ M1d,mín
- Direção “x”: Md,total,x = 1,0 . 1712,55 + 815,50. 1,26 = 2740,08 KN. cm
- Direção “y”: Md,total,y = 1,0 . 1712,55 + 815,50. 1,26 = 2740,08 KN. cm
SITUAÇÃO DE PROJETO
SITUAÇÃO DE CÁLCULO
- ex = ey = e1 + e2 = 2,10 + 1,26 	ex = ey = 3,36 cm.
- Nd = 815,50 KN.
- Md,total,x = Md,total,y = 2740,08 KN. cm
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE AÇO NO TÉRREO:
- Nd = 815,50 KN
- Md,x = Md,y = 2740,08 KN . cm
- ex = ey = 3,36 cm.
1.0 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5/1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac. σcd
 Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 815,50 = 1,34 (1,3 < v < 1,4)
 1,52 . 400
• μ = Mdx = 2740,08 = 0,20
 Ac . hx . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20
 hx 20
2.0 – Escolha do Arranjo (Auxiliadas pelas tabelas do Prof. José Milton) Tab. A1.2 e A1.3.
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
Nº. de camadas: 2.
v = 1,34
μ = 0,20
3.0 – Interpolações Lineares:
• 1° para: δ = 0,10; 1,40 – 1,30 = 0,89 – 0,79
	 1,34 – 1,30 1 – 0,79
 Tab. A.1.2 – 
					 0,03 ----- 0,79 – W1 
	0,2
	0,79
	1
	0,89
	μ
 v
	1,30
	1,34
	1,40
	 1 = 0,83
• 2° para: δ = 0,15; 	 
 				
 Tab. A.1.3 –	 1,40 – 1,30 = 0,94 – 0,85
	 1,34 – 1,30 1 – 0,85
		
	0,2
	0,85
	2
	0,94
	μ
 v
	1,30
	1,34
	1,40
 	 2 = 0,89
	 
4.0 – Interpolação Final:
	 0,20 – 0,10 = 0,20 – 0,83
	 0,15 – 0,10 0,89 – 0,83
	
	0,83
	0,89
	0,20
	δ
	0,10
	0,15
	0,20
	 0,20 = 0,95 					 0,1 ------- W – 0,763 W = 0,861
5.0 – Cálculo da Área de Aço (As):
• As = . Ac . σcd fyd = fyk = 50 = 43,48 KN/cm2
 fyd	1,15	 	 γs 1,15			
 	 As = 0,95 . 20 . 20 . 1,52 σcd = 1,52 KN/cm2
 43,48
 	As = 13,30 cm2
• As,min ≥ 0,004 Ac = 1,60 cm2
• As,max ≤ 0,04 Ac = 16 cm2
	
	As,min = 0,15 . Nd = 0,15 . 815,50 = 2,81 cm2
 fyd 43,48 ↓
As,min = 2,81 cm2
As ≥ As,min (13,30 cm2 > 2,81 cm2)
6.0 – Cálculo da armadura longitudinal:
- min ≥ 10 mm
- máx ≤ 1 . b = 1 . 200 = 25 mm
8
• Vamos adotar - 25 mm
• nº de barras: 4.
 	 Usaremos: 4 - 25 mm
• As = 13,30 cm2• Taxa da armadura longitudinal: ps = As = 13,30 = 3,32% < 4%
 Ac 400
			 Ac 600
7.0 – Cálculo da Armadura Transversal:
• Diâmetro do estribo:
 t ≥ 5 mm
 1 = 1 . 20 = 5 mm
4
 
Adotaremos: t = 5 mm
• Espaçamento entre Estribos:
 200 mm
 S ≤ b = 200 mm = 20 cm
 12 = 12. 25 = 300 mm
	Adotaremos: S = 15 cm 5.0 mm – C. 15
• Proteção contra Flambagem das barras:
 Como todas as barras se encontram nos cantos dos estribos, já se encontram protegidas contra a flambagem.
8.0 – Comprimento da emenda por transpasse:
• Comprimento Básico de Ancoragem (lb):
	- Barra nervurada: n1 = 2,25
	- Zona I – boa aderência: n2 = 1,0
	- 25 < 32 mm : n3 = 1,0
	fctd = 0,7 . 0,3 . 252/3 = 1,28 Mpa = 0,128 KN/cm2	
 1,4
	fbd = 2,25 . 1 . 1 . 0,128 = 0,288
	lb = . fyd = 2,5 . 43,48 = 94,35 cm
 4 fbd 4 0,288
• Comprimento Necessário de Ancoragem (lb,nec):
	lb,nec = α1 . lb . As,cal
 As,ef
	lb,nec = 1 . 94,35 . 13,30 = 64,02 cm
 19,60
• Cálculo da Ancoragem Mínima (lb,min):
	 0,3 lb = 0,3 . 94,35 = 28,30 cm
	lb,min ≥ 10 = 25 cm
 100 mm = 10 cm
	lb,min < lb,nec < lb 	28,30 < 64,02 < 94,35 
• Emenda por Traspasse (Barras Comprimidas):
	loc = lb,nec ≥ loc,min
	 0,6 lb = 0,6 . 94,35 = 56,61 cm
	loc,min ≥ 15 = 15 . 2,5 = 37,50 cm
		 200mm = 20 cm
	loc = lb,nec ≥ 56,61 cm
	
	loc = lb,nec loc = 64,02 cm
PAVIMENTO TIPO I
1.0 Esforço Normal de Cálculo (Nd):
Nd = γn . γf . Nk = 1,40 . 405,47 = 567,66 KN
2.0 Esbeltez (λ):
λx = 3,46 . lex = 3,46 . 288 = 49,82
 hx 20
λy = 3,46 . ley = 3,46 . 288 = 49,82
 	 hy 20
3.0 Momentos mínimos (M1d,min):
M1d,min,x = Nd (1,5 + 0,03 . hx) = 567,66 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,x = 1192,10 KN.cm
M1d,min,y = Nd (1,5 + 0,03 . hy) = 567,66 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,y = 1192,10 KN.cm
4. Excentricidades:
 
4.1 - De 1º ordem (e1):
		
4.1.1 - Inicial (ei)
Como o pilar é intermediário (MA = MB = 0), as excentricidades iniciais (ei) são nulas: 
eiA,x = eiA,y = eiB,x = eiB,y = 0.
4.1.2 - Acidental (ea): Considerando-se apenas a falta de retilineidade do eixo do pilar.
	
ea = θ1 . H , θ1 = 1 = 1 θ1 = 1 .
 	 2 100 . H ½ 100 . 2,88 ½ 169,71
(θ1,min = 1 ) ≤ θ1 ≤ (θ1,máx = 1 ) Assim, adota-se: θ1 = 1 .
 400 200 200
eax = eay = 1 . 288 = 0,72 cm
		 200 2
		
4.1.3 - Mínimas (e1,min):
- e1,min,x = 1,5 + 0,03 . hx = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm.
- e1,min,y = 1,5 + 0,03 . hy = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm.
		4.1.4 – Excentricidades Finais de 1° Ordem
			 e iA,x + e ax = 0 + 0,72 = 0,72 cm.
- Direção “x”:	e1x ≥ 	
			 e 1,min,x = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1x = 2,10 cm.
			 e iA,y + e ay = 0 + 0,72 = 0,72 cm.
- Direção “y”:	e1y ≥ 	
			 e 1,min,y = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1y = 2,10 cm.
		4.1.5 – Esforços Finais de 1º Ordem, nas seções de extremidades do pilar:
Nd = 567,66 KN.
		M1d,x = Nd . e1x = 567,66 . 2,10 M1d,x = 1192,10 KN.cm *
	
M1d,y = Nd . e1y = 567,66 . 2,10 M1d,y = 1192,10 KN.cm *
	
* Valores maiores que o mínimo.
4.2 - De 2° ordem (e2): 
Como os pilares são contraventados, ou seja, de nós fixos, pode-se considerar apenas os efeitos locais de 2º ordem.
4.2.1 - Esbeltez limite (λ1):
 λ1 = 25 + 12,5 . e1 / h ; sendo 35 ≤ λ1 ≤ 90
 αb αb
Como os momentos iniciais são nulos (pilar intermediário), portanto menores que M1d,min , αb= 1,00.
λ1x = 25 + 12,5 . (e1x / hx) = 26,312 λ1x ≥ 35 = 35
 			 αb αb (=1,00) 
λ1y = 25 + 12,5 . (e1y / hy) = 26,312 λ1y ≥ 35 = 35
 		 αb αb
Assim, concluímos:
λx = 49,82 > λ1x = 35		Considerar os efeitos de 2º ordem.
λy = 49,82 > λ1y = 35		Considerar os efeitos de 2º ordem.
4.2.2 - Determinação de e2x:
- Método do pilar-padrão com curvatura aproximada:
e2x = e2y = (lex)2 . 1 .
		 10 r
 1 = 0,005 v = Nd = 567,66 = 0,79 (v ≥ 0,5)
 r hx (v + 0,5) Ac . fcd 20 . 20 . (2,5/1,4)
1 = 0,005 = 1,94 x 10-4 cm-1
 r 20 (0,79 + 0,5)
e2x = e2y = 2882 . 1,94 x 10-4 = 1,61 cm
 10
5. Momento total (Md,total) – Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada:
Md,total = αb . Mid,A + Nd . e2 ≥ Mid,A e Mid,A ≥ M1d,mín
- Direção “x”: Md,total,x = 1,0 . 1192,10 + 567,66. 1,61 = 2106,03 KN. cm
- Direção “y”: Md,total,y = 1,0 . 1192,10 + 567,66. 1,61 = 2106,03 KN. cm
SITUAÇÃO DE PROJETO
SITUAÇÃO DE CÁLCULO
- ex = ey = e1 + e2 = 2,10 + 1,61 	ex = ey = 3,71 cm.
- Nd = 567,66 KN.
- Md,total,x = Md,total,y = 2106,03 KN. cm
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE AÇO NO TETO I:
- Nd = 567,66 KN
- Md,x = Md,y = 2106,03 KN . cm
- ex = ey = 3,71 cm.
1.0 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5/1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac. σcd
 Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 567,66 = 0,93 (0,9 < v < 1,0)
 1,52 . 400
• μ = Mdx = 2106,03 = 0,17
 Ac . hx . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20
 hx 20
2.0 – Escolha do Arranjo (Auxiliadas pelas tabelas do Prof. José Milton) Tab. A1.2 e A1.3.
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
Nº. de camadas: 2.
v = 0,93
μ = 0,17
3.0 – Interpolações Lineares:
• 1° para: δ = 0,10; 
	 1,00 – 0,90 = 0,24 – 0,15 0,1 = 0,17
	 0,93 – 0,90 1 – 0,15 
 Tab. A.1.2 – 
	 1,00 – 0,90 = 0,52 – 0,44 0,2 = 0,46
	 0,93 – 0,90 0,2 – 0,44 
				 0,03 ----- 0,79 – W1 
	0,20
	0,44
	0,2
	0,52
	0,17
	-
	0,17
	-
	0,10
	0,15
	0,1
	0,24
	μ
v
	0,90
	0,93
	1,00
	
 Fazendo v = 0,93
 0,20 – 0,10 = 0,46 – 0,17 0,17 = 0,37
	 0,17 – 0,10 0,16 – 0,17 
• 1° para: δ = 0,15; 
	 1,00 – 0,90 = 0,25 – 0,16 0,1 = 0,18
	 0,93 – 0,90 1 – 0,16 
 Tab. A.1.3 – 
	 1,00 – 0,90 = 0,57 – 0,49 0,2 = 0,51
	 0,93 – 0,90 0,2 – 0,49 
				 0,03 ----- 0,79 – W1 
	0,20
	0,49
	0,2
	0,57
	0,17
	-
	0,17
	-
	0,10
	0,16
	0,1
	0,25
	μ
v
	0,90
	0,93
	1,00
	
 Fazendo v = 0,93
 0,20 – 0,10 = 0,51 – 0,18 0,17 = 0,41
 0,17 – 0,10 0,16 – 0,18 
	 
4.0 – Interpolação Final:
	 0,20 – 0,10 = 0,20 – 0,37
	 0,15 – 0,10 0,41 – 0,37
	
	0,37
	0,410,20
	δ
	0,10
	0,15
	0,20
	 0,20 = 0,45 					 0,1 ------- W – 0,763 W = 0,861
5.0 – Cálculo da Área de Aço (As):
• As = . Ac . σcd fyd = fyk = 50 = 43,48 KN/cm2
 fyd	1,15	 	 γs 1,15			
 	 As = 0,45 . 20 . 20 . 1,52 σcd = 1,52 KN/cm2
 43,48
 	As = 6,30 cm2
• As,min ≥ 0,004 Ac = 1,60 cm2
• As,max ≤ 0,04 Ac = 16 cm2
	
	As,min = 0,15 . Nd = 0,15 . 567,66 = 1,96 cm2
 fyd 43,48 ↓
As,min = 1,96 cm2
As ≥ As,min (6,30 cm2 > 1,96 cm2)
6.0 – Cálculo da armadura longitudinal:
- min ≥ 10 mm
- máx ≤ 1 . b = 1 . 200 = 25 mm
8
• Vamos adotar - 16,0 mm
• Nº. de barras: 4.
 	 Usaremos: 4 - 16 mm
• As = 6,30 cm2
• Taxa da armadura longitudinal: ps = As = 6,30 = 1,60% < 4%
 Ac 400
			 Ac 600
7.0 – Cálculo da Armadura Transversal:
• Diâmetro do estribo:
 t ≥ 5 mm
 1 = 1 . 20 = 5 mm
4
 
Adotaremos: t = 5 mm
• Espaçamento entre Estribos:
 200 mm
 S ≤ b = 200 mm = 20 cm
 12 = 12. 16 = 192 mm
	Adotaremos: S = 15 cm 5.0 mm – C. 15
• Proteção contra Flambagem das barras:
 Como todas as barras se encontram nos cantos dos estribos, já se encontram protegidas contra a flambagem.
8.0 – Comprimento da Emenda por Transpasse:
• Comprimento Básico de Ancoragem (lb):
	- Barra nervurada: n1 = 2,25
	- Zona I – boa aderência: n2 = 1,0
	- 16 < 32 mm : n3 = 1,0
	fctd = 0,7 . 0,3 . 252/3 = 1,28 Mpa = 0,128 KN/cm2	
 1,4
	fbd = 2,25 . 1 . 1 . 0,128 = 0,288
	lb = . fyd = 1,6 . 43,48 = 60,39 cm
 4 fbd 4 0,288
• Comprimento Necessário de Ancoragem (lb,nec):
	lb,nec = α1 . lb . As,cal
 As,ef
	lb,nec = 1 . 60,39. 6,30 = 47,32 cm
 8,04
• Cálculo da Ancoragem Mínima (lb,min):
	 0,3 lb = 0,3 . 60,39 = 18,12 cm
	lb,min ≥ 10 = 16 cm
 100 mm = 10 cm
	
	lb,min < lb,nec < lb 	18,12 < 47,32 < 60,39 
• Emenda por Traspasse (Barras Comprimidas):
	loc = lb,nec ≥ loc,min
	 0,6 lb = 0,6 . 60,39 = 36,23 cm
	loc,min ≥ 15 = 15 . 1,6 = 24,0 cm
		 200mm = 20 cm
	loc = lb,nec ≥ 36,23 cm
	
	loc = lb,nec loc = 47,32 cm
PAVIMENTO TIPO II
1.0 Esforço Normal de Cálculo (Nd):
Nd = γn . γf . Nk = 1,40 . 288,44 = 403,81 KN
2.0 Esbeltez (λ):
λx = 3,46 . lex = 3,46 . 288 = 49,82
 hx 20
λy = 3,46 . ley = 3,46 . 288 = 49,82
 	 hy 20
3.0 Momentos mínimos (M1d,min):
M1d,min,x = Nd (1,5 + 0,03 . hx) = 403,81 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,x = 848,01 KN.cm
M1d,min,y = Nd (1,5 + 0,03 . hy) = 403,81 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,y = 848,01 KN.cm
4. Excentricidades:
 
4.1 - De 1º ordem (e1):
		
4.1.1 - Inicial (ei)
Como o pilar é intermediário (MA = MB = 0), as excentricidades iniciais (ei) são nulas: 
eiA,x = eiA,y = eiB,x = eiB,y = 0.
4.1.2 - Acidental (ea): Considerando-se apenas a falta de retilineidade do eixo do pilar.
	
ea = θ1 . H , θ1 = 1 = 1 θ1 = 1 .
 	 2 100 . H ½ 100 . 2,88 ½ 169,71
(θ1,min = 1 ) ≤ θ1 ≤ (θ1,máx = 1 ) Assim, adota-se: θ1 = 1 .
 400 200 200
eax = eay = 1 . 288 = 0,72 cm
		 200 2
		
4.1.3 - Mínimas (e1,min):
- e1,min,x = 1,5 + 0,03 . hx = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm.
- e1,min,y = 1,5 + 0,03 . hy = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm.
		4.1.4 – Excentricidades Finais de 1° Ordem
			 e iA,x + e ax = 0 + 0,72 = 0,72 cm.
- Direção “x”:	e1x ≥ 	
			 e 1,min,x = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1x = 2,10 cm.
			 e iA,y + e ay = 0 + 0,72 = 0,72 cm.
- Direção “y”:	e1y ≥ 	
			 e 1,min,y = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1y = 2,10 cm.
		4.1.5 – Esforços Finais de 1º Ordem, nas seções de extremidades do pilar:
Nd = 403,81 KN.
		M1d,x = Nd . e1x = 403,81 . 2,10 M1d,x = 848,01 KN.cm *
	
M1d,y = Nd . e1y = 403,81 . 2,10 M1d,y = 848,01 KN.cm *
	
* Valores maiores que o mínimo.
4.2 - De 2° ordem (e2): 
Como os pilares são contraventados, ou seja, de nós fixos, pode-se considerar apenas os efeitos locais de 2º ordem.
4.2.1 - Esbeltez limite (λ1):
 λ1 = 25 + 12,5 . e1 / h ; sendo 35 ≤ λ1 ≤ 90
 αb αb
Como os momentos iniciais são nulos (pilar intermediário), portanto menores que M1d,min , αb= 1,00.
λ1x = 25 + 12,5 . (e1x / hx) = 26,312 λ1x ≥ 35 = 35
 			 αb αb (=1,00) 
λ1y = 25 + 12,5 . (e1y / hy) = 26,312 λ1y ≥ 35 = 35
 		 αb αb
Assim, concluímos:
λx = 49,82 > λ1x = 35		Considerar os efeitos de 2º ordem.
λy = 49,82 > λ1y = 35		Considerar os efeitos de 2º ordem.
4.2.2 - Determinação de e2x:
- Método do pilar-padrão com curvatura aproximada:
e2x = e2y = (lex)2 . 1 .
		 10 r
 1 = 0,005 v = Nd = 403,81 = 0,56 (v ≥ 0,5)
 r hx (v + 0,5) Ac . fcd 20 . 20 . (2,5/1,4)
1 = 0,005 = 2,35 x 10-4 cm-1
 r 20 (0,56 + 0,5)
e2x = e2y = 2882 . 2,35 x 10-4 = 1,95 cm
 10
5. Momento total (Md,total) – Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada:
Md,total = αb . Mid,A + Nd . e2 ≥ Mid,A e Mid,A ≥ M1d,mín
- Direção “x”: Md,total,x = 1,0 . 848,01 + 403,81. 1,95 = 1635,44 KN. cm
- Direção “y”: Md,total,y = 1,0 . 848,01 + 403,81. 1,95 = 1635,44 KN. cm
SITUAÇÃO DE PROJETO
SITUAÇÃO DE CÁLCULO
- ex = ey = e1 + e2 = 2,10 + 1,95 	ex = ey = 4,05 cm.
- Nd = 403,81 KN.
- Md,total,x = Md,total,y = 1635,44 KN. cm
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE AÇO NO TETO II:
- Nd = 403,81 KN
- Md,x = Md,y = 1635,44 KN . cm
- ex = ey = 4,05 cm.
1.0 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5/1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac. σcd
 Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 403,81 = 0,66 (0,6 < v < 0,7)
 1,52 . 400
• μ = Mdx = 1635,44 = 0,13
 Ac . hx . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20
 hx 20
2.0 – Escolha do Arranjo (Auxiliadas pelas tabelas do Prof. José Milton) Tab. A1.2 e A1.3.
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
Nº. de camadas: 2.
v = 0,66
μ = 0,13
3.0 – Interpolações Lineares:
• 1° para: δ = 0,10; 
	 0,70 – 0,60 = 0,00 – 0,00 0,1 = 0,00
	 0,66 – 0,60 1 – 0,00 
 Tab. A.1.2 – 
	 0,70 – 0,60 = 0,30 – 0,25 0,2 = 0,28
	 0,66 – 0,60 0,2 – 0,25 
				 0,03 ----- 0,79 – W1 
	0,20
	0,25
	0,2
	0,30
	0,13
	-
	0,13
	-
	0,10
	0,00
	0,10,00
	μ
v
	0,60
	0,66
	0,70
	
 Fazendo v = 0,66
 0,20 – 0,10 = 0,28 – 0,00 0,13 = 0,084
	 0,13 – 0,10 0,13 – 0,00 
• 1° para: δ = 0,15; 
	 0,70 – 0,60 = 0,00 – 0,00 0,1 = 0,00
	 0,66 – 0,60 1 – 0,00 
 Tab. A.1.3 – 
	 0,70 – 0,60 = 0,35 – 0,29 0,2 = 0,32
	 0,66 – 0,60 0,2 – 0,29 
				 0,03 ----- 0,79 – W1 
	0,20
	0,29
	0,2
	0,35
	0,13
	-
	0,13
	-
	0,10
	0,00
	0,1
	0,00
	μ
v
	0,60
	0,66
	0,70
	
 Fazendo v = 0,66
 0,20 – 0,10 = 0,32 – 0,00 0,13 = 0,10
 0,13 – 0,10 0,13 – 0,00 
	 
4.0 – Interpolação Final:
	 0,20 – 0,10 = 0,20 – 0,084
	 0,15 – 0,10 0,10 – 0,084
	
	0,084
	0,10
	0,20
	δ
	0,10
	0,15
	0,20
	 0,20 = 0,116					 0,1 ------- W – 0,763 W = 0,861
5.0 – Cálculo da Área de Aço (As):
• As = . Ac . σcd fyd = fyk = 50 = 43,48 KN/cm2
 fyd	1,15	 	 γs 1,15			
 	 As = 0,116. 20 . 20 . 1,52 σcd = 1,52 KN/cm2
 43,48
 	As = 1,62 cm2
• As,min ≥ 0,004 Ac = 1,60 cm2
• As,max ≤ 0,04 Ac = 16 cm2
	
	As,min = 0,15 . Nd = 0,15 . 403,81 = 1,39 cm2
 fyd 43,48 ↓
As,min = 1,60 cm2
As ≥ As,min (1,62 cm2 > 1,60 cm2)
6.0 – Cálculo da armadura longitudinal:
- min ≥ 10 mm
- máx ≤ 1 . b = 1 . 200 = 25 mm
8
• Vamos adotar - 10,0 mm
• Nº. de barras: 4.
 	 Usaremos: 4 - 10 mm
• As = 1,62 cm2
• Taxa da armadura longitudinal: ps = As = 1,62 = 0,40% < 4%
 Ac 400
			 Ac 600
7.0 – Cálculo da Armadura Transversal:
• Diâmetro do estribo:
 t ≥ 5 mm
 1 = 1 . 10 = 2,5 mm
4
 
Adotaremos: t = 5 mm
• Espaçamento entre Estribos:
 200 mm
 S ≤ b = 200 mm = 20 cm
 12 = 12. 10 = 120 mm
	Adotaremos: S = 12 cm 5.0 mm – C. 12
• Proteção contra Flambagem das barras:
 Como todas as barras se encontram nos cantos dos estribos, já se encontram protegidas contra a flambagem.
8.0 – Comprimento da Emenda por Transpasse:
• Comprimento Básico de Ancoragem (lb):
	- Barra nervurada: n1 = 2,25
	- Zona I – boa aderência: n2 = 1,0
	- 10 < 32 mm : n3 = 1,0
	fctd = 0,7 . 0,3 . 252/3 = 1,28 Mpa = 0,128 KN/cm2	
 1,4
	fbd = 2,25 . 1 . 1 . 0,128 = 0,288
	lb = . fyd = 1,0 . 43,48 = 37,74 cm
 4 fbd 4 0,288
• Comprimento Necessário de Ancoragem (lb,nec):
	lb,nec = α1 . lb . As,cal
 As,ef
	lb,nec = 1 . 37,74. 1,62 = 19,47 cm
 3,14
• Cálculo da Ancoragem Mínima (lb,min):
	 0,3 lb = 0,3 . 37,74 = 11,32 cm
	lb,min ≥ 10 = 10 cm
 100 mm = 10 cm
	
	lb,min < lb,nec < lb 	11,32 < 19,47 < 37,74 
• Emenda por Traspasse (Barras Comprimidas):
	loc = lb,nec ≥ loc,min
	 0,6 lb = 0,6 . 37,74 = 22,64 cm
	loc,min ≥ 15 = 15 . 1,0 = 15,0 cm
		 200mm = 20 cm
	loc = lb,nec ≥ 22,64 cm
	
	loc = lb,nec loc = 22,64 cm
OBSERVAÇÃO
	- Considerando o Pavimento Tipo II como um pavimento em que está bem próximo ao valor mínimo de dimensionamento (área de aço equivalente ao valor mínimo do mesmo) adota-se ao Pavimento Tipo III o mesmo tipo de armadura, dimensão, e disposição do Pavimento Tipo II. Isso se deve ao fato de, por se tratarem de pilares contraventados, o esforço normal de calculo diminui a cada lance superior, tendo como conseqüência diminuição da área de aço e dimensionamento. Contudo, seu detalhamento poderá ser visto na prancha em anexo. 
ANALISE DO PILAR 03
(PILAR DE EXTREMIDADE)
Carregamento do Pilar Extremidade
	Pilar Intermediário
	Pavimento
	Cargas (KN)
	Área Adotada (cm2)
	Cobertura
Teto 03
	Reações das Vigas
	75,20
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	-
	
	
	Total
	78,08
	
	
Teto 02
	Reações das Vigas
	106,45
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	78,08
	
	
	Total
	187,41
	
	
Teto 01
	Reações das Vigas
	106,45
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	187,41
	
	
	Total
	296,74
	
	
Térreo
	Reações das Vigas
	106,45
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	296,74
	
	
	Total
	406,07
	
 Dados de Calculo:
	- le,x = le,y = 288 cm;
	- Concreto C25;
	- Esforços Normais Característicos:
		 Pavt. Térreo: Nk = 406,07 KN
		 Pavt. Tipo 01: Nk = 296,74 KN
		 Pavt. Tipo 02: Nk = 187,41 KN
		 Pavt. Tipo 03: Nk = 78,08 KN
	- Aço CA-50:
		 Utilização de barras nervuradas:
Barras Nervuradas: n1 = 2,25;
Zona I (Boa Aderência): n2 = 1,00;
Todas as Barras terão < 32 mm: n3 = 1,00.
CALCULO DO MOMENTO INICIAL NA DIREÇÃO “X”
1.0 – Esquema Estático:
2.0 – Momento de Engastamento Perfeito:
Meng = q . l2 = 15,50 . 6,352 = 52,08 KN. m
 12 12
					 12 12
3.0 – Inércia das Vigas:
Iviga = 13 . 603 = 234000 cm4
 12 
					 12 
4.0 – Inércia do Pilar:
Ip,sup = Ip,inf = 204 = 13333,33 cm4
 12 
5.0 – Rigidez do Pilar:
rp,sup = rp,inf = 3. 13333,33 = 277,77 cm3
 (288 / 2)
6.0 – Rigidez das Vigas:
rviga = 4. 234000 = 1474,0 cm3
 635 
7.0 – Distribuição dos momentos no nó:
7.1 – Pilar:
Mp,sup = Mp,inf = 52,08 . 277,77 = 7,13 KN . m
			 2029,54
		 
7.2 – Momentos Finais no Pilar:
Mp,sup,final = Mp,inf,final = 1,5 . 7,13 = 10,70 KN . m = 1070, 00 KN. cm
8.0 – Esquema dos Momentos nos Pavimentos:
PAVIMENTO TÉRREO
1.0 – Esforço Normal de Cálculo (Nd):
Nd = γn . γf . Nk = 1,4 . 406,07 = 568,50 KN
2.0 – Esbeltez (λ):
λx = 3,46 . lex = 3,46 . 288 = 49,82
 	 hx 20
λy = 3,46 . ley = 3,46 . 288 = 49,82
 	 hy 20
3.0 – Momentos Mínimos (M1d,min):
M1d,min,x = Nd (1,5 + 0,03 . hx) = 568,50 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,x = 1193,85 KN. cm
M1d,min,y = Nd (1,5 + 0,03 . hy) = 568,20 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,y = 1193,85 KN. cm.
4.0 – Excentricidades:
4.1 – De 1º ordem (e1):
		
4.1.1 – Inicial (ei)
eiA,x = Mid,A,x = 1070,00 = 1,88 cm (- eiB,x)
 		Nd 568,50
eiA,y = eiB,y = 0
4.1.2 – Acidental (ea):
	
ea = θ1 . H , θ1 = 1 = 1 θ1 = 1 .
 2 100. H ½ 100. 2,88 ½ 169,71
(θ1,min = 1) ≤ θ1 ≤ (θ1,máx = 1 ) Assim: θ1 = 1 .
			 400 200 200
eax = eay = 1 . 288 = 0,72 cm
			 200 2
	
4.1.3 – Mínimas (e1, min):
e1,min,x = 1,5 + 0,03 . hx = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm
e1,min,y = 1,5 + 0,03 . hy = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm
4.1.4 – Excentricidades Finais de 1° Ordem
			 e iA,x + e ax = 1,88 + 0,72 = 2,60 cm.
- Direção “x”:	e1x ≥ 	
			 e 1,min,x = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1x = 2,60 cm.
			 e iA,y + e ay = 0 + 0,72 = 0,72 cm.
- Direção “y”:	e1y ≥ 	
			 e 1,min,y = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1y = 2,10 cm.
		4.1.5 – Esforços Finais de 1º Ordem, nas seções de extremidades do pilar:
Nd = 568,50 KN.
		M1d,x = Nd . e1x = 568,50 . 2,60 M1d,x = 1478,10 KN. cm *
	
M1d,y = Nd . e1y = 568,50 . 2,10 M1d,y = 1193,85 KN. cm *
	
* Valores maiores que o mínimo.
4.2 – De 2° ordem (e2): 
Como os pilares são contraventados, ou seja, de nós fixos, pode-se considerar apenas os efeitos locais de 2º ordem.
4.2.1 – Esbeltez limite (λ1):
λ1 = 25 + 12,5 . e1 / h ; sendo 35 ≤ λ1 ≤ 90
 αb αb
- Direção “x”:
M1d,min,x = 1193,85 KN . cm > Mid,A,x = 1070,00 KN . cm
αb = 0,6 + 0,4. (MB / MA) = 0,6 + 0,4. (- 1193,85 / 1193,85) = 0,2
Adota-se: αb = 0,4.
λ1x = 25 + 12,5 . 2,60 / 20 = 66,56 p/ 87,5 ≤ λ1 ≤ 90
 0,4 
- Direção “y”:
M1d,min,y = 1193,85 KN . cm > Mid,A,y = 0 KN . cm αb =1,0
λ1y = 25 + 12,5. 0,0 / 20 = 25 λ1y ≥ 35 = 35 	 p/ 35 ≤ λ1 ≤ 90
αb
Assim podemos concluir:
λx = 49,82 < λ1x = 87,5 Não considerar os efeitos de 2º ordem
λy = 49,82 > λ1y = 35 Considerar os efeitos de 2º ordem
4.2.2 – Determinação de e2y:
- Método do pilar-padrão com curvatura aproximada:
- Direção “y”:
e2y = (ley)2. 1 .
 r
 1 = 0,005 v = Nd = 568,50 = 0,79 (v ≥ 0,5)
 r h (v + 0,5) Ac . fcd 20. 20. 2,5/1,4
1 = 0,005 = 1,94 x 10-4 cm-1
 r 20 (0,79 + 0,5)
e2y = 2882 . 1,94 x 10-4 = 1,61 cm.
 10
5.0 – Momento Total (Md,total) – Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada:
Md,total = αb . Mid,A + Nd . e2 ≥ Mid,A e Mid,A ≥ M1d,mín
- Direção “x”: Md,total,x = 0,4. 1478,10 + 0 = 591,24 KN.cm (valor menor que o mínimo)
	Adota-se: Md,total = M1d,mín = 1193,85 KN. cm
- Direção “y”: Md,total,y = 1,0. 1193,85 + 568,50. 1,61 = 2109,13 KN. cm
SITUAÇÃO DE PROJETO
SEÇÃO INTERMEDIARIA
 1º SITUAÇÃO:
	e x = e 1x + e 2x = 2,10 + 0 = 2,10 cm
	e x = 0
 2º SITUAÇÃO:
	e x = e 1x + e 2x = 2,60 + 0 = 2,60 cm
	e y = e 1y + e 2y = 2,10 + 1,61 = 3,71 cm.
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE AÇO NO TÉRREO:
1.0 – Para a 1º Situação:
- Nd = 568,50 KN 
- Mdx = 1193,85 KN . cm
- ex = 2,10 cm
- ey = 0 cm
1.1 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5 /1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac . σcd 
 							Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 568,50 = 0,93 (0,9 < v < 1,00) 
 1,52 . 400
• μ = Mdx = 1193,85 = 0,10
 Ac . h . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20 
 h 20
1.2 – Escolha do arranjo:
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
nº de camadas: 2
μ = 0,10
v = 0,93
1.3 – Interpolação:
• 1° para: δ = 0,10; 1,00 – 0,90 = 0,24 – 0,15
	 0,93 – 0,90 1 – 0,15
 Tab. A.1.2 – 
					 0,03 ----- 0,79 – W1 
	0,10
	0,15
	1
	0,24
	μ
 v
	0,90
	0,93
	1,00
	 1 = 0,17
• 2° para: δ = 0,15; 	 
 				
 Tab. A.1.3 –	 1,00 – 0,90 = 0,25 – 0,16 2 = 0,19
	 0,93 – 0,90 2 – 0,16
		
	0,10
	0,16
	2
	0,25
	μ
 v
	0,90
	0,93
	1,00
 	
1.4 – Interpolação Final:
	 0,20 – 0,10 = 0,20 – 0,17
	 0,15 – 0,10 0,19 – 0,17
	
	0,17
	0,19
	0,20
	δ
	0,10
	0,15
	0,20
	 			0,20,1° = 0,21
2.0 – Para a 2º Situação:
- Nd = 568,50 KN 
- Mdx = 1193,85 KN. cm
- Mdy = 2109,13 KN. cm
- ex = 2,60 cm.
- ey = 3,71 cm.
2.1 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5 /1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac . σcd 
 							Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 568,50 = 0,93 (0,9 < v < 1,00) 
 1,52 . 400
• μx = Mdx = 1193,85 = 0,10
 Ac . hx . σcd 400. 20. 1,52
• μy = Mdy = 2109,13 = 0,17
 Ac . hy . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20 
 h 20
2.2 – Escolha do arranjo:
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
nº de camadas: 2
μx = 0,10 / μy = 0,17
v = 0,93
2.3 – Interpolação:
• 1° para: v = 0,80; 
	 
	0,20
	0,51
	0,17
	0,17
	0,10
	0,22
	μy
μx
	0,10
	
 0,20 – 0,10 = 0,51 – 0,22 1 = 0,42
	 0,17 – 0,10 0,17 – 0,22 
• 2° para: v = 1,00; 
	 
	0,20
	0,64
	0,17
	0,17
	0,10
	0,37
	μy
μx
	0,10
	
 0,20 – 0,10 = 0,64 – 0,37 2 = 0,56
	 0,17 – 0,10 0,17 – 0,37 
2.4 – Interpolação Final:
	 1,00 – 0,80 = 0,20 – 0,42
	 0,93 – 0,80 0,56 – 0,42
	
	0,42
	0,56
	0,20
	v
	0,80
	0,93
	1,00
	 			0,20, 2º = 0,63
CONCLUSÃO:
	Para 1º situação de cálculo, = 0,21 (flexão compressão normal). Para 2º situação de cálculo (flexão compressão oblíqua), W = 0,63. Portanto, a 2º situação é mais desfavorável no pilar P03.
3.0 – Cálculo da Área de Aço (As):
• As = . Ac . σcd fyd = fyk = 50 = 43,48 KN/cm2
	 fyd		 	 1,15			
 As = 0,63 . 20. 20. 1,43 σcd = 1,43 KN/cm2
 43,48
 As = 8,30 cm2
• Taxa da armadura longitudinal: ps = As = 8,30 = 2,07% < 4%
			 Ac 400
• As,min ≥ 0,004 Ac = 1,60 cm2
• As,max ≤ 0,04 Ac = 16 cm2
	
	As,min = 0,15 . Nd = 0,15 . 568,50 = 1,96 cm2
 fyd 43,48 ↓
As,min = 1,60 cm2
As ≥ As,min (8,30 cm2 > 1,60 cm2)
4.0 – Cálculo da armadura longitudinal:
- min ≥ 10 mm
- máx ≤ 1 . b = 1 . 200 = 25 mm
8
• Vamos adotar - 20,0 mm
• Nº. de barras: 4.	Usaremos: 4 - 20 mm
 				 Ac 600
5.0 – Cálculo da Armadura Transversal:
• Diâmetro do estribo:
 t ≥ 5 mm
 1 = 1 . 20 = 5,0 mm
4
 
Adotaremos: t = 5 mm
• Espaçamento entre Estribos:
 200 mm
 S ≤ b = 200 mm = 20 cm
 12 = 12. 20 = 240 mm
	Adotaremos: S = 15 cm 5.0 mm – C. 15
• Proteção contra Flambagem das barras:
 Como todas as barras se encontramnos cantos dos estribos, já se encontram protegidas contra a flambagem.
6.0 – Comprimento da Emenda por Transpasse:
• Comprimento Básico de Ancoragem (lb):
	- Barra nervurada: n1 = 2,25
	- Zona I – boa aderência: n2 = 1,0
	- 10 < 32 mm : n3 = 1,0
	fctd = 0,7 . 0,3 . 252/3 = 1,28 Mpa = 0,128 KN/cm2	
 1,4
	fbd = 2,25 . 1 . 1 . 0,128 = 0,288
	lb = . fyd = 2,0 . 43,48 = 75,48 cm
 4 fbd 4 0,288
• Comprimento Necessário de Ancoragem (lb,nec):
	lb,nec = α1 . lb . As,cal
 As,ef
	lb,nec = 1 . 75,48. 8,30 = 49,88 cm
 12,56
• Cálculo da Ancoragem Mínima (lb,min):
	 0,3 lb = 0,3 . 75,48 = 22,64 cm
	lb,min ≥ 10 = 20 cm
 100 mm = 10 cm
	
	lb,min < lb,nec < lb 	22,64 < 49,88 < 75,48 
• Emenda por Traspasse (Barras Comprimidas):
	loc = lb,nec ≥ loc,min
	 0,6 lb = 0,6 . 75,48 = 45,29 cm
	loc,min ≥ 15 = 15 . 2,0 = 30,0 cm
		 200mm = 20 cm
	loc = lb,nec ≥ 45,29 cm
	
	loc = lb,nec loc = 49,88 cm
PAVIMENTO TIPO I
1. Esforço Normal de Cálculo (Nd):
Nd = γn . γf . Nk = 1,4 . 296,74 = 415,43 KN
2. Esbeltez (λ):
λx = 3,46 . lex = 3,46 . 288 = 49,82
 	 hx 20
λy = 3,46 . ley = 3,46 . 288 = 49,82
 	 hy 20
3. Momentos Mínimos (M1d,min):
M1d,min,x = Nd (1,5 + 0,03 . hx) = 415,43 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,x = 997,03 KN. cm
M1d,min,y = Nd (1,5 + 0,03 . hy) = 415,43 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,y = 997,03 KN. cm.
4. Excentricidades:
4.1 – De 1º ordem (e1):
		
4.1.1 – Inicial (ei)
eiA,x = Mid,A,x = 1070,00 = 2,57 cm (- eiB,x)
 		Nd 415,43
eiA,y = eiB,y = 0
4.1.2 – Acidental (ea):
	
ea = θ1 . H , θ1 = 1 = 1 θ1 = 1 .
 2 100. H ½ 100. 2,88 ½ 169,71
(θ1,min = 1 ) ≤ θ1 ≤ (θ1,máx = 1 ) Assim: θ1 = 1 .
			 400 200 200
eax = eay = 1 . 288 = 0,72 cm
			 200 2
	
4.1.3 – Mínimas (e1, min):
e1,min,x = 1,5 + 0,03 . hx = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm
e1,min,y = 1,5 + 0,03 . hy = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm
4.1.4 – Excentricidades Finais de 1° Ordem
			 e iA,x + e ax = 2,57 + 0,72 = 3,29 cm.
- Direção “x”:	e1x ≥ 	
			 e 1,min,x = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1x = 3,29 cm.
			 e iA,y + e ay = 0 + 0,72 = 0,72 cm.
- Direção “y”:	e1y ≥ 	
			 e 1,min,y = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1y = 2,10 cm.
		4.1.5 – Esforços Finais de 1º Ordem, nas seções de extremidades do pilar:
Nd = 415,43 KN.
		M1d,x = Nd . e1x = 415,43 . 3,29 M1d,x = 1366,76 KN. cm *
	
M1d,y = Nd . e1y = 415,43 . 2,10 M1d,y = 872,40 KN. cm **
	
* Valor maior que o mínimo.
** Valor menor que o mínimo
4.2 – De 2° ordem (e2): 
Como os pilares são contraventados, ou seja, de nós fixos, pode-se considerar apenas os efeitos locais de 2º ordem.
4.2.1 – Esbeltez limite (λ1):
λ1 = 25 + 12,5 . e1 / h ; sendo 35 ≤ λ1 ≤ 90
 αb αb
- Direção “x”:
M1d,min,x = 997,03 KN . cm < Mid,A,x = 1070,00 KN . cm
αb = 0,6 + 0,4. (MB / MA) = 0,6 + 0,4. (- 1070 / 1070) = 0,2
Adota-se: αb = 0,4.
λ1x = 25 + 12,5 . 3,29 / 20 = 67,64 p/ 87,5 ≤ λ1 ≤ 90
 0,4 
- Direção “y”:
M1d,min,y = 997,03 KN . cm > Mid,A,y = 0 KN . cm αb =1,0
λ1y = 25 + 12,5. 0,0 / 20 = 25 λ1y ≥ 35 = 35 	 p/ 35 ≤ λ1 ≤ 90
αb
Assim podemos concluir:
λx = 49,82 < λ1x = 87,5 Não considerar os efeitos de 2º ordem
λy = 49,82 > λ1y = 35 Considerar os efeitos de 2º ordem
4.2.2 – Determinação de e2y:
- Método do pilar-padrão com curvatura aproximada:
- Direção “y”:
e2y = (ley)2. 1 .
 r
 1 = 0,005 v = Nd = 415,43 = 0,58 (v ≥ 0,5)
 r h (v + 0,5) Ac . fcd 20. 20. 2,5/1,4
1 = 0,005 = 2,31 x 10-4 cm-1
 r 20 (0,58 + 0,5)
e2y = 2882 . 2,31 x 10-4 = 1,91 cm.
 10
5.0 – Momento Total (Md,total) – Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada:
Md,total = αb . Mid,A + Nd . e2 ≥ Mid,A e Mid,A ≥ M1d,mín
- Direção “x”: Md,total,x = 0,4. 1366,76 + 0 = 546,70 KN.cm (valor menor que o mínimo)
		- Md,total,x ≥ M1d,A = 1070,00 KN. cm
	Adota-se: Md,total,x = 1070,00 KN. cm (≥ M1d,mín)
- Direção “y”: Md,total,y = 1,0. 997,03 + 568,50. 1,91 = 2082,86 KN. cm
SITUAÇÃO DE PROJETO
SEÇÃO INTERMEDIARIA
 1º SITUAÇÃO:
	e x = e 1x + e 2x = 2,57 + 0 = 2,57 cm
	e x = 0
 2º SITUAÇÃO:
	e x = e 1x + e 2x = 3,29 + 0 = 3,29 cm
	e y = e 1y + e 2y = 2,10 + 1,91 = 4,01 cm.
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE AÇO NO TIPO I:
1.0 – Para a 1º Situação:
- Nd = 415,43 KN 
- Mdx = 1070,00 KN . cm
- ex = 2,57 cm
- ey = 0 cm
1.1 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5 /1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac . σcd 
 							Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 415,43 = 0,68 (0,6 < v < 0,70) 
 1,52 . 400
• μ = Mdx = 1070,00 = 0,10
 Ac . h . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20 
 h 20
1.2 – Escolha do arranjo:
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
nº de camadas: 2
μ = 0,10
v = 0,93
1.3 – Interpolação:
• 1° para: δ = 0,10;
	 
 Tab. A.1.2 – 
					 0,03 ----- 0,79 – W1 
	0,10
	0,00
	1
	0,00
	μ
 v
	0,60
	0,68
	0,70
	 1 = 0,00
• 2° para: δ = 0,15; 	 
 				
 Tab. A.1.3 –	 2 = 0,00
		
	0,10
	0,00
	2
	0,00
	μ
 v
	0,90
	0,93
	1,00
 	
1.4 – Interpolação Final:
	 0,20 – 0,10 = 0,20 – 0,17
	 0,15 – 0,10 0,19 – 0,17
	
	0,17
	0,19
	0,20
	v
	0,10
	0,15
	0,20
	 			0,20,1° = 0,00
2.0 – Para a 2º Situação:
- Nd = 415,43 KN 
- Mdx = 1070,00 KN. cm
- Mdy = 2082,86 KN. cm
- ex = 3,29 cm.
- ey = 4,01 cm.
2.1 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5 /1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac . σcd 
 							Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 415,43 = 0,68 (0,6 < v < 0,80) 
 1,52 . 400
• μx = Mdx = 1070,00 = 0,08
 Ac . hx . σcd 400. 20. 1,52
• μy = Mdy = 2082,86 = 0,17
 Ac . hy . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20 
 h 20
2.2 – Escolha do arranjo:
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
nº de camadas: 2
μx = 0,08 / μy = 0,17
v = 0,68
2.3 – Interpolação:
• 1° para: v = 0,60; 
0,10 – 0,00 = 0,13 – 0,00 0,1 = 0,10
	 			0,08 – 0,00 1 – 0,00 
 Tab. A.2.2 – 
	 	0,10 – 0,00 = 0,51 – 0,34 0,2 = 0,47
	 			0,08 – 0,00 0,2 – 0,34 
				 
 
	0,20
	0,34
	0,2
	0,510,17
	-
	0,17
	-
	0,10
	0,00
	0,1
	0,13
	μy
μx
	0,00
	0,08
	0,10
	
 Fazendo μx = 0,08
 0,20 – 0,10 = 0,47 – 0,10 0,17 = 0,36
	 0,17 – 0,10 0,17 – 0,10 
• 2° para: v = 0,80; 
	 0,10 – 0,00 = 0,23 – 0,07 0,1 = 0,19
	 		 0,08 – 0,00 0,1 – 0,07 
 Tab. A.2.2 – 
	 0,10 – 0,00 = 0,61 – 0,47 0,2 = 0,58
	 		 0,08 – 0,00 0,2 – 0,47 
				 
	0,20
	0,47
	0,2
	0,61
	0,17
	-
	0,13
	-
	0,10
	0,07
	0,1
	0,23
	μy
μx
	0,00
	0,08
	0,10
	
 Fazendo μx = 0,08
 0,20 – 0,10 = 0,58 – 0,19 0,17 = 0,46
 0,17 – 0,10 0,17 – 0,19 
2.4 – Interpolação Final:
	 0,80 – 0,60 = 0,20 – 0,36
	 0,68 – 0,60 0,46 – 0,36
	
	0,36
	0,46
	0,20
	v
	0,60
	0,68
	0,80
	 				 0,20 = 0,61
CONCLUSÃO:
	Para 1º situação de cálculo, = 0,00 (flexão compressão normal). Para 2º situação de cálculo (flexão compressão oblíqua), = 0,61. Portanto, a 2º situação é mais desfavorável no pilar P03.
3.0 – Cálculo da Área de Aço (As):
• As = . Ac . σcd fyd = fyk = 50 = 43,48 KN/cm2
	 fyd		 	 1,15			
 As = 0,61 . 20. 20. 1,43 σcd = 1,43 KN/cm2
 43,48
 As = 8,02 cm2
• Taxa da armadura longitudinal: ps = As = 8,02 = 2,00% < 4%
			 Ac 400
• As,min ≥ 0,004 Ac = 1,60 cm2
• As,max ≤ 0,04 Ac = 16 cm2
	
	As,min = 0,15 . Nd = 0,15 . 415,43 = 1,43 cm2
 fyd 43,48 ↓
As,min = 1,60 cm2
As ≥ As,min (8,02 cm2 > 1,60 cm2)
4.0 – Cálculo da armadura longitudinal:
- min ≥ 10 mm
- máx ≤ 1 . b = 1 . 200 = 25 mm
8
• Vamos adotar - 16,0 mm
• Nº. de barras: 4.	Usaremos: 4 - 16 mm
 				 Ac 600
5.0 – Cálculo da Armadura Transversal:
• Diâmetro do estribo:
 t ≥ 5 mm
 1 = 1 . 16 = 4,0 mm
4
 
Adotaremos: t = 5 mm
• Espaçamento entre Estribos:
 200 mm
 S ≤ b = 200 mm = 20 cm
 12 = 12. 16 = 192 mm
	Adotaremos: S = 15 cm 5.0 mm – C. 15
• Proteção contra Flambagem das barras:
 Como todas as barras se encontram nos cantos dos estribos, já se encontram protegidas contra a flambagem.
6.0 – Comprimento da Emenda por Transpasse:
• Comprimento Básico de Ancoragem (lb):
	- Barra nervurada: n1 = 2,25
	- Zona I – boa aderência: n2 = 1,0
	- 10 < 32 mm : n3 = 1,0
	fctd = 0,7 . 0,3 . 252/3 = 1,28 Mpa = 0,128 KN/cm2	
 1,4
	fbd = 2,25 . 1 . 1 . 0,128 = 0,288
	lb = . fyd = 1,6. 43,48 = 60,39 cm
 4 fbd 4 0,288
• Comprimento Necessário de Ancoragem (lb,nec):
	lb,nec = α1 . lb . As,cal
 As,ef
	lb,nec = 1 . 60,39. 8,02 = 60,09 cm
 8,06
• Cálculo da Ancoragem Mínima (lb,min):
	 0,3 lb = 0,3 . 60,39 = 18,11 cm
	lb,min ≥ 10 = 16 cm
 100 mm = 10 cm
	
	lb,min < lb,nec < lb 	18,11 < 60,09 < 60,39 
• Emenda por Traspasse (Barras Comprimidas):
	loc = lb,nec ≥ loc,min
	 0,6 lb = 0,6 . 60,39 = 36,23 cm
	loc,min ≥ 15 = 15 . 1,6 = 24,0 cm
		 200mm = 20 cm
	loc = lb,nec ≥ 36,23 cm
	
	loc = lb,nec loc = 60,09 cm
PAVIMENTO TIPO II
1. Esforço Normal de Cálculo (Nd):
Nd = γn . γf . Nk = 1,4 . 187,41 = 262,37 KN
2. Esbeltez (λ):
λx = 3,46 . lex = 3,46 . 288 = 49,82
 	 hx 20
λy = 3,46 . ley = 3,46 . 288 = 49,82
 	 hy 20
3. Momentos Mínimos (M1d,min):
M1d,min,x = Nd (1,5 + 0,03 . hx) = 262,37 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,x = 550,98 KN. cm
M1d,min,y = Nd (1,5 + 0,03 . hy) = 262,37 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,y = 550,98 KN. cm.
4. Excentricidades:
4.1 – De 1º ordem (e1):
		
4.1.1 – Inicial (ei)
eiA,x = Mid,A,x = 1070,00 = 4,07 cm (- eiB,x)
 		Nd 262,37
eiA,y = eiB,y = 0
4.1.2 – Acidental (ea):
	
ea = θ1 . H , θ1 = 1 = 1 θ1 = 1 .
 2 100. H ½ 100. 2,88 ½ 169,71
(θ1,min = 1 ) ≤ θ1 ≤ (θ1,máx = 1 ) Assim: θ1 = 1 .
			 400 200 200
eax = eay = 1 . 288 = 0,72 cm
			 200 2
	
4.1.3 – Mínimas (e1, min):
e1,min,x = 1,5 + 0,03 . hx = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm
e1,min,y = 1,5 + 0,03 . hy = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm
4.1.4 – Excentricidades Finais de 1° Ordem
			 e iA,x + e ax = 4,07 + 0,72 = 4,79 cm.
- Direção “x”:	e1x ≥ 	
			 e 1,min,x = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1x = 4,79 cm.
			 e iA,y + e ay = 0 + 0,72 = 0,72 cm.
- Direção “y”:	e1y ≥ 	
			 e 1,min,y = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1y = 2,10 cm.
		4.1.5 – Esforços Finais de 1º Ordem, nas seções de extremidades do pilar:
Nd = 415,43 KN.
		M1d,x = Nd . e1x = 262,37 . 4,79 M1d,x = 1256,75 KN. cm *
	
M1d,y = Nd . e1y = 262,37 . 2,10 M1d,y = 550,98 KN. cm **
	
* Valor maior que o mínimo.
** Valor menor que o mínimo
4.2 – De 2° ordem (e2): 
Como os pilares são contraventados, ou seja, de nós fixos, pode-se considerar apenas os efeitos locais de 2º ordem.
4.2.1 – Esbeltez limite (λ1):
λ1 = 25 + 12,5 . e1 / h ; sendo 35 ≤ λ1 ≤ 90
 αb αb
- Direção “x”:
M1d,min,x = 550,98 KN . cm < Mid,A,x = 1070,00 KN . cm
αb = 0,6 + 0,4. (MB / MA) = 0,6 + 0,4. (- 1070 / 1070) = 0,2
Adota-se: αb = 0,4.
λ1x = 25 + 12,5 . 3,29 / 20 = 67,64 p/ 87,5 ≤ λ1 ≤ 90
 0,4 
- Direção “y”:
M1d,min,y = 550,98 KN . cm > Mid,A,y = 0 KN . cm αb =1,0
λ1y = 25 + 12,5. 0,0 / 20 = 25 λ1y ≥ 35 = 35 	 p/ 35 ≤ λ1 ≤ 90
αb
Assim podemos concluir:
λx = 49,82 < λ1x = 87,5 Não considerar os efeitos de 2º ordem
λy = 49,82 > λ1y = 35 Considerar os efeitos de 2º ordem
4.2.2 – Determinação de e2y:
- Método do pilar-padrão com curvatura aproximada:
- Direção “y”:
e2y = (ley)2. 1 .
 r
 1 = 0,005 v = Nd = 262,37 = 0,36 (v ≥ 0,5)
 r h (v + 0,5) Ac . fcd 20. 20. 2,5/1,4
1 = 0,005 = 2,50 x 10-4 cm-1
 r 20 (0,50 + 0,5)
e2y = 2882 . 2,50 x 10-4 = 2,07 cm.
 10
5.0 – Momento Total (Md,total) – Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada:
Md,total = αb . Mid,A + Nd . e2 ≥ Mid,A e Mid,A ≥ M1d,mín
- Direção “x”: Md,total,x = 0,4. 1256,75 + 0 = 502,70 KN.cm (valor menor que o mínimo)
		- Md,total,x ≥ M1d,A = 1070,00 KN. cm
	Adota-se: Md,total,x = 1070,00 KN. cm (≥ M1d,mín)
- Direção “y”: Md,total,y = 1,0. 550,98 + 262,37. 2,07 = 1097,08 KN. cm
SITUAÇÃO DE PROJETO
SEÇÃO INTERMEDIARIA
 1º SITUAÇÃO:
	e x = e 1x + e 2x = 4,07 + 0 = 4,07 cm
	e x = 0
 2º SITUAÇÃO:
	e x = e 1x + e 2x = 4,79 + 0 = 4,79 cm
	e y = e 1y + e 2y = 2,10 + 2,07 = 4,17 cm.
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURADE AÇO NO TIPO II
1.0 – Para a 1º Situação:
- Nd = 262,37 KN 
- Mdx = 1070,00 KN . cm
- ex = 4,07 cm
- ey = 0 cm
1.1 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5 /1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac . σcd 
 							Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 262,37 = 0,43 (0,4 < v < 0,50) 
 1,52 . 400
• μ = Mdx = 1070,00 = 0,10
 Ac . h . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20 
 h 20
1.2 – Escolha do arranjo:
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
nº de camadas: 2
μ = 0,10
v = 0,93
1.3 – Interpolação:
• 1° para: δ = 0,10;
	 
 Tab. A.1.2 – 
					 0,03 ----- 0,79 – W1 
	0,10
	0,00
	1
	0,00
	μ
 v
	0,40
	0,43
	0,50
	 1 = 0,00
• 2° para: δ = 0,15; 	 
 				
 Tab. A.1.3 –	 2 = 0,00
		
	0,10
	0,00
	2
	0,00
	μ
 v
	0,40
	0,43
	0,50
 	
1.4 – Interpolação Final:
	 0,20 – 0,10 = 0,20 – 0,17
	 0,15 – 0,10 0,19 – 0,17
	
	0,17
	0,19
	0,20
	v
	0,10
	0,15
	0,20
	 			0,20,1° = 0,00
2.0 – Para a 2º Situação:
- Nd = 262,37 KN 
- Mdx = 1070,00 KN. cm
- Mdy = 1097,08 KN. cm
- ex = 4,79 cm.
- ey = 4,17 cm.
2.1 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5 /1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac . σcd 
 							Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 262,37 = 0,43 (0,4 < v < 0,60) 
 1,52 . 400
• μx = Mdx = 1070,00 = 0,08
 Ac . hx . σcd 400. 20. 1,52
• μy = Mdy = 1097,08 = 0,09
 Ac . hy . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20 
 h 20
2.2 – Escolha do Arranjo:
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
nº de camadas: 2
μx = 0,08 / μy = 0,09
v = 0,43
2.3 – Interpolação:
• 1° para: v = 0,40; 
0,10 – 0,00 = 0,05 – 0,00 0,1 = 0,04
	 			0,08 – 0,00 1 – 0,00 
 Tab. A.2.1 – 
	 	0,10 – 0,00 = 0,19 – 0,05 0,2 = 0,16
	 			0,08 – 0,00 0,2 – 0,05 
				 
 
	0,10
	0,00
	0,2
	0,10
	0,09
	-
	0,17
	-
	0,0
	0,00
	0,1
	0,00
	μy
μx
	0,00
	0,08
	0,10
	
 Fazendo μx = 0,08
 0,10 – 0,00 = 0,10 – 0,00 0,17 = 0,08
	 0,08 – 0,00 0,17 – 0,00 
• 2° para: v = 0,60; 
	 0,10 – 0,00 = 0,05 – 0,00 0,1 = 0,04
	 		 0,08 – 0,00 0,1 – 0,00 
 Tab. A.2.2 – 
	 0,10 – 0,00 = 0,13 – 0,00 0,2 = 0,10
	 		 0,08 – 0,00 0,2 – 0,00 
				 
	0,10
	0,00
	0,2
	0,13
	0,09
	-
	0,13
	-
	0,00
	0,00
	0,1
	0,05
	μy
μx
	0,00
	0,08
	0,10
	
 Fazendo μx = 0,08
 0,10 – 0,00 = 0,10 – 0,04 0,17 = 0,09
 0,09 – 0,00 0,17 – 0,04 
2.4 – Interpolação Final:
	 0,60 – 0,40 = 0,20 – 0,08
	 0,43 – 0,40 0,09 – 0,08
	
	0,08
	0,09
	0,20
	v
	0,40
	0,43
	0,60
	 				 0,20 = 0,15
CONCLUSÃO:
	Para 1º situação de cálculo, = 0,00 (flexão compressão normal). Para 2º situação de cálculo (flexão compressão oblíqua), = 0,14. Portanto, a 2º situação é mais desfavorável no pilar P03.
3.0 – Cálculo da Área de Aço (As):
• As = . Ac . σcd fyd = fyk = 50 = 43,48 KN/cm2
	 fyd		 	 1,15			
 As = 0,14 . 20. 20. 1,43 σcd = 1,43 KN/cm2
 43,48
 As = 1,84 cm2
• Taxa da armadura longitudinal: ps = As = 1,84 = 0,46% < 4%
			 Ac 400
• As,min ≥ 0,004 Ac = 1,60 cm2
• As,max ≤ 0,04 Ac = 16 cm2
	
	As,min = 0,15 . Nd = 0,15 . 262,37 = 0,90 cm2
 fyd 43,48 
As,min = 1,60 cm2
As ≥ As,min (1,84 cm2 > 1,60 cm2)
4.0 – Cálculo da armadura longitudinal:
- min ≥ 10 mm
- máx ≤ 1 . b = 1 . 200 = 25 mm
8
• Vamos adotar - 16,0 mm
• Nº. de barras: 4.	Usaremos: 4 - 10 mm
 				 Ac 600
5.0 – Cálculo da Armadura Transversal:
• Diâmetro do estribo:
 t ≥ 5 mm
 1 = 1 . 10 = 2,5 mm
4
 
Adotaremos: t = 5 mm
• Espaçamento entre Estribos:
 200 mm
 S ≤ b = 200 mm = 20 cm
 12 = 12. 10 = 120 mm
	Adotaremos: S = 12 cm 5.0 mm – C. 12
• Proteção contra Flambagem das barras:
 Como todas as barras se encontram nos cantos dos estribos, já se encontram protegidas contra a flambagem.
6.0 – Comprimento da Emenda por Transpasse:
• Comprimento Básico de Ancoragem (lb):
	- Barra nervurada: n1 = 2,25
	- Zona I – boa aderência: n2 = 1,0
	- 10 < 32 mm : n3 = 1,0
	fctd = 0,7 . 0,3 . 252/3 = 1,28 Mpa = 0,128 KN/cm2	
 1,4
	fbd = 2,25 . 1 . 1 . 0,128 = 0,288
	lb = . fyd = 1,0. 43,48 = 37,74 cm
 4 fbd 4 0,288
• Comprimento Necessário de Ancoragem (lb,nec):
	lb,nec = α1 . lb . As,cal
 As,ef
	lb,nec = 1 . 37,74. 1,84 = 22,11 cm
 3,14
• Cálculo da Ancoragem Mínima (lb,min):
	 0,3 lb = 0,3 . 37,74 = 18,11 cm
	lb,min ≥ 10 = 10 cm
 100 mm = 10 cm
	
	lb,min < lb,nec < lb 	11,32 < 22,11 < 37,74 
• Emenda por Traspasse (Barras Comprimidas):
	loc = lb,nec ≥ loc,min
	 0,6 lb = 0,6 . 37,74 = 22,64 cm
	loc,min ≥ 15 = 15 . 1,0 = 15,0 cm
		 200mm = 20 cm
	loc = lb,nec ≥ 22,64 cm
	
	loc = lb,nec loc = 37,74 cm
OBSERVAÇÃO
	- Considerando o Pavimento Tipo II como um pavimento em que está bem próximo ao valor mínimo de dimensionamento (área de aço equivalente ao valor mínimo do mesmo) adota-se ao Pavimento Tipo III o mesmo tipo de armadura, dimensão, e disposição do Pavimento Tipo II. Isso se deve ao fato de, por se tratarem de pilares contraventados, o esforço normal de calculo diminui a cada lance superior, tendo como conseqüência diminuição da área de aço e dimensionamento. Contudo, seu detalhamento poderá ser visto na prancha em anexo. 
ANALISE DO PILAR 04
(PILAR DE CANTO)
Carregamento do Pilar de Canto
	Pilar Intermediário
	Pavimento
	Cargas (KN)
	Área Adotada (cm2)
	Cobertura
Teto 03
	Reações das Vigas
	49,84
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	-
	
	
	Total
	52,72
	
	
Teto 02
	Reações das Vigas
	75,84
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	52,72
	
	
	Total
	131,44
	
	
Teto 01
	Reações das Vigas
	75,84
	
20x20 = 400
	
	Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	131,44
	
	
	Total
	210,16
	
	
Térreo
	Reações das Vigas
	75,84
	
20x20 = 400Peso Próprio
	2,88
	
	
	Carga Acumulada
	210,16
	
	
	Total
	288,88
	
 Dados de Calculo:
	- le,x = le,y = 288 cm;
	- Concreto C25;
	- Esforços Normais Característicos:
		 Pavt. Térreo: Nk = 288,88 KN
		 Pavt. Tipo 01: Nk = 210,16 KN
		 Pavt. Tipo 02: Nk = 131,44 KN
		 Pavt. Tipo 03: Nk = 52,72 KN
	- Aço CA-50:
		 Utilização de barras nervuradas:
Barras Nervuradas: n1 = 2,25;
Zona I (Boa Aderência): n2 = 1,00;
Todas as Barras terão < 32 mm: n3 = 1,00.
CALCULO DOS MOMENTOS INICIAIS NAS DIREÇÕES “X” E “Y”
1.0 – Esquema Estático:
2.0 - Momentos Iniciais da ligação entre o pilar e as vigas, na direção “x” e “y”:
• Momento de Engastamento Perfeito:
		- Direção “x”: Meng,x = Meng,1x + Meng,2x + Meng,3x + Meng,4x
	
Meng,1x = q . l2 = 5,75. 8,302 = 49,51 KN. m (Devido ao carregamento distribuído de 5,75 KN.m)
 		 8 8
	Meng,2x = 1,15 KN. m (Devido ao carregamento concentrado de 1,83 KN.m)
	Meng,3x = 25,32 KN. m (Devido ao carregamento concentrado de 56,75 KNm)
	Meng,4x = 0,42 KN. m (Devido ao carregamento distribuído de 0,34 KN.m)
Meng,x = 76,40 KN. m
- Direção “y”:
Meng,y = q . l2 = 11,17. 5,082 = 36,03 KN. m 
		 8 8
• Inércia das Vigas:
		- Direção “x”: Ivig,x = 13 . 603 = 234000 cm4
			 12
 		
- Direção “y”: Ivig,y = 13 . 603 = 234000 cm4
		 12
• Inércia do Pilar:
- Direção “x”: Ip,sup,x = Ip,inf,x = 204 = 13333,33 cm4
					 12 
- Direção “y”: Ip,sup,y = Ip,inf,y = 204 = 13333,33 cm4
					 12 
• Rigidez do Pilar:
- Direção “x”: rp,sup,x = rp,inf,x = 6. 13333,33 = 277,77 cm3
						 288 
- Direção “y”: rp,sup,y = rp,inf,y = 6. 13333,33 = 277,77 cm3
						288 
• Rigidez das Vigas:
		- Direção “x”: rvig,x = 3. 234000 = 845,78 cm3
				 830
 		
- Direção “y”: rvig,y = 3. 234000 = 1381,89 cm3
				 508
• Distribuição dos momentos no nó:
		· Pilar:
- Direção “x”: Mp,sup,x = Mp,inf,x = 76,40. 277,77 = 15,16 KN . m
					 1399,78
 		
- Direção “y”: Mp,sup,y = Mp,inf,y = 36,03 . 277,77 = 5,16 KN. m
					 1937,43
• Momentos Finais no Pilar:
		- Direção “x”: Mp,sup,final,x 1,5 . 15,16 = 22,74 KN. m = 2274,00 KN . cm
						
- Direção “y”: Mp,sup,final,y = 1,5 . 5,16 = 7,74 KN. m = 774,00 KN. cm
PAVIMENTO TÉRREO
1.0 – Esforço Normal de Cálculo (Nd):
Nd = γn . γf . Nk = 1,4. 288,88 = 404,43 KN
2.0 – Esbeltez (λ):
λx = 3,46 . lex = 3,46 . 288 = 49,82
 hx 20
λy = 3,46 . ley = 3,46 . 288 = 49,82
 hy 20
3.0 Momentos Mínimos (M1d,min):
M1d,min,x = Nd (1,5 + 0,03 . hx) = 404,43 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,x = 849,30 KN . cm
M1d,min,y = Nd (1,5 + 0,03 . hy) = 404,43 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,y = 849,30 KN . cm
4.0 – Excentricidades:
4.1 – De 1º ordem (e1):
		
4.1.1 – Inicial (ei)
eiA,x = Mid,A,x = 2274,0 = 5,62 cm
 Nd 404,43
eiA,y = Mid,A,y = 774,00 = 1,91 cm.
 Nd 404,43
4.1.2 – Acidental (ea):
	
ea = θ1 . H , θ1 = 1 = 1 θ1 = 1 .
 	 2 100. H ½ 100. 2,88 ½ 169,71
(θ1,min = 1 ) ≤ θ1 ≤ (θ1,máx = 1 ) Assim: θ1 = 1 .
		 400 200 200
eax = eay = 1 . 288 = 0,72 cm
		 200 2
	
4.1.3 – Mínimas (e1,min):
e1,min,x = 1,5 + 0,03 . hx = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm
e1,min,y = 1,5 + 0,03 . hy = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm
4.1.4 – Excentricidades Finais de 1° Ordem
			 e iA,x + e ax = 5,62 + 0,72 = 6,34 cm.
- Direção “x”:	e1x ≥ 	
			 e 1,min,x = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1x = 6,34 cm.
			 e iA,y + e ay = 1,91 + 0,72 = 2,63 cm.
- Direção “y”:	e1y ≥ 	
			 e 1,min,y = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1y = 2,63 cm.
		4.1.5 – Esforços Finais de 1º Ordem, nas seções de extremidades do pilar:
Nd = 404,43 KN.
		M1d,x = Nd . e1x = 404,43 . 6,34 M1d,x = 2564,08 KN. cm *
	
M1d,y = Nd . e1y = 404,43 . 2,63 M1d,y = 1063,65 KN. cm *
	
* Valor maior que o mínimo.
4.2 – De 2° ordem (e2): 
Como os pilares são contraventados, ou seja, de nós fixos, pode-se considerar apenas os efeitos locais de 2º ordem.
4.2.1 – Esbeltez limite (λ1):
λ1 = 25 + 12,5 . e1 / h ; sendo 35 ≤ λ1 ≤ 90
 αb αb
- Direção “x”:
M1d,min,x = 849,30 KN . cm < Mid,A,x = 2274,00 KN . cm
αb = 0,6 + 0,4. (MB / MA) = 0,6 + 0,4. (- 2274 / 2274) = 0,2
Adota-se: αb = 0,4.
λ1x = 25 + 12,5 . 6,34 / 20 = 72,42 p/ 87,5 ≤ λ1 ≤ 90
 0,4 
- Direção “y”:
M1d,min,y = 849,30 KN . cm > Mid,A,y = 774,00 KN. Cm
αb = 0,6 + 0,4. (MB / MA) = 0,6 + 0,4. (- 849,30 / 849,30) = 0,2
Adota-se: αb = 0,4
λ1y = 25 + 12,5. (2,63 / 20) = 66,60 p/ 87,5 ≤ λ1 ≤ 90
 αb
Assim podemos concluir:
λx = 49,82 < λ1x = 87,5 Não considerar os efeitos de 2º ordem
λy = 49,82 < λ1x = 87,5 Não considerar os efeitos de 2º ordem
5.0 – Momento Total (Md,total) – Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada:
Md,total = αb . Mid,A + Nd . e2 ≥ Mid,A e Mid,A ≥ M1d,mín
- Direção “x”: Md,total,x = 0,4. 2274,00 + 0 = 909,60 KN.cm (valor menor que o mínimo)
		- Md,total,x ≥ M1d,A = 2564,08 KN. cm
	Adota-se: Md,total,x = 2564,08 KN. cm (≥ M1d,mín)
- Direção “y”: Md,total,y = 0,4. 1063,65 + 0 = 425,46 KN. cm
- Md,total,x ≥ M1d,A = 1063,65 KN. cm
	Adota-se: Md,total,x = 1063,65 KN. cm (≥ M1d,mín)
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE AÇO NO TÉRREO
1.0 Dados Iniciais
- Nd = 404,43 KN 
- Mdx = 2564,08 KN. cm
- Mdy = 1063,65 KN. cm
- ex = 6,34 cm.
- ey = 2,63 cm.
1.1 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5 /1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac . σcd 
 							Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 404,43 = 0,66 (0,6 < v < 0,80) 
 1,52 . 400
• μx = Mdx = 2564,08 = 0,20
 Ac . hx . σcd 400. 20. 1,52
• μy = Mdy = 1063,65 = 0,08
 Ac . hy . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20 
 h 20
2.2 – Escolha do Arranjo:
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
nº de camadas: 2
μx = 0,21 / μy = 0,08
v = 0,66
2.3 – Interpolação:
• 1° para: v = 0,60; 
	 			 
 Tab. A.2.1 – 
	 				 
				 
 
	0,10
	0,66
	0,08
	0,08
	0,0
	0,17
	μy
μx
	0,20
	
 Fazendo μx = 0,08
 0,10 – 0,00 = 0,66 – 0,17 0,17 = 0,56
	 0,08 – 0,00 0,17 – 0,17 
• 2° para: v = 0,80; 
	 		 
 Tab. A.2.1 – 
				 
	0,10
	0,84
	0,08
	0,13
	0,00
	0,22
	μy
μx
	0,20
	
 Fazendo μx = 0,08
 0,10 – 0,00 = 0,84 – 0,22 0,17 = 0,72
 0,09 – 0,00 0,17 – 0,22 
2.4 – Interpolação Final:
	 0,80 – 0,60 = 0,72 - 0,20
	 0,66 – 0,60 0,09 – 0,08
	
	0,56
	0,20
	0,72
	v
	0,60
	0,66
	0,80
	 				 0,20 = 0,68
3.0 – Cálculo da Área de Aço (As):
• As = . Ac . σcd fyd = fyk = 50 = 43,48 KN/cm2
	 fyd1,15			
 As = 0,68 . 20. 20. 1,43 σcd = 1,43 KN/cm2
 43,48
 As = 8,94 cm2
• Taxa da armadura longitudinal: ps = As = 8,94 = 2,23% < 4%
			 Ac 400
• As,min ≥ 0,004 Ac = 1,60 cm2
• As,max ≤ 0,04 Ac = 16 cm2
	
	As,min = 0,15 . Nd = 0,15 . 404,43 = 1,39 cm2
 fyd 43,48 
As,min = 1,60 cm2
As ≥ As,min (8,94 cm2 > 1,60 cm2)
4.0 – Cálculo da armadura longitudinal:
- min ≥ 10 mm
- máx ≤ 1 . b = 1 . 200 = 25 mm
8
• Vamos adotar - 20,0 mm
• Nº. de barras: 4.	Usaremos: 4 - 20 mm
 				 Ac 600
5.0 – Cálculo da Armadura Transversal:
• Diâmetro do estribo:
 t ≥ 5 mm
 1 = 1 . 20 = 5,0 mm
4
 
Adotaremos: t = 5 mm
• Espaçamento entre Estribos:
 200 mm
 S ≤ b = 200 mm = 20 cm
 12 = 12. 20 = 240 mm
	Adotaremos: S = 15 cm 5.0 mm – C. 15
• Proteção contra Flambagem das barras:
 Como todas as barras se encontram nos cantos dos estribos, já se encontram protegidas contra a flambagem.
6.0 – Comprimento da Emenda por Transpasse:
• Comprimento Básico de Ancoragem (lb):
	- Barra nervurada: n1 = 2,25
	- Zona I – boa aderência: n2 = 1,0
	- 10 < 32 mm : n3 = 1,0
	fctd = 0,7 . 0,3 . 252/3 = 1,28 Mpa = 0,128 KN/cm2	
 1,4
	fbd = 2,25 . 1 . 1 . 0,128 = 0,288
	lb = . fyd = 2,0. 43,48 = 75,48 cm
 4 fbd 4 0,288
• Comprimento Necessário de Ancoragem (lb,nec):
	lb,nec = α1 . lb . As,cal
 As,ef
	lb,nec = 1 . 75,48. 8,94 = 56,72 cm
 12,56
• Cálculo da Ancoragem Mínima (lb,min):
	 0,3 lb = 0,3 . 75,48 = 22,64 cm
	lb,min ≥ 10 = 20 cm
 100 mm = 10 cm
	
	lb,min < lb,nec < lb 	22,64 < 56,72 < 75,48 
• Emenda por Traspasse (Barras Comprimidas):
	loc = lb,nec ≥ loc,min
	 0,6 lb = 0,6 . 75,48 = 45,29 cm
	loc,min ≥ 15 = 15 . 2,0 = 30,0 cm
		 200mm = 20 cm
	loc = lb,nec ≥ 45,29 cm
	
	loc = lb,nec loc = 56,72 cm
PAVIMENTO TIPO I
1.0 – Esforço Normal de Cálculo (Nd):
Nd = γn . γf . Nk = 1,4. 210,16 = 294,22 KN
2.0 – Esbeltez (λ):
λx = 3,46 . lex = 3,46 . 288 = 49,82
 hx 20
λy = 3,46 . ley = 3,46 . 288 = 49,82
 hy 20
3.0 Momentos Mínimos (M1d,min):
M1d,min,x = Nd (1,5 + 0,03 . hx) = 294,22 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,x = 617,87 KN . cm
M1d,min,y = Nd (1,5 + 0,03 . hy) = 294,22 (1,5 + 0,03 . 20)
M1d,min,y = 617,87 KN . cm
4.0 – Excentricidades:
4.1 – De 1º ordem (e1):
		
4.1.1 – Inicial (ei)
eiA,x = Mid,A,x = 2274,0 = 7,73 cm
 Nd 294,22
eiA,y = Mid,A,y = 774,00 = 2,63 cm.
 Nd 294,22
4.1.2 – Acidental (ea):
	
ea = θ1 . H , θ1 = 1 = 1 θ1 = 1 .
 	 2 100. H ½ 100. 2,88 ½ 169,71
(θ1,min = 1 ) ≤ θ1 ≤ (θ1,máx = 1 ) Assim: θ1 = 1 .
		 400 200 200
eax = eay = 1 . 288 = 0,72 cm
		 200 2
	
4.1.3 – Mínimas (e1,min):
e1,min,x = 1,5 + 0,03 . hx = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm
e1,min,y = 1,5 + 0,03 . hy = 1,5 + 0,03 . 20 = 2,10 cm
4.1.4 – Excentricidades Finais de 1° Ordem
			 e iA,x + e ax = 7,73 + 0,72 = 8,45 cm.
- Direção “x”:	e1x ≥ 	
			 e 1,min,x = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1x = 8,45 cm.
			 e iA,y + e ay = 2,63 + 0,72 = 3,35 cm.
- Direção “y”:	e1y ≥ 	
			 e 1,min,y = 2,10 cm
	Assim, adota-se: e1y = 3,35 cm.
		4.1.5 – Esforços Finais de 1º Ordem, nas seções de extremidades do pilar:
Nd = 294,22 KN.
		M1d,x = Nd . e1x = 294,22 . 8,45 M1d,x = 2486,16 KN. cm *
	
M1d,y = Nd . e1y = 294,22 . 3,35 M1d,y = 986,64 KN. cm *
	
* Valor maior que o mínimo.
4.2 – De 2° ordem (e2): 
Como os pilares são contraventados, ou seja, de nós fixos, pode-se considerar apenas os efeitos locais de 2º ordem.
4.2.1 – Esbeltez limite (λ1):
λ1 = 25 + 12,5 . e1 / h ; sendo 35 ≤ λ1 ≤ 90
 αb αb
- Direção “x”:
M1d,min,x = 617,87 KN . cm < Mid,A,x = 2274,16 KN . cm
αb = 0,6 + 0,4. (MB / MA) = 0,6 + 0,4. (- 2274 / 2274) = 0,2
Adota-se: αb = 0,4.
λ1x = 25 + 12,5 . 8,45 / 20 = 75,70 p/ 87,5 ≤ λ1 ≤ 90
 0,4 
- Direção “y”:
M1d,min,y = 617,87 KN . cm > Mid,A,y = 774,00 KN. Cm
αb = 0,6 + 0,4. (MB / MA) = 0,6 + 0,4. (- 849,30 / 849,30) = 0,2
Adota-se: αb = 0,4
λ1y = 25 + 12,5. (3,35 / 20) = 67,73 p/ 87,5 ≤ λ1 ≤ 90
 αb
Assim podemos concluir:
λx = 49,82 < λ1x = 87,5 Não considerar os efeitos de 2º ordem
λy = 49,82 < λ1x = 87,5 Não considerar os efeitos de 2º ordem
5.0 – Momento Total (Md,total) – Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada:
Md,total = αb . Mid,A + Nd . e2 ≥ Mid,A e Mid,A ≥ M1d,mín
- Direção “x”: Md,total,x = 0,4. 2274,00 + 0 = 909,60 KN.cm (valor menor que o mínimo)
		- Md,total,x ≥ M1d,A = 2486,16 KN. cm
	Adota-se: Md,total,x = 2486,16 KN. cm (≥ M1d,mín)
- Direção “y”: Md,total,y = 0,4. 774 + 0 = 309,60 KN. cm
- Md,total,x ≥ M1d,A = 986,64 KN. cm
	Adota-se: Md,total,x = 986,64 KN. cm (≥ M1d,mín)
DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE AÇO NO TIPO I
1.0 Dados Iniciais
- Nd = 294,22 KN 
- Mdx = 2486,16 KN. cm
- Mdy = 986,64 KN. cm
- ex = 8,45 cm.
- ey = 3,35 cm.
1.1 – Dados de entrada na tabela:
• v = Nd σcd = 0,85. fcd = 0,85 . (2,5 /1,4) = 1,52 KN/cm2
 Ac . σcd 
 							Ac = 20. 20 = 400 cm2
 v = 294,22 = 0,48 (0,4 < v < 0,60) 
 1,52 . 400
• μx = Mdx = 2486,16 = 0,20
 Ac . hx . σcd 400. 20. 1,52
• μy = Mdy = 986,04 = 0,08
 Ac . hy . σcd 400. 20. 1,52
• δ = d’ = 4 = 0,20 
 h 20
2.2 – Escolha do Arranjo:
Flexo - compressão normal – Aço CA-50
nº de camadas: 2
μx = 0,20 / μy = 0,08
v = 0,48
2.3 – Interpolação:
• 1° para: v = 0,40; 
	 			 
 Tab. A.2.1 – 
	 				 
				 
 
	0,10
	0,22
	0,08
	0,08
	0,0
	0,06
	μy
μx
	0,20
	
 Fazendo μx = 0,08
 0,10 – 0,00 = 0,22 – 0,06 0,17 = 0,19
	 0,08 – 0,00 0,08 – 0,06 
• 2° para: v = 0,60; 
	 		 
 Tab. A.2.1 – 
				 
	0,10
	0,66
	0,08
	0,13
	0,00
	0,17
	μy
μx
	0,20
	
 Fazendo μx = 0,08
 0,10 – 0,00 = 0,64 – 0,17 0,17 = 0,56
 0,08 – 0,00 0,17 – 0,17 
2.4 – Interpolação Final:
	 0,60 – 0,40 = 0,56 – 0,19
	 0,48 – 0,40 0,20 – 0,19
	
	0,19
	0,20
	0,56
	v
	0,40
	0,48
	0,60
	 				 0,20 = 0,34
3.0 – Cálculo da Área de Aço (As):
• As = . Ac . σcd fyd = fyk = 50 = 43,48 KN/cm2
	 fyd