P1-2017

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MAT2455 - Ca´lculo Diferencial e Integral III
Escola Polite´cnica-1a Prova-18/04/2017
Turma A
Nome :
No¯USP :
Professor(a) : Turma :
Q N
1
2
3
4
Total
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS AFIRMAC¸O˜ES!
1a Questa˜o: (2,0 pontos) Calcule a seguinte integral iterada∫ 1
0
∫ 1
√
y
y√
1 + x5
dx dy.
Soluc¸a˜o. A integral iterada acima corresponde a` integral dupla
∫ ∫
D
y√
1 + x5
dx dy
onde D e´ regia˜o dos pontos (x, y) de R2 que satisfazem as desigualdades:
√
y ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 1: Regia˜o de integrac¸a˜o
Esta mesma regia˜o pode ser escrita como
0 ≤ y ≤ x2 e 0 ≤ x ≤ 1.
Enta˜o podemos escrever∫ 1
0
∫ 1
√
y
y√
1 + x5
dx dy =
∫ ∫
D
y√
1 + x5
dx dy =
∫ 1
0
∫ x2
0
y√
1 + x5
dy dx =
=
1
2
∫ 1
0
x4√
1 + x5
dx =
1
5
√
1 + x5 |10 =
√
2− 1
5
.
2a Questa˜o: (2,5 pontos) Calcule a a´rea da regia˜o plana entre as retas 3y =
√
3x,
y =
√
3x e limitada por x2 + y2 = 2x.
Soluc¸a˜o.
Considere as coordenadas polares x = r cos θ e y = r sin θ. Enta˜o, as equac¸o˜es das
curvas que limitam a regia˜o plana sa˜o:
1. 3 r sin θ =
√
3 r cos θ ⇔ θ = pi/6;
2. r sin θ =
√
3 r cos θ ⇔ θ = pi/3;
3. r2 = 2 r cos θ ⇔ r = 2 cos θ e −pi
2
≤ θ ≤ pi
2
.
Sendo assim, a regia˜o pode ser escrita como
Drθ = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ 2 cos θ e pi
6
≤ θ ≤ pi
3
}.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 2: Regia˜o de integrac¸a˜o
O mo´dulo do determinante do Jacobiano dessa mudanc¸a de varia´vel e´ r, enta˜o:
A(D) =
∫ ∫
D
dxdy =
∫ ∫
Drθ
r drdθ =
∫ pi
3
pi
6
∫ 2 cos θ
0
r dr dθ =
∫ pi
3
pi
6
2 cos2 θ = dθ =
=
∫ pi
3
pi
6
(1 + cos 2θ) dθ =
[
θ +
1
2
sin 2θ
]pi/3
pi/6
=
pi
6
.
3a Questa˜o: (2,5 pontos) Calcule o volume do so´lido
S = {(x, y, z) ∈ R3 : z2 ≤ 1
3
(x2 + y2), x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 ≥ 1}
Soluc¸a˜o.
Em coordenadas esfe´ricas x = ρ cos θ sinψ ; y = ρ sin θ sinψ e z = ρ cosψ onde
ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2pi e 0 ≤ ψ ≤ pi. Enta˜o temos:
1) z2 ≤ 1
3
(x2 + y2)⇔ ρ2 cos2 ψ ≤ 1
3
ρ2 sin2 ψ ⇔ tan2 ψ ≥ 3⇔ pi
3
≤ ψ ≤ 2pi
3
.
2) x2 + y2 + z2 ≤ 4⇔ ρ ≤ 2.
3) x2 + y2 ≥ 1⇔ ρ2 sin2 ψ ≥ 1⇔ ρ ≥ 1
sinψ
4) θ ∈ [0, 2pi]
Figura 3: Regia˜o de integrac¸a˜o
Ca´lculo do volume
V (S) =
∫ 2pi
0
∫ 2pi
3
pi
3
∫ 2
1
sinψ
ρ2 sinψdρdψdθ =
= 2pi
∫ 2pi
3
pi
3
8
3
sinψ − 1
3
1
sin2 ψ
dψ = 2pi
[
− 8
3
cosψ +
1
3
cosψ
sinψ
]2pi/3
pi/3
= 2pi
(8
3
− 2
3
√
3
)
4a Questa˜o: (3,0 pontos) Calcule a integral
∫ ∫ ∫
S
z dxdydz, onde
S = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 0, 2 y ≥ z2, z2 ≥ 4x2 + y2}.
Soluc¸a˜o.
Considere as coordenadas cil´ındricas
x =
r
2
cos θ, y = r sin θ e z = z,
onde r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2pi e z ∈ R. Enta˜o o so´lido S = Srθz esta representado como
Srθz = {(r, θ, z) : r ≤ z ≤
√
2 r sin θ, 0 ≤ r ≤ 2 sin θ e 0 ≤ θ ≤ pi}.
Figura 4: Regia˜o de integrac¸a˜o
Lembrando que o mo´dulo do determinante do Jacobiano da mudanc¸a de varia´vel feita
e´ r/2, podemos escrever a seguinte igualdade:∫ ∫ ∫
S
z dxdydz =
∫ ∫ ∫
Srθz
z
r
2
drdθdz.
Pelo Teorema de Fubini esta u´ltima integral e´ igual a:
1
2
∫ pi
0
∫ 2 sin θ
0
∫ √2r sin θ
r
z r dz dr dθ =
1
2
∫ pi
0
∫ 2 sin θ
0
(r2 sin θ − r
3
2
) drdθ =
=
1
3
∫ pi
0
sin4 θ dθ =
1
3
∫ pi
0
(
1− cos 2θ
2
)2
dθ =
1
3
∫ pi
0
1
4
(
1− 2 cos 2θ + cos2 2θ) dθ.
=
1
3
∫ pi
0
1
4
(
1− 2 cos 2θ + 1 + cos 4θ
2
)
dθ =
1
3
∫ pi
0
3
8
dθ =
pi
8
.
MAT2455 - Ca´lculo Diferencial e Integral III
Escola Polite´cnica-1a Prova-18/04/2017
Turma B
Nome :
No¯USP :
Professor(a) : Turma :
Q N
1
2
3
4
Total
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS AFIRMAC¸O˜ES!
1a Questa˜o: (2,0 pontos) Calcule a seguinte integral iterada∫ 1
0
∫ 1
√
x
x
√
1 + y5 dy dx.
Soluc¸a˜o. A integral iterada acima corresponde a` integral dupla
∫ ∫
D
x
√
1 + y5 dy dx
onde D e´ regia˜o dos pontos (x, y) de R2 que satisfazem as desigualdades:
√
x ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ 1.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 5: Regia˜o de integrac¸a˜o
Esta mesma regia˜o pode ser escrita como
0 ≤ x ≤ y2 e 0 ≤ y ≤ 1.
Enta˜o podemos escrever∫ 1
0
∫ 1
√
x
x
√
1 + y5 dy dx =
∫ ∫
D
x
√
1 + y5 dx dy =
∫ 1
0
∫ y2
0
x
√
1 + y5 dx dy =
=
1
2
∫ 1
0
y4
√
1 + y5 dy =
1
15
(
1 + y5
)3/2 ∣∣∣1
0
=
2
√
2− 1
15
.
2a Questa˜o: (2,5 pontos) Calcule a a´rea da regia˜o plana entre as retas y =
√
3x, y = x
e limitada por x2 + y2 = 4x.
Soluc¸a˜o.
Considere as coordenadas polares x = r cos θ e y = r sin θ. Enta˜o, as equac¸o˜es das
curvas que limitam a regia˜o plana sa˜o:
1. r sin θ =
√
3 r cos θ ⇔ θ = pi/3 ou θ = pi/3 + pi;
2. r sin θ = r cos θ ⇔ θ = pi/4 ou θ = pi/4 + pi;
3. r2 = 4 r cos θ ⇔ r = 4 cos θ e −pi
2
≤ θ ≤ pi
2
.
Sendo assim, a regia˜o pode ser escrita como
Drθ = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ 4 cos θ e pi
4
≤ θ ≤ pi
3
}.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 6: Regia˜o de integrac¸a˜o
O mo´dulo do determinante do Jacobiano dessa mudanc¸a de varia´vel e´ r, enta˜o:
A(D) =
∫ ∫
D
dxdy =
∫ ∫
Drθ
r drdθ =
∫ pi
3
pi
4
∫ 4 cos θ
0
r dr dθ =
∫ pi
3
pi
4
8 cos2 θ dθ =
= 4
∫ pi
3
pi
4
(1 + cos 2θ) dθ = 4
[
θ +
1
2
sin 2θ
]pi/3
pi/4
=
pi
3
+
√
3− 2.
3a Questa˜o: (2,5 pontos) Calcule o volume do so´lido
S = {(x, y, z) ∈ R3 : z2 ≤ (x2 + y2), x2 + y2 + z2 ≤ 4, x2 + y2 ≥ 2}.
Soluc¸a˜o.
Em coordenadas esfe´ricas x = ρ cos θ sinψ ; y = ρ sin θ sinψ e z = ρ cosψ onde
ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2pi e 0 ≤ ψ ≤ pi. Enta˜o temos:
1) z2 ≤ (x2 + y2)⇔ ρ2 cos2 ψ ≤ ρ2 sin2 ψ ⇔ tan2 ψ ≥ 1⇔ pi
4
≤ ψ ≤ 3pi
4
.
2) x2 + y2 + z2 ≤ 4⇔ ρ ≤ 2.
3) x2 + y2 ≥ 2⇔ ρ2 sin2 ψ ≥ 2⇔ ρ ≥
√
2
sinψ
4) θ ∈ [0, 2pi]
Figura 7: Regia˜o de integrac¸a˜o
Ca´lculo do volume
V (S) =
∫ 2pi
0
∫ 3pi
4
pi
4
∫ 2
√
2
sinψ
ρ2 sinψdρdψdθ =
= 2pi
∫ 3pi
4
pi
4
8
3
sinψ − 2
√
2
3
1
sin2 ψ
dψ = 2pi
[
− 8
3
cosψ +
2
√
2
3
cosψ
sinψ
]3pi/4
pi/4
=
8
√
2
3
pi
4a Questa˜o: (3,0 pontos) Calcule a integral tripla
∫ ∫ ∫
S
z dxdydz, onde
S = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 0, 2 y ≥ z2, z2 ≥ 9x2 + y2}.
Soluc¸a˜o.
Considere as coordenadas cil´ındricas
x =
r
3
cos θ, y = r sin θ e z = z,
onde r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2pi e z ∈ R. Enta˜o o so´lido S = Srθz esta representado como
Srθz = {(r, θ, z) : r ≤ z ≤
√
2 r sin θ, 0 ≤ r ≤ 2 sin θ e 0 ≤ θ ≤ pi}.
Figura 8: Regia˜o de integrac¸a˜o
Lembrando que o mo´dulo do determinante do Jacobiano da mudanc¸a de varia´vel feita
e´ r/3, podemos escrever a seguinte igualdade:∫ ∫ ∫
S
z dxdydz =
∫ ∫ ∫
Srθz
z
r
3
drdθdz.
Pelo Teorema de Fubini esta u´ltima integral e´ igual a:
1
3
∫ pi
0
∫ 2 sin θ
0
∫ √2r sin θ
r
z r dz dr dθ =
1
6
∫ pi
0
∫ 2 sin θ
0
(2r2 sin θ − r3) drdθ =
=
2
9
∫ pi
0
sin4 θ dθ =
2
9
∫ pi
0
(
1− cos 2θ
2
)2
dθ =
2
9
∫ pi
0
1
4
(
1− 2 cos 2θ + cos2 2θ) dθ.
=
1
18
∫ pi
0
(
1− 2 cos 2θ + 1 + cos 4θ
2
)
dθ =
1
18
∫ pi
0
3
2
dθ =
pi
12
.