Capítulo 2 Vetores portal

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Capítulo 2 - Vetores
Vetores e Escalares
Adição de vetores e método gráfico
Decomposição e adição de vetores
Vetores unitários
Multiplicação de vetores
VETORES
DEFINIÇÃO
Vetor é uma representação gráfica de uma grandeza vetorial.
V
SOMA DE VETORES
a) Vetores de mesma direção e sentido.
Dados: 
│V1│ = 10
│V2│ = 8
Temos dois métodos para efetuar a soma:
Método algébrico e Método gráfico
Método algébrico
S = 10 + 8
│ S │ = 18
S = V1 + V2
Método gráfico
	
S
V1
V2
│V1│ = 10
│V2│ = 8
│S │ = 18
SOMA DE VETORES
b) Vetores de mesma direção e sentidos 
opostos.
Dados: 
│V1│ = 10
│V2│ = 6
Método algébrico
S = 10 + (- 6 )
│ S │ = 4
S = V1 + V2
Método gráfico
	
S
V1
V2
│V1│ = 10
│V2│ = 6
│S │ = 4
ATENÇÃO:
O vetor soma S ( ou vetor Resultante R ) apresenta o mesmo sentido do vetor de maior módulo.
c) Vetores que formam um ângulo qualquer.
SOMA DE VETORES
 V1 
 V2 
a
Método algébrico
S = V1 + V2
S = ( V1 )2 + ( V2 )2 + 2 V1 . V2 . cos a
Se a = 90o , então:
S = ( V1 )2 + ( V2 )2 
Pois cos 90o = 0 
Método gráfico do polígono fechado
 V1 
 V2 
S
Método gráfico do paralelogramo
 V1 
 V2 
S
 V1 
 V2 
VETOR OPOSTO
Dado o vetor V , chamaremos de vetor oposto de V, o vetor -V que tem a sua representação indicando a mesma direção, mas com o sentido oposto. Veja a representação de - V.
- V
SUBTRAÇÃO DE VETORES
Considere os vetores A e B e a operação de subtração D = A - B . O vetor D (vetor diferença) é a diferença entre os vetores A e B, nesta ordem. Portanto, para subtrair A de B, deve-se adicionar A ao oposto de B. Vejamos:
 D = A - B = A + ( -B )
EXEMPLO: Dados │ A │= 8 e │ B │ = 3, o vetor D = A - B será:
D = A + ( - B )
D = 8 - 3
D = 5
A
B
D
SOMA DE VÁRIOS VETORES
A soma de n vetores poderá ser feita através do método do polígono fechado. Veja o exemplo abaixo:
C
A
B
D
A SOMA DESSES VETORES SERÁ:
C
A
B
D
S
PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
Chama-se produto de um número real n pelo vetor V ao vetor:
p = n . V de tal maneira que:
1o ) módulo: │ p │ = │n│ . │ V │
2o ) direção: a mesma de V
3o ) sentido: de V se n é positivo
 contrário a V se n é negativo.
Se n = 0 o produto p é igual a zero, ou seja, o vetor p é um vetor nulo.
EXEMPLO 1
 n = 2 e p = 2 V
V
p
EXEMPLO 2
 n = - 2 e p = - 2 V
V
p
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
Um vetor V pode ser decomposto em dois vetores componentes: Vx (componente horizontal) e Vy (componente vertical), de modo que: 
V
VY
VX
a
x
y
 VX = cos a . V
 Vy = sen a . V
UM VETOR NO PLANO, REPRESENTADO ATRAVÉS DE VETORES UNITÁRIOS
Vimos que um vetor unitário (também chamado de versor), é um VETOR de módulo unitário. 
Vamos associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y, conforme figura abaixo:
i= (1,0) e j = (0,1)
O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou seja, base do plano cartesiano Oxy, pois todos os outros vetores serão combinações destes. 
Exemplo: o vetor u=(2,3) poderia ser escrito como combinação dos vetores unitários i e j, ou seja, u=2i + 3j= 2(1,0) + 3(0,1) 
Verifica-se que um vetor u = (x, y) , pode ser escrito univocamente como:
 
				u = x.i + y.j 
Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, poderíamos considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz , conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço seria: 
Sendo: i= (1, 0, 0); j=(0, 1, 0) e k=(0, 0, 1)
			u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k 
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 . 
Quanto à operação e à manutenção, destacamos, ainda:
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Todos os vetores do R3 também podem todos ser combinações lineares dos vetores i, j, k. 
Exemplo: 
Sendo u= (2, -1, 0) o mesmo poderia ser representado pela combinação de i, j, k, ou seja, u = 2i -1j +0k, ou ainda, u= 2(1,0,0) -1(0,1,0) + 0(0,0,1)
PRODUTO DE VETORES
O produto escalar de dois vetores A e B é definido por:
A . B = AB cos α 
O produto escala é um número e não um vetor.
Se os componentes A e B forem conhecidos, o seu produto escalar poderá ser calculado da seguinte forma:
A . B = (Axi + Ayi + Azk) . (Bxi + Byj + Bzk)
PRODUTO DE VETORES - EXEMPLO
Achar o ângulo entre os dois vetores:
A = 2i + 3j + 4k	e 	B = i – 2j + 3k.
Solução: 
Ax = 2; Ay = 3 e Aj = 4
Bx = 1; By = -2 e Bz = 3
 Cos α = AxBx + AyBy + AzBz 
	AB
PRODUTO DE VETORES - EXEMPLO
Achar o ângulo entre os dois vetores:
A = 2i + 3j + 4k	e 	B = i – 2j + 3k.
Solução: 
Ax = 2; Ay = 3 e Aj = 4
Bx = 1; By = -2 e Bz = 3
 Cos α = AxBx + AyBy + AzBz 
	AB
A = √ 22 + 32 + 42 = √29 
B = √ 12 + (-2)2 + 32 = √14
AxBx + AyBy + AzBz = (2)(1) + (3)(-2) + (4)(3) = 8 
Cos α = 8	= 0,397
 √29 √14
 
α = 66,6°
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EXERCÍCIOS
1 - Qual o ângulo formado pelos dois vetores abaixo:
a) A = i - j + 2k	e 	B = 3i – j + 2k.
b) A = j - k	 e 	B = i – 2j + 3k.
PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
EXERCÍCIO
O módulo do vetor A tem 6 unidades e sua direção é a do eixo +x; o do vetor B tem 4 unidades e está no plano xy, fazendo um ângulo de 30° com o eixo +x e um ângulo de 60° com o eixo +y. Achar o produto vetorial A X B.