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Vetores
GNE389 - Mecânica Geral
Vetores
Prof. Fábio Lúcio Santos
Universidade Federal de Lavras
Departamento de Engenharia
Vetores
Vetores
Composição de Forças e Força Resultantes
Forças somam-se pela regra do paralelogramo.
A adição de forças é denominada composição de forças
Construção do paralelogramo da resultante entre duas forças
concorrentes.
Vetores
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Decomposição de Forças
A separação de forças em componentes é denominada
decomposição.
A decomposição da força ~R pode ser feita em um número
infinito de formas, uma vez que a escolha das direções das
retas que suportarão as componentes é arbitrária.
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Decomposição de Forças
Geralmente é conveniente escolher as retas de forma que
fiquem ao longo do eixo de coordenadas adequados para
resolver um problema espećıfico.
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Poĺıgono de Forças
A construção do paralelogramo ~R pode ser simplificada para a
construção de um triângulo.
Construção do triângulo da resultante entre duas forças
concorrentes.
Vetores
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Poĺıgono de Forças
A construção do triângulo pode ser generalizada para o caso
em que há mais de duas forças concorrentes.
Logo, pode-se encadear os vetores que representam as forças
concorrentes, mantendo-se suas direções, o vetor que vai do
ponto inicial ao final representa a força resultante
Construção do poĺıgono da resultante entre de forças concorrentes.
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Poĺıgono de Forças
Construção do poĺıgono da resultante entre de forças concorrentes.
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Exemplo 1 - Regra do Paralelogramo
Considere que duas força A e B com magnitudes de 80N e 40N,
respectivamente, agem sobre um corpo em determinado ponto O.
A força A age horizontalmente, e a força B age formando um
ângulo de 60o no sentido anti-horário a partir de A.
Determine a força resultante F
Determinar a orientação de F em relação à A.
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Exemplo 2 - Regra do Paralelogramo
Considere uma força resultante R com magnitude de 30N.
Considere que esta força possui componentes P e Q, em a
magnitude de P é de 50N. A componente P forma um ângulo de
60o com a resultante R em sentido horário.
a. Determine a magnitude de Q.
b. Determine a direção da componente Q.
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Exemplo 3 - Construção do Poĺıgono da Resultante
Considere quatro forças concorrentes e coplanares que agem em
um determinado ponto O. As forças possuem as seguintes
caracteŕısticas:
A força F
1
apresenta magnitude de 80N encontra-se aplicada
na horizontal da esquerda para a direita;
A força F
2
apresenta magnitude de 40N faz um ângulo de 45o
com a força F
1
e possui sentido ascendente;
A força F
3
apresenta magnitude de 40N faz um ângulo de 90o
com a força F
2
e possui sentido ascendente;
A força F
4
apresenta magnitude de 30N encontra-se aplicada
na vertical de cima para baixo.;
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Exemplo 3 - Construção do Poĺıgono da Resultante
a. Realizar a construção do poĺıgono da resultante das
quatro forças.
b. Determinar a magnitude da resultante.
b. Determinar a direção da resultante.
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Grandezas Vetoriais
Grandezas Vetoriais: representação por meio de vetores.
Exemplos: deslocamentos, velocidades e acelerações de
part́ıculas.
Grandezas Escalares: grandezas f́ısicas que possuem apenas
magnitude ou módulo. Exemplo: temperatura.
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Tipos de Vetores
Vetor Fixo: se um ponto de aplicação de um vetor não puder
ser mudado sem variar o significado f́ısico ou o efeito f́ısico
sobre o sistema.
Vetor Livre: um vetor que não apresenta ponto de ação.
Vetor Deslizante: vetor que pode ser deslocado
arbitrariamente ao longo das retas que os comportam, sem
alteração de seus efeitos ou significados f́ısicos.
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Vetores
Aritmética Vetorial
Igualdade de vetores:
Para ~A = ~B , tem-se a mesma magnitude ou módulo, direção e
sentido, mas não necessariamente o mesmo ponto de aplicação.
Para ~A = ~B , tem-se em termos de magnitude, A = B .
Vetor Negativo:
O vetor �~F tem a mesma magnitude de ~F , mas com sentido
oposto.
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Aritmética Vetorial
Soma ou Adição de vetores:
A resultante de vários vetores é denominada soma de vetores.
Representada simbolicamente por ~R = ~F
1
+ ~F
2
+ ~F
3
.
O śımbolo + é usado apesar da adição vetorial ser diferente da
adição escalar.
Logo, ~R = ~F
1
+ ~F
2
não implica em R = F
1
+ F
2
.
Subtração de Vetores:
A subtração de vetores é definida como a adição do vetor
negativo.
~A� ~B = ~A+ (�~B).
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Aritmética Vetorial
Produto de um escalar por um vetor:
Se k for um número positivo, o produto de um escalar por um
vetor, k ~F , será um vetor com direção e sentido de ~F e
magnitude kF .
O efeito de se multiplicar um vetor por um escalar é o de
alterar sua magnitude e sentido.
A multiplicação de um vetor por um escalar �1 inverte o
sentido do vetor, e mantém a magnitude constante.
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Exemplo 1 - Aritmética Vetorial
Considere três vetores concorrentes e coplanares ~A, ~B e ~C , os
quais apresentam as seguintes magnitudes e direções em relação ao
eixo x :
~A: 100 lb, 0o
~B : 200 lb, 90o
~C : 150 lb, 30o
Encontrar o vetor ~D dado por ~D = ~A+ 0, 5~B � ~C .
Determine os escalares k
1
e k
2
, tais que k
1
~A+ k
2
~B + ~C = 0.
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Exemplo 2 - Aritmética Vetorial
Um anel de carga está submetido as forças ~A, ~B e ~C , os quais
apresentam as seguintes magnitudes e direções em relação ao eixo
x :
~A: 100 N, 225o
~B : 75 N, 315o
~C : 100 N, 0o
Encontrar a força ~D = ~A+ ~C .
Determinar a força resultante ~R = ~A+ ~B + ~C .
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Exemplo 3 - Aritmética Vetorial
Um anel de carga está submetido as forças ~A, ~B e ~C , os quais
apresentam as seguintes magnitudes e direções em relação ao eixo
x :
~A: 100 N, 225o
~B : 75 N, 315o
~C : 100 N, 0o
Encontrar a força ~F = ~A� ~B + ~C .
Encontrar a força ~G = ~A� ~B � ~C .
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Projeção Cartesiana de um Vetor
Eixo:
É uma reta com uma dada orientação no espaço e com dado
sentido.
Os eixos são empregados para determinar direções em relação
a algum sistema fixo.
Sistema de coordenadas cartesianas:
Espaço composto por três eixos mutuamente perpendiculares
que se interceptam em ponto denominado origem.
Existem dois tipos de sistemas cartesianos: dextrogiros e
levogiros, os quais são sistemas diferentes de forma que não há
como coincidir os eixos.
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Projeção Cartesiana de um Vetor
Sistema de coordenadas cartesianas:
⌥⌃ ⌅⇧Sistema Dextrogiro e Levogiro
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Projeção Cartesiana de um Vetor
Projeções de um vetor sobre os eixos cartesianos xyz .
Ângulo de direção: ângulo entre um vetor e um eixo
cartesiano. Neste caso ↵, � e �.
Os ângulos de direção são especificados entre 0o e 180o
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Projeção Cartesiana de um Vetor
Se ↵, � e � representam os ângulos de direção de um vetor ~A.
Se A é a magnitude ou módulo de ~A.
Então, as projeções cartesianas de ~A são dadas por:
A
x
= A cos↵ A
y
= A cos� A
x
= A cos �
A magnitude de qualquer vetor ~A é determinada pela seguinte
equação:
A2 = A2
x
+ A2
y
+ A2
z
Logo, tem-se:
cos2 ↵+ cos2 � + cos2 � = 1
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Projeção Cartesiana de um Vetor
A resultante de vários vetores é um vetor cuja projeção sobre
qualquer eixo é a soma algébrica das projeções dos vetores
originais sobre o eixo.
Logo, para a soma vetorial a seguir:
~R = ~F + ~G + ~H + ~J
Tem-se:
R
x
= F
x
+ G
x
+ H
x
+ J
x
R
y
= F
y
+ G
y
+ H
y
+ J
y
R
z
= F
z
+ G
z
+ H
z
+ J
z
A construção dos poĺıgonos é útil em abordagens gráficas, contudo
as projeções cartesianas são convenientes em abordagens anaĺıticas.
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Projeção Cartesiana de um Vetor
Lei Associatia da Soma de Vetores
Na construçãodo poĺıgono da resultante, se a ordem de
combinação dos vetores variar, o vetor resultante não mudará.
~F + ~G + ( ~H + ~J) = (~F + ~G ) + ~H + ~J = ~F + ( ~G + ~H) + ~J
A prova desta equação se dá a partir da soma algébrica das
projeções.
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Projeção Cartesiana de um Vetor
Lei Comutativa da Soma de Vetores
~F + ~G + ~H + ~J = ~F + ~H + ~G + ~J = ~H + ~G + ~F + ~J
Consequentemente, a ordem dos vetores na construção do
poĺıgono não afeta a resultante obtida.
A prova desta equação se dá a partir da soma algébrica das
projeções.
Vetores
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Vetores Unitários
Um vetor unitário ~n é um vetor com magnitude igual a 1.
A magnitude n é adimensional.
O vetor unitário denota uma direção e sentido no espaço.
Em um espaço tridimensional, podemos definir os vetores
unitários como ~i , ~j e ~k .
Em um espaço bidimensional, os vetores unitários serão
definidos como ~i e ~j .
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Vetores Tridimensionais
Se expressarmos um vetor ~A em termos de suas projeções
(A
x
,A
y
,A
z
) e em termos de suas componentes cartesianas
( ~A
x
, ~A
y
, ~A
z
), poderemos relacionar as componentes com as
projeções da seguinte forma:
~A
x
= A
x
~i ~A
y
= A
y
~j ~A
z
= A
z
~k
Logo, o vetor ~A poderá ser escrito da seguinte forma:
~A = A
x
~i + A
y
~j + A
z
~k = ~A
x
+ ~A
y
+ ~A
z
Vetores
Vetores
Vetores Tridimensionais
As projeções A
x
, A
y
e A
z
podem ser entendidas como fatores
de escala que multiplicam os vetores unitários ~i , ~j e ~k ,
respectivamente.
A direção e sentido de um vetor podem ser definidos no
espaço por meio de um vetor unitário ~n, o qual por ser
expresso da seguinte forma:
~n = (cos↵
x
)~i + (cos�
y
)~j + (cos �
z
)~k
As projeções n
x
, n
y
e n
z
são idênticas aos cossenos diretores de ~n.
A magnitude de ~n é igual a 1, tal que:
n2 = n2
x
+ n2
y
+ n2
z
= 1 , logo
cos2 ↵+ cos2 � + cos2 � = 1
Vetores
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Vetores Tridimensionais
Se a direção do vetor unitário ~n coincide com a direção do
vetor ~A.
Então, ~A pode ser representado como o produto de sua
magnitude A por ~n.
Isto significa que ~A é um vetor com magnitude A e a direção e
sentido correspondem ao vetor ~n.
Portanto,
~A = A~n, tal que
~A = A
x
~i + A
y
~j + A
z
~k =
(A cos↵)~i + (A cos�)~j + (A cos �)~k
Vetores
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Vetores Tridimensionais
Os cossenos diretores podem ser escritos como cos↵ = Ax
A
,
cos� = Ay
A
e cos � = Az
A
.
Portanto, o vetor unitário ~n na direção de ~A é o seguinte:
~n =
~
A
A
= Ax
A
~i + Ay
A
~j + Az
A
~k
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Vetores Tridimensionais - Operações Aritméticas
Considere dois vetores ~A e ~B com magnitudes A e B e
cossenos diretores (cos↵
x
, cos↵
y
, cos↵
z
) e (cos�
x
, cos�
y
,
cos�
z
).
Os vetores ~A e ~B podem ser representados da seguinte forma:
~A = (A cos↵
x
)~i + (A cos↵
y
)~j + (A cos↵
z
)~k
~B = (B cos�
x
)~i + (B cos�
y
)~j + (B cos�
z
)~k
Vetores
Vetores
~A = (A cos↵
x
)~i + (A cos↵
y
)~j + (A cos↵
z
)~k
~B = (B cos�
x
)~i + (B cos�
y
)~j + (B cos�
z
)~k
Vetores Tridimensionais - Operações Aritméticas
Em termos de projeção, tem-se:
~A = A
x
~i + A
y
~j + A
z
~k
~B = B
x
~i + B
y
~j + B
z
~k
Vetores
Vetores Tridimensionais - Operações Aritméticas
~A = (A cos↵
x
)~i + (A cos↵
y
)~j + (A cos↵
z
)~k
~A = A
x
~i + A
y
~j + A
z
~k
~B = (B cos�
x
)~i + (B cos�
y
)~j + (B cos�
z
)~k
~B = B
x
~i + B
y
~j + B
z
~k
Se ~A e ~B forem iguais?
Se ~A for negativo?
Qual será o vetor resultante da soma dos vetores ~A e ~B?
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Vetores Bidimensionais
Projeções.
Componentes dos vetores em termos dos vetores unitários.
Magnitude dos vetores unitários.
Vetor unitário coincidente com um determinado vetor.
Operações aritméticas.
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Exemplo 1 - Vetores bidimensionais e tridimensionais
Considere os vetores ~A e ~B , tal que ~A = 40~i + 30~j e
~B = 30~i � 40~j , respectivamente. Os vetores ~i e ~j são vetores
unitários ao longo dos eixos x e y .
Encontrar ~S = ~A+ ~B .
Determinar o ângulo que S forma com o eixo x .
Vetores
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Exemplo 2 - Vetores bidimensionais e tridimensionais
Considere um vetor ~A = 6~i + 5~j � 4~k .
Determinar os cossenos diretores de ~A.
Determinar as componentes de ~A.
Determinar as projeções de ~A.
Vetores
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Exemplo 3 - Vetores bidimensionais e tridimensionais
Considere três forças concorrentes que agem em um ponto O. As
forças são representadas pelos seguintes vetores:
~A = 4~i + 3~j
~B = 4~i � 3~j + 12~k
~C = �3~i + 6~j � 6~k
Considere que as forças estão expressas em kN.
Determinar os cossenos diretores de cada força.
Determinar a resultante ~R das três forças.
Determinar a componente de ~R no plano xy .
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Produto Escalar
Definição
~A · ~B = |~A||~B | cos ✓
O ângulo ✓ varia de 0 a 180o ;
O produto escalar é comutativo;
Vale a lei distribuitiva;
Multiplicação por um escalar;
Produto escalar expresso na forma cartesiana.
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Produto Vetorial
Definição
O produto vetorial entre dois vetores ~A e ~B é um vetor ~C
~C = ~A⇥ ~B
O módulo de ~C é dado por:
| ~C | = |~A||~B |sen✓
A direção de ~C é perpendicular ao plano definido por ~A e ~B ;
O sentido é determinado pela regra da mão direita;
O produto vetorial não é comutativo, logo ~A⇥ ~B 6= ~B ⇥ ~A;
~A⇥ ~B = �~B ⇥ ~A;
A lei distributiva é válida, tal que
~A⇥ (~B + ~D) = ~A⇥ ~B + ~A⇥ ~D;
A multiplicação por um escalar pode ser efetuada de várias
formas.
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Produto Vetorial
Produto escalar de qualquer par de vetores unitários.⌥⌃ ⌅⇧Um esquema para auxiliar na determinação do sentido e direção
Vetores
Produto Vetorial
Resultado expresso na forma cartesiana;
O produto vetorial pode ser obtido expandindo-se o
determinante.
~C = ~A⇥ ~B expresso na forma cartesiana
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Produto Vetorial e Escalar
Derivação e Integração
As regras para derivação e integração de somas e produtos de
funções escalares também se aplicam às funções vetoriais.
Considerar duas funções vetoriais ~A(t) e ~B(t):
Derivada da soma das funções no tempo;
Integral da soma das funções no tempo;
Derivada do produto vetorial das funções;
Derivada do produto escalar das funções.
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Vetores Aplicação na Solução de Problemas
Exemplo Lançamento de Projétil
Aplicação de vetores para simplificação de problemas, inicialmente,
complexos.
Movimento bidimensional complexo;
Análise unidimensional;
Composição vetorial.
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Exemplo 4 - Vetores bidimensionais e tridimensionais
Considere o seguinte sistema. A criança no balanço tem peso de
40lb. A resultante das forças envolvidas é igual a zero. Determinar
as magnitudes de ~F e ~T , empregando abordagens geométricas e
anaĺıticas.
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Exemplo 5 - Vetores bidimensionais e tridimensionais
Para o sistema representado a seguir, determine as forças
resultantes nos pinos A e B, bem como a direção de cada força
resultante.
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Exemplo 6 - Vetores bidimensionais e tridimensionais
As trações nos cabos TA e TB são de 10kpis e 15kpis,
respectivamente. Determinar a magnitude e a direção da força
resultante.
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