P2_112006

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CCE-UFES
SEGUNDA PROVA DE CÁLCULO III
Nome: Data: 06/11/2006
1. Seja f : R2 → R uma função real de duas variáveis. Definimos a integral imprópria de
f sobre R2, pelo limite (caso exista)∫ ∫
R2
f(x, y) dA = lim
a→∞
∫ ∫
Da
f(x, y) dA
onde Da é o disco fechado com centro (0,0) e raio a.
Calcule ∫ ∫
R2
e−(x
2+y2) dA.
2. Seja a > 0 constante. Determine a ÁREA A do parabolóide z = a2 − x2 − y2
acima do plano-xy (z = 0).
3. Considere a integral
I =
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ √8−x2−y2
√
x2+y2
√
x2 + y2 + z2 dz dy dx.
(a) Escreva I em coordenadas cilíndricas.
(b) Escreva I em coordenadas esféricas.
(c) Calcule o valor de I usando (a) ou (b) (à sua escolha).
4. Com o uso de uma mudança de variáveis conveniente (u, v, w) 7→ (x, y, z).
Determine o volume V do sólido delimitado pela superfície
x2 + 2y2 + 3z2 = 1.
Sugestão: Pense numa transformação que leva esta superfície numa esfera.
Valor das questões: 2,5 cada.