fluxo de calor 2

Prévia do material em texto

1 Fluxo das Espe´cies(Versa˜o II)
Calculamos me´dias sobre os volumes de controle para sistemas multicomponentes e, portanto, e´ mais
conveniente usar a concentrac¸a˜o de massa ρK = ρCK para representar a massa de espe´cies K por
unidade de volume em uma fase de densidade ρ. (Lembre-se que CK e´ definido como a frac¸a˜o em
massa das espe´cies K na mistura.) Assumimos que CK e´ uma func¸a˜o cont´ınua em cada fase, o que
implica que todas as espe´cies esta˜o presentes em todos os locais do domı´nio.
A teoria da difusa˜o, que fornece uma tal relac¸a˜o, e´ o tema de va´rios livros. No´s nos restringiremos
a casos simples pertinentes aos processos de solidificac¸a˜o. Conforme discutido em Caps. 2 e 3, uma
variac¸a˜o do potencial qu´ımico fornece uma forc¸a motriz para minimizar a energia livre de Gibbs no
sistema. A Figura 1 ilustra uma soluc¸a˜o so´lida bina´ria de a´tomos A e B com uma composic¸a˜o na˜o
homogeˆnea ao longo da direc¸a˜o x. Duas posic¸o˜es x1 e x2 localizadas em lados opostos da linha central
diferem em relac¸a˜o aos seus potenciais qu´ımicos devido a`s suas diferentes composic¸o˜es. Conforme
mostrado na Fig. 1(b), µA(x1) > µA(x2) e µB(x2) > µB(x1). Portanto, como mostrado no Exerc´ıcio
4.3, o sistema pode baixar sua energia total trocando A a´tomos em x1 com B a´tomos em x2.
Figure 1: (a) Um esquema de uma soluc¸a˜o so´lida de A e B a´tomos na˜o homogeˆneos ao longo de
uma dimensa˜o. O perfil geral da composic¸a˜o em me´dia em linhas verticais e´ mostrado na parte
inferior. (b) A energia livre de Gibbs para esta fase a esta temperatura espec´ıfica, com indicac¸a˜o da
composic¸a˜o e potencialidades qu´ımicas para as posic¸o˜es x1 e x2.
A primeira lei de Fick postula que a taxa em que essa troca ocorre, ou seja, o fluxo de espe´cies
K, e´ proporcional ao gradiente de seu potencial qu´ımico, que pode ser escrito na forma geral
jK = −MKCK∇(µK/T ) (1)
onde MK e´ chamado de mobilidade para a espe´cie K. Uma vez que o potencial qu´ımico depende da
composic¸a˜o e da temperatura, isto e´, µK = µK(T, ρ1, ρ2, . . . , ρNc−1) podemos expandir o gradiente na
Eq. (1) da seguinte forma:
∇(µK/T ) = ∂
∂xi
(µK/T )ei =
(
T ∂µK
∂xi
− µK ∂T∂xi
T 2
)
ei =
1
T
∂µK
∂xi
ei − µK
T 2
∂T
∂xi
ei =
=
1
T
∇µK − µK
T 2
∇T (2)
Observe que,
∇µK = ∂µK
∂xi
ei =
∂µK
∂T
∂T
∂xi
ei +
Nc−1∑
J=1
∂µK
∂ρJ
∂ρJ
∂xi
ei =
=
∂µK
∂T
∇T +
Nc−1∑
J=1
∂µK
∂ρJ
∇ρJ = ∂µK
∂T
∇T +
Nc−1∑
J=1
∂µK
∂ρJ
ρ∇CJ (3)
1
Substituindo a Eq. 3 na Eq. 2 teremos:
∇(µK/T ) = ρ
Nc−1∑
J=1
1
T
∂µK
∂ρJ
∇CJ +
[
1
T
∂µK
∂T
− µK
T 2
]
∇T (4)
Como jK = −MKCK∇(µK/T ) enta˜o, utilizando a eq.(4) teremos:
jK = −ρ
Nc−1∑
J=1
(
MKCK
T
∂µK
∂ρJ
)
∇CJ +
[
−MKCK
T
∂µK
∂T
+
MKCKµK
T 2
]
∇T (5)
Sabemos que a condic¸a˜o de equil´ıbrio para duas fases coexistirem e´ que, para cada K e todo T ,
µKs = µK` e desta forma, a taxa de variac¸a˜o da espe´cie K com relac¸a˜o a temperatura e´ ∂µK/∂T = 0.
Assim,
jK = −ρ
Nc−1∑
J=1
(
MKCK
T
∂µK
∂ρJ
)
∇CJ + MKCKµK
T 2
∇T (6)
Fazendo DKJ =
MKCK
T
∂µK
∂ρJ
enta˜o,
jK = −ρ
Nc−1∑
J=1
DKJ∇CJ + MKCKµK
T 2
∇T (7)
O segundo termo no lado direito representa o efeito Soret, onde um gradiente de temperatura
pode causar a difusa˜o das espe´cies.
OBS: a equac¸a˜o 4.148(pag. 139) dada no livro do Rappaz e´ a seguinte:
jK = −ρ
Nc∑
J=1
DKJ∇CJ + MKCKµK
T 2
∇T (8)
2