Lista de exercicios - Homomorfismos de anéis. Ideais maximais e anéis quocientes

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Universidade de Brasília
Departamento de Matemática – IE
Álgebra 1 - Turma C
Semana 14 – Lista de exercícios
Temas abordados: Homomorfísmos de anéis, ideais maximais e anéis quocientes.
1) Seja A um anel comutativo e seja N = {x ∈ A : xn = 0, n ∈ N−{0}}. Prove que
N é um ideal de A (N é chamado radical de A). Mais ainda: prove que se x ∈ A/N
e xn = 0 para algum inteiro n ≥ 1 então x = 0. (Sugestão: Prove que se xn ∈ N
para algum n ≥ 1 então x ∈ N . ).
Observe que o Ex 1 mostra que, sendo N o ideal constituído pelos elementos nilpo-
tentes de um anel A comutativo, N é o único elemento nilpotente do anel quociente
A/N .
2) Sejam A e A′ anéis. Defina + e · no conjunto A× A′ = {(a, a′) : a ∈ A, a′ ∈ A′}
de modo que A×A′ seja um anel com estas operações.
3) Se A×A′ é o anel definido no exercício 2, prove que pi1 : A×A′ → A, (a, a′) 7→ a
e pi2 : A×A′ → A′, (a, a′) 7→ a′ são homomorfismos sobrejetivos. Calcule os núcleos
de pi1 e pi2.
4) Seja f : A → A′ um homomorfismo e J ′ um ideal de A′. Prove que, f−1(J ′) =
{a ∈ A : f(a) ∈ J ′} é um ideal de A.
5) Seja F : C[0, 1]→ R definida por F (f) = f(1/2),∀ f ∈ C[0, 1].
a) Prove que F é um homomorfismo.
b) Calcule Im(F ) e N(F ).
c) Identifique o anel C[0, 1]/N(F ).
6) Sejam a, b e c elementos fixados de um anel comutativo A. Prove que 〈a, b, c〉 =
{ax+ by + cz | x, y, z ∈ A} é um ideal em A. Em seguida, determine m ∈ Z tal que
〈12, 20, 28〉 = 〈m〉 no anel Z.
7) Seja f um homomorfismo do anel A no anel A′. Mostre que se I e J são ideais
em A então f(I + J) = f(I) + f(J).
8) Seja I um ideal no anel comutativo A e a um elemento fixo de A. Mostre que o
conjunto 〈I, a〉 = {i+ ra | i ∈ I, r ∈ A} é ideal em A. Determine, no caso A = Z, o
ideal 〈〈4〉, 6〉.
9) Seja a 6= 0 um número inteiro. Prove que 〈a〉 é ideal primode Z se, e somente se,
a é primo.
10) Construir as tábuas do anel-quociente A/I nos seguintes casos:
a) A = Z e I = 〈2〉
b) A = Z e I = 〈4〉
c) A = Z e I = 〈m〉
d) A é um anel qualquer e I = 〈0〉
e) A é um anel qualquer e I = A
f) A = Z/2Z× Z e I = Z/2Z× 2Z
g) A = Z/6Z e I = 〈2〉
h) A = Z/8Z e I = N(A) =conjunto dos elementos nilpotentes de A.
1
2
11) Construa as tábuas dos seguintes anéis quocientes:
(Z/6Z)/〈3〉 e (Z/2Z× Z/3Z)/〈1, 0〉.
12) Prove que 2Z×3Z é subanel e um ideal de Z×Z. Determine (Z×Z)/(2Z×3Z).
13) Dado o homomorfismo f : Z→ Z/4Z definido por f(m) = m:
a) Construa o núcleo de f .
b) Determine o homomorfismo canônico de Z em Z/N(f).
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Departamento de Matemática – IE
Álgebra 1 - Turma C
Semana 14 – Soluções
Temas abordados: Homomorfismos de anéis. Ideais maximais e anéis quocientes.
1) Seja A um anel comutativo e seja N = {x ∈ A | xn = 0A para algumn ∈ N\{0}},
ou seja o conjunto dos elementos nilpotentes de A. Vamos provar que N é um ideal
de A.
Notamos que (0A)1 = 0A e portanto 0A ∈ N . Alem disso, como A é comutativo,
pelo ex. 7 item (b) semana 9, temos que ∀x, y ∈ N o elemento x− y ∈ N . Notamos
também que dados x, y ∈ N segue que xn = 0A e ym = 0A para alguns n,m ∈ N\{0}.
Então temos, como A é commutativo, por exemplo que
(xy)n = xnyn = 0Ay
n = 0A
e portanto xy ∈ N . Disso concluimos que N é subanel. Agora vamos ver que N é
um ideal a esquerda: ∀x ∈ N (temos que xn = 0A para algum n ∈ N \ {0}) e ∀a ∈ A
temos que
(ax)n = anxn = an0A = 0A
e portanto ax ∈ N (obsrve que usamos uma vez mais o fato de A ser comutativo).
Observando que A é comutativo concluimos que N é um ideal.
Seja a um elemento nilpotente de A/N . Temos:
∃ n ∈ N; (a)n = 0 =⇒ an ∈ N =⇒ ∃ m ∈ N; (an)m = 0 =⇒ anm =⇒ a ∈
N =⇒ a = a+N = N .
2) Considere os anéis (A,+A, ·A) e (A′,+A′ , ·A′).
No conjunto A × A′ = {(a, a′) | a ∈ A, a′ ∈ A′} vamos definir as seguintes
operações:
+ : ∀(a1, a′1), (a2, a′2) ∈ A×A′ (a1, a′1) + (a2, a′2) = (a1 +A a2, a′1 +A′ a′2)
· : ∀(a1, a′1), (a2, a′2) ∈ (A×A′) (a1, a′1) · (a2, a′2) = (a1 ·A a2, a′1 ·A′ a′2)
Deixado ao leitor a verifica direita que (A × A′,+, ·) é um anel. Observe por
exemplo que o elemento 0A×A′ = (0A, 0A′) e que (A×A′,+) seja um grupo abeliano
segue das propriedades do produto direito de grupos. Assim falta conferir as outras
propriedades da definição de anel.
3) Seguindo com as notações do Ex. 2 (anterior), sejam
pi1 : A×A′ −→ A
(a, a′)→ a
e
pi2 : A×A′ −→ A
(a, a′)→ a′
Provamos que pi1 é um homomorfismo de anéis sobrejetivo. Temos que ∀(a1, a′1), (a2, a′2) ∈
A×A′:
pi1((a1, a
′
1) + (a2, a
′
2)) = pi1(a1 +A a2, a
′
1 +A′ a
′
2) = a1 +A a2,
1
2
e por outro lado temos que pi1((a1, a′1)) = a1 e pi2((a2, a′2)) = a2, assim concluimos
que
pi1((a1, a
′
1) + (a2, a
′
2)) = a1 +A a2 = pi1((a1, a
′
1)) +A pi1((a2, a
′
2)).
De forma anâloga temos que
pi1((a1, a
′
1) · (a2, a′2)) = pi1(a1 ·A a2, a′1 ·A′ a′2) = a1 ·A a2,
assim concluimos que
pi1((a1, a
′
1) · (a2, a′2)) = a1 ·A a2 = pi1((a1, a′1)) ·A pi1((a2, a′2)).
Isso prova que pi1 é um homomorfísmo de anéis. O fato de ser sobrejetivo é obvio já
que ∀a ∈ A temos que, por exemplo, (a, 0A′) ∈ A×A′ e pi1((a, 0A′)) = a. Terminamos
observando que o nucleo
N(pi1) = {(a, a′) ∈ A×A′ | pi1((a, a′)) = 0A} = {(0A, a′) | a′ ∈ A′}.
Deixado ao leitor provar as propriedades anâlogas para pi2.
4) Seja f : A −→ A′ um homomorfismo de anéis e J ′ um ideal de A′. Vamos provar
que a imagem inversa de J ′, f−1(J ′) = {a ∈ A | f(a) ∈ J ′} é um ideal de A.
Por definição f−1(J ′) ⊆ A. Temos que 0A ∈ f−1(J ′), já que f(0A) = 0A′ ∈ J ′, já
que J ′ é um ideal. Além disso ∀x, y ∈ f−1(J ′) temos que f(x), f(y) ∈ J ′ e portanto
−f(y) ∈ J ′ e por ser f um homomorfismo temos que f(x − y) = f(x) + f(−y) =
f(x)− f(y) ∈ J ′ (como J ′ é um ideal.) Também temos que f(xy) = f(x)f(y) ∈ J ′,
assim segue que ∀x, y ∈ f−1(J ′), x − y, xy ∈ f−1(J ′), ou seja que f−1(J ′) é um
subanel de A. Terminamos observando que ∀x ∈ f−1(J ′) (lembre que isso implica
que f(x) ∈ J ′) e ∀a ∈ A temos que f(xa) = f(x)f(a) ∈ J ′ e f(ax) = f(a)f(x) ∈ J ′,
onde estamos usando que f é um homomorfismo de anéis e que J ′ úm ideal bilateral
de A′. Podemos concluir que f−1(J ′) é um ideal bilateral de A.
5) Considere C[0, 1] = {f : [0, 1]→ R | f é continua } e seja
F : C[0, 1] −→ R
f → F (f) = f
(
1
2
)
Provamos que F é um homomorfismo de anéis. Observe que ∀f, g ∈ C[0, 1] temos
que
F (f + g) = (f + g)
(
1
2
)
= f
(
1
2
)
+ g
(
1
2
)
= F (f) + F (g),
F (fg) = (fg)
(
1
2
)
= f
(
1
2
)
g
(
1
2
)
= F (f)F (g)
onde estamos usando as definições de + e · em C[0, 1]. Note que Im(F ) = {f (12) |
f ∈ C[0, 1]} = R. Por que podemos dizer que a imagem de F coincide com todo
R? Justifique! E temos que o nucleo de F é : N(F ) = {f ∈ C[0, 1] | f (12) =
0}. Observamos que N(F ) contem infinitos elementos, por exemplo, x − 12 , (x −
1
2)
2, . . . , sin(x− 12), e2x − e, . . .. Temos que C[0, 1]/N(F ) = {f +N(F ) | f ∈ C[0, 1]}
e temos que ∀f ∈ C[0, 1] : f +N(F ) = {g ∈ C[0, 1] | g (12) = f (12)}. A verifica disso
é deixada ao leitor.
3
Notamos que C[0, 1]/N(F ) é isomorfo a R, para ver isso considere a aplicação
ψ : C[0, 1]/N(F ) −→ R
f +N(F )→ ψ(f +N(F )) = f
(
1
2
)
Determine que ψ está bem definida, ou seja que ψ é independente da escolha do re-
presentante da classe f+N(F ), logo prove que ψ é bijetiva e que é um homomorfismo
de anéis.
6) Sejam (A,+, ·) um anel comutativo e a, b, c ∈ A elementos fixados de A. Provamos
que
〈a, b, c〉 = {ax+ by + cz | x, y, z ∈ A}
é um ideal de A. (Notamos que sendo A comutativo, 〈a, b, c〉 é simplesmente o ideal
gerado por a, b e c (a direita e a esquerda), pela definição vista em aula.) Vamos
de qualquer forma ver a prova nesse caso especifico: Deixado ao leitor provar que
〈a, b, c〉 é subanel de A. Provamos que 〈a, b, c〉 é um ideal a direita: ∀α ∈ 〈a, b, c〉
onde α = ax+ by + cz com x, y, x ∈ A e ∀β ∈ A temos que
αβ = (ax+ by + cz)β = a(xβ) + b(yβ)+ c(zβ) ∈ 〈a, b, c〉
já que xβ, yβ, xβ ∈ A. Sendo A comutativo concluimos que 〈a, b, c〉 é também um
ideal a esquerda e portanto um ideal de A. [Note que se A fosse um anel qualquer
então 〈a, b, c〉 sería só um ideal a direita e não a esquerda.]
Em particular se A = Z e a = 12, b = 20 e c = 28 temos que
〈12, 20, 28〉 = {12x+ 20y+ 28z | x, y, z ∈ Z} = {4(3x+ 5y+ 7z) | x, y, x ∈ Z} = 〈4〉.
7) Seja f : A → A′ um homomorfismo de anéis e suponha que A e A′são anéis.
Sejam I, J ideais de A. Provamos que f(I + J) = f(I) + f(J).
Prova: Lembramos que I + J = {i+ j | i ∈ I, j ∈ J} é um ideal (veja Ex 17 item
(a) da semana 10). Como f é homomorfismo de anéis temos que
∀a, b ∈ A f(a+ b) = f(a) + f(b)
e
∀a, b ∈ A f(ab) = f(a)f(b).
Notamos que f(I + J) = {f(z) | z ∈ I + J}, f(I) = {f(i) | i ∈ I} e f(J) = {f(j) |
j ∈ J}.
Agora observe que f(I) + f(J) = {v + w | v ∈ f(I), w ∈ f(J)}. Provamos que
∀α ∈ f(I) + f(J) então α ∈ f(I + J).
De fato se α ∈ f(I) + f(J) então α = v + w para algum v ∈ f(I) e w ∈ f(J) e
portanto existem i ∈ I e j ∈ J tais que α = v + w = f(i) + f(j) = f(i+ j). Assim
α ∈ f(I + J) jà que f é homomorfismo e i+ j ∈ I + J .
Provamos a reciproca, ou seja que ∀β ∈ f(I+J) então β ∈ f(I)+f(J). Temos que
β = f(i+ j) para alguns i ∈ I e j ∈ J mas observamos que f(i+ j) = f(i) + f(j) ∈
f(I) + f(J), como queríamos.
Note: (1) Neste exercíco é importante a hipótese que I e J sejam ideais porque
em geral se B1 e B2 são subaneis (mas não ideais!) de A então não é verdade que
B1 +B2 é subanel de A.
Aproveitamos desse exercíco para provar algo mais geral, ou seja que:
se L é um subanel de A então f(L) é um subanel de A′
4
assim teremos como consequencia, em particular, que f(I), f(J) e f(I + J) são
todos subaneis de A′. Em particular podemos concluir em geral que se B1, B2 são
ideais de A então f(B1) + f(B2) é subanel de A′
jã que f(B1+B2) = f(B1)+f(B2) como provamos acima, e f(B1+B2) é subanel.
Mas se B1, B2 fossem só subaneis de A não poderíamos chegar a mesma conclusão!!
• Notamos que 0A′ ∈ f(L) já que f(0A) = 0A′ (prove isso! usando que f é
homomorfismo de anéis)
• ∀x, y ∈ f(L) temos que x = f(l1) e y = f(l2) para alguns l1, l2 ∈ L. Assim
x− y = f(l1)− f(l2) = f(l1 − l2) ∈ f(L)
já que l1 − l2 ∈ L, sendo L um ideal de A, e f um homomorfismo de anéis.
• ∀x, y ∈ f(L) onde x = f(l1) e y = f(l2) com l1, l2 ∈ L temos que
xy = f(l1)f(l2) = f(l1l2) ∈ f(L)
já que l1l2 ∈ L porque L é um ideal de A e f um homomorfismo de anéis.
8) Sejam (A,+, ·) um anel comutativo , I um ideal de A e a ∈ A um elemento fixo
de A. Vamos mostrar que o conjunto 〈I, a〉 = {i+ ra | i ∈ I e r ∈ A} é um ideal de
A.
Prova: Vamos mostrar que 〈I, a〉 é um subanel:
• Notamos que 0A ∈ 〈I, a〉 já que 0A = 0A + 0Aa (note que 0A ∈ I porque I é
ideal.)
• ∀x, y ∈ 〈I, a〉 temos que x = i1+r1a e y = i2+r2a com i1, i2 ∈ I e r1, r2 ∈ A.
Assim
x− y = i1 + r1a− (i2 + r2a) = (i1 − i2) + (r1 − r2)a ∈ 〈I, a〉
já que i1 − i2 ∈ I, sendo I um ideal, e r1 − r2 ∈ A, sendo A um anel.
• ∀x, y ∈ 〈I, a〉 onde x = i1 + r1a e y = i2 + r2a com i1, i2 ∈ I e r1, r2 ∈ A
temos que
xy = (i1 + r1a)(i2 + r2a) = (i1i2 + r1ai2) + (i1r2 + r1ar2)a ∈ 〈I, a〉
já que i1i2 + r1ai2 ∈ I porque I é um ideal (em particular é um ideal a
esquerda) e (i1r2 + r1ar2) ∈ A sendo A um anel.
Terminamos observando, por um lado, que 〈I, a〉 é um ideal a esquerda de fato:
∀x ∈ 〈I, a〉 onde x = i+ ra com i ∈ I e r ∈ A, e ∀b ∈ A temos que
bx = b(i+ ra) = bi+ (br)a ∈ 〈I, a〉
porque bi ∈ I (sendo I um ideal a esquerda) e br ∈ A. Sendo A comutativo então
〈I, a〉 é também um ideal a direita. Concluimos que 〈I, a〉 é um ideal. [Note que se
A fosse um anel qualquer então 〈I, a〉 sería só um ideal a esquerda e não a direita.]
No caso A = Z e I = 〈4〉 = {4k | k ∈ Z} e a = 6 temos que
〈I, 6〉 = 〈〈4〉, 6〉 = {4k + 6r | k, r ∈ Z} = mdc(4, 6)Z = 〈2〉.
9) Deixado ao leitor (vamos ver em sala de aula). Tente fazer o exercício lembrando
que em un anel A comutativo com unidade um ideal I é dito primo se I 6= A e
∀x, y ∈ A se xy ∈ I então ou x ∈ I ou y ∈ I.
5
10)
(a) Seja A = Z e I = 〈2〉, então A/I = {I, 1 + I} e temos que
+ I 1 + I
I I 1 + I
1 + I 1 + I I
· I 1 + I
I I I
1 + I I 1 + I
(b) deixado ao leitor (similar ao item (a))
(c) deixado ao leitor (similar ao item (a))
(d) SejaA um anel qualquer e I = 〈0A〉 = {0A}, entãoA/I = {x+I | x ∈ A} = A
e portanto as tabuas são as tabuas do anel A.
(e) Seja A um anel qualquer e I = A, então A/I = {x+I | x ∈ A} = {0A/I = I}
notamos como esse anel quociente possui só um elemento que é o elemento
nulo já que todos os elementos de A pertencem a mesma classe de equivalên-
cia. Assim temos que
+ I
I I
· I
I I
(f) Seja A = Z/2Z × Z = {(0¯, x), (1¯, x) | x ∈ Z} (é um anel infinito!) e I =
Z/2Z× 2Z = {(0¯, 2y), (1¯, 2y) | y ∈ Z}. Observamos que
∀α, β, a, b ∈ Z (α, a) + I = (β, b) + I ⇐⇒ (α− β, a− b) ∈ I = Z/2Z× 2Z.
Assim
A/I = {x+ I | x ∈ Z/2Z× Z} = {(0¯, 0) + I = I, (0¯, 1) + I}
já que todos os elementos da forma (0¯, x) e (1¯, x), com x intero par, estão na
classe de equivalência I e todos os elementos da forma (0¯, x) e (1¯, x), com x
intero impar, estão na classe de equivalência (0¯, 1) + I.
+ I (0¯, 1) + I
I I (0¯, 1) + I
(0¯, 1) + I (0¯, 1) + I I
· I (0¯, 1) + I
I I I
(0¯, 1) + I I (0¯, 1) + I
(g) Seja A = Z/6Z = {0¯, 1¯, 2¯, 3¯, 4¯, 5¯} e I = 〈2¯〉 = {0¯, 2¯, 4¯} assim A/I = {x + I |
x ∈ Z/6Z} = {0¯ + I = I, 1¯ + I} e temos que
+ I 1¯ + I
I I 1¯ + I
1¯ + I 1¯ + I I
· I 1¯ + I
I I I
1¯ + I I 1¯ + I
(h) Seja A = Z/8Z = {0¯, 1¯, 2¯, 3¯, 4¯, 5¯, 6¯, 7¯} e I = N(A) = {0¯, 2¯, 4¯, 6¯} = 〈2¯〉 assim
A/I = {x+ I | x ∈ Z/8Z} = {0¯ + I = I, 1¯ + I} e temos que
+ I 1¯ + I
I I 1¯ + I
1¯ + I 1¯ + I I
· I 1¯ + I
I I I
1¯ + I I 1¯ + I
11) Observe que A = Z/6Z = {0¯, 1¯, 2¯, 3¯, 4¯, 5¯} e que I = 〈3¯〉 = {0¯, 3¯} assim A/I =
{x+ I | x ∈ Z/6Z} = {0¯ + I = I, 1¯ + I, 2¯ + I} e temos que
+ I 1¯ + I 2¯ + I
I I 1¯ + I 2¯ + I
1¯ + I 1¯ + I 2¯ + I I
2¯ + I 2¯ + I I 1¯ + I
· I 1¯ + I 2¯ + I
I I I I
1¯ + I I 1¯ + I 2¯ + I
2¯ + I I 2¯ + I 1¯ + I
6
Observe que A = Z/2Z × Z/3Z = {(0¯, 0¯), (0¯, 1¯), (0¯, 2¯), (1¯, 0¯), (1¯, 1¯), (1¯, 2¯)} e que
J = 〈(1¯, 0¯)〉 = {(0¯, 0¯), (1¯, 0¯)} assim
A/J = {x+ J | x ∈ Z/2Z× Z/3Z} = {(0¯, 0¯) + J = J, (0¯, 1¯) + J, (0¯, 2¯) + J}
e temos que
+ J (0¯, 1¯) + J (0¯, 2¯) + J
J J (0¯, 1¯) + J (0¯, 2¯) + J
(0¯, 1¯) + J (0¯, 1¯) + J (0¯, 2¯) + J J
(0¯, 2¯) + J (0¯, 2¯) + J J (0¯, 1¯) + J
· J (0¯, 1¯) + J (0¯, 2¯) + J
J J J J
(0¯, 1¯) + J J (0¯, 1¯) + J (0¯, 2¯) + J
(0¯, 2¯) + J J (0¯, 2¯) + J (0¯, 1¯) + J
12) Prove que 2Z× 3Z é um ideal de Z× Z: deixado ao leitor. Notamos que o anel
quociente
Z× Z/(2Z× 3Z) = {α+ (2Z× 3Z) | α ∈ Z× Z}.
Em particular dado um qualquer α = (x, y) ∈ Z× Z temos que
(x, y) = (x, y)+(2Z×3Z) = {(x, y)+z | z ∈ 2Z×3Z} = {(x, y)+(2h, 3k) | h, k ∈ Z}.
Observamos que ∀α = (x1, y1), β = (x2, y2) ∈ Z× Z temos que
α+ (2Z× 3Z) = β + (2Z× 3Z) ⇐⇒ (x1 − x2, y1 − y2) ∈ (2Z× 3Z),
portanto temos que
Z× Z/(2Z× 3Z) = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}.
Observe que Z × Z/(2Z × 3Z) é um anel comutativo com elemento unidade e ele é
também um dominio de integridade.
13) Lembramos que Z/4Z = {0¯, 1¯, 2¯, 3¯}. Seja f : Z → Z/4Z o homomorfismo de
anéis definido por f(m) = m ∀m ∈ Z.
(Exemplos: f(1) = 1¯, f(5) = 5¯ = 1¯, f(16) = 16 = 0¯, f(10) = 10 = 2¯, ....)
Notamos que N(f) = {z ∈ Z | f(z) = 0Z/4Z} = {z ∈ Z | f(z) = 0¯} = {z ∈ Z |
z = 4k, k ∈ Z} = 〈4〉.
Temos que N(f) = 〈4〉 é um ideal de Z e portanto podemos considerar o anel
quociente
Z/N(f) = {x+ 〈4〉 | x ∈ Z} = {0 + 〈4〉 = 〈4〉, 1 + 〈4〉, 2 + 〈4〉, 3 + 〈4〉}.
Assim temos que o homomorfismo canônico φ de Z em Z/N(f) é dado por φ(z) =
z +N(f) = z + 〈4〉 = z¯. En outras palavras observamos que o anel das classes resto
módulo 4, Z/4Z, é simplesmente o anel quociente Z/N(f).