Derivadas parciais e direcionais

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DA PARAÍBA 
DIRETORIA DE ENSINO 
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA 
DISCIPLINA: CÁLCULO III PROFESSOR: JUAREZ AIRES 
ALUNO(A): PERÍODO:2018.1 MATRÍCULA: 
 
1ª Lista de Exercícios 
 
1) Nos itens a seguir, (I) encontre o domínio da função; (II) determine a imagem da função, (III) 
descreva as curvas de nível da função, (IV) encontre a fronteira do domínio da função, (V) 
determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas, (VI) 
estabelecer se o domínio é limitado ou ilimitado. 
 
a) 
xy)y,x(f 
 b) 
22 y9x4)y,x(f 
 c) 
xy)y,x(f 
 
 
d) 
)yx16/(1)y,x(f 22 
 e) 
)yxln()y,x(f 22 
 f) 
 xyarcsen)y,x(f 
 
 
2) Esboce as curvas de nível de f para os valores dados de k: 
 
a) 
22 xy)y,x(f 
 
9,0,4k, 
 b) 
yx)y,x(f 2 
 
3,0,2k, 
 
 
c) 
22 )3y()2x()y,x(f  9,4,1k, 
 d) 
2y)y,x(f 
 
9,4,0k, 
 
 
3) Uma chapa plana de metal está situada em um plano-xy, de modo que a temperatura T(em 
ºC) no ponto (x,y) é inversamente proporcional à distância da origem. 
 
a) Descreva as isotérmicas; 
b) Se a temperatura no ponto P(4,3) é de 40ºC , ache a equação da isotérmica para uma 
temperatura de 20ºC. 
 
4) Esboce o gráfico de cada função f(x,y): 
 
a) 
1yx)y,x(f 22 
 b) 
yx3)y,x(f 
 c) 
16x4y)y,x(f 22 
 
 
d) 
2y)y,x(f 
 e) 
)yx()y,x(f 22 
 
 
5) Descreva e esboce as superfícies de nível de cada função: 
 
a) 
222 zyx)z,y,x(f 
 para k = 0, 4, -9. b) 
222 zyx)z,y,x(f 
 para k = 1 
 
c) 
22 yx)z,y,x(f 
 para k = 1 d) 
22 yxz)z,y,x(f 
 para k = 1 
 
e) 
)zyxln()z,y,x(f 222 
 para k = 0 
 
6) Verifique que 
yxxy ww 
, pelo cálculo direto: 
 
a) 
 
32
x2
yx
1
eyw
2

 b) 







y
z
cosxw 2
 c) 
222 zyxw 
 
 
7) Se 
)rtsec(vu 
, determine 
rvru
. 
 
8) Se 
)xyzsen(w 
, determine 
xyz
w3


. 
9) Uma função f de x e y é harmônica se 
0
y
f
x
f
2
2
2
2






 em todo domínio de f. Prove que a 
função dada é harmônica: 
 
a) 
22 yxln)y,x(f 
 b) 







x
y
arctg)y,x(f
 c) 
xcoseycose)y,x(f yx  
 
 
10) Utilize regra da cadeia para determinar o que se pede: 
 
a) 
y
w
e
x
w




 se 
xyv,yxu,vsenuw 22 
 b) 
s
w
e
r
w




 se 
sr2v,slnru,uv2uw 2 
 
 
c) 
y
z
e
x
z




 se 
yxv,yes,xer,vsrz 2xy23 
d) 
t
r
e
v
r,
u
r






se 
uvty,vtu3x,ylnxr 
 
 
11) Utilizando regrada cadeia, determine 
dt
dw
, se: 
a) 
1t
t
y,
1t
1
x,yxw 33




 b) 
t4v,tcoss,tsenr,stgvrw 22 
 
 
12) Suponha que substituamos coordenadas polares 
 senry,cosrx
 em uma função 
diferenciável 
)y,x(fw 
. 
 
a) Mostre que 



senfcosf
r
w
yx
 e 



cosfsenf
w
r
1
yx
 
b) Resolva as equações no item (a) para expressar fx e fy em termos de 
r
w


 e 

w
 
c) Mostre que 
   
2
2
2
2
y
2
x
w
r
1
r
w
ff 
















 
 
13) Na idade de 2 anos, um menino típico tem 86 cm de altura, pesa 13 quilos e cresce à razão de 
9cm/ano e 2kg/ano/ Use a fórmula de DuBois e DuBois para a área de uma superfície, 
725,0425,0 yx007184,0S 
 para o peso x e a altura y, para estimar a taxa à qual a área da 
superfície do corpo está crescendo. 
 
14) Em um dado instante, o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 10 cm e cresce 
à taxa de 1cm/min e o comprimento do outro cateto deste triângulo é 12 cm e decresce à taxa de 
2cm/min. Encontre a taxa de variação da medida do ângulo agudo oposto ao cateto de 12 cm de 
comprimento no instante dado. 
 
15) O raio de um cilindro reto de base circular está decrescendo à taxa de 5cm/min e sua altura 
está aumentando à taxa de 12 cm/min. Encontre a taxa de variação do volume no instante em 
que o raio é de 20 cm e a altura é de 40 cm. 
 
16) A equação de um gás perfeito é 
kTPV 
, onde T é a temperatura, P é a pressão V é o volume 
e k uma constante. Num certo instante, uma amostra do gás está sob um pressão de 
26 cm/kg102
, seu volume é de 5000 
3cm
e sua temperatura de 300K. Se a pressão é 
aumentada em 
25 cm/kg105,1 
 por minuto e o volume é diminuído em 750 
3cm
 por minuto, 
encontre a velocidade de variação da temperatura. 
 
17) Determine a derivada direcional de f em P na direção indicada: 
 
a) 
  ji22u),1,3(P,y3xy5x)y,x(f 22


 b) 
j3i2a),4,4(P,
x
y
arctg)y,x(f








 
c) 
j5ia),2,3(P,1y4x9)y,x(f 22


 d) 
ji5a),4,2(P,ycosx)y,x(f 2


 
 
e) 
k5ji3a),3,2,1(P,ez)z,y,x(f xy2


 f) 
   ki3a),1,7,5(P,zyyx)z,y,x(f


 
 
18) (I) Ache a derivada direcional de f em P, na direção de P para Q. (II) Ache um vetor unitário na 
direção em que f cresce mais rapidamente em P e determine a taxa de variação de f naquela 
direção.(III) Ache um vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente em P e 
determine a taxa de variação de f naquela direção. 
a) 
 1,3Q),0,2(P,ex)y,x(f y22  
 b) 
 4,5,0Q),1,3,2(P,zyx)z,y,x(f 222 
 
 
c) 
 0,0Q),6,3(P),yx2sen()y,x(f 
 d) 
 4,1,3Q),2,1,0(P,
z
y
y
x
)z,y,x(f 
 
 
19) Uma chapa de metal está situada em um plano-xy, de modo que a temperatura T em (x,y) 
seja inversamente proporcional à distância da origem, e a temperatura em P(3,4) é 100ºF. 
 
a) Ache a taxa de variação de T em P na direção de 
ji


. 
b) Em que direção e sentido T aumenta mais rapidamente em P? 
c) Em que direção e sentido T decresce mais rapidamente em P? 
d) Em que direção a taxa de variação é nula? 
 
20) Uma equação da superfície de uma montanha é 
22 y2x31200z 
, onde a distância é 
medida em metros, os pontos do eixo dos x a leste e os pontos do eixo dos y a norte. Um alpinista 
está no ponto correspondente a 
)850,5,10(
. (a) Qual é a direção e o sentido da parte que tem 
maior aclive? (b) Se o alpinista se mover na direção leste ele estará subindo ou descendo, e qual 
será esta taxa? (c) Se o alpinista se mover na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e 
qual será esta taxa? (d) Em qual direção e sentido ele estará percorrendo um caminho plano? 
 
21) Determine as equações do plano tangente e da normal ao gráfico da equação dada no 
ponto P: 
 
a) 
)1,3,2(P;10z3yx4 222 
 b) 
)25,1,2(P;y9x4z 22 
 
 
22) Prove que a equação do plano tangente à superfície quádrica dada, no ponto P(x0,y0,z0) 
pode ser escrita sob a forma indicada: 
 
a) 
1
c
zz
b
yy
a
xx
;1
c
z
b
y
a
x
2
0
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2

 b) 
1
c
zz
b
yy
a
xx
;1
c
z
b
y
a
x
2
0
2
0
2
0
2
22
2
2
2

 
 
23) Mostre que toda normal a uma esfera passa pelo seu centro. 
 
24) Ache os pontos do hiperboloide de duas folhas 
16z4y2x 222 
 em que o plano 
tangente é paralelo ao plano 
5z4y2x4 
. 
 
25) Determine os pontos no hiperboloide 
1z2yx 222 
 onde a reta normal é paralela à reta 
que une os pontos (3, -1, 0) e (5, 3, 6). 
 
26) Mostre que todo plano que é tangente ao cone 
222 zyx 
, passa pela origem. 
 
27) Mostre que o produto das coordenadas não nulas das interseções com os eixos x, y e z de 
qualquer plano tangente à superfície 
3cxyz 
 é uma constante. 
 
Questões complementares e de avaliações anteriores: 
 
28) A derivada direcional da função w = f(x, y) em P(1, 1) na direção do vetor 
PQ
, onde Q(1,2) 
é igual a 2 e na direção do vetor 
PR
, onde R(2, 0) é igual a 4. Determine a derivada direcional de 
w em P na direção de P para a origem. 
 
29) Uma função diferenciável f(x,y) tem, no ponto 
 2,0 
, derivada direcional igual a 2/5 na 
direção 
j4i3


 e igual a 11/5 na direção 
j3i4 
 . Calcular: 
 
a) 
 2,0f 
 b) 
)2,0(fD
u

 na direção de 
ji


 
30 O raio R e a altura H de um cilindro circular reto aumentam à uma razão de 0,01 cm/h e 0,02 
cm/h, respectivamente. 
 
a) Ache a taxa de variação do volume quando R = 4cm e H = 7cm. 
b) A que taxa a área da superfície lateral está variando no mesmo instante do item a)? 
 
31) O volume de um cone de raio r e geratriz de medida g é dado por 
22
2
3
rs
r
V 


. 
Suponha que em determinado instante o raio meça 6cm e decresça a uma taxa de 2cm/min e que 
a geratriz meça 10cm e cresça a uma taxa de 3cm/min. Qual a taxa em que o volume está 
variando nesse instante? 
 
32) Considerando a função 
)ln(),,( 222 zyxzyxf 
: 
 
a) Determine o seu domínio e especifique se é aberto ou fechado e se é limitado ou ilimitado; 
 
b) Identifique e esboce a superfície de nível zero para 
),,( zyxf
; 
        








x
y
        







x
y
        







x
y
        









x
y
c) Considerando a superfície encontrada no item b), mostre que o plano tangente a essa superfície no ponto 






3
1
,
3
1
,
3
1
 pode ser dado pela equação 
3 zyx
. 
 
33) Um besouro localizado no ponto P(3, 9, 4) começa a caminhar numa linha reta em direção ao ponto 
Q (5, 7,3). Supondo que a temperatura em um ponto (x, y, z) seja dada por 
zyxezyxT ),,(
, determine 
(considere que as unidades sejam metros e ° C): 
 
a) A que taxa instantânea varia a temperatura do besouro? 
b)Um vetor unitário na direção e sentido em que a temperatura do besouro tende a crescer mais rapidamente; 
 
Respostas 
 
1) a) I) 2IR II) IR III) retas 
xy 
 IV) sem pontos de fronteira V) aberta e fechada VI) ilimitado 
 
b) I) 2IR II) 0z  III) para f(x,y) = 0, origem, para f(x,y) ≠ 0, elipses IV) sem pontos de fronteira V) aberta 
e fechada VI) ilimitado 
 
c) I) 2IR II) IR III) para f(x,y) = 0, eixos x e y, para f(x,y) ≠ 0, hipérboles IV) sem pontos de fronteira V) 
aberta e fechada VI) ilimitado 
 
d) I) 
 16yx/IR)y,x( 222 
 II) 
4/1z 
 III) circunferências centradas na origem, com raio menor que 4 
IV) 
16yx 22 
 V) aberto VI) limitado 
 
e) I) 
 )0,0()y,x/(IR)y,x( 2 
 II)IR III) circunferências centradas na origem IV)(0,0) V) aberto VI) 
ilimitado 
 
f) I) 
 1xy1/IR)y,x( 2 
 II) 
2/z2/ 
 III) retas da forma y – x = c 
1c1 
, IV) retas 
x1yex1y 
 V) fechado VI) ilimitado 
2) a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
x
y
z
x
y
z
x
y
z
3) a) Circunferências com centro na origem b) 
100yx 22 
 
 
4)a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
z
5) a) k = 0 k = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k = –9 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
z
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 
  )rt(tg)rt(sec)rtsec(turvr 222 
 8) 
  )xyzsen(xyz3)xyzcos(zyx1
xyz
w 222
3



 
10) a) 
)xycos()yx(x)xysen(y2
y
w
)xycos()yx(y)xysen(x2
x
w
22
22






 b) 
)sln(r2r2
s
r4
s
)sln(r2
s
w
)sln(s2)sln(r8)sln(r2
r
w
22
2






 
 c) 
yx2eex3
y
z
yx4yeex3
x
z
4xy33
23xy32






 d) 
t
vtu3
)uvtln(v
t
r
v
vtu3
)uvtln(t
v
r
,
u
vt
3)uvtln(3
u
r











 
11) a)  
 4
2
1t
t13
dt
dw



 b) 
)t4(sectcos4tsen)t4(tgtcostsen4
dt
dw 23 
 
 
13) 0,07624cm2/ano 
14) decrescente na razão de 
min/rad
61
8
 15)
min/cm3200 3
 16) 
min/K5,22
 
17) a) 
2
10

 b) 
138
1

 c) 
268
67
 d) 
262
1
 e) 
35e
15
2
 f) 
10
12

 
 
18) a) (I) 
26
28

 (II) 
80;j
5
2
i
5
1 

 (III) 
80;j
5
2
i
5
1


 
 
 b) (I) 
227
25

 (II) 
1
14
1
14
3
14
2
;kji


 (III) 
1
14
1
14
3
14
2
 ;kji
 
 
 c) (I) 
2
15

 (II) 
2
15
;j
5
1
i
5
2 

 (III) 
2
15
;j
5
1
i
5
2

 
 d) (I) 
14
5

 (II) 
4
21
;k
21
1
j
21
2
i
21
4 

 (III) 
4
21
;k
21
1
j
21
2
i
21
4

 
19) a) 
2
28

 b) a direção e o sentido de 
j16i12


 c) a direção e o sentido de 
j16i12


 
 d)a direção e o sentido de 
j3i4


 
20) a) a direção e o sentido de 
j
10
1
i
10
3 

 b) subindo a 60 m por m c) descendo a 
220
 
m/m 
d) direção e o sentido de 
j
10
3
i
10
1 

 ou de 
j
10
3
i
10
1 

 
 
21) a) 
      t61z,t63y,t162x;01z63y62x16 
 
 
 b) 
      t25z,t181y,t162x;025z1y182x16 
 
 
24) 
)5/22,5/22,5/28(,)5/22,5/22,5/28( 
 
 
25) 
)2/6,3/62,3/6( 
 , 
)2/6,3/62,3/6( 
 
28) 
422 
 29) a) (2, -1) b) 
2/2
 30) 0,88

cm3/h 31) -

cm3/min 
 
32) a) 
 )0,0,0(3 IR
 b) 
1222  zyx
 33) a) 
3
5e

 b) 
)19/3,19/3,19/1(
 
 
 
Bibliografia: 
 
LEITHOLD, Louis, O cálculo com Geometria Analítica – volume 2, Harbra, São Paulo – SP. 
MUNEM, Mustafa A., David J. Foulis, Cálculo – volume 2, Guanabara, Rio de Janeiro – RJ 
STEWART, James, Cálculo volume II, Pioneira, São Paulo – SP 
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