4_Aplicacoes_Vetores_Plano_e_Espaco_Corrigido.pdf

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UFF - Universidade Federal Fluminense
IME - Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
GGM - Departamento de Geometria
Disciplinas: GGM 00127, GGM 00125 , GGM 00160
4a Lista de Exerc´ıcios - Conteu´do de Geometria Anal´ıtica Plana e Espacial.
Aplicac¸o˜es com Vetores no Plano e Espac¸o
Plano
1. Calcular a a´rea do triaˆngulo ABC se A = (−3,−1), B = (0, 4) e C = (6, 1).
2. Calcular o valor de m para que um paralelogramo ABDC, em que A = (2,−1), B = (4, 2), C = (m,m), tenha
a´rea igual a 12.
3. Prove que se A, B e C sa˜o os ve´rtices dum triaˆngulo e G e´ o seu baricentro (ponto de corte das medianas), enta˜o
a´rea(ABC) = 3a´rea(ABG).
4. Uma fazenda tem o formato de um quadrila´tero que em um dado sistema de eixos cartesianos possui ve´rtices
A = (0, 0), B = (1, 4), C = (5, 1) e D = (4, 5). Calcule a a´rea da fazenda.
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4
b
A
b
B
b
C
b
D
Espac¸o
5. Dados os vetores −→v1 , −→v 2 e −→v 3 ache o volume do paralelep´ıpedo formado por eles nos casos abaixo:
(a) −→v 1 = (1, 0, 0), −→v 2 = (0, 1, 0), −→v 3 = (0, 0, 1)
(b) −→v 1 = (3,−1, 2), −→v 2 = (5, 1, 0), −→v 3 = (0,−4, 0)
6. Determine t ∈ R, caso exista, para que os vetores (t,−1, 1), (1, t, 2), (3, t, 1) sejam coplanares.
7. Dado o triaˆngulo de ve´rtices A = (0, 1,−1), B = (−2, 0, 1) e C = (1,−2, 0), calcule a medida da altura relativa
ao lado BC.
8. Dados os pontos A = (1,−2, 3), B = (2,−1,−4), C = (0, 2, 0) e D = (−1,m, 1), determine o valor de m para
que o paralelep´ıpedo determinado por ~AB, ~AC e ~AD tenha volume igual a 20.
9. Sejam A = (3, 2, 4), B = (4, 4, 4), C = (6, 3, 5) e D = (4, 1, 5).
(a) Determine a altura relativa a` base de lados paralelos a
−−→
AB e
−→
AC do paralelep´ıpedo de arestas
−−→
AB,
−→
AC e−−→
AD.
(b) Calcule a´rea do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A,B e C.
(c) Calcule o volume do paralelep´ıpedo de arestas
−−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD.
10. Um engenheiro deve construir uma rampa plana, que passa pelos pontos A = (1, 0, 0), B = (2,−1, 1)
e C = (1, 1, 2).
(a) Mostre que o ponto E de coordenadas (0, 3, 3) per-
tence a` rampa.
(b) Deve-se fixar um poste de comprimento
√
14 no ponto
E de forma que o poste fique perpendicular a` rampa.
Encontre as coordenadas de um ponto F no topo do
poste.
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