7ª Lista de Cálculo Diferencial e Integral I Regra da Cadeia

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7ª Lista de Cálculo Diferencial e Integral I – Derivada da Função Composta
01. Calcule a derivada da função dada:
a) f(x) = (2x + 1)3 b) f(x) = (x2 + 4x – 5)4 c) f(x) = (x2 + 4)-2
d) f(x) = (3x2 + 5)3.(3x – 1)2 e) f(x) = (2x – 5)-1.(4x + 3)-2 f) f(x) = 
2
2
7








x
x 
g) f(x) = 
3
2 23
12








xx
x h) f(x) = 3 22 )263(  xx i) f(x) = 
1
12


x
x
 j) f(x) = 4.cos(3x) – 3.sen(4x) k) f(x) = sen2(3x2 – 1) l) f(x) = sec2x.tg2x
m) f(x) = cotg4(x) – cossec4(x) n) f(x) = (tg2(x) – x2)3 o) f(x) = 4.cos(sen(3x))
02. Suponha que f’(3) = -1, g’(2) = 5, g(2) = 3 e y = f(g(x)). Qual o valor de y’ quando x = 2?
03. Dada f(x) = x3 e g(x) = f(x2), determine:
a) f’(x2). b) g’(x)
04. Dada f(x) = sen(2x).cos(3x), mostrar que f(x) é uma função ímpar e f ‘ (x) é par.
05. Dada f(x) = )2(
2
1 xsen , calcular f ´(x) e verificar que f e f ´são periódicas de mesmo
período.
06. A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma reta coordenada é dada por
s(t) = 14 t , com s em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a aceleração da
partícula em t = 6s.
07. Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação s(t) = 5.sen(πt) +
3.cos(πt), onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem, em t s.
a) Qual será a velocidade da partícula em t s?
b) Determine a velocidade instantânea da partícula em t = 0,25 s.
08. Quando um meteorito pesado está a s quilômetros do centro da Terra, sua velocidade de
entrada na atmosfera terrestre é inversamente proporcional a s . Mostre que a aceleração do
meteorito é inversamente proporcional à s2.
09. Suponha que um pistão se desloque para cima e para baixo e que a sua posição no instante t
segundos seja dada por s = A.cos(2πbt), com A e b positivos. O valor de A é a amplitude do
movimento, e de b é a freqüência(número de vezes que o pistão se desloca para cima e para
baixo a cada segundo). Que efeito a duplicação da freqüência tem sobre a velocidade e
aceleração do pistão?
Gabarito
01. a) 6.(2x + 1)2 b) (8x + 16).(x2 + 4x – 5)3 c) 32 )4(
4


x
x
 
d) 6.(3x2 + 5)2.(3x – 1).(12x2 – 3x + 5) e) -2.(2x – 5) -2.(4x + 3)-3.(12x – 17) f)
3)2(
12618


x
x
g) 42
22
)23(
)122.()12.(9


xx
xxx
 h) 3 2 263
44


xx
x
 i)
2
1
2
3
)12.()1(2
3


xx
j) -12(sen(3x) + cos(4x)) k) 12x.sen(3x2 – 1).cos(3x2 – 1) l) 2.sec2(x).tg(x).[2tg2(x) – 1]
m) 4.cotg(x).cossec2(x) n) 6.(tg2(x) – x2)2.(tg(x).sec2(x) – x) o) -12.cos(3x).sen(sen(3x)).
02. -5 03. a) 3x4 b) 6x5 05. cos(2x), período π 06. v(6) = 
5
2
m/s; a(6) = 
125
4
m/s2
07. a) (5π.cos(πt) - 3π.sen(πt))cm/s b) 2 cm/s 09. Multiplica a velocidade por 4 e
a aceleração por 4.