Material Instrucional Cálculo II - Integração por Partes

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27 Cálculo II: Integração por Partes 
Técnicas de Integração. 
 
As técnicas de integração estudadas anteriormente permitem o cálculo de alguns tipos de 
integrais, mas não de todos. Veja dois exemplos bem parecidos. 
 
1º Exemplo: integre 
dxxx sen 2
 
Temos conhecimento da integral imediata: 
Cudu  cos usen 
 
Fazendo a mudança de variável 
2xu 
, teremos 
  dxxxddu 22 
. Assim, pelas 
técnicas estudadas anteriormente, 
         
du
2
u
2222 sen 
2
1
 2sen 
2
1
 sen sen xdxdxxxdxxxdxxx
 
  CxCx  22 cos
2
1
cos
2
1
. 
 
2º Exemplo: integre 
dxxx sen 
 
Neste caso, a estratégia utilizada anteriormente não surtirá efeito, e nenhuma da outras 
estratégias já discutidas é capaz de resolvê-la. 
Precisamos então de novas técnicas de integração, como Integração por Partes, Integração de 
Funções Racionais Fracionárias e Integração através de Substituição de Variáveis por 
Variáveis Trigonométricas. 
Iniciaremos discutindo a técnica de Integração por Partes. 
 
 
Integração por Partes. 
 
A técnica de integração por partes está fundamentada na regra da derivada do produto: 
  dvuduvvud 
, onde podemos prepará-la 
  duvvuddvu 
 
Conhecendo a integral de 
duv 
e não conhecemos a integral de 
dvu 
, podemos integrá-la 
membro a membro a fim de determinarmos 
 dvu 
, como segue. 
    duvvuddvu 
 
E como 
  vuvud  
(a integral é a operação oposta da diferencial), a fórmula da Integração 
por Partes fica assim definida. 
  duvvudvu 
 
 
 
28 Cálculo II: Integração por Partes 
No segundo exemplo, 
dxxx sen 
 
Fazendo  






  cos sen sen 
 
xvdxxdvdxxdv
dxxdduxu 
Utilizando a técnica de integração por partes, temos: 
  duvvudvu 
 
    













duvvudvu
dxxxxdxxx coscos sen 
 
  dxxxxdxxx coscos sen 
 
Cxxxdxxx  sen cos sen 
 
É importante observar que as integrais resolvíveis pela técnica de integração por partes 
admitem pelo menos duas escolhas diferentes para u e dv. Em alguns casos, ambas as escolhas 
permitem o cálculo da integral desejada (sendo uma delas de forma menos trabalhosa), já em 
outros, apenas uma das escolhas permite a resolução. 
No exemplo 2, fazendo uma má escolha para u e dv, chegamos em uma identidade do tipo 
  dvudvu 
, que não determina o resultado da integral desejada. Veja. 
Fazendo, 
 






  2
 
 cossen sen 
2x
vdxxdvdxxdv
dxxxdduxu
temos 
  duvvudvu 
 
  
 





























du
vv
udvu
dxx
xx
xdxxx cos 
22
 sen sen 
22
 
  dxxxx
x
dxxx cos
2
1
sen 
2
 sen 2
2 (I) 
Mas a integral 
 dxxx cos2
 deve ser resolvida também aplicando a técnica de integração por 
partes. 
Fazendo  






  1
22
sen cos cos 
 2 
Cxvdxxdvdxxdv
dxxxdduxu 
   







  
duvudvu
dxxxxxdxxx 2 sen sen cos 
v
22
 
  dxxxxxdxxx sen 2sen cos 22
 (II) 
 
29 Cálculo II: Integração por Partes 
Substituindo (II) em (I), temos, 













    
dxxx
dxxxxxx
x
dxxx
 cos 
2
2
2
 sen 2sen 
2
1
sen 
2
 sen 
  dxxxx
x
x
x
dxxx sen sen 
2
sen 
2
 sen 
22 
  dxxxdxxx sen sen 
 
Vamos discutir mais alguns exemplos. 
 
Exemplo 3: integre 
 dxex x 
 
Vamos utilizar a técnica de integração por partes 
Fazendo  






  xxx evdxdvdxdv
dxxdduxu
 e e 
 temos, 
  duvvudvu 
 
    
duv
x
v
x
udv
x
u
dxeexdxex 
 
Ceexdxex xxx  
 
  Cxedxex xx  1 
 
 
Exemplo 4: integre 
   dxx 1ln 2
 
Vamos utilizar a técnica de integração por partes. 
Fazendo 
    








  xvdxdvdxdv
dx
x
x
xdduxu
 
1
2
1ln 1ln
2
22
 temos, 
  duvvudvu 
 
     



du
vvudvu
dx
x
x
xxxdxx
1
2
 1ln 1ln
2
22
 
     
 dx
x
x
xxdxx
1
21ln 1ln
2
2
22
 
 
30 Cálculo II: Integração por Partes 
 
E 
   









Cxx
x
dx
dxdx
x
dx
x
x
 tgarc
11
1
1
1 222
2
 
Assim, 
    Cxxxxdxx  tgarc221ln 1ln 22 
 
Exemplo 5: integre 
   dxxxxx sen cos 2332
 
 

)(
23
)(
322332 sen cos sen cos
III
dxxxdxxxdxxxxx   
 dxxxI cos)( 32
 
Fazendo 
3xt 
, temos 
  dxxxddt 3 23 
. Assim 
     13332332 sen 
3
1
 cos
3
1
 3 cos
3
1
 cos Cxxdxdxxxdxxx
dtt
  
 
 dxxxII sen )( 23
(integração por partes) 
Fazendo  
 
  












  
2
222
222
22
cos
2
1
sen 
2
1
 
 2 sen 
2
1
 sen sen 
 2
Cxvxdxv
dxxxvdxxxdvdxxxdv
dxxxdduxu
duu

    










  


dwwdu
vv
udvu
xdxxxdxxxxxdxxx 222222223 cos
2
1
cos
2
1
 2 cos
2
1
cos
2
1
 sen 
 
3
222 sen 
2
1
cos
2
1
Cxxx 
 
Logo, 
  CxxxxIIIdxxxxx  22232332 sen 2
1
cos
2
1
sen 
3
1
)()( sen cos 
 
 
 
 
 
 
31 Cálculo II: Integração por Partes 
4ª Lista de Exercícios 
 
Integre: 
 
1. 
  dxex x 
 Resp: 
  Cxex  1
 
2. 
 dxxx cos 
 Resp: 
Cxxx  cossen 
 
3. 
 dxxx sen 23
 Resp: 
C
xxx

2
sen 
2
cos 222
 
4. 
 dxx ln
 Resp: 
Cxxx ln 
 
5. 
 dxx 2sen arc
 Resp: 
Cxxx  241
2
1
2sen arc 
 
6. 
 dxx tan arc
 Resp: 
  Cxxx  21ln
2
1
tan arc 
 
7. 
   dxxxx sen cos 2
 Resp: 
Cxxxx  2cos
2
1
cossen 
 
8. 
 dxxx ln 
 Resp: 
Cx
x







2
1
ln
2
2
 
9. 
 dxxx ln 3
 Resp: 
Cx
x







4
1
ln
4
4
 
10. 
   dxxxx 2sen 3sen ln
 Resp: 
  Cxxxx 
10
5sen 
2
sen 
1ln 
 
11. 
   dxxxex x ln 32
3
 Resp: 
Cx
xex







4
1
ln
43
43
 
12. 
 dxx seccos 3
 Resp: 
  Cxxxx  cotseccosln
2
1
cot seccos
2
1
 
13. 
 dxxxn ln 
 
14. 
 dxx sen arc
 
15. 
 dxxx ln 3
 
16. 
 dxxx tan arc 3
 
17. 
 dxxx sen 23
 
18. 
 dxxx cos 2
 
 
32 Cálculo II: Integração por Partes 
19. 
 dxex x 
 
20. 
   dxxex x sen 2
 
21. 
   dxexx x ln 
 
22. 
 dxxx cotarc 2
 
23. 
 dxx sec3
 
24. 
  dxx 5sec3
 
25. 
   dxx 23cos arc
 
26. 
  dxex x 123
 
27. 
   dxxx 1ln 
 
28. 
 dxxx cos 3
 
29. 
 dxx ln
 
30. 
   dxxx 1cos 43