2 lista P2 algebra1

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
DEMAT/ICE, Prof. Orlando
Lista Exerc´ıcios de A´lgebra I-IC261-T01-P2
1. Demonstre que 3|(a3 − b3) ⇐⇒ 3|(a− b).
2. Sejam a, b ∈ Z relativamente primos e c ∈ Z tal que a|c e b|c. Mostre que ab|c.
3. Use o resultado do exerc´ıcio anterior e prove que 6|n(2n+7)(7n+1), ∀ n ∈ Z.
4. Prove que mdc(a, a+ b)| b, para quaiquer inteiros a, b.
5. Prove que se mdc(a, b) = 1, enta˜o mdc(ac, b) = mdc(c, b), ∀a, b, c ∈ Z.
6. Mostre que se n e´ natural impar, enta˜o 24|n(n2 − 1). Mostre ainda que para
qualquer n natural, 24|n(n2 − 1)(3n+ 2).
7. Treˆs nu´meros naturais sa˜o ditos primos entre si se mdc(a, b, c) = 1. Mostre
que dado treˆs nu´meros naturais, sendo dois a dois primos entre si, sa˜o sempre
primos entre si. Mostre que na˜o vale a rec´ıproca, isto e´, ache treˆs nu´meros
naturais primos entre si, mas que na˜o sejam dois a dois primos entre si.
8. Prove que mdc(n, 2n+ 1) = 1, qualquer que seja o natural n.
9. Prove que mdc(n+ 1, n2 + n+ 1) = 1, qualquer que seja o natural n.
10. Prove que n+ 1 e n sempre sa˜o co-primos, qualquer que seja o natural n.
11. O resto da divisa˜o de um inteiro N por 20 e´ 8. Qual o resto da divisa˜o de N
por 5?
12. Para cada par de nu´meros naturais a e b dados abaixo, ache o mdc(a, b) e o
mmc(a, b).
(a) 637 e 3887.
(b) 648 e 1218.
(c) 551 e 874.
(d) 7325 e 8485.
(e) 987654321 e 123456789
13. a) Se m e´ um mu´ltiplo comum de a e de b, mostre que
m = mmc(a, b)⇔ mdc
(m
a
,
m
b
)
= 1
b) Se ax = by, mostre que
ax
mdc(x, y)
=
by
mdc(x, y)
= mmc(a, b)
1
14. Dados treˆs nu´meros naturais a, b e c, mostre que
mmc(a, b, c) =
abc
mdc(ab, ac, bc)
15. Dados a, b naturais, mostre que para todo n natural,mmc(na, nb) = n.mmc(a, b)
16. a) Mostre que mdc(a, b) = mmc(a, b)⇔ a = b.
b) Mostre que, se b = a2, enta˜o mmc(a, b) = (mdc(a, b))2
17. De quantas maneiras pode-se comprar selos de 3 e 5 reais de modo que se gaste
50 reais?
18. Dispondo de 100 reais, quais sa˜o as quantias que se podem gastar comprando
selos de 5 reais e de 7 reais?
19. Determine o menor inteiro positivo que deixa resto 11 quando dividido por 37
e deixa resto 35 quando dividido por 48.
20. Numa criac¸a˜o de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pe´s. Quantas sa˜o as
galinhas e quantos sa˜o os coelhos, sabendo qua a diferenc¸a entre esses dois
nu´meros e´ a menor poss´ıvel?
21. Sejam a e b naturais na˜o nulos com mdc(a, b) = 1. Mostre que, se ab e´ um
quadrado, enta˜o a e b sa˜o tambe´m quadrados.
22. Com quantos zeros termina o nu´mero 1000!? Qual e´ a poteˆncia de 3 que
aparece na decomposic¸a˜o de 1000! em fatores primos?
23. Uma das afirmativas abaixo sobre nu´meros naturais e´ falsa, qual e´?
(A) Dado um nu´mero primo, existe sempre um nu´mero primo maior do que
ele.
(B) Se dois nu´meros na˜o primos sa˜o primos entre si, um deles e´ ı´mpar.
(C) Um nu´mero primo e´ sempre ı´mpar.
(D) O produto de treˆs nu´meros naturais consecutivos e´ mu´ltiplo de 6 e sua
soma e´ mu´ltiplo de 3.
24. Mostre que 42|a7 − a para todo nu´mero natural a.
25. Ache o resto da divisa˜o de 12p−1 por p quando p e´ primo.
26. Mostre que se 5 6 |n, 5 6 |(n− 1), 5 6 |(n+ 1), enta˜o 5|(n2 + 1), n ≥ 1.
27. Mostre que se 7 6 |n, 7 6 |(n− 1), 7 6 |(n3 + 1), enta˜o 7|(n2 + n+ 1), n ≥ 1.
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