1 lista P2 algebra1

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
DEMAT/ICE, Prof. Orlando
Exerc´ıcios de A´lgebra I-IC261-T01-Valor: 2 pontos da P2- Entrega dia 31/10.
1. (0,1 pt) Dado um nu´mero natural m qualquer, prove que na˜o existe nenhum
nu´mero natural n tal que m < n < m+ 1.
2. (0,2 pt) Mostre por induc¸a˜o sobre n que o problema da moeda falsa para um
conjunto com 3n moedas, n ≥ 1, tambe´m se resolve com n pesagens.
3. (0,2 pt) Prove o primeiro Princ´ıpio de induc¸a˜o usando o Princ´ıpio da Boa
Ordem, isto e´, prove que se p(n) e´ uma sentenc¸a aberta em N tal que p(0) e´
verdadeira e dado n ∈ N, p(n) verdadeira implica p(n + 1) verdadeira, enta˜o
p(n) sera´ verdadeira para todo n ∈ N.
Sugesta˜o: Defina o conjunto X = {n ∈ N tal que p(n) e´ falsa} e prove que
X = ∅. Use reduc¸a˜o ao absurdo supondo que X na˜o seja vazio.
4. (0,3 pt) Prove por induc¸a˜o que para todo n ∈ N:
(a) 8|32n + 7.
(b) 9|10n + 3.4n+2 + 5.
(c) 169|33n+3 − 26n− 27.
5. (0,5 pt) Mostre usando resultados ja´ provados ou induc¸a˜o que, para todo n,
(a) 9|10n − 1
(b) 8|32n − 1
(c) 53|74n − 24n
(d) 3|10n − 7n
(e) 6|52n+1 + 1
6. (0,3 pt) Mostre, para todo a ∈ N, que
a) 2|a2 − a b) 3|a3 − a c) 5|a5 − a
7. (0,2 pt) Seja dado o nu´mero 4783 na base 10. Escreva-o nas seguintes bases:
2, 7, 12 e 15.
8. (0,2 pt) O nu´mero 3416 esta´ na base 7. Escreva-o nas bases 5 e 12.