Apostila Controle Estatístico do Processo (CEP) - Módulo IV

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Módulo IV
 
CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO (CEP)
 
	
Sumário
1	INTRODUÇÃO 
2	CONCEITOS BÁSICOS
2.1 Causas de variação
2.2 Ação local e ação no sistema
2.3 Vantagens na utilização do CEP
2.4 Pensamentos estatísticos e ferramentas estatísticas
3	ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CEP
3.1 Conceito
3.2 Fases do método estatístico
3.2.1 Coleta de dados
3.2.2 Crítica dos dados
3.2.3 Apuração dos dados
3.2.4 Exposição ou apresentação dos dados
3.2.5 Análise dos resultados
3.2.6 Variáveis
3.2.7 Qualitativa
3.2.8 Quantitativa
3.3 População e amostra
3.4 Distribuição de frequência
3.4.1 Frequência simples
3.4.2 Frequência relativa
3.4.3 Frequência acumulada
3.4.4 Frequência relativa acumulada
3.4.5 Amplitude total de uma sequência
3.4.6 Intervalo de classe
3.4.7 Limite de classe
3.4.8 Amplitude do intervalo de classe
3.4.9 O Critério da raiz
3.5 Histograma
3.6 Diagrama de Pareto
3.7 Lista de exercícios
3.8 Medidas estatísticas
3.8.1 Medidas de posição
3.8.2 Medidas de dispersão
4	A TEORIA BÁSICA
5	GRÁFICOS DE CONTROLE
5.1 Cartas por atributos
5.2 Gráficos de controle por variáveis
5.3 Construção dos gráficos de controle
5.4 Interpretação dos gráficos
6	COMO PREPARAR AS CARTAS DE CONTROLE
6.1 Cartas de controle por variáveis
6.2 Cartas de controle por atributos
6.2.1 Número de peças não-conformes (np)
6.2.2 Número de não-conformidades por peça (gráfico de controle c
7	AS VANTAGENS DO CEP
8	AS DESVANTAGENS DO CEP
9	CAPABILIDADE DE PROCESSO
9.1 Índices de Capacidade
9.2 CP e CPK: "Índices de Capabilidade do Processo"
9.3 Capabilidade de Processo
9.4 Cálculo do Índice
9.5 CPK
9.6 Cálculo do Índice de Capabilidade
10 REFERÊNCIAS
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INTRODUÇÃO
A preocupação com a qualidade é tão antiga quanto a humanidade. Desde que o homem pré-histórico produziu seu primeiro artefato, surgiu a preocupação em saber utilizar adequadamente o produto segundo suas necessidades. No entanto, foi somente com a introdução do conceito de produção em massa que a qualidade começou a ser abordada sob outra ótica, isto se deu no início do século XX. 
Com a ascensão do Japão como líder em qualidade, o mundo despertou para a importância da obtenção de produtos através de processos estatisticamente estáveis, capazes de atender a clientes. 
No Brasil, o Controle Estatístico de Processo (CEP) vem sendo implantado nas empresas em número cada vez maior, quer seja por exigência de algum grande cliente, quer seja para melhoria da produtividade das operações. Contudo, há muito ainda a ser feito, pois a potencialidade do CEP ainda não foi totalmente explorada.
O Controle Estatístico de Processo, proposta deste curso, é uma das metodologias desenvolvidas visando auxiliar no controle eficaz da qualidade e é sem dúvida um dos mais poderosos métodos aplicados. 
CONCEITOS BÁSICOS
Todo trabalho executado em uma empresa pode ser visto como um processo, ou seja, um conjunto de atividades realizadas visando a um determinado propósito. Em outras palavras, um processo nada mais é do que a combinação de pessoas, máquinas, métodos etc.
Em todas as empresas há uma infinidade de tipos de processos (produtivos ou administrativos). Entretanto, segundo o princípio de Pareto, somente alguns poucos são responsáveis por um maior impacto nos resultados.
Todo processo sempre possui cinco componentes básicos. São eles:
 Fornecedores: são aquelas empresas, ou outras áreas, que suprem o processo com algum tipo de entrada.
 Entrada: são as saídas (produto) dos fornecedores.
 Processo: é o próprio processamento, criando ou aumentando o valor das entradas.
 Saídas: é o produto gerado pelo processo.
 Clientes: são as empresas, pessoas ou áreas dentro da empresa que recebem a saída do processo, podem ser clientes internos ou externos.
Podemos observar que os conceitos anteriormente vistos são aplicáveis indistintamente aos tipos de processos, muito embora o primeiro seja produtivo e o outro administrativo. 
A tabela 1, abaixo, fornece exemplos de dois processos:
	Componentes
	Fabricação de Papel
	Contratação de Funcionário
	Fornecedores (f)
	Fabricante de celulose
	Mercado de trabalho
	Entrada (e)
	Celulose
	Candidatos
	Processo (p)
	Cozimento
	Seleção / recrutamento
	Saída (s)
	Papel
	Candidato aprovado
	Cliente (c)
	Empresas do mundo todo
	Área solicitada
Tabela 1: Exemplos de processos produtivos e administrativos. Fonte: Própria.
Se a qualidade é o atendimento às necessidades dos clientes de forma constante e consistente, o CEP pode auxiliar no seu aprimoramento, já que possibilita a obtenção de processos que garantam produtos adequados.
Causas de variação
Qualquer processo apresenta variabilidade. A variação nas características da qualidade existe em função das diferenças e inconstâncias entre operários, lotes de matéria-prima, equipamentos, instrumento de medição etc. Entretanto, as causas de variação podem ser divididas em dois grupos: causas comuns e causa especiais de variação.
Uma causa comum de variação é definida como uma fonte de variação que afeta a todos os valores individuais de um processo. É resultado de diferentes origens, sem que nenhuma tenha predominância sobre a outra. Os valores individuais diferem entre si. Esses valores quando são agrupados, tendem a formar um padrão (ou uma distribuição de probabilidade), que pode ser caracterizado pela localização (centro da distribuição), dispersão (variabilidade dos valores individuais) e forma. 
Uma causa especial é um fator que gera variações que comprometem o comportamento do processo de maneira imprevisível, não sendo, portanto, possível obter um padrão ou distribuição de probabilidade neste caso. Esta causa costuma também ser chamada de esporádica devido a sua natureza. Diferencia-se da comum pelo fato de produzir resultados totalmente discrepantes com relação aos demais valores. A Figura 1, abaixo, demonstra a diferença entres os dois conceitos acima citados.
Figura 1: Gráfico de Controle
Pode-se perceber que do ponto 0 ao ponto 10, os valores oscilam em torno de um certo nível (ou média). Muito embora eles sejam individualmente diferentes uns dos outros, todos estão próximos do valor 15. Contudo, no ponto 13 há uma súbita mudança no comportamento dos dados (uma causa especial) que revela uma mudança no padrão de variação do processo. No ponto 18 ocorre outra mudança (uma causa comum), porém de natureza diferente da primeira. Enquanto que a causa especial era esporádica, esta outra é permanente, ou seja, faz com que o processo passe a ter um novo nível (ou padrão) em torno do valor 5.
Ação local e ação no sistema
É importante distinguir as variações de causas comuns das de causas especiais, pois os tipos de ações e de responsabilidades sobre as mesmas estão em diferentes campos da empresa. A eliminação das causas especiais exige uma ação local, que pode ser tomada por pessoas próximas ao processo, como por exemplo, os operários. Já as causas comuns exigem ações sobre o sistema de trabalho, que somente podem ser tomadas pela administração, visto que o processo é em si consistente, mas mesmo assim, incapaz de atender às especificações.
Um processo é dito sob controle quando somente causas comuns estiverem presentes. Porém, esta não é uma condição natural de qualquer processo, isto quer dizer que, deve-se sempre esperar a presença de causas especiais de variação atuando e, através de um esforço contínuo, eliminá-las uma a uma, até que o processo seja estabilizado. Isto requer determinação e dedicação, uma vez que o prazo para se conseguir esta conquista leva meses e até mesmo anos.
Uma vez que o processo se tornou estável e, por conseguinte, sabe-se o que esperar dele, pode-se determinar se é possível atender às especificações ou necessidades dos clientes.Caso o processo não seja capaz, deve-se atuar na eliminação das causas comuns de variação, diminuindo assim a variabilidade total das características da qualidade que determinam o bom desempenho do produto.
Vantagens na utilização do CEP
São várias as vantagens de aplicação do CEP nas operações de uma empresa. Provavelmente as mais importantes são:
Determinar o tipo de ação requerida e, consequentemente, estabelecer a responsabilidade pela sua adoção.
Reduzir a variabilidade das características críticas dos produtos de forma a obter-se uma maior uniformidade e segurança dos itens produzidos.
Permitir a determinação da real viabilidade de atender às especificações do produto ou às necessidades dos clientes em condições normais de operação.
Implantar soluções técnicas e administrativas que permitam a melhoria da qualidade e o aumento da produtividade.
Possibilitar o combate às causas dos problemas ao invés de seus efeitos, de modo a retirá-los definitivamente da sua atividade.
Pode-se dizer então que o CEP faz com que todos trabalhem de forma mais inteligente e não mais árdua. Os ganhos com as economias obtidas são permanentes e os benefícios advindos geram um melhor ambiente de trabalho, onde as pessoas ficam motivadas a conseguirem melhores resultados todos os dias.
“Fazer certo da primeira vez”
“Autocontrole”
“Melhoria contínua”
Estas frases são os novos paradigmas da gestão da qualidade.
Pensamentos estatísticos e ferramentas estatísticas
A melhoria dos processos exige a utilização de ferramentas estatísticas para que os dados por elas gerados sejam interpretados e analisados e as conclusões extraídas. A única forma de se melhorar alguma coisa é entendê-la para em seguida descobrir como atuar, a fim de que o comportamento atual seja modificado.
Entretanto, somente as ferramentas estatísticas não bastam para se empreenderem estas ações. Elas precisam estar associadas à ideia do pensamento estatístico. Resumidamente, este prega uma filosofia de trabalho norteada pelos seguintes princípios:
Todo e qualquer trabalho por nós realizado é um processo constituído por diversas etapas.
Todo processo está sujeito a variações, em maior ou menor quantidade, uma vez que isto é um fato da natureza.
Sempre é possível melhorar um processo, mediante a eliminação da variação nele existente.
O problema que muitas empresas enfrentam na prática é o de acreditar que é suficiente treinar seus colaboradores em ferramentas estatísticas, para assegurar a obtenção de ganhos de qualidade e produtividade. Isto é um raciocínio similar ao de achar que para se ter um bom mecânico de automóvel, basta fornecer-lhe boas ferramentas na sua bancada. Engana-se quem assim pensa.
Ferramentas são somente meios. Melhoria contínua é o objetivo a ser perseguido. Se não houver uma filosofia gerencial por detrás desta ferramenta, que oriente e planeje as ações a serem tomadas para executar as mudanças necessárias, estas não ocorrerão.
Todos numa organização devem conhecer o conceito do pensamento estatístico, mas o importante é praticá-lo diariamente. Um gerente não precisa ser um especialista em ferramentas estatísticas, porém necessita entender para quê elas servem e estimular seu uso.
ESTATÍSTICA BÁSICA PARA O CEP
A ciência estatística estuda a variação. Para isso é preciso realizar coletas, descrição, organização, análise e interpretação de dados, possibilitando melhores tomadas de decisões de acordo com interpretações de fatos concretos.
Conceito
Estatística: é a ciência dos dados. Envolve a coleta, a classificação, o resumo, a organização, a análise e a interpretação da informação numérica, oriunda de estudos ou experimentos realizados em qualquer área do conhecimento.
A estatística é dividida em duas grandes áreas:
Estatística descritiva: utiliza métodos numéricos e gráficos para mostrar os padrões de comportamentos dos dados, para resumir a informação contida nestes e também para apresentar a informação de forma conveniente.
Inferência estatística: utiliza dados de amostras para obter estimativas sobre a população.
Fases do método estatístico
Coleta de dados
Depois do planejamento e da devida determinação das características mensuráveis do fenômeno coletivamente típico que se quer pesquisar, inicia-se a coleta de dados numéricos necessários a sua descrição.
A coleta de dados classifica-se em:
 1 Coleta direta: feita sobre elementos informativos de registro obrigatório (nascimentos, casamentos, óbitos, importação e exportação de mercadorias, elementos pertinentes ao diário dos alunos de uma escola) ou, quando os dados são coletados pelo próprio pesquisador através de inquéritos e questionários, como é o caso das notas de exame, censo demográfico etc. 
Relativamente ao fator tempo, a coleta direta divide-se em: 
Contínua: registros realizados continuamente. Exemplo: nascimentos e óbitos, frequência dos alunos às aulas etc.
Periódica: realizados em intervalos constantes de tempo. Exemplo: censos demográficos (de 10 em 10 anos), avaliações mensais dos alunos.
Ocasional: realizados exporadicadimente para atender a uma conjuntura ou a uma emergência. Exemplo: epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros.
2 Coleta indireta: é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Exemplo: pesquisa sobre a mortalidade infantil, que é feita através de dados colhidos por uma coleta direta.
Crítica dos dados
Os dados obtidos devem ser cuidadosamente analisados, a fim de não se incorrer em erros grosseiros que possam influir sensivelmente nos resultados.
 Crítica externa: visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má interpretação das perguntas que lhe foram feitas;
 Crítica interna: visa observar os elementos originais dos dados da coleta.
Apuração dos dados
É a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. Pode ser manual, eletromecânica ou eletrônica.
Exposição ou apresentação dos dados
 Por mais diversa que seja a finalidade que se tem em vista, os dados devem ser apresentados sob forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo objeto de tratamento estatístico e posterior obtenção de medidas típicas.
Análise dos resultados
 O objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra). Assim, realizadas as fases anteriores (estatística descritiva), faz-se uma análise dos resultados obtidos, através dos métodos da estatística indutiva ou inferencial, que tem por base a indução ou inferência, e tira-se desses resultados conclusões e previsões.
Variáveis
Na maior parte das vezes, a escolha do processo a ser utilizado na análise ou na descrição dos dados estatísticos depende do tipo de dados considerados. O aluno deve aprender a identificar e a utilizar quatro tipos de variáveis (dados): contínuas, discretas, nominais e ordinais.
Faz-se necessário entender que a Estatística trata de dados. Todo dado se refere a uma variável, logo, a Estatística trabalha com variáveis e não trata de constantes. As variáveis assumem diferentes valores nas diferentes unidades.
Exemplo 1: Um pesquisador pretende levantar dados sobre candidatos ao exame vestibular em uma universidade. 
Pergunta: O que você acha que o pesquisador deve anotar, porque é variável, e o que você acha que ele não deve anotar, porque é constante? 
Solução: O pesquisador pode levantar dados sobre renda familiar que é uma variável, mas não deve levantar dados sobre a alfabetização porque, dentre os candidatos ao vestibular, a resposta seria uma constante.
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim, por exemplo:
 Para o fenômeno “qualidade de um equipamento” são dois resultados possíveis: conformee não conforme.
 Para o fenômeno “exame de seleção”, os candidatos se classificam como: primeiro, segundo, etc.
 Para o fenômeno “número de defeitos” há um número de resultados possíveis, expresso através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, ..., n.
 Para o fenômeno “diâmetro”, temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar um número infinito de valores numéricos dentro de um intervalo.
Portanto variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Os exemplos acima nos dizem que uma variável pode ser: qualitativa ou quantitativa.
Qualitativa
Quando seus valores são expressos por atributos. Ainda se pode fazer uma distinção entre dois tipos: variáveis qualitativas nominais e as variáveis qualitativas ordinais.
 Variáveis qualitativas nominais: para a qual não existe nenhuma ordenação nas possíveis realizações de procedência.
Exemplos: sexo (masculino e feminino), cor dos olhos (azuis, verdes, castanhos), campo de estudo (engenharia, tecnologia, estatística).
 Variáveis qualitativas ordinais: para a qual existe uma ordem nos seus resultados.
Exemplos: o grau de instrução, pois ensino fundamental, médio e superior corresponde a uma ordenação baseada no número de anos de escolaridade completa. A classe social, com as possíveis realizações - alta, média, e baixa - é outro exemplo de variável ordinal.
Quantitativa
Quando seus valores são expressos em números. A variável quantitativa assume: variáveis quantitativas contínuas e variáveis quantitativas discretas.
Variáveis quantitativas contínuas: podem assumir, virtualmente, qualquer valor num intervalo de valores.
Exemplo: o peso de uma remessa recebida, o diâmetro de um furo, a largura de uma barra e a temperatura de um forno.
 Variáveis quantitativas discretas: assumem certos valores, em geral inteiros. Os dados discretos surgem da contagem do número de itens com determinada característica.
Exemplo: a quantidade de peças defeituosas encontradas em um lote, a quantidade de moldes produzidos por dia, a quantidade de pessoas por domicílio em uma cidade e o número de acidentes numa fábrica.
População e amostra
1. População: é todo grupo de objetos ou de indivíduos dentro do qual se deseja fazer a análise de uma característica. O tamanho da população (N) é a quantidade de elementos da população.
Exemplos: todas as pessoas de uma cidade formam sua população; todas as peças produzidas por uma máquina formam a população das peças produzidas pela máquina.
2. Amostra: é o conjunto dos elementos extraídos parcialmente da população e que representará esta população. Usamos a amostra quando não podemos ou quando não desejamos pesquisar todos os elementos da população. O tamanho da amostra (n) é a quantidade de elementos da amostra.
Exemplos: as pessoas de um determinado bairro são uma amostra da população da cidade; algumas peças produzidas por uma máquina formam uma amostra das peças produzidas pela máquina.
Distribuição de frequência
 Quando se lida com poucos valores numéricos, o trabalho estatístico fica sensivelmente reduzido. No entanto, normalmente tem-se de trabalhar com grande quantidade de dados. Um dos objetivos da estatística descritiva, neste caso, é obter uma significativa redução na quantidade de dados com os quais se deve operar diretamente. Isto pode ser conseguido modificando-se a forma de apresentação destes.
 Uma maneira de reduzir a quantidade de dados é agrupá-los em uma tabela chamada distribuição de frequência. Na construção de uma tabela de distribuição de frequência, deve-se levar em conta a quantidade de valores distintos do conjunto de dados. Se a quantidade de valores distintos é pequena, então a tabela é construída através de uma variável discreta, porém, se a quantidade de valores distintos for grande, então se deve construir a tabela através de uma variável contínua.
Frequência simples
A frequência simples de um elemento do conjunto de dados representa o número de vezes que este elemento se repete no conjunto.
Exemplo: A sequência abaixo representa a observação do número de defeitos por unidade, obtidos a partir de aparelhos retirados de uma linha de montagem.
	X:
	4
	1
	2
	5
	3
	1
	0
	2
	4
	3
	
	2
	3
	0
	1
	4
	3
	2
	3
	1
	2
	
	1
	2
	4
	3
	2
	
	
	
	
	
Os valores distintos da sequência são: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
As frequências simples respectivas são: 2, 5, 7, 6, 4, 1.
Portanto, a distribuição de frequência simples deste conjunto de dados é:
	xi
	fi
	0
	2
	1
	5
	2
	7
	3
	6
	4
	4
	5
	1
	Total
	25
 Tabela 2: Distribuição de Frequência. Fonte: Própria.
Uma vez que o interessado tenha colocado os dados na forma de uma distribuição de frequência simples, ele poderá rapidamente obter algumas informações adicionais e úteis para a compreensão da série através da frequência relativa, da frequência acumulada e da frequência relativa acumulada.
Frequência relativa
É a razão da frequência simples do elemento pela frequência total.
 
Considerando o exemplo anterior, tem-se que o total de elementos do conjunto de dados é 25. Portanto, a frequência relativa do primeiro elemento distinto, que é 2, vale:
.
A frequência relativa do segundo elemento distinto, que é 5, vale:
.
E assim, sucessivamente.
Frequência acumulada
É a soma da frequência simples dos valores analisados numa distribuição com as frequências simples dos valores que antecedem esses valores.
Do exemplo anterior, temos que a frequência acumulada do primeiro elemento vale:
F1 = f1 = 2 
A frequência acumulada do segundo elemento distinto, que é 5, vale:
F2 = f1 + f2 = 2 + 5 = 7
E assim, sucessivamente.
Frequência relativa acumulada
É a divisão da frequência acumulada dos valores de uma distribuição pelo número total de valores dessa distribuição.
 
Assim, a frequência acumulada relativa do primeiro elemento vale:
A frequência acumulada relativa do segundo elemento vale:
E assim, sucessivamente.
Quando se acrescentam estes valores à tabela original, esta passa a se chamar distribuição de frequência. Para o exemplo estabelecido, a distribuição de frequência é:
	xi
	fi
	fri %
	Fi
	Fri %
	0
	2
	8
	2
	8
	1
	5
	20
	7
	28
	2
	7
	28
	14
	56
	3
	6
	24
	20
	80
	4
	4
	16
	24
	96
	5
	1
	4
	25
	100
	Total
	25
	100
	-
	-
Tabela 3: Distribuição de Frequência. Fonte: Própria
Suponha-se agora que a observação das notas de 30 alunos em uma prova nos conduzisse aos seguintes valores:
	X:
	3,0
	4,0
	2,5
	4,0
	4,5
	6,0
	5,0
	5,5
	6,5
	7,0
	
	7,5
	2,0
	3,5
	5,0
	5,5
	8,0
	8,5
	7,5
	9,0
	9,5
	
	5,0
	5,5
	4,5
	4,0
	7,5
	6,5
	5,0
	6,0
	6,5
	6,0
Observando estes valores, nota-se grande número de elementos distintos, o que significa que, neste caso, a variável discreta não é aconselhável para a redução de dados. Nesta situação, é conveniente agrupar os dados por faixas de valores, ficando o conjunto de dados com a seguinte apresentação:
	Classe
	Notas
	fi
	1
	2 |--- 4
	4
	2
	4 |--- 6
	12
	3
	6 |--- 8
	10
	4
	 8 |--- 10
	4
Tabela 4: Classes de Frequência. Fonte: Própria. 
 A construção da variável contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que agora se passa a estabelecer, aproveitando a tabela acima como exemplificação.
Amplitude total de uma sequência
É a diferença entre o maior e o menor elemento de uma sequência.
At = Xmáx - Xmin 
No exemplo das notas dos alunos, observamos que Xmáx = 9,5 e Xmin = 2. Portanto, At = 9,5 – 2 = 7,5.
Intervalo de classe
É qualquer subdivisão da amplitude total de uma série estatística. No exemplo proposto, subdivide-se a amplitude total em quatro classes, obtendo os intervalos de classe 2 |--- 4; 4 |--- 6; 6 |--- 8 e 8 |--- 10.
Limitede classe
Cada intervalo de classe fica caracterizado por dois números reais. O menor valor é chamado limite inferior da classe e será indicado por LI. O maior valor é chamado limite superior da classe e será indicado por LS. Por exemplo, na classe 2|--- 4, LI = 2 e LS = 4.
Amplitude do intervalo de classe
É a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe.
h = LS – LI 
O critério da raiz
Se a sequência estatística contém n elementos e se indicarmos por K o número de classes a ser utilizado, então pelo critério da raiz:
 
Como o número K de classes deve ser necessariamente um número inteiro e porque dificilmente 
 é um número inteiro, deixaremos como opção para o valor de K o valor inteiro mais próximo de 
, uma unidade a menos ou a mais que este valor. No exemplo da tabela 4, n = 30 e, consequentemente, 
, portanto, o valor inteiro mais próximo de 
 é 5. As opções para K então são: 4 ou 5 ou 6. A amplitude do intervalo de classe que designamos por h é determinada da seguinte forma: 
e, portanto, 
.
Observação: 
	Existem outros critérios para a determinação do número de classes, como por exemplo, a fórmula de STURGES. Segundo STURGES, o número K de classes é dado por: 
.
Para valores elevados de n, esta fórmula apresenta mais vantagens que o critério da raiz, embora apresente o mesmo problema de aproximação do valor de K. Como se acredita que na prática a experiência do pesquisador é a que na verdade vai determinar o número de classes, opta-se pelo método mais simples que é o critério da raiz.
Histograma
O histograma é um diagrama de colunas, formado por retângulos verticais justapostos. Ele é um gráfico que apresenta dados organizados em uma tabela de distribuição de frequências.
Para desenhar um histograma, use o eixo horizontal, a fim de representar a escala de medidas e desenhe os limites dos intervalos. O eixo vertical representa a escala de frequência. Se os intervalos de classe tiverem igual largura, então as alturas dos retângulos desenhados nos histogramas serão proporcionais às frequências. Se os intervalos de classe tiverem larguras desiguais, então é costume desenhar retângulos cujas áreas serão proporcionais às frequências.
Exemplo: considere a distribuição de frequência abaixo.
	Classes
	Frequência
	70 |--- 90
	2
	 90 |--- 110
	3
	110 |--- 130
	6
	130 |--- 150
	14
	150 |--- 170
	22
	170 |--- 190
	17
	190 |--- 210
	10
	210 |--- 230
	4
	230 |--- 250
	2
	Total
	80
 Figura 2: Tabela e Gráfico de Histograma.
Diagrama de Pareto
O Diagrama de Pareto é usado na gestão da qualidade para estabelecer a ordem em que as causas das perdas ou de outros tipos de fracasso devem ser sanadas. Apresenta fracassos e insucessos em ordem de frequência. Tem-se, então, a ordem em que devem ser sanados os erros, resolvidos os problemas, atendidas as reclamações, diminuído o desperdício. Diz-se, por isso, que o Diagrama de Pareto não só estabelece prioridades, mas também pode ser usado para identificar causas de sucesso como, por exemplo, as causas do aumento de venda de um produto.
Exemplo:
	Priorização dos defeitos nas placas de circuito impresso.
	Problema
	Frequência Relativa (%)
	Frequência Relativa Acumulada (%)
	Soldagem insuficiente
	41
	41
	Bolas de soldagem
	29
	70
	Desumidificação
	12
	82
	Orifícios
	5
	87
	Saída de ar
	4
	91
	Curto-circuito
	3
	94
	Componentes perdidos
	3
	97
	Falha nos componentes
	2
	99
	Componentes errados
	1
	100
Figura 3: Tabela e Diagrama de Pareto
Lista de Exercícios
Complete o quadro abaixo que representa o número de aparelhos eletrônicos reprovado em uma determinada linha de produção e observado diariamente durante 40 dias.
	Número de aparelhos reprovado por dia xi
	Número de dias fi
	fri %
	Fi/Fa
	Fra %
	0
1
2
3
4
	30
5
3
1
1
	
	
	
 Tabela 5: Distribuição de Frequência. Fonte: Própria.
Uma indústria embala peças em caixas de 100 unidades. O controle da qualidade selecionou 38 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas. Obtiveram-se os seguintes dados:
	2
	0
	0
	4
	3
	0
	0
	1
	0
	0
	1
	1
	2
	1
	1
	1
	1
	1
	1
	0
	1
	2
	0
	2
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	1
	0
	
	
a) Construa a distribuição de frequência.
b) Interprete todos os valores da terceira linha da distribuição de frequência.
Uma auditoria em uma grande empresa de computadores observou o valor de 49 notas fiscais emitidas em um mês. Esta amostra apresentou os seguintes valores em dólares:
	15.315
	23.440
	6.551
	13.253
	21.350
	35.318
	25.312
	35.780
	42.320
	34.782
	27.435
	28.412
	40.681
	17.661
	20.414
	23.313
	26.432
	30.515
	18.620
	27.312
	27.610
	8.598
	12.417
	22.300
	25.400
	23.300
	36.483
	21.200
	16.820
	38.000
	40.300
	15.800
	19.302
	36.728
	18.300
	21.780
	32.414
	32.000
	18.700
	21.313
	12.319
	19.600
	22.540
	22.010
	30.000
	21.380
	38.661
	30.400
	24.780
Agrupe, por frequência, estes dados.
Complete o quadro da série abaixo que representa uma amostra dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa.
	Salários em reais
	Número de funcionários (fi)
	fri %
	Fi/Fa
	Fra %
	1000 |--- 1200
1200 |--- 1400
1400 |--- 1600
1600 |--- 1800
1800 |--- 2000
	30
10
26
18
16
	
	
	
Tabela 6: Distribuição de Frequência. Fonte: Própria.
Medidas estatísticas
São medidas que possibilitam representar um conjunto de dados relativos à observação de determinado fenômeno de forma resumida. Existem dois tipos fundamentais de medidas estatísticas: medidas de posição ou tendência central e medidas de dispersão ou variabilidade.
Medidas de posição
Para resumir a quantidade de informação contida em um conjunto de dados, os estatísticos definem medidas que descrevem, através de um só número, características destes. Algumas dessas medidas descrevem a tendência central, isto é, a tendência que os dados têm de se agruparem em torno de certos valores. As três medidas mais usadas são a média, a mediana e a moda.
1) Média: É a soma de todos os dados dividida pelo número deles.
 
Exemplo: se um estudante fez quatro provas e obteve as notas 8,3; 9,4; 6,5 e 7,6 sua nota média é
.
2) Mediana: É o valor ocupado na posição central do conjunto dos dados ordenados.
Exemplo: Seja o conjunto de dados: 1; 3; 5; 7; 9; 9; 9. A mediana é o número 7, porque ocupa a posição central dos dados ordenados.
Da definição de mediana, abstrai-se que esta é um valor tal que metades dos dados são iguais ou menores que ela. A mediana de uma amostra será indicada por Md. 
Para calcular a mediana, segue-se o processo abaixo:
Organizam-se os dados em ordem crescente;
Verifica-se o número de dados no conjunto. Se o número é ímpar, a mediana é o valor que está no centro da série;
Se o número de dados é par, a mediana é a média dos dois valores que estão no centro da série.
Em algumas circunstâncias, a mediana descreve melhor do que a média a tendência central dos dados. É o caso dos conjuntos com dados discrepantes, isto é, conjuntos com um ou alguns valores muito maiores ou muito menores que os demais. Veja o exemplo a seguir:
Exemplo: seja o conjunto de dados: 1; 3; 5; 7; 9; 9; 9; 62. Como o número de dados é par, a mediana é a média aritmética dos valores que ocupam a posição central dos dados ordenados, no caso 7 e 9. Logo, a mediana é 8.
É possível verificar que a média é relativamente alta quando se considera a maioria dos dados do conjunto. Isto acontece por conta do valor 62 que “puxa” a média para cima, porém esse valor, não afeta a grandeza da mediana.
3) Moda: é o valor que ocorre com maior frequência em um conjuntode dados.
Exemplo: Seja o conjunto de dados 0; 0; 2; 5; 3; 7; 4; 7; 8; 7; 9; 6. A moda é 7 (sete) porque é o valor que ocorre com constância.
Um conjunto de dados pode não ter moda porque nenhum valor se repete, ou ter duas ou mais modas. Assim, o conjunto de dados 0; 2; 4; 6; 8; 10 não tem moda e o conjunto 1; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 6; 7 tem duas modas: 2 e 4. A moda de uma amostra será indicada por Mo.
Medidas de dispersão
A sumarização de um conjunto de dados através de uma única medida representativa de posição central esconde toda informação sobre a variabilidade do conjunto de valores que nos permite, por exemplo, comparar a diferença desses valores segundo algum critério estabelecido. O critério frequentemente usado para tal fim é aquele que mede a concentração em torno de sua média, e as medidas mais usadas são a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação.
1) Amplitude: é a diferença entre o maior valor e o menor valor.
Exemplo: dados os conjuntos:
A: 4 m; 6 m; 4 m; 6 m; 5 m; 5 m.		B: 9 m; 1 m; 5 m; 5 m; 1 m; 9 m.
A amplitude para o conjunto A é: 6 – 4 = 2; e, para o conjunto B: 9 – 1 = 8.
A amplitude é bastante utilizada porque é fácil de ser entendida e de ser calculada. No caso deste exemplo, é fácil verificar que os conjuntos A e B têm a mesma média, a mesma mediana e a mesma moda, ou seja, a mesma tendência central. No entanto, B tem maior amplitude que A. Esta informação mostra que os dados do conjunto B têm maior dispersão ou variabilidade que os dados do conjunto A. Mas, a amplitude não mede bem a variabilidade dos grandes conjuntos de dados. 
2) Variância: é a soma dos quadrados dos desvios de cada observação em relação à média dividida por 
. Quando alguém fala em variância, tanto pode estar se referindo a variância de uma amostra quanto à variância de uma população. Aquela é indicada por 
 e esta é indicada por 
 (lê-se sigma ao quadrado), que na prática é desconhecida.
 
Desenvolvendo-se algebricamente a equação acima, obtém-se uma segunda fórmula que permite calcular a variância com um número menor de operações matemáticas. Então, prefere-se esta segunda fórmula, caso os cálculos sejam feitos à mão. 
Exemplo: Calcular-se-á a variância dos dados do conjunto A, usando-se a segunda fórmula. Deve-se calcular:
	
	
	4
	16
	6
	36
	4
	16
	6
	36
	5
	25
	5
	25
	30
	154
 Tabela 7: Distribuição de Frequência. Fonte: Própria.
Agora se obtém:
 m2.
Como medida de dispersão, a variância tem a desvantagem de apresentar unidade de medida igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Nota-se no exemplo que os dados estão em metros e a variância está em metros quadrados. Isto acontece porque esta é obtida a partir da soma de quadrados dos desvios. Foi então proposta uma medida de dispersão associada à variância, mas com a mesma unidade de medida dos dados: o desvio-padrão.
3) Desvio-padrão: é uma medida de dispersão muito usada porque mede bem a dispersão dos dados, isto é, aumenta quando a dispersão aumenta e, evidentemente, diminui quando a dispersão diminui. As fórmulas para o desvio-padrão são:
Exemplo: Calculando o desvio-padrão de dois conjuntos A e B e do conjunto C: 9 m; 1 m; 1 m; 2 m; 8 m; 9 m, obtemos os seguintes resultados,
Para A: 
 m.
Para B: 
 m.
Para C: 
 m.
Dos resultados acima, é importante notar que:
a) Os dados do conjunto A têm a menor dispersão e o menor desvio-padrão.
b) Os dados do conjunto B têm dispersão maior que os dados do conjunto A; o desvio-padrão de B é maior que o desvio-padrão de A.
c) Os dados do conjunto C têm a maior dispersão e o maior desvio-padrão.
4) Coeficiente de variação: é o quociente entre o desvio-padrão e a média aritmética do conjunto de dados.
Exemplo: Em uma empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00, com desvio-padrão de R$ 1.500,00; e o das mulheres é em média de R$ 3.000,00, com desvio-padrão de R$ 1.200,00. Então:
Para os homens 
Para as mulheres 
Logo, podemos concluir que os salários das mulheres apresentam maior dispersão relativa que os salários dos homens.
Lista de Exercícios
Os tempos de espera, em minutos, para download de arquivos pela internet por um usuário em seu ambiente de trabalho, durante 12 dias, são dados a seguir: 
	15
	8
	2
	7
	10
	2
	3
	6
	5
	14
	2
	9
Calcule:
Média 
Mediana
Moda
Amplitude
Variância
Desvio-padrão
A amostra abaixo representa o tempo, em horas, durante 14 dias, do banho de ácido nas placas supercondutoras dos tubos de raios catódicos (cinescópio) de televisões:
	2
	4
	1
	3
	2
	1
	2
	1
	3
	3
	5
	1
	3
	3
Calcule:
Média
Mediana
Amplitude
Desvio-padrão
Testes de resistência aplicados a dois diferentes tipos de metais para fabricação de computadores obtiveram os seguintes resultados:
Tipo I: 
= 27,45 kg / mm2 e s = 2,0 kg / mm2
Tipo II: 
= 147 kg / mm2 e s = 17,25 kg / mm2
 Calcule o coeficiente de variação. Em sua opinião, qual tipo se apresenta mais estável?
A TEORIA BÁSICA DO CEP
A teoria básica do CEP diz que inevitavelmente existirão variações de amostra de um produto para outro, visto que não existem dois produtos ou duas características exatamente iguais. As diferenças sempre existem, embora, às vezes, não possam ser medidas. As causas das variações no processo podem ser divididas em dois grandes grupos: 
Causas comuns: são aquelas variações inerentes a um processo que se encontra sob controle estatístico, podendo ser de difícil identificação, porém fazem parte de um sistema constante de variação. Nestes casos de variações, não é conveniente, técnica e economicamente, eliminar as causas de imediato. 
Causas especiais: são aquelas cujas fontes de variações são relativamente grandes, sendo, porém, identificáveis, ocorrendo fora do sistema constante de variação. 
O processo é dito estável quando apenas causas comuns o afetam, ou seja, as variações são inerentes a ele. 
Segundo Grant e Leavenworth (1980), "as variações quando são maiores, como as que acontecem em curto prazo, e outras que só aparecem em um tempo longo, devem acontecer devido às causas especiais e devem ser corrigidas". O CEP é baseado em amostras dos produtos e no banco de dados resultantes das medições. Os gráficos são feitos em função dos bancos de dados para ajudar na análise. A chave para a operação dos cálculos e gráficos no CEP é a premissa de que as variações inerentes ao processo, que afetam todas as medidas, serão estáveis com o passar do tempo. 
GRÁFICOS DE CONTROLE
Os gráficos de controle definem limites, garantidores de que a variabilidade do processo se manterá sob controle. Estes limites são definidos pelo valor três desvios-padrão (±3σ). Qualquer ponto do gráfico que fique fora destes limites é considerado decorrente de uma causa especial que deve ser identificada e, caso seja fonte de problema, combatida.
Quando é fabricado um produto (bem ou serviço), as características deste apresentarão uma variabilidade inevitável, devida à variação sofrida pelos fatores que compõem o processo produtivo. Estas variações podem resultar da diferença entre máquinas, mudanças nas condições ambientais, variação entre lotes de matérias-primas, diferença entre fornecedores, entre outras. Apesar de um esforço considerável ser especificamente direcionado para controlar a variabilidade em cada um desses fatores, existirá sempre a variabilidade do produto acabado de cada processo de uma empresa. Portanto, é importante que esta variabilidade também seja controlada, para que possam ser fabricados produtos de boa qualidade.
É importante verificar a estabilidade do processo, já que processos instáveis provavelmente irão resultar em produtos defeituosos, perda de produção, baixa qualidade e, de modo geral, em perda da confiança por parte do cliente.
Cartas por atributos 
Atributos: são dados quesó podem ser contados ou classificados, tais como, passa/não passa, claro/escuro, com trinca/sem trinca etc.
Análise dos gráficos de controle: existem dois tipos de causas para a variação na qualidade dos produtos resultante de um processo:
1) Causas comuns ou aleatórias: a variação provocada por causas comuns, também conhecida como variabilidade natural do processo, é inerente ao processo considerado e estará presente mesmo que todas as operações sejam executadas empregando métodos padronizados. Quando apenas as causas comuns estão atuando em um processo, a quantidade de variabilidade se mantém em uma faixa estável, conhecida como faixa característica do processo. Neste caso, diz-se que o processo está sob controle estatístico, apresentando um comportamento estável e previsível.
2) Causas especiais ou fatores particulares de processo: surgem esporadicamente, devido a uma situação particular que faz com que o processo se comporte de um modo completamente diferente do usual, o que pode resultar em um deslocamento de seu nível de qualidade. Quando um processo está operando sob a atuação de causas especiais de variação, diz-se que ele está fora de controle estatístico e, neste caso, sua variabilidade geralmente é bem maior do que a variabilidade natural.
 As causas especiais de variação devem ser, de modo geral, localizadas e eliminadas, e, além disso, devem ser adotadas medidas para evitar sua reincidência. Alguns exemplos de causas especiais de variação são a admissão de um novo operador, a utilização de um novo tipo de matéria-prima e o descumprimento de padrões operacionais.
Gráficos de controle por variáveis
São utilizados quando as amostras podem ser representadas por unidades quantitativas de medida (peso, altura, comprimento etc.).
Os gráficos de controle por variáveis podem ser:
( e R): são os gráficos da média e da amplitude. São os mais usados. Os gráficos de e R se complementam, devendo ser implementados simultaneamente. O gráfico objetiva controlar a variabilidade no nível médio do processo e qualquer mudança que ocorra nele. É muito importante também verificar a dispersão de um processo que pode sofrer alterações devido às causas comuns. Este aumento da variabilidade será detectado pelo gráfico R das amplitudes.
( e R): são os gráficos da mediana e da amplitude. Em algumas circunstâncias o gráfico é substituído pelo gráfico de ou gráfico das medianas. Assim como o gráfico de , o gráfico das medianas deve ser aplicado juntamente com o gráfico de R para as amplitudes. O gráfico ( e R) é uma alternativa ao gráfico de e R. Por sua facilidade de aplicação, pode ser usado para amostras pequenas (n = 5), mas não recomendado para amostras grandes (n = 7), pois é ineficiente e apresenta risco de erro no cálculo das medianas amostrais. 
Construção dos gráficos de controle
Independentemente do tipo de gráfico que será utilizado, é necessário seguir etapas preparatórias para a sua aplicação, que são:
1. Conscientização e treinamento das pessoas envolvidas no processo.
2. Definição do processo e sua interação com as demais operações.
3. Escolha das características da qualidade a serem controladas.
4. Definição de um sistema de medidas para as características.
5. Escolha dos pontos do processo em que serão efetuadas as medidas.
Uma vez realizada a fase preparatória, a elaboração dos gráficos segue os seguintes passos:
1. Escolha do tipo de gráfico a ser utilizado
2. Coleta dos dados
3. Escolha dos limites de controle
4. Calculo da linha central e dos limites de controle
5. Observação do estado (estabilidade) do processo mediante interpretação dos gráficos
6. Determinação da capacidade do processo após ser atingido o estado de controle.
Interpretação dos gráficos
Figura 4: Interpretação dos gráficos.
Periodicidade
A periodicidade é uma configuração detectável em longo prazo. Os pontos são distribuídos no gráfico como uma curva que apresenta uma tendência alternada para cima e para baixo. Essa variação pode ser associada, por exemplo, à rotatividade de operadores, alterações sazonais de matéria-prima.
 Figura 5: Interpretação dos gráficos.
Mudança brusca ou queda de nível de controle
A mudança intencional ou não das condições operacionais do processo ou o uso repentino de uma matéria prima diferente ou até mesmo a troca de um operador que usa um método diferente, pode gerar uma diferença nos resultados.
 
Interpretação dos gráficos
Como prováveis causas, pode ocorrer o desgaste de ferramentas ou matrizes com o seu uso contínuo, mudanças graduais das condições ambientais, como: temperatura, umidade etc. e até mesmo mudanças graduais nos parâmetros do processo ou a deterioração contínua dos equipamentos.
 Figura 6: Interpretação dos gráficos.
Este problema ocorre através de uma mudança intencional ou não das condições operacionais do processo, podendo ser o uso de uma matéria prima de outro fornecedor ou a troca de pessoas da área que usam métodos diferentes. 
 Figura 7: Interpretação dos gráficos.
Esse problema pode ser decorrente da mão de obra sem experiência ou com treinamento insuficiente, ou a utilização de matéria prima com maior variação.
Também pode ocorrer o inverso, como por exemplo, a utilização de mão de obra mais experiente e / ou melhor treinada e a utilização de matéria-prima de melhor qualidade (menor variação). 
 ou
 Figuras 8 e 9: Interpretação dos Gráficos
Presença de pontos fora dos limites de controle
Indicação mais evidente da falta de controle de um processo. Exige investigação da causa da variação especial.
 Figura 10: Pontos isolados distantes da maioria dos dados
Proveniente de erro de cálculo, de medições ou da coleta dos dados, ou até mesmo de instrumentos de medição descalibrados, descontrole temporário dos parâmetros ou defeitos repentinos nos equipamentos, mas com rápida correção. 
Tendência
Uma tendência com mais de sete pontos consecutivos, é a indicação da falta de controle, podendo ser proveniente da inclusão de novos operadores, matérias-primas ou máquinas, ou dos padrões operacionais. 
Aproximação da linha média de controle
Indicação de que podem ter ocorridos erros nos cálculos dos limites de controle ou de que os subgrupos racionais (amostras) foram formados de maneira inadequada.
 Figura 11: Pontos muito próximos da média
COMO PREPARAR AS CARTAS DE CONTROLE 
 Figura 12: Modelo de cartas de variáveis
Vamos supor que sua empresa seja fabricante de café em pó. Será que todos os pacotes de 500 gramas pesam realmente 500 gramas?
Para verificar essa variação, tira-se uma mostra de N pacotes. Pesa-se cada pacote da amostra. Calcula-se a média dos pacotes, usando a seguinte fórmula:
Calcula-se a amplitude dos pesos dos pacotes.
A Amplitude é representada pela letra R, que significa range em inglês.
Retiram-se outras amostras até completar K amostras. Amostra 1, amostra 2, ..... amostra K.
Calcula-se a média e a amplitude de cada amostra, usando as fórmulas.
	Amostra 1
	Amostra 2
	-------------------
	Amostra K
	
X1
R1
	
X2
R2
	
-------------
--------------
	
XK
RK
Agora, é preciso observar este exemplo: são 6 (seis) amostras com 4 (quatro) dados cada uma.
	AMOSTRA
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	60
70
55
65
	50
60
70
60
	60
70
75
65
	60
50
55
55
	60
50
65
65
	50
65
65
70
	250
	240
	270
	220
	240
	250
A seguir, a média e a amplitude de cada uma das 6 (seis) amostras.
	
	AMOSTRA
	
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	
XR
	
62,5
15
	
60
20
	
67,5
15
	
55
10
	
60
15
	
62,5
20
Para se construir o gráfico de controle:
Traça-se o sistema de eixos cartesianos.
Nas abscissas, colocam-se os números das amostras.
Faz-se uma escala para as médias das ordenadas.
Marca-se um ponto para representar a média de cada amostra. Unem-se os pontos.
 5) Calcula-se a média das médias, usando a fórmula abaixo: 
• Colocam-se as médias das médias ( = 61,25) no gráfico. O traço é linha cheia.
Calculam-se os limites de controle:
Limite Superior de Controle
Limite Inferior de Controle
 é a média das amplitudes que é calculada da seguinte forma:
 = 15 + 20 + 15 + 10 + 15 + 20 = 15,83
 6
Para calcular o valor de A2, temos a seguinte tabela:
	N
	A2
	D3
	D4
	
2
3
4
5
6
7
8
9
10
	
1.880
1.023
0.729
0.577
0.483
0.419
0.373
0.337
0.308
	
0
0
0
0
0
0.076
0.136
0.184
0.223
	
3.268
2.574
2.282
2.114
2.004
1.924
1.864
1.816
1.777
Tabela 8: Valores de A2, D3 e D4, segundo o número (N) de elementos
Como X = 61,25; R = 15,83 e A2 = 0,729
LSC = 61,25 + 0,729 x 15,83 = 72,79
LIC = 61, 25 - 0,729 x 15,83 = 49,71
Coloque os limites de controle no gráfico (linhas tracejadas).
 
75—
--------------------------------------------------------- LSC = 72,79
65— 
 X = 61,25
55— 
---------------------------------------------------------- LIC = 49,71
45–
 0 1 2 3 4 5 6 
 N.º da Amostra 
 Figura 13: Gráfico da Média
1) Processo sob Controle
(Pontos dentro dos limites) 
2) Processo Fora de Controle (Pontos fora dos Limites)	
Como o gráfico é referente à média () e (R), vamos concluir então o gráfico /R:
Trace o sistema de eixos cartesianos; 
Nas abscissas, coloque os números das amostras. Faça uma escala para as amplitudes ordenadas;
Marque um ponto para apresentar a amplitude de cada amostra.
No gráfico, trace uma linha para representar a média das amplitudes.
Calcule os limites de controle, usando as fórmulas: LSC=Limite Superior de Controle. 
LSC = D4.
LIC = Limite Inferior de Controle
LIC = D3.
Como R=15,83; N= 4; D4=2,282; D3 = 0
LSC = 2,282 x 15,83 = 36.12
LIC = 0 x 15,83= 0
Como exercício, vamos traçar o gráfico (Amplitude).
Cartas de controle por atributos
Número de peças não conformes (n)
 a) Toma-se K amostras de tamanho n. Na prática, aconselha-se K = 20 ou 25. 
b) Calcula-se a proporção média de peças com defeitos;
 c) Calcule os limites de controle:
LSC = n + 3 
LIC = n - 3 
Partindo para um exemplo prático.
Exercício: número de peças não conformes em 8 amostras de 100 peças (n = 100)
	Amostra (K)
	Tamanho da amostra (n) 
	N.º de peças não conformes (D)
	1
2
3
4
5
6
7
8
	100
100
100
100
100
100
100
100
	 13
 6
 11
 9
 10
 12
 5
 8
 Figura 14: Cálculo do LSC e LIC da Carta 
Agora, como exercício, faça o gráfico. 
Figura 15: Carta n
Número de não conformidades por peça (gráfico de controle )
Toma-se um total de peças (K).
Calcula-se o número médio de conformidade por peça (n).
 Figuras 16 e 17: Fórmula e Cálculo do LSC e LIC da Carta 
Após a conclusão dos cálculos, tracem o gráfico.
 Figura 18: Cálculo da Carta . Fonte: Própria
1) Os limites de controle são calculados com os dados do próprio processo;
2) As especificação são dadas primeiramente;
3) Limite de controle é o que se consegue;
4) Especificação são as medidas ou cotas da peça ou do produto. 
NOTA: um processo pode estar sob controle, mas fora de especificação.
EXEMPLO:
 - Especificação: 495 - 505 
 - Limite de controle: 490 - 510 
Processo sob controle, mas fora de especificação:
 Figura 19: LSC e LIC (Especificação e Controle). Fonte: Própria
O processo está fora de controle, quando:
 1) Existem pontos fora dos limites de controle e se precisa reajustar o processo.
 
 	
 
 Figura 20: Pontos fora de Controle. Fonte: Própria
A seguir, observamos os pontos dentro dos limites de controle. Antes de descrever essas situações, é preciso dividir o gráfico de controle em zonas. 
O processo precisa reajuste, se ocorrer o seguinte: 
Dois ou três pontos sucessivos do mesmo lado, na Zona A ou além.
Quatro ou cinco pontos sucessivos do mesmo lado, na Zona B ou além.
Nove pontos sucessivos no mesmo lado (em cima ou em baixo).
Seis pontos, crescendo ou decrescendo.
Quatorze pontos em seguida, alterando subidas e descidas.
Quinze pontos dentro da zona C.
1. Os limites de controles são calculados pelo fabricante. As especificações do produto são fornecidas pelos clientes.
2. Processo sob controle não significa processo de acordo com as especificações.
3. É necessário manter os dados na ordem em que foram coletados.
4. Não interferir no processo enquanto se estiver coletando dados. 
Exercícios:
1) O diâmetro de um parafuso tem limites de especificações entre 20,2 a 20,6 mm. Verifique se o processo de produção está sob controle. 
	Dias
	2
	4
	5
	6
	8
	10
	
	20.1
20.7
20.2
20.3
20.1
	20.2
20.5
20.4
20.3
20.4
	20.3
20.2
20.5
20.6
20.7
	20.2
20.3
20.5
20.4
20.4
	20.3
20.2
20.1
20.3
20.3
	20.6
20.7
20.5
20.3
20.3
Uma máquina de embalagem está regulada para produzir pacotes com média de 250g. Para verificar se o peso médio embalado está sob controle, foram obtidas amostras de cinco pacotes em cinco dias. Faça o gráfico de controle.
	Sem 
	2a
	3a
	4a
	5a 
	6a
	
	252
251
252
247
251
	250
252
251
249
250
	248
249
250
251
250
	250
250
249
249
248
	251
250
249
248
248
3) O diâmetro de um parafuso tem limites de especificações entre 24,1 a 25,3 mm. Verifique se o processo de produção está sob controle. 
	AMOSTRA
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	
	
25.1
24.7
24.2
25.3
24.1
	
25.2
24.5
25.4
24.3
24.4
	
25.3
25.2
24.5
24.6
24.7
	
25.2
25.3
25.5
24.4
25.4
	
25.3
25.2
25.1
24.3
25.3
	
24.6
24.7
24.5
25.3
25.3
Calcule:
a) Média de Cada Amostra
b) Moda de cada Amostra
c) Mediana de Cada Amostra
d) Amplitude de Cada Amostra
e) Faça o Gráfico das Médias (X barra, barra)
f) Faça o Gráfico das Amplitudes (R barra). 
AS VANTAGENS DO CEP
- Melhoria da qualidade.
- Melhor identificação do processo que necessita de melhorias.
- Aumento da quantidade de produtos produzidos sob condições ótimas de produção.
- Redução do custo por unidade, por nível de defeitos, por nível de refugos e retrabalho.
- Economia de materiais.
- Redução de gargalos de produção, de atrasos na entrega.
- Redução no número de reclamações dos consumidores.
O que geralmente se verifica nas empresas é que na etapa de implantação das ferramentas do CEP, há redução dos custos com melhoria da qualidade.
AS DESVANTAGENS DO CEP
A principal crítica que se faz à implantação do CEP nos sistemas produtivos é o seu custo de implantação.
As causas de insucesso estão ligadas basicamente à execução de formaineficiente ou incompleta das etapas.
CAPABILIDADE DE PROCESSO 
As cartas de controle constituem ferramentas utilizadas para a avaliação da estabilidade do processo. No entanto, é possível que mesmo um processo com variabilidade controlada e previsível produza itens defeituosos. Logo, não é suficiente simplesmente colocar e manter as especificações estabelecidas a partir dos desejos e necessidade dos clientes. 
A capacidade do processo é definida a partir da faixa µ±3σ, a qual é denominada faixa característica do processo. Se o processo estiver sob controle e se for verdadeira a suposição de normalidade, 99,73% das observações da variável de X de interesse devem pertencer a esta faixa. Para estudar a capacidade do processo, deve-se, então, comparar esta faixa com as especificações. 
Índice de capacidade 
Os índices de capacidade processam as informações de forma que seja possível avaliar se um processo é capaz de gerar produtos que atendam às especificações provenientes de clientes internos e externos. 
Para utilizar os índices de capacidade, é necessário que o processo esteja sob controle estatístico e a variável de interesse tenha distribuição próxima da normal.
Existem diversas técnicas para a análise de processos, dentre elas, vamos estudar o CP e o CPK. 
Índice CP: é conveniente pensar em CP como uma medida de Capacidade Potencial, isto é, a capacidade de um processo centrado no valor nominal. 
CP e CPK: índices de capacidade do processo
O estudo de capabilidade dos processos responde à pergunta: "meu processo é bom o bastante?" Isto é completamente diferente da pergunta respondida por uma carta de controle: "meu processo tem mudado?". 
Observações:
Para realizar um estudo de capabilidade, é necessário que o processo esteja sob controle estatístico. 
Certamente o uso de uma carta de controle para estabelecer se um processo é estável precede o estudo da capabilidade, para ver se os itens produzidos pelo processo são bons o bastante. 
Dois índices são gerados por um estudo de capabilidade: CP e CPK, que são índices de capacidade do processo. Mas qual a utilidade dos índices de capacidade do processo? O cálculo dos índices de capacidade leva em conta o desvio-padrão, que pode ser calculado ou estimado.
 9.3 Capabilidade de Processo (CP)
Índice mais simples, considerado como a taxa de tolerância à variação do processo.
Desconsidera a centralização do processo. 
Não é sensível aos deslocamentos (causas especiais) dos dados.
Quanto maior o índice, menos provável que o processo esteja fora das especificações.
Um processo com uma curva estreita (um CP elevado) pode não estar de acordo com as necessidades do cliente se não for centrado dentro das especificações.
 9.4 Cálculo do índice 
Os índices de capacidade do processo utilizam o desvio-padrão estimado.
Considerando os dados utilizados abaixo, temos:
LSE (Limite Superior de Especificação) = 2.5
LIE (Limite Inferior de Especificação) = 0.05
(desvio-padrão estimado) = 0.5385 
A fórmula do índice CP é dada por:     
	Na fórmula, percebemos, que este índice desconsidera a média do processo, retratando apenas sua variação. 
O cálculo deste índice em nosso exemplo é dado por: 
Avaliação do cálculo do índice
Processo incapaz: CP < 1 
Processo aceitável: 1 ≤ CP ≤ 1,33 
Processo capaz: CP ≥ 1,33 
9.5 CPK 
 Considera a centralização do processo; 
É o ajuste do índice CP para uma distribuição não centrada entre os limites de especificação.
É sensível aos deslocamentos (causas especiais) dos dados; 
9.6 Cálculo do índice 
Os índices de capacidade do processo utilizam o desvio padrão estimado.
Considerando os dados utilizados, temos:
LSE (Limite Superior de Especificação) = 2.5
LIE (Limite Inferior de Especificação) = 0.05
(média do processo) = 1.025
(desvio-padrão estimado) = 0.5385 
A fórmula do índice Cpk é dada por:      
O cálculo deste índice em nosso exemplo é dado por: 
Avaliação do cálculo do índice 
Processo incapaz: CPK < 1 
Processo aceitável: 1 ≤ CPK ≤ 1,33 
Processo capaz: CPK ≥ 1,33 
Agora que já se observou como calcular os índices, é necessário ver em gráficos quais os seus significados. 
Sabe-se que quanto mais estreita a curva da distribuição, menor a variação e maiores os valores dos índices CP e CPK. Sabe-se, ainda, que quanto maior o valor de CP e CPK, melhor é o status do processo. 
Considerando essa afirmação, vamos entender em quais ocasiões temos valores altos e valores baixos para esses dois índices.
 
CP baixo 
Causa: variação maior que a faixa dos limites de especificação
CPK baixo 
Causa: a distribuição está centrada, mas há uma variação maior que a faixa dos limites de especificação.
Processo: incapaz 
CP bom
Causa: variação menor que a faixa dos limites de especificação
CPK bom 
Causa: a distribuição está centrada e há uma variação menor que a faixa dos limites de especificação.
Processo: satisfatório 
CP alto 
Causa: baixa variação em relação à faixa dos limites de especificação
CPK alto 
Causa: a distribuição está centrada e há uma baixa variação em relação à faixa dos limites de especificação.
Processo: capaz 
Nos três exemplos anteriores, os índices CP e CPK receberam os mesmos conceitos, mas nem sempre isso ocorre. 
Nota-se no próximo exemplo, que há um processo com uma variação bem pequena, gerando um CP ótimo. Também poderia gerar um CPK com valor alto, porém a distribuição não está centrada entre os limites da especificação. 
CP alto 
Causa: baixa variação em relação à faixa dos limites de especificação
CPK baixo 
Causa: há uma baixa variação em relação à faixa dos limites de especificação, mas a distribuição não está centrada.
Processo: incapaz 
Pelo exemplo anterior, é possível afirmar que, para ser capaz, um processo necessita de centralização entre os limites de especificação e baixa variação. 
Mas, que índice devemos utilizar? 
	Índice
	Uso
	Definição
	CP
	O processo está centrado entre os limites de especificação
	Taxa de tolerância (a largura dos limites de especificação) à variação atual (tolerância do processo)
	CPK
	O processo não está centrado entre os limites de especificação, mas cai sobre ou entre eles.
	Taxa de tolerância (a largura dos limites de especificação) à variação atual, considerando a média do processo relativa ao ponto médio das especificações.
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REFERÊNCIAS
CONTADOR, José Celso. et al. Gestão de Operações: A Engenharia de Produção a Serviço da Modernização da Empresa. 5ª ed. Ed. Bluncher, 2005.
MIGUEL, Paulo Augusto Cauchick. Qualidade: Enfoques e Ferramentas. Artliber Editora, 2001.
MONTGOMERY, Douglas C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 4 Editora Livros Técnicos e Científicos Ltda, 2001.
R = maior valor - menor valor
NOTA: Na prática, recomendam-se 20 ou 25 amostras (K=20 ou 25), com 4 ou 5 observações cada uma (n = 4 ou 5).
� QUOTE � ��� = R1 + R2 + ................. RK
K
Média
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Tabela 9: Nº de Peças Não conformes. Fonte: Própria
IMPORTANTE:
 QUATRO DICAS IMPORTANTES
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