Apostila - Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade - 1º Módulo

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Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
1
Controle Estatístico da
Qualidade e Auditorais da Qualidade
Professor Dr. Reinaldo Azevedo Vargas
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
2
Introdução 3
Breve histórico e objetivos 3
Conceitos iniciais 4
A estatística descritiva 6
O que é estatística? 6
Estatística descritiva e indutiva 6
Organização dos Dados Numéricos 8
Variável discreta 8
Variável contínua 9
Distribuição de Frequências 13
Frequência relativa 13
Frequência acumulada 14
Frequência acumulada relativa 14
Medidas de Tendência Central 16
Medidas de Dispersão ou Variabilidade 18
Gráficos: Diagrama das Medianas e Histograma 22
Gráficos de Controle 24
O gráfico das médias 25
O gráfico da variabilidade 27
O gráfico Xiindividual e amplitude móvel 28
O gráfico do tipo p 30
Gráficos para defeitos 33
Gráficos dos deméritos 34
O gráfico de controle certo para cada situação 36
Aproveitando ao Máximo os Gráficos de Controle 36
A ISO 9001-2000 e o Controle Estatístico do Processo 38
Auditorias da Qualidade 40
Referências 42
Sumário
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
3
introdução
Para iniciarmos o curso, precisamos definir intuitivamente 
o conceito de qualidade. Entretanto, este pode ser definido 
de várias maneiras, dependendo dos propósitos de cada 
análise, como por exemplo, “adequação ao uso” (1) ou 
como “grau de excelência a um preço aceitável” (2), entre 
outros. Neste texto, foi enfatizado como as características 
mais importantes do produto ou do processo devem ser 
definidas concretamente e mensuradas como tamanho ou 
peso ou algum outro índice considerado de desempenho, 
ou simplesmente contadas como o número de defeitos 
numa peça (numero de peças defeituosas) ou em 
determinada operação.
A suposição básica é que a qualidade será assegurada 
principalmente com a minimização da variabilidade das 
características importantes. Como Crosby(3) sempre 
enfatizava, “qualidade é a conformidade às especificações”, 
e conformidade neste texto significa fazer corretamente 
repetidas vezes as tarefas necessárias, utilizando material 
de qualidade consistente para conseguir resultados do 
processo de produção que refletem o desejo e o interesse 
do consumidor.
Breve histórico e objetivos
O conceito de aplicar algumas ferramentas estatísticas 
para melhorar a qualidade começou com Walter 
Shewhart(4), que colocou pela primeira vez em prática nas 
fábricas, alguns conceitos básicos da Estatística e também 
da Metodologia Científica na década de 1930 nos Estados 
Unidos da América (EUA). Ele foi o pioneiro da área de 
Controle Estatístico de Processo (CEP). Atualmente, 
não existe fábrica no mundo que não aplica pelo menos 
algumas ferramentas básicas e mais simples de CEP com a 
finalidade de melhorar os processos industriais. O objetivo 
principal neste curso é de apresentar uma introdução ao 
assunto destas ferramentas, esclarecendo alguns pontos 
teóricos e indicando como a sua utilização pode melhorar os 
processos da fábrica continuamente no sentido de reduzir 
custos e elaborar um produto com melhor qualidade.
A percepção extraordinária do Shewhart é de que a 
qualidade e a variabilidade são conceitos antagônicos no 
sentido de que onde tem muito de um terá necessariamente 
pouco do outro. Esta ideia funciona tanto para um processo 
quanto para um produto. Uma tarefa dentro de um processo 
que leva um período de tempo irregular para completar 
pode causar tanta confusão na linha de produção como, 
por exemplo, a irregularidade das medidas de uma peça, 
uma hora saindo grande demais e outra hora pequena 
demais. Foi assim que Shewhart entendeu que medindo, 
analisando e monitorando a questão da variabilidade das 
informações, seria necessário entender a estatística, e 
que, através de aplicações desta ciência nas fábricas, os 
processos e produtos poderiam chegar a melhores níveis 
de qualidade. Para alcançar este objetivo, do ponto de 
vista da estatística, isso simplesmente significa menor 
variabilidade nas medidas do processo e do produto e mais 
exatidão em alcançar metas e alvos.
Em seguida, Shewhart também propôs a aplicação da 
Metodologia Cientifica na linha de produção. Simplificando 
a terminologia, ele sugeriu que a metodologia poderia ser 
conceituada em quatro fases: (fase 1) - identificação da 
problemática e o planejamento de experimentos, (fase 2) 
- experimentação em si, (fase 3) - análise dos resultados 
dos experimentos e, finalmente, (fase 4) - reação do 
gerente para melhorar o processo(4).
As ferramentas do CEP apresentados neste texto estão 
inseridas também nas quatro fases: (fase 1) - identificação 
de pontos críticos na linha de produção e a escolha da 
ferramenta adequada e mais relevante para aplicar no 
ponto crítico, (fase 2) - aplicação da ferramenta na linha 
de produção, (fase 3) - análise dos dados e (fase 4) - 
reação do gerente para melhorar o processo. É importante 
enfatizar que a busca por qualidade não termina nunca, 
e consequentemente na realidade as quatro fases 
nunca terminam, mas sim, continuam como um ciclo 
permanente(1-4).
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
4
Conceitos iniciais
A ideia principal do CEP é que melhores processos 
de produção com menos variabilidade propiciam níveis 
melhores de qualidade nos resultados da produção. 
E surpreendentemente quando se fala em melhores 
processos, isso significa não somente qualidade melhor, 
mas também custos menores. Os custos diminuem 
principalmente em função de duas razões: a inspeção por 
amostragem e a redução dos rejeitos(5).
Um dos pilares dos estudos que envolvem os conceitos 
da Estatística é a amostragem. Populações (na fábrica, o 
engenheiro utiliza a palavra “lotes”) em geral são grandes 
demais para ser analisadas em grandes detalhes item por 
item. Em muitos casos a inspeção a 100% é uma regra 
da fábrica, mas na realidade este procedimento não 
funciona adequadamente. Imagine o operador que possui 
a responsabilidade de verificar o nível de preenchimento 
de um lote de garrafas de cerveja. O lote contém 50.000 
unidades. Depois de inspecionar apenas 100 garrafas, é 
muito provável que o operador já não está mais pensando 
em níveis de preenchimento, mas sim no próximo jogo 
do seu time de futebol, na próxima oportunidade de 
tomar uma cerveja, ou na próxima namorada. No final, 
inspeção a 100% tem custos elevados e resultados 
péssimos. A seleção de amostras de tamanho muito menor 
que a população enxuga os custos e paradoxalmente 
acaba representando melhor as características daquela 
população. A amostragem também é necessária quando 
a inspeção necessita da destruição do item amostrado 
(ensaio destrutivo). Neste caso poucos itens vão para 
o laboratório para sofrer a verificação dos técnicos. No 
próximo capítulo serão discutidos esses conceitos para o 
entendimento das ferramentas que serão utilizadas (5).
Uma segunda razão pela qual a aplicação de CEP 
impulsiona os custos para baixo é que o número e 
percentagem de peças defeituosas produzidas na fábrica 
vão diminuir com as melhorias na linha de produção. 
Portanto, com menos refugo e menos retrabalho o custo 
por peça produzida vai diminuir. Enfatiza-se que existe 
somente uma razão para utilizar CEP na fábrica, a saber, 
aumentar o resultado financeiro da empresa, se possível 
no curto prazo, mas também, e talvez mais importante, 
no longo prazo. No entanto, CEP não é nenhum milagre e 
consequentemente deve ser abordado na empresa como 
qualquer projeto de investimento nos quais os custos são 
contabilizados e os benefícios previstos e medidos(5,6).
É muito comum nas fábricas que processos industriais 
não são otimizados no sentido de ser caracterizados por 
altos níveis de eficiência, no entanto, dentro do CEP 
existem ferramentas para monitorar o processo e, portanto, 
melhorá-lo. O monitoramentotem como requisitos 
amostragem feita periodicamente, e tamanho da amostra 
adequado. Este assunto será abordado no capítulo que 
contém os denominados gráficos de controle (5).
A ideia de controlar um processo é totalmente 
diferente da ideia de inspecionar peças para identificar as 
que são consideradas “não conformes”, embora os dois 
procedimentos utilizem em parte as mesmas ferramentas 
estatísticas. A inspeção de peças individuais tem como 
objetivo a eliminação de peças de baixa qualidade que 
não alcançam as expectativas do consumidor e não devem 
ser colocadas no mercado. Com constante inspeção 
do produto ao longo da linha de produção, a empresa 
pode identificar o produto que precisa ser melhorado ou 
até mesmo rejeição total. Neste caso, a fábrica estará 
gastando desnecessariamente para corrigir erros os quais, 
numa fábrica melhor organizada, não aconteceriam com 
tanta frequência. Em uma fábrica considerada melhor, foi 
feita a coisa certa desde a primeira vez e, em uma fábrica 
realmente eficiente, não se exige inspeção a toda hora 
porque possui confiança que o produto já está saindo 
dentro das especificações. É muito comum na indústria 
que a fabricação de peças não conformes ocorra porque os 
processos da empresa são instáveis (irregulares) no ponto 
de proporcionar produto fora das especificações (6,7).
Em outras palavras, a fábrica não está controlando 
o processo para melhorar constantemente a qualidade 
do produto. Para estabilizar os processos da empresa 
utilizam-se as ferramentas do CEP necessitando apenas de 
pequenas amostras sempre muito menores que os lotes. 
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
5
Assim, as investigações do gerente estarão em direção 
das grandes causas atrás das grandes irregularidades 
da linha de produção. Cada vez que uma nova causa é 
identificada e documentada para análise e, portanto, 
eliminação, o processo de produção é estabilizado e a 
qualidade garantida e/ou melhorada(6,7). As causas são 
divididas em três grupos básicos(7):
Causas especiais - Uma causa especial é assinalável e 
em geral é única, no entanto suficientemente grande para 
produzir perturbações fortes no processo. É um evento que 
ocorre uma vez ou ocasionalmente e é imprevisível. Estas 
causas têm que ser eliminadas ou, se por alguma razão 
não são elimináveis, então sua influência pode ser reduzida 
por ações consideradas compensatórias. Exemplos de 
causas especiais são: trovoada e relâmpago, vento de uma 
janela deixada aberta, funcionário intoxicado, treinamento 
onde faltou um ensinamento importante, uma substância 
estranha na matéria prima, um atraso na chegado dos 
funcionários porque o ônibus quebrou, entre outros.
Causas estruturais - Como a causa especial, a 
estrutural é também eliminável ou compensável, mas a 
diferença é que esta causa ocorre periodicamente. Quando 
o período entre ocorrências é relativamente grande, a 
causa estrutural se confunde com uma causa especial, 
mas se o gerente for atento, ele vai acabar percebendo 
sua natureza repetitiva. Para entender melhor o conceito, 
um exemplo simples é apresentado em seguida. Um 
gerente já entendeu que para algumas segundas-feiras 
(não todas), a produtividade da fábrica é sofrível. Então 
ele mandou avisar que a ocorrência de preguiça na 
fábrica não seria mais tolerada. Infelizmente, o tal evento 
preguiça continuou e até mesmo após várias advertências. 
O gerente notou que a sua própria produtividade nestas 
segundas-feiras também foi muito baixa. Às vezes é 
necessário procurar as causas às quais causam as causas 
estruturais. O problema é que foram segundas-feiras que 
caem depois do grande clássico de domingo na capital. 
Em termos de produtividade, este tipo de segunda-feira 
é intrinsecamente um dia diferente que todas as outras, 
independentemente de quem ganha ou quem perde o 
jogo. Resultado: hoje em dia há um consenso na fábrica 
de que, embora o atraso não seja tolerado, segunda-feira 
de manhã depois do clássico é um período na fábrica que 
exige uma gerência diferenciada com mais café, sucos de 
vários tipos e dois ou três períodos curtos de exercícios e 
alongamento. A causa estrutural assim não é eliminada 
porque a tradição do futebol no Brasil dificilmente 
irá desaparecer, mas é compensada por normas de 
gerenciamento mais sensatas.
Causas comuns - Estas causas são relativamente 
pequenas, mas ocorrem quase sempre e em grande 
número. É o acúmulo destas causas num certo período 
de tempo que gera a existência da variável aleatória. 
Por que uma simples jogada de uma moeda homogênea 
(considerada justa em ambas as faces) pode às vezes cair 
cara ou coroa? A realidade é que tantas coisas podem 
afetar a jogada de uma moeda, e cada uma é tão pequena, 
que uma análise cientifica deste resultado é praticamente 
impossível. As ferramentas de CEP não são apropriadas em 
geral na análise e eliminação de causas comuns. E embora 
as causas comuns possam ser reduzidas, elas sempre vão 
existir, enquanto que a natureza na sua totalidade possui 
uma diversidade tão grande e tão incompreensível pelo ser 
humano. A redução destas causas vem apenas com muito 
sacrifício em tempo e recursos. Para diminuir irregularidades 
das causas comuns é necessário investimentos em novas 
e melhores máquinas, melhor matéria prima, treinamento 
intensivo, um ambiente de trabalho mais confortável, 
entre outros. Neste caso qualidade e custo andam juntos. 
Assim, é fácil entender por que o carro popular custa 
barato e o carro de famosos jogadores de futebol custa 
cem vezes mais. Exemplos de causas comuns são: uma 
fábrica no sertão do Ceará sem ar condicionado; matéria 
prima de baixa qualidade, mas de baixo preço; gerente 
de produção sem nenhum estudo na área de produção; 
maquinaria velha; a combinação errada de ingredientes 
num processo químico; entre outras.
Com estes conceitos básicos do CEP, serão introduzidas 
algumas ferramentas simples para melhorar a qualidade 
que se encontra em utilização generalizada na manufatura 
e em algumas instancias da administração.
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
6
A eStAtíStiCA deSCritivA
Quando o gerente de produção mede e analisa 
uma característica, por exemplo, da linha de produção, 
uma característica física do produto ou uma medida do 
desempenho do processo, ele tem em mente a melhoria do 
processo. Ele vê uma combinação dos insumos do processo, 
a atuação dos operadores juntos com a combinação dos 
insumos e as atividades das máquinas, e finalmente o 
produto final. A visão do gerente é de aspectos concretos 
da sua linha de produção e em termos sistêmicos(8). O 
Estatístico por outro lado vai ver este mesmo processo 
como algo mais abstrato, como um gerador de números. O 
profissional vai ver se os números gerados são centrados e 
simétricos ao redor de uma tendência central, se existir ou 
não alguns dados muito discrepantes dos outros, se tiver 
ou não relações entre variáveis(6,8).
É fácil ver que o gerente trabalhando sem a ajuda do 
Estatístico não vai captar todas as informações disponíveis 
nos dados, e o Estatístico sozinho não vai saber onde ele 
deve concentrar seus esforços para melhorar o processo. 
Portanto, o Gerente de Produção e o Estatístico têm muito 
para ganhar trabalhando em conjunto(7).
o que é estatística?
No início de estudo de uma disciplina ou de um curso é 
costume definir ou tentar definir uma definição da disciplina 
ou curso que se vai apresentar ou que é essencial para o 
completo entendimento de uma disciplina mais específica 
e direcionada, como é o caso da disciplina Estatística com 
a disciplina Controle Estatístico do Processo de Qualidade.
Assim, para Kachigan(8) a estatística é a ciência que 
consiste na “recolha, organização e interpretação de 
dados de acordo com procedimentos bem definidos”. 
Outro importante autor da área, Murtera(9)também 
discutiu algumas ideias no mesmo sentido: “A estatística é 
um repositório de instrumentos adequados para recolher, 
explorar e descrever, ou seja, interpretar conjuntos de 
dados numéricos”.
A análise de qualquer uma destas duas definições revela 
que na base da Estatística está um conjunto de dados 
sendo esta constituída pelos métodos que são utilizados 
para recolhê-los, organizar, descrever e interpretar, 
além de auxiliar para uma tomada de decisão (8,9).
A estatística é, portanto, um conjunto de 
métodos adequados para recolher, organizar e 
explorar, descrever e interpretar conjuntos de 
dados numéricos (5).
Para melhor se compreender a natureza desta 
disciplina, mas também o que se entende por dados, os 
próximos capítulos se referem às principais fases para a 
compreensão do processo da análise estatística.
estatística descritiva e indutiva
A Estatística Descritiva reúne um conjunto de 
técnicas para sumarizar os dados (tabelas e gráficos) 
e medidas descritivas que permitem tirar inúmeras 
informações contidas nos dados numéricos que foram 
coletados.
A Estatística indutiva (ou Estatística Inferencial) 
produz informações sobre uma dada característica da 
população, de interesse, a partir de informações colhidas 
de uma parte dessa população(5,6).
Em ambos os casos, a finalidade da pesquisa é coletar 
dados para obter informações que podem ser de extrema 
valia para a tomada de uma decisão(5,9).
É importante saber que dos dados numéricos utilizados 
na estatística são decorrentes de uma pesquisa ou 
observações de uma ou mais variáveis. Por sua vez, 
variável é tudo aquilo que se deseja pesquisar ou observar 
para se tirar algum tipo de conclusão, por exemplo, idade, 
sexo, peso, salário, quantidade de defeitos, entre outras. 
Os dados usualmente provem de uma amostra, a qual 
representa uma população de interesse(5).
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
7
O conceito de população pode ser definido como o 
conjunto de indivíduos (ou objetos) que apresentam pelo 
menos uma característica em comum, cujo comportamento 
deseja-se analisar ou inferir. Para entender o que significa 
amostra, basta saber que é uma parte da população, ou 
seja, um subconjunto (5,6).
Mas qual o papel da estatística na ciência ou para 
a empresa? O principal propósito da investigação é 
responder a uma questão científica ou de interesse da 
empresa. Na ciência, são realizados estudos experimentais 
ou observacionais, levando a coleta de dados numéricos. O 
padrão de variação entre os dados faz com que a resposta 
não seja óbvia, tornando o conhecimento da estatística 
essencial para a validação do resultado.
Existem basicamente dois tipos diferentes de pesquisas 
e que os conceitos podem ser estendidos para diversas 
aplicações. A primeira é conhecida como pesquisa de 
levantamento e corresponde quando a característica de 
interesse de uma população é levantada (observada ou 
medida), mas sem a manipulação dos dados coletados. 
A segunda é conhecida como pesquisa experimental 
e corresponde ao tipo de pesquisa realizada quando 
a característica de grupos de indivíduos (por exemplo 
animais ou objetos) é levantada e depois manipulados para 
se avaliar o efeito de diferentes tratamentos dos dados 
coletados. De qualquer forma, uma pesquisa deve conter 
as fases: (1) definição do problema; (2) planejamento; (3) 
coleta dos dados; (4) apuração; (5) apresentação e (6) 
análise e interpretação(6,7).
Os processos estatísticos de abordagem avaliam de 
uma forma direta ou indireta um parâmetro que está sendo 
analisado de uma determinada população. Em estatística, 
parâmetro pode ser entendido como sendo uma grandeza 
mensurável que permite apresentar, de forma mais 
simples, as características principais de um conjunto de 
dados. O Censo é um processo estatístico de abordagem 
que avalia diretamente um parâmetro, utilizando todos os 
componentes da população e a Estimação é um processo 
estatístico de abordagem que avalia indiretamente um 
parâmetro, com base em um estimador envolvendo 
probabilidades(6,7). 
A Tabela I compara sucintamente as principais 
vantagens e desvantagens entre a aplicação do censo e 
da estimação.
Fonte: Adaptado de Silva, H.M. (2010).
Uma pesquisa de coleta de dados retorna, normalmente, 
números desorganizados e que são conhecidos como 
dados brutos. A primeira atitude de qualquer profissional 
que trabalhe com estatística será a de organizar estes dados 
na forma crescente ou decrescente e que é conhecido como 
rol, para facilitar a aplicação das ferramentas estatísticas.
 
Tabela I - Comparação entre censo e 
estimação.
Censo Estimação
Admite erro 
processual 
zero e possui 
confiabilidade de 
100%
Admite erro processual 
positivo e possui 
confiabilidade menor 
que 100%
É mais caro É mais barato
É demorado (mais 
lento para obter)
É rápido
É quase sempre 
desatualizado
É atualizado
Nem sempre 
é viável 
economicamente
É viável 
economicamente
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
8
orgAnizAção doS dAdoS 
numériCoS
Após os conceitos iniciais e que são essenciais para 
um melhor entendimento das partes seguintes, vamos 
organizar os dados numéricos na forma de tabelas, com o 
objetivo de facilitar os cálculos posteriores e de interpretar 
os valores de uma maneira simples e objetiva. Na 
Estatística Descritiva, existem formas diversas de construir 
uma tabela, de acordo com cada situação de pesquisa 
e também com a experiência adquirida pelo especialista 
no decorrer do estudo e da prática. Entretanto, para 
não estendermos muito o assunto, trataremos de duas 
das mais importantes tabelas: a variável discreta e a 
variável contínua. Caso necessite de informações mais 
específicas sobre a organização de dados numéricos na 
forma de tabelas, consulte as referências que tratam de 
estatística no final da apostila.
variável discreta
A variável discreta é uma série estatística que contêm 
dados ou conjunto de dados na forma de uma simples 
tabela prática e organizada (10).
Conceitualmente, é uma representação tabular de 
um conjunto de valores em que colocamos na primeira 
coluna, em ordem crescente, apenas os valores distintos 
(diferentes) da série e, na segunda coluna, os valores das 
frequências simples correspondentes (Tabela II). É 
importante entender que a frequência simples é o número 
de vezes que um dado aparece no conjunto de dados, ou 
seja; o número de vezes que se repetiu após a realização 
da pesquisa.
Exemplo 1 - Uma pesquisa retornou os seguintes dados 
numéricos:
3,5 5 4,5 4 4,5 5 3,5 4.5
 2 3 4,5 3,5 4 4,5 3 3
3,5 3,5 3,5 4 4 3 4 5
Após a organização dos valores acima na forma da 
variável discreta, temos:
Fonte: elaborada pelo autor.
É importante informar que o exemplo acima não 
possui uma aplicação (exemplo meramente conceitual) e 
foi apresentado com o intuito de compreender a simples 
montagem da tabela e os significados das colunas valores 
distinto (representado por xi) e frequência simples 
(representada por fi). Dependendo da pesquisa, se 
torna dispendioso e inviável construir a variável discreta, 
em decorrência de a mesma começar a possuir uma 
quantidade de linhas que dificulte cálculos posteriores 
e que seja cansativa para a interpretação dos valores 
contidos na tabela(10,11). Não existe uma regra rígida para a 
construção deste tipo de tabela, mas cabe ao especialista 
ou estudioso no assunto definir com a experiência se será 
ou não de extrema valia e praticidade. De uma maneira 
geral, a variável discreta é utilizada quando o número de 
elementos distintos da série (série é uma maneira que 
os especialistas denominam uma sequência de números 
após a realização da pesquisa) for relativamente pequeno 
se comparado com o número de repetições (frequência 
simples) de cada (10,11).Se após a realização da pesquisa o número de 
elementos distintos da série for relativamente maior que 
o número de repetições de cada um deles, entenda que a 
construção da variável discreta irá resultar em uma tabela 
longa e de difícil interpretação.
Tabela II - Representação tabular contendo 
os valores distintos com as frequências 
simples.
Valores distintos 
(xi)
Frequência simples 
(fi)
2 1
3 4
3,5 6
4 5
4,5 5
5 3
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
9
Principalmente por este motivo existe uma tabela 
alternativa e que é conhecida como variável contínua. 
Esta tabela simplifica a anterior na maioria das aplicações, 
facilitando a interpretação de determinadas medidas e a 
tomada de alguma decisão.
variável contínua
A variável contínua também é uma série estatística 
que contêm dados ou conjunto de dados na forma de 
uma tabela organizada. Entretanto, é uma representação 
tabular de um conjunto de valores em que colocamos na 
primeira coluna, em ordem crescente, os intervalos de 
classes da série e, na segunda coluna, os valores das 
frequências simples correspondentes aos números 
presentes nos respectivos intervalos de classes (Tabela 
III)(5,10,11).
Exemplo 2 - Uma pesquisa retornou os seguintes dados 
numéricos:
13 5 9 8 10 14 6 15 16 8 3 17
 2 4 3 11 12 2 8 19 13 15 2 7
 3 6 5 15 3 4 10 12 18 12 17 4
Após a organização dos valores acima na forma da 
variável contínua, temos:
Fonte: elaborada pelo autor.
A diferença deste tipo de tabela, se comparada com 
a variável discreta, está na coluna denominada intervalo 
de classe, que significa faixa de valores numéricos. 
Como o exemplo anterior, este também não possui uma 
aplicação e foi apresentado com o intuito de compreender 
o significado da tabela. Para este caso, existe uma teoria 
para a sua construção, de forma a adequar os dados 
numéricos e distribuí-los homogeneamente (distribuir os 
números em partes iguais por toda a tabela) em cada linha 
(na variável contínua, cada linha é chamada de classe) da 
tabela. Uma teoria para a construção da variável contínua 
é apresentada a seguir, mas para informações mais 
específicas, consulte às Referências(5,10).
A elaboração de tabelas para dados que apre-
sentam grande quantidade de números distintos e, 
consequentemente, grande dispersão entre eles, 
pouco pode ajudar nos cálculos envolvendo os dados e 
principalmente na interpretação dos mesmos. Por isso, 
para entender a construção da tabela apresentada acima, 
vamos trabalhar com um exemplo envolvendo uma 
pesquisa realizada para levantar a variável Renda de 25 
funcionários (Tabela IV)(7).
Tabela III - Representação tabular contendo 
intervalos de valores com as frequências 
simples.
Classe Intervalo de 
classe
Frequência simples 
(fi)
1 2 ├ 5 10
2 5 ├ 8 5
3 8 ├ 11 6
4 11 ├ 14 6
5 14 ├ 17 5
6 17 ├ 20 4
Tabela IV - Pesquisa da renda na forma 
tabular da variável discreta.
Renda (em $) Número de 
funcionários
910,00 2
920,00 1
930,00 1
940,00 2
950,00 2
960,00 1
1.010,00 1
1.040,00 1
1.090,00 1
1.120,00 1
1.615,00 1
1.640,00 1
1.690,00 1
1.890,00 1
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
10
Fonte: Adaptado de Bruni, A. L. (2010).
Analisando a tabela acima, percebe-se que os 25 casos 
originais foram agrupados em 22 categorias (linhas) de 
rendas. A análise resultante da tabela prova que não 
adiantou muita coisa à construção da tabela na forma de 
uma variável contínua para organizar os dados numéricos, 
com o objetivo de construir uma tabela mais curta para 
facilitar os cálculos e mais simples para a interpretação. A 
redução de um total de 25 casos para 22 categorias é, de 
fato, muito pequena. Quando variáveis quantitativas com 
alta dispersão, marcadas pela presença de muitos valores 
diferentes, são analisadas, um resultado mais adequado 
pode ser obtido por meio do agrupamento dos dados 
numéricos em classes, isto é, agrupar os números em 
faixas de valores, ao invés de apenas um valor diferente 
em cada linha da tabela(5).
Alguns textos e autores mais conservadores da 
Estatística ainda sugerem procedimentos formais para a 
construção de classes ou também chamadas de classes 
de frequências. Neste sentido, a determinação do 
número de classes, representado pela letra K, depende, 
fundamentalmente, do número de elementos pesquisados 
e/ou estudados (ou número total de elementos da 
série), representado pela letra n.
No geral, os procedimentos formais envolvem os 
seguintes conceitos (5,10):
(1) Se n ≤ 25: devem ser criadas cinco classes na tabela;
(2) Se n > 25: o número mais adequado de classes pode 
ser obtido mediante dois procedimentos distintos: K=√n 
ou K=1+3,32log(n). A primeira fórmula é conhecida 
como método da raiz quadrada e a última é chamada 
de fórmula de Sturges.
Normalmente, as fórmulas anteriores resultam em 
números não inteiros (decimais), mas grande parte dos 
especialistas indica o seguinte procedimento:
(a) Se K for um número inteiro, será o número de 
classes (linhas) que a tabela conterá.
(b) Se K for à metade de dois números inteiros (por 
exemplo: a metade entre 3 e 4 é 3,5), o número de classes 
será um desses números inteiros.
(c) Se K for um número decimal diferente da metade de 
dois números inteiros, o número de classes será definido 
entre três aproximações resultando em números inteiros. 
A primeira aproximação será o número inteiro mais 
próximo do decimal obtido. A segunda será o número 
inteiro anterior ao inteiro mais próximo do decimal obtido. 
A terceira será o número inteiro posterior ao inteiro mais 
próximo do decimal obtido.
Exemplo 3: Se n = 40, K=√n=√40=6,32 (com duas 
casas decimais).
De acordo com o ítem (c) da página anterior, as 
três aproximações resultando em números inteiros 
são: 5, 6 ou 7. Se aplicarmos a fórmula de Sturges, 
temos K=1+3,32log(40)=6,1586=6,16 com as mesmas 
aproximações: 5, 6 ou 7.
Com um número de classe definido ou entre duas ou 
três aproximações obtidas, pode-se calcular a amplitude 
total da série (At). Essa amplitude é a diferença existente 
entre o maior (Xmáximo) e o menor (Xmínimo) número da série, 
ou seja; At=Xmáximo - Xmínimo. Para o nosso exemplo, o cálculo 
resulta: At=2235 - 910=1325.
O processo de construção de classes demanda o 
estabelecimento de convenções que representem os 
limites de cada uma das classes construídas. 
1.940,00 1
1.955,00 1
1.980,00 1
2.030,00 1
2.045,00 1
2.155,00 1
2.175,00 1
2.235,00 1
Soma: (Ʃ) = 25
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
11
Assim, por exemplo, se no agrupamento em classes 
das idades o especialista resolver construir uma classe que 
compreenda as idades entre 10 e 14 anos, ele precisará 
estabelecer se os limites inferiores (número antes do 
intervalo) e superiores (número depois do intervalo) 
serão do tipo inclusive ou exclusive. Os limites do tipo 
inclusive, como o próprio nome revela, incluem o valor 
representado. Os limites exclusive não incluem o valor 
representado.
De acordo com a literatura(5,10,11), uma das convenções 
mais empregadas na representação dos limites de 
intervalos de classes envolve a colocação de barras verticais 
(simbolizadas por “|“) juntamente com barras horizontais 
(simbolizadas por “―“). A barra horizontal representa o 
intervalo entre os limites inferior e posterior, enquanto que 
a barra vertical ao lado do número indica se tratar de um 
limite do tipo inclusive. A ausência da barra caracteriza 
limites do tipo exclusive. A Tabela V contém as principais 
representações.
Fonte: Adaptado de Bruni, A. L. (2010).
Para direcionarmos o estudo e não se estender nos 
conceitos mais específicos sobre a construção da variável 
contínua, será adotado a representação da classe com o 
limite inferior sendo do tipo inclusive e o limitesuperior do 
tipo exclusive, ou seja: 2 ├ 5. Este intervalo de classe 
pode ser interpretado considerando todos os elementos 
iguais e maiores que dois e menores que cinco (5).
É importante considerar que na última classe da tabela, 
quando se adota o limite superior como do tipo exclusive, 
não se pode excluir o maior elemento da série na contagem 
das frequências e na interpretação dos resultados, pois o 
mesmo faz parte da pesquisa. Neste caso, realizaremos 
um ajuste na fórmula da amplitude total.
Para o nosso exemplo, o cálculo resultou em: 
At=2235- 910=1325. Uma maneira prática e simples de 
não desconsiderar o maior elemento da série na estatística 
é acrescentar uma unidade no maior elemento, ou seja, 
ajustar a fórmula da amplitude total para At=X
(+1)
máximo 
- Xmínimo ou At=(2235+1) - 910=2236-910=1326. 
Dessa forma, se o 2236 fechar o último intervalo de classe, 
não será descartado o 2235.
Após a definição do número de classes e da amplitude 
total da série, poderemos definir a amplitude de cada 
intervalo de classe (h) dividindo simplesmente a amplitude 
total por cada um dos números de classes definidos 
anteriormente, através da seguinte fórmula:
Como temos três possíveis números de classes (K = 5, 
6 ou 7), precisaremos dividir a amplitude total por cada 
um dos três valores de K. A divisão que resultar em um 
valor inteiro é adotada por padrão, pois amplitudes com 
valores inteiros são mais fáceis de serem construídas e 
interpretadas, além de facilitar cálculos posteriores. Se 
duas das três divisões resultarem em números inteiros, 
pode-se adotar o caminho que considerar mais adequado. 
Entretanto, se nenhuma divisão resultar em um número 
inteiro, considere os seguintes ajustes:
Tabela V - As quatro principais formas de 
representação dos intervalos de classes.
Representação Interpretação intuitiva
2 ├ 5 A barra vertical está presente 
apenas no limite inferior. Desse 
modo, o elemento 2 faz parte 
do intervalo de valores (classe) 
e o elemento 5 não será 
incluído nesta classe, pois é do 
tipo exclusive.
2 ┤ 5 A barra vertical está presente 
apenas no limite superior. 
Desse modo, o elemento 5 faz 
parte da classe e o elemento 2 
não será incluído nesta classe.
2 ― 5 A ausência da barra em ambos 
os limites os caracteriza como 
do tipo exclusive. Os dois 
elementos não serão incluídos 
nesta classe.
2 ├┤ 5 A presença de barras verticais 
em ambos os limites indica 
que são do tipo inclusive. Os 
dois elementos serão incluídos 
nesta classe.
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
12
(1) Na fórmula da amplitude total, como o valor do 
maior elemento da série foi ajustado uma unidade para 
cima, ajuste o menor elemento da série uma unidade para 
baixo.
Esse procedimento é usado, pois o menor elemento 
da série começa na primeira classe e do lado do símbolo 
com a barra vertical, ou seja, é do tipo inclusive. Não se 
pode ajustar o menor elemento uma unidade acima, pois 
o mesmo seria desconsiderado da estatística.
(2) Se não for suficiente para obter um h igual a um 
número inteiro, ajuste novamente o maior elemento da 
série uma unidade para cima.
(3) Se novamente não for suficiente, diminua outra 
unidade do menor elemento da série.
(4) Repita o ciclo até que se consiga dividir a nova 
amplitude total pelos valores de K e resultar um número 
inteiro.
No exemplo, aplicando a fórmula da amplitude de cada 
intervalo de classe, temos:
Para K = 5 
 
Para K = 6 
 
Para K = 7 
A divisão de 1326 por 6 resultou em um número 
inteiro igual a 221. Com isso temos todas as informações 
necessárias para a construção da variável contínua do 
exemplo discutido. Após os conceitos apresentados e 
cálculos realizados, temos a Tabela VI:
Tabela VI - Pesquisa da renda na forma tabular da 
variável contínua.
K=6
Xmínimo=910
Xmáximo=2236
h=221
At=1326 
Fonte: Adaptado de Bruni, A. L. (2010).
Para uma melhor compreensão sobre o assunto 
abordado neste capítulo, uma lista de exercícios referentes 
às construções das variáveis discreta e contínua, com o 
intuito de organizar os dados numéricos na forma destas 
tabelas, será disponibilizada no sistema de Ensino a 
Distância (EAD) da Universidade Gama Filho (UGF) durante 
o período do curso.
Tabela VI - Pesquisa da renda na forma 
tabular da variável contínua.
Classe Renda (em $) Número de 
funcionários
1 910 ├ 1131 13
2 1131 ├ 1352 0
3 1352 ├ 1573 0
4 1573 ├ 1794 3
5 1794 ├ 2015 4
6 2015 ├ 2236 5
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
13
diStriBuição de FrequênCiAS
Uma vez que o interessado tenha colocado os dados 
na forma de uma variável discreta ou contínua (na forma 
de tabelas), ele poderá rapidamente obter algumas 
informações adicionais e úteis para a compreensão da 
série, se considerar os seguintes conceitos:
Frequência relativa
A frequência relativa (fri) de um elemento da série é 
a divisão da frequência simples (fi) deste elemento pelo 
número total de elementos da série (n) (10,11). Para converter 
o valor em percentual, basta multiplicar o resultado da 
divisão anterior por 100:
Exemplo 4: Considere a seguinte variável discreta:
O total de elementos desta série é 25. Portanto, a 
frequência relativa do primeiro elemento distinto da série, 
que é 2, vale:
No caso anterior, a numeração que acompanha as siglas 
de frequência relativa e frequência simples representa o 
cálculo para o elemento que ocupa a primeira linha da 
tabela.
Da mesma forma, determinamos a frequência relativa 
dos demais elementos da tabela:
Note que estes valores representam a participação 
percentual de cada elemento distinto na série. Assim, 
podemos escrever e compreender às seguintes 
interpretações:
• 1º linha: 12% dos valores da série são iguais a 2.
• 2º linha: 28% dos valores da série são iguais a 3.
• 3º linha: 32% dos valores da série são iguais a 4.
• 4º linha: 24% dos valores da série são iguais a 6.
• 5º linha: 4% dos valores da série são iguais a 7.
O conceito apresentado se torna mais fácil quando 
construímos uma coluna adicional na tabela para calcular 
e interpretar a frequência relativa de cada elemento da 
série.
xi fi
2 3
3 7
4 8
6 6
7 1
xi fi fri (%)
2 3 12
3 7 28
4 8 32
6 6 24
7 1 4
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
14
Como a frequência relativa representa a participação 
percentual de cada elemento distinto da série, a soma de 
todas às frequências relativas representa a participação 
percentual da série toda, ou seja, é igual a 100%. Portanto, 
∑fri=100%.
A frequência simples e a frequência relativa representam 
a quantidade de vezes e o percentual (respectivamente) 
de cada elemento distinto. Entretanto, em determinadas 
situações, precisaremos saber a quantidade de vezes e 
o percentual não somente para um único elemento, mas 
também para dois ou mais ao mesmo tempo.
Frequência acumulada
A frequência acumulada (Fi ou FA) de cada elemento 
da série é a soma da frequência simples desse elemento 
com as frequências simples dos elementos anteriores (10,11):
Fi = f1 + f2 + f3+ … + fi
Desta forma, a frequência acumulada para cada um 
dos elementos 3, 4, 6 e 7 é:
Estes valores podem ser interpretados da seguinte 
forma:
• 1º linha: 3 elementos componentes da série são 
valores menores ou iguais a 2.
• 2º linha: 10 elementos componentes da série são 
valores menores ou iguais a 3.
• 3º linha: 18 elementos componentes da série são 
valores menores ou iguais a 4.
• 4º linha: 24 elementos componentes da série são 
valores menores ou iguais a 6.
• 5º linha: 25 elementos componentes da série são 
valores menores ou iguais a 7.
O procedimento, assim como o anterior, se torna mais 
simples quando construímos uma coluna adicional na 
tabela para calcular e interpretar a frequência acumulada.
A principal finalidade de utilizar a frequência acumulada 
nas tabelas que contém a frequência simplesé quando 
se deseja não somente saber a quantidade de vezes que 
um elemento se repete, mas também ganha importância 
conhecer a quantidade de elementos que são iguais ou 
menores que o elemento de referência.
Frequência acumulada relativa
A frequência acumulada relativa (FRi) de cada elemento 
da série, também conhecida como frequência relativa 
acumulada, é a divisão da frequência acumulada deste 
elemento, pelo número total de elementos da série (10,11):
Assim, às frequências acumuladas relativas dos 
elementos 3, 4, 6 e 7 são:
xi fi fri (%) Fi
2 3 12 3
3 7 28 10
4 8 32 18
6 6 24 24
7 1 4 25
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
15
Estes valores podem ser interpretados da seguinte 
forma:
• 1º linha: 12% dos valores da série são menores 
ou iguais a 2.
• 2º linha: 40% dos valores da série são menores 
ou iguais a 3.
• 3º linha: 72% dos valores da série são menores 
ou iguais a 4.
• 4º linha: 96% dos valores da série são menores 
ou iguais a 6.
• 5º linha: 100% dos valores da série são menores 
ou iguais a 7.
O conceito se torna mais fácil quando construímos uma 
coluna adicional na tabela para calcular e interpretar a 
frequência acumulada de cada elemento da série.
Quando acrescentamos todos os valores de frequências 
à tabela original, a mesma passa a se chamar distribuição 
de frequências. O procedimento acima foi aplicado na 
variável discreta, mas é aplicado da mesma forma na 
variável contínua. No caso da variável contínua, pelo fato 
de se utilizar intervalos de classe, as interpretações são 
diferentes.
Exemplo 5: Considere a seguinte variável contínua:
Em primeiro lugar, calcule o número total de elementos 
da série (n). Para calcular, some a coluna que contém as 
frequências simples. Aplicando os conceitos da distribuição 
de frequências, da mesma forma que apresentado para à 
variável discreta, temos:
 
xi fi fri (%) Fi FRi (%)
2 3 12 3 12
3 7 28 10 40
4 8 32 18 72
6 6 24 24 96
7 1 4 25 100
Exemplo 5
Classe Intervalo de 
classe
fi
1 2 ├ 4 6
2 4 ├ 6 18
3 6 ├ 8 10
4 8 ├ 10 6
n = Ʃfi = 40
Classe Intervalo de 
classe
fi fri (%) Fi FRi (%)
1 2 ├ 4 6 15 6 15
2 4 ├ 6 18 45 24 60
3 6 ├ 8 10 25 34 85
4 8 ├ 10 6 15 40 100
n = 40 100
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
16
Observe na tabela acima que os valores das frequências 
relativas(fri) representam o percentual dos elementos 
por classe. Desse modo, podemos fazer a seguinte 
interpretação:
• 1º classe: 15% dos valores da série são maiores 
ou iguais a 2 e menores que 4.
• 2º classe: 45% dos valores da série são maiores 
ou iguais a 4 e menores que 6.
• 3º classe: 25% dos valores da série são maiores 
ou iguais a 6 e menores que 8.
• 4º classe: 15% dos valores da série são maiores 
ou iguais a 8 e menores que 10.
Com relação à frequência acumulada(Fi), podemos 
interpretar da seguinte forma:
• 1º classe: 6 elementos da série são valores 
menores que 4.
• 2º classe: 24 elementos da série são valores 
menores que 6.
• 3º classe: 34 elementos da série são valores 
menores que 8.
• 4º classe: 40 elementos da série são valores 
menores que 10.
E finalmente, com relação à frequência acumulada 
relativa(FRi), sendo todos os elementos maiores ou iguais 
a 2, podemos interpretar da seguinte forma:
• 1º classe: 15% dos valores da série são menores 
que 4.
• 2º classe: 60% dos valores da série são menores 
que 6.
• 3º classe: 85% dos valores da série são menores 
que 8.
• 4º classe: 100% dos valores da série são menores 
que 10.
Para uma melhor compreensão sobre o assunto 
abordado neste capítulo, uma lista de exercícios sobre 
distribuição de frequências, será disponibilizada no sistema 
de Ensino a Distância (EAD) da Universidade Gama Filho 
(UGF) durante o período do curso.
medidas de tendência Central
Em qualquer área de investigação onde números 
aparecem com frequência, os profissionais estudam 
conceitos e metodologias gráficas de estatística para 
expressar estes números de uma forma mais clara e 
resumidamente. Isso é um dos objetivos principais 
do trabalho dos gerentes e estatísticos. Por exemplo, 
existem várias maneiras de medir a tendência central dos 
dados, e nenhuma maneira é necessariamente a melhor, 
pois depende de cada situação e principalmente da 
característica dos dados numéricos.
O cálculo de uma medida de tendência central é 
importante porque consegue representar uma série de 
dados em apenas um único número ou elemento.
Certamente a mais popular é a média, que os 
conhecedores do assunto usualmente denominam de 
média aritmética (pode ser simples ou ponderada), 
e que representa a soma de uma série de dados dividida 
pelo número total de dados que foram somados entre 
si(10,11).
Na Tabela VII, são informadas 60 medidas do 
comprimento (em milímetros) de uma peça, sendo a 
princípio, uma das características essenciais da peça. Uma 
tabela contendo números nem sempre é interessante para 
um engenheiro ou gerente. Por outro lado, a média das 
medidas da tabela pode ser calculada facilmente aplicando 
as fórmulas:
 ou
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
17
 
Após o cálculo, o especialista agora pode saber se o 
produto está sendo fabricado dentro da especificação 
desejada, mantendo a qualidade da produção.
Tabela VII - Medidas do comprimento (em milímetros) 
de uma peça.
Fonte: Adaptado de Bruni, A. L. (2010).
Para a tabela acima, temos uma média de 101,4993 
milímetros (mm) ou 101,50 mm (com a precisão de apenas 
duas casas decimais). Para o especialista, se diversas 
peças apresentarem comprimentos muito diferentes do 
valor da média, as peças não estão sendo fabricadas 
rigorosamente e, consequentemente, diminui a qualidade 
da linha de produção.
Um problema que pode ocorrer em determinadas 
situações é que a média perde a sua representatividade 
se existir valores muito diferentes entre os dados 
numéricos, pois valores discrepantes levam a média a 
se afastar da tendência central dos dados. Uma maneira 
de resolver o problema da distorção seria simplesmente 
descartando estes números, no entanto o Estatístico não 
recomenda este procedimento por causa de certo grau de 
arbitrariedade.
Por exemplo, o gerente ou especialista pode sentir uma 
necessidade de eliminar o valor 98,1239 em decorrência 
de ser o menor dos números, mas por qual razão faria 
isso?
Para resolver a distorção de números discrepantes, 
utiliza-se a mediana, que é o número que está no meio 
dos números quando a quantidade de elementos da série 
é ímpar ou a média dos dois números do meio quando 
a quantidade de elementos da série é par. Para calcular 
de forma correta a mediana, os números precisam estar 
organizados na forma crescente ou decrescente, ou seja, 
posicionados seguindo um ordenamento numérico. Numa 
relação de números ordenados do menor para o maior (ou 
vice versa) existe um número que separa todos os números 
em dois grupos iguais (quando n é ímpar), os números 
maiores que a mediana e os números menores(6,7).
No exemplo apresentado, temos dois números e não 
apenas um, que separa a série em duas partes iguais 
(quando n é par). Neste caso, deve-se calcular uma média 
simples entre os dois números centrais para encontrar um 
valor que melhor representa o centro da sequência.
Na lista dos 60 números, como n = 60 (número par), 
temos os seguintes números no centro da sequência 
quando a mesma está ordenada: 101,8990 e 101,9989. 
Para encontrar a mediana neste caso, basta calcular a 
média: (101,8990 + 101,9989) /2 = 101,9489.
E como se interpreta este valor? A mediana é o número 
que divide uma sequência ordenada em duas partes 
iguais, ou seja: 50% dos valores da série são menores 
que a mediana e 50% são maiores. Podemos concluir no 
exemplo utilizado que 50% dos comprimentos da peça 
são inferiores a 101,9489mm e 50% são superiores. É 
importante reforçar que quando o número de dados 
numéricos ou elementos da série (n) é ímpar a mediana 
é exatamente o número no meio dos números ordenados, 
sem a necessidade de calcular a média dos dois números 
posicionados no meio da sequência.
Os especialistas argumentam que a mediana é melhor 
do que a média para representar a tendência central dos 
números na presença de dados muito diferentes nos dois 
extremos da sequência. Isso ocorre porque a mediana é 
insensível aos valores muito grandes ou muito pequenos. 
103,2345 99,0003 102,8121 101,4367 101,9899 102,9011
102,8764 99,7684 102,3494 102,4356 101,0009 101,2341
102,2340 102,2030 101,2556 102,1976 102,0012 100,8765
103,4566 102,2068 101,9989 102,4355 101 101,1212
99,8650 103,0894 99,1009 101,8768 99,6783 102,2332
100,7865 101,8990 99,9886 101,7864 98,8990 102,1498
98,1239 102,2457 100,2358 101,5555 101,5983 102,2526
101,6784 102,3476 100,1114 102 102,5445 102,3468
101,2344 103,0200 101,2113 102,4671 102,3356 100,7682
100,0046 99,9897 102,2223 102,3322 102,1215 101,5689
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
18
Por exemplo: se for alterado o maior valor da sequência 
para de 1.695.850,0 (um número bem maior que ele), o 
valor da mediana não muda, porque a mediana ainda 
continua tendo metade dos dados acima e metade abaixo 
de seu valor (7).
A diferença numérica entre a mediana e a média em 
nosso exemplo (101,9489 – 101,4993) = 0,4496 pode ser 
considerada razoavelmente grande por algum engenheiro, 
se considerar uma variabilidade pequena dos números, 
e significaria que a média é realmente distorcida como 
medida de tendência central, levando o engenheiro a 
utilizar à mediana.
Partindo da mediana, os quartis são calculados. Com 
a mediana os dados foram divididos em dois grupos, 
acima e abaixo da mediana. Para cada grupo encontra-
se sua própria mediana e esta mediana secundária é 
denominada quartil. Obviamente tem um quartil inferior, 
o primeiro quartil, e um quartil superior, o terceiro quartil. 
Para completar o raciocínio, pode chamar a mediana do 
grupo de segundo quartil. Os quartis dividem os dados em 
quatro grupos distintos, cada grupo possuindo exatamente 
um quarto dos dados. No exemplo apresentado, cada um 
dos dois grupos tem aproximadamente 60/4 elementos e 
os quartis são fáceis de se encontrar. Os quartis podem 
ser utilizados também para definir a variabilidade dos 
dados(10,11).
Caso a série contenha um número que se repete muito 
mais do que os demais, pode-se calcular a moda. A moda 
é conceituada como sendo o valor de maior frequência 
em um conjunto de dados estatísticos(10,11). Entretanto, 
em decorrência de ser uma medida aplicada somente em 
casos muito específicos, este assunto não será abordado 
nesta apostila. Para consultar informações, verifique os 
livros de estatística localizados na seção Referências.
medidAS de diSperSão ou 
vAriABilidAde
As medidas de dispersão ou também conhecidas como 
medidas de variabilidade são igualmente importantes como 
às medidas de tendência central e representam como os 
dados numéricos se dispersam (ou se afastam) da média. 
Quando os números são sempre próximos à média, isso 
significa que a tendência central representa bem os dados. 
No entanto, se alguns números ficarem longe da média, 
então a média não irá representar muito bem todos os 
dados numéricos da sequência(5,6,10,11).
A ideia de variabilidade é importante na área da 
engenharia de qualidade, como foi, porque oferece uma 
definição operacional para qualidade, uma definição que 
daria para medir e analisar, e discutir com os demais 
colegas do curso. Por exemplo, peças fabricadas e 
que exibem mensurações muito espalhadas não têm 
qualidade, pois muitas peças vão acabar rejeitadas ou 
retrabalhadas, significando custos maiores de fabricação e 
uma posição fraca em termos da competição empresarial 
do mercado(5,7).
O desvio ao redor da média é definido como a diferença 
entre um número individual e a média de todos os dados 
numéricos. Vale informar que para o conceito de um 
desvio (uma distância), não existe sentido se o valor for 
um número negativo.
Por exemplo, a Tabela VIII(7) contém dados numéricos 
referentes ao tempo gasto (expresso em minutos) por 
uma empresa para solucionar problemas dos clientes 
desde o momento do recebimento da queixa até a solução 
apresentada. A média de tempo gasto é 182,89 minutos 
(ou min), um pouco mais do que 3 horas.
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
19
O primeiro desvio calculado (na terceira coluna) é 100– 
182,89 = -82,89, ou seja: (Xi - ) que representa o desvio 
de um elemento (um dado) com relação à média.
Normalmente, é comum os estatísticos colocarem na 
expressão do desvio a média depois do dado numérico 
individual. Assim, quando a média é menor que o dado, o 
desvio é positivo e vice-versa. É muito interessante calcular 
a média dos desvios que representaria a variabilidade 
dos dados. Como é demonstrada na tabela anterior, a 
soma dos desvios é igual a zero, e, portanto a média dos 
desvios também é igual a zero. Então a questão é como 
calcular a média dos desvios de uma maneira consistente 
e esclarecedora. A quarta coluna da tabela contém os 
mesmos desvios da terceira coluna, mas sem os sinais, 
representando o chamado módulo ou valor absoluto de 
cada desvio. A média dos desvios nesta coluna é de 75,83 
min.
Código da 
reclamação
Tempo gasto 
(em minutos)
Desvio da 
média
Módulo do 
desvio (valor 
absoluto)
Desvio ao 
quadrado
123 100,00 -82,89 82,89 6871,36
872 216,01 33,11 33,11 1096,46
478 113,42 -69,47 69,47 4826,37
123 287,33 104,43 104,43 10906,22
301 221,47 38,58 38,58 1488,33
261 194,95 12,06 12,06 145,42
222 161,55 -21,35 21,35 455,70
182 325,89 142,99 142,99 20447,30
143 292,62 109,73 109,73 12040,82
104 266,38 83,49 83,49 6970,70
164 106,19 -76,70 76,70 5882,76
158 307,56 124,66 124,66 15541,31
169 255,49 72,59 72,59 5269,52
179 203,39 20,50 20,50 420,24
190 148,71 -34,19 34,19 1168,83
200 17,00 -165,89 165,89 27520,70
211 66,78 -116,11 116,11 13481,55
222 165,34 -17,55 17,55 308,07
232 95,20 -87,70 87,70 7690,68
243 102,95 -79,94 79,94 6390,97
253 427,43 244,53 244,53 59796,28
264 186,34 3,45 3,45 11,91
275 82,04 -100,85 100,85 10171,11
285 59,00 -123,89 123,89 15349,64
296 36,00 -146,89 146,89 21577,74
306 168,89 -14,00 14,00 195,97
317 207,95 25,05 25,05 627,58
328 217,94 35,05 35,05 1228,18
338 225,79 42,90 42,90 1840,23
349 227,19 44,30 44,30 1962,51
Média = 182,29 0,00 75,83 8722,82
Amplitude = 410,43 Desvio padrão = 94,99
Tabela VIII - Minutos decorrentes até a solução referente à reclamação do cliente. Fonte: Adaptado Samohyl, R. W. (2009).
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
20
Por razões históricas e em decorrência de algumas 
características matemáticas serem difíceis de compreender, 
mas importantes para o entendimento teórico, a média 
dos desvios sem sinal não é tipicamente utilizada em 
estudos estatísticos(7). Para resolver o problema do sinal, 
é preferível utilizar o quadrado dos desvios, que acabou 
sendo o motivo da elaboração da fórmula da variância, 
que nada mais é do que a média dos quadrados de todos 
os desvios:
Onde: (σ2) é a variância, (Xi) representa um elemento 
da série ou dado numérico, ( ) é a média, (fi) é a 
frequência simples ou número de vezes que o respectivo 
dado numérico se repete e (n) é o número total de 
elementos da série ou dados numéricos.
A fórmula acima é aplicada quando se trabalha com 
toda a população. Para os casos que já foram mencionados 
no capítulo inicial da apostila e que necessitam trabalhar 
com uma amostra (parte da população), a fórmula acima 
recebe uma adaptação:
A variância é um valor elevado ao quadrado e, 
dependendo da aplicação, não possui interpretação. Para 
chegar a uma medida do desvio médio é necessárioaplicar 
a raiz quadrada da variância.
Esse desvio médio é conhecido como desvio padrão 
(σ):
Para os dados da tabela anterior, o desvio padrão é 
de 94,99 min. Em determinadas situações, a soma dos 
quadrados não e dividida pelo número de dados, mas 
sim por um número denominado grau de liberdade, um 
conceito que será brevemente discutido adiante.
O desvio padrão é extremamente importante para o 
entendimento dos gráficos de controle de uma coleção 
ou agrupamento de médias, e leva o nome de erro 
padrão. É calculado dividindo o desvio padrão pela raiz 
quadrada do tamanho da amostra.
Por fim, considerando o tamanho da média (182,89), a 
diferença entre o desvio absoluto médio (75,83) e o desvio 
padrão (94,99) não é considerada muito grande (para esta 
aplicação de tempo em minutos). Com isso, podemos 
afirmar que ambas as medidas são apropriadas para medir 
a variabilidade dos dados, mas como já foi mencionado 
anteriormente, o desvio padrão é preferível.
Para o Controle Estatístico de Processo (CEP) há mais 
uma maneira de calcular o desvio padrão, através de uma 
formula desenvolvida pelo próprio Shewhart para facilitar 
os cálculos no chamado “chão da fábrica”. Como será visto 
nos próximos capítulos, a utilização de amostras muito 
pequenas é a principal regra para um grande conjunto 
de gráficos de controle. Por exemplo, o operador pode 
estar mensurando (medindo) apenas cinco peças por hora 
(tamanho da amostra n = 5 elementos) de lotes muito 
maiores. Será então calculada a amplitude de cada amostra 
e depois calculada também a média das amplitudes ( ). 
Shewhart desenvolveu uma tabela contendo coeficientes e 
denominados de d2, para converter qualquer valor de 
em um desvio padrão equivalente(7):
É importante notar, analisando a Tabela IX, que o valor 
de d2 aumenta com o tamanho da amostra. Os outros 
coeficientes nas demais colunas da tabela são também 
muito importantes e serão utilizados mais adiante. A 
tabela contém os coeficientes que serão utilizados para a 
construção de um determinado tipo de gráfico de controle.
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
21
E finalmente, outra medida de variabilidade é o desvio 
quartílico, que é a diferença entre o quartil inferior e 
o quartil superior já discutido anteriormente no capítulo 
sobre as medidas de tendência central. Voltando para a 
tabela referente ao comprimento das peças (em mm), 
pode ser calculado o desvio quartílico da seguinte forma: 
101,8100 – 98,5717 = 3,2383. Como a mediana, o desvio 
quartílico possui a vantagem de não ser afetado por 
valores muito discrepantes. No entanto, a sua utilização 
não é muito comum, constando em alguns pacotes de 
software especializado, mas na prática desprezado a favor 
do desvio padrão. No entanto, no famoso gráfico da caixa 
das medianas (box-plot, em inglês) a sua presença é 
implícita(5,7).
Com relação ao exemplo sobre as reclamações dos 
clientes, o gerente da empresa possui pelo menos duas 
medidas para analisar o desempenho frente aos clientes 
com queixas: a média do tempo gasto para solucionar a 
reclamação e o desvio padrão. Um procedimento prático 
pode ser colocado nos manuais da empresa, onde 
semanalmente médias e desvios padrão são calculados, 
tendências analisadas e providências tomadas caso sejam 
necessárias. Por exemplo, a média tendendo a subir ou o 
desvio padrão aumentando através do tempo são sinais 
claros de deterioração do desempenho da empresa e deve 
causar preocupação na parte da gerência(7). Os dados 
individuais devem sofrer também análises cuidadosas, 
especialmente para os dados que se destacam longe dos 
demais ou muito diferentes da maioria dos dados.
Tabela IX - Coeficientes calculados para os gráficos de controle - Fonte: Adaptado Samohyl, R. W. (2009).
n = d2 D1 (DP) D2 (DP) D3 (R) D4 (R) A2 (X)
2 1,128 0 3,686 0 3,267 1,880
3 1,693 0 4,358 0 2,575 1,023
4 2,059 0 4,698 0 2,282 0,729
5 2,326 0 4,918 0 2,115 0,577
6 2,534 0 5,078 0 2,004 0,483
7 2,704 0,205 5,203 0,076 1,924 0,419
8 2,847 0,387 5,307 0,136 1,864 0,373
9 2,970 0,546 5,394 0,184 1,816 0,337
10 3,078 0,687 5,469 0,223 1,777 0,308
11 3,173 0,812 5,534 0,256 1,744 0,285
12 3,258 0,924 5,592 0,284 1,716 0,266
13 3,336 1,026 5,646 0,308 1,692 0,249
14 3,407 1,121 5,693 0,329 1,671 0,235
15 3,472 1,207 5,737 0,348 1,652 0,223
20 3,735 1,548 5,922 0,414 1,586 0,180
25 3,931 1,804 6,058 0,459 1,541 0,153
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
22
gráFiCoS: diAgrAmA dAS 
mediAnAS e HiStogrAmA
A melhor maneira de analisar uma série de dados 
não é por sua organização na forma de tabelas, mas 
graficamente. A tentativa de ver padrões e tendências em 
uma relação de dados escritos em uma tabela certamente 
resultará em fracasso especialmente quando o número de 
dados numéricos for grande. A Figura 1(7) mostra os dados 
numéricos da tabela referente ao tempo gasto em resolver 
problemas dos clientes. 
Figura 1 - Tempo gasto para resolver problemas dos clientes. 
Fonte: Adaptado Samohyl, R. W. (2009).
Entre vários outros pontos, pelo menos dois são 
destacados, o ponto máximo no dia 21 e o ponto mínimo 
no dia 16. O que aconteceu nestes dois dias? Será que 
os eventos que ocorreram no dia 16 são controláveis e 
que podem ser repetidos nos outros dias para beneficiar 
toda a situação? E os eventos do dia 21 que causaram um 
péssimo desempenho, será que eles podem ser evitados 
no futuro?
Um gráfico que reúne as informações da mediana e 
também dos quartis de uma maneira didática e simples de 
entender é o diagrama (caixa) das medianas (Figura 
2) que foi construído com os valores da Tabela VIII.
 
Figura 2 - Diagrama das medianas so tempo gasto nas reclamações - 
Fonte: Adaptado Samohyl, R. W. (2009).
As duas linhas horizontais da Figura 2 representam os 
valores mínimos e máximos, respectivamente de toda a 
série, ou em outras palavras; a distância entre elas é a 
amplitude total dos dados numéricos (At). O retângulo (ou 
caixa) no meio da figura representa o quartil inferior e o 
superior, onde está agrupada a metade central dos dados, 
e a distância entre estes valores é o desvio quartílico. 
Finalmente, a linha dentro do retângulo é a mediana(7).
Analisando a figura, pode-se verificar que os dados 
numéricos estão distribuídos com assimetria, tendo mais 
valores baixos do que altos. Os valores altos são menos 
frequentes, mas merecem uma investigação cuidadosa, 
pois representam um péssimo desempenho da empresa 
em solucionar problemas dos clientes.
Estes valores mais altos são críticos para o 
relacionamento da empresa com o seu público alvo, 
e a gerência deve garantir que não ocorram no futuro. 
Diversas empresas constroem esse tipo de gráfico para 
entender importantes características operacionais em uma 
base mensal ou semanal, facilitando o monitoramento 
dessa característica ao longo do tempo. E fácil ver se a 
característica está inserida no alvo ou evoluindo de uma 
maneira satisfatória, e se a variabilidade dos dados está 
aumentando (piorando) ou diminuindo (melhorando).
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
23
Um gráfico que possui todas as características do 
diagrama das medianas, mas exibe muito mais informações 
sobre a distribuição dos dados numéricos é o Histograma. 
Para entender a construção e interpretação desde tipo de 
gráfico, vamos considerar o seguinte exemplo: Retirou-se 
de um laticínio, uma amostra contendo 150 sacos plásticos 
contendo leite, que por norma, deveriam ter exatamente 
1 litro cada(7).
A Tabela X contém os dados numéricos da amostra 
escolhida e o histograma é um retrato dos dados presentes 
nesta tabela.
Tabela X - Frequências de medidas em mililitros (ml) de 
sacos de leite.
Fonte: Adaptado Samohyl, R. W. (2009).
De acordo com a tabela anterior, na primeira linha, 
dos 150 sacos investigados, um saco entra na classe de 
volume de zero até856,44 ml. Na próxima linha, tem a 
classe de sacos entre 856,45 ml até 878,61 ml, possuindo 
novamente um único saco plástico. A maior frequência, 
onde contém 25 sacos de leite é a da classe entre 967,28 
até 989,43 ml.
A última coluna da tabela contém os valores das 
frequências acumuladas relativas (em %) até a última 
classe. Por exemplo, de todos os sacos amostrados, 
16,67% possuem um volume de até 945,10 ml. É aparente 
que isso significa que aproximadamente 83% dos sacos 
plásticos contendo leite possuem um volume maior. 
Entretanto, as informações da Tabela X estão presentes 
na Figura 3, mas de uma maneira mais clara e mais fácil 
de interpretar.
Figura 3 - Histograma das medidas dos sacos plásticos para leite.
Fonte: Adaptado Samohyl, R. W. (2009).
A forma do histograma, com frequências altas no meio 
dos números e mais baixas para números distantes da 
tendência central é muito comum. Este formato da figura 
é considerado à base da distribuição normal. O histograma 
apresenta de uma maneira didática a tendência central 
dos dados e a variabilidade, sendo para este caso, mais 
interessante e útil que o diagrama das medianas.
Este tipo de gráfico é uma ótima ferramenta, sendo 
muito utilizado para a análise de dados numéricos através 
do tempo. Por exemplo, um engenheiro trabalhando na 
linha de produção utilizaria o histograma periodicamente 
para verificar se a medida está de acordo com o esperado 
e se a dispersão dos dados não está se desviando de um 
controle considerado adequado. Se ocorrer discrepâncias, 
as mesmas devem ser investigadas e o processo corrigido. 
Muitas vezes o analista não utiliza a frequência simples (ou 
absoluta) no eixo vertical como foi representada na Figura 
3, mas sim a frequência percentual (relativa). Desse modo, 
cada coluna do histograma representa uma percentagem 
da amostra ou população, se for o caso a se analisar(7). A 
soma de todas as percentagens da frequência relativa é 
naturalmente 100%.
Volume de 
leite: contendo 
até (ml)
Frequência 
simples
Frequência 
Acumulada 
relativa (%)
856,44 1 0,67
878,61 1 1,33
900,77 1 2,00
922,94 3 4,00
945,10 19 16,67
967,27 19 29,33
989,43 25 46,00
1011,60 21 60,00
1033,77 23 75,33
1055,93 19 88,00
1078,10 10 94,67
1100,26 4 97,33
mais de 1100,26 4 100
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
24
Nesta apostila não serão discutidas as distinções entre 
as várias distribuições de probabilidade, pois esse assunto 
é tratado em trabalhos mais avançados e para cursos 
mais específicos, mas são tratados nos livros comentados 
na introdução e disponíveis na seção de Referências. 
É suficiente dizer que a análise das distribuições de 
probabilidade é extremamente importante em uma 
segunda fase de implantação das ferramentas, na medida 
em que os processos de monitoramento são aperfeiçoados 
ao longo do tempo.
gráFiCoS de Controle
Os gráficos de controle possuem extrema importância 
para o CEP, pois é utilizado na detecção de alterações 
inusitadas de uma ou mais características de um processo 
ou produto. Em outras palavras, é uma ferramenta 
estatística que alerta para a presença de causas especiais 
na linha de produção. O paradigma tradicional é o processo 
industrial analisado através do tempo (também chamado de 
séries temporais), mas atualmente a ferramenta também 
é aplicada em processos administrativos e de serviços, e 
para dados numéricos divididos em seções (por exemplo, 
diferentes setores na empresa no período de tempo)(5,7).
O gráfico (Figura 4) consiste na plotagem de três 
linhas contendo os pontos que representam as médias 
de pequenas amostras (conhecidos também como 
chamados subgrupos racionais), cada uma de tamanho 
n (onde n= 1, 5, 9, 23, 1000, por exemplo), que 
representa a quantidade de mensurações periódicas de 
alguma característica importante de um processo (peso, 
cumprimento, volume, entre outros.), ou o número ou 
percentual de peças defeituosas ou número de defeitos. 
As três linhas representam dois limites de controle, um 
chamado de superior (ou Limite de Controle Superior - 
LCS) e outro inferior (ou Limite de Controle Inferior - LCI), 
e uma linha no meio a qual é a média da variável ou o alvo 
da característica.
Tradicionalmente, as linhas de controle ficam localizadas 
a uma distancia de três desvios padrão da média da série 
(ou alvo). A utilização de três desvios é arbitrária, mas na 
prática funciona na maioria dos casos. Os limites definem 
uma área considerável que irá evitar problemas que não 
existem na realidade, pois um profissional que gasta o 
precioso tempo correndo atrás de causas especiais que 
não existem, não está sendo um empregado útil para a 
empresa. O desvio padrão utilizado é o desvio padrão 
das médias (ou erro padrão), que é o desvio padrão da 
população dividido pela raiz quadrado do tamanho da 
amostra: 3σ/√n.
Figura 4 - Gráfico de controle conceitual - Fonte: Adaptado Samohyl, R. 
W. (2009).
Na estatística, os dois limites de controle definem 
um intervalo de confiança com nível de confiança de 
aproximadamente 99,73%. Este número significa que um 
“alarme falso” pode ocorrer uma vez em 370 subgrupos. 
Realmente é o “preço” a ser pago quando se utiliza a 
técnica de amostragem, mas pelo menos a possibilidade de 
ocorrência é realmente muito pequena. Se forem tiradas 
16 amostras por dia na fábrica, iria ocorrer uma vez a cada 
23 dias. Existe um “preço” razoável considerando o grande 
valor dos gráficos de controle.
A estimação dos limites de controle é valida para 
processos considerados estáveis, quer dizer, que mantem 
fixos a média e o desvio padrão e, portanto, não estão 
sob a influencia de causas especiais. No entanto, alguns 
processos aparentemente controlados podem ser 
influenciados por uma causa especial e o resultado é que 
medidas se deslocam para fora dos limites de controle. No 
gráfico da Figura 4, este processo seria considerado sob 
a possível influência de alguma causa especial, instável, 
porque um ponto está fora dos limites. 
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
25
Um processo é considerado instável somente no 
momento da descoberta da causa especial.
Existem alguns padrões de pontos que assinalam a 
existência de causas especiais; por exemplo, mais do que 
cinco pontos consecutivos, sendo todos acima ou abaixo 
da linha central. Este padrão é raro de acontecer como um 
ponto que está a uma distância de três desvios padrão da 
linha central.
Para compreender, isto equivalente a sair oito faces 
caras consecutivas lançando uma moeda justa, que 
certamente é uma ocorrência rara e, portanto, deverá 
ser investigada a suposição da justiça no lançamento da 
moeda da mesma maneira que na influência de causas 
especiais no processo produtivo. Outro padrão para se 
investigar é quando ocorrem dois pontos de três dentro 
dos limites de controle e mais precisamente perto deles. 
Finalmente, um último padrão que normalmente assinala 
possíveis problemas na linha de produção, três pontos de 
um total de quatro, de um dos lados da média, mas no 
meio da área, ou seja, nem muito perto da linha central 
nem dos limites de controle. Dependendo da situação e/
ou cultura existente na fábrica, outros padrões podem ser 
utilizados, mas com cautela, pois o uso de padrões deve 
ser minimizado uma vez que muitos significam, na prática, 
alarmes falsos(7).
Com base nos conceitos apresentados, serão abordados 
nas próximas seções vários tipos tradicionais de gráficos 
de controle e alguns derivados de situações especiais.
O gráfico das médias
Para compreender os conceitos deste tipo de gráfico de 
controle, vamos imaginar a seguinte situação: no processo 
de produção de uma ração para gatos de uma empresa 
desconhecida, sempre houve problemas no enchimento 
do pacote de um quilograma (Kg). Com o passar do 
tempo, os clientes reclamavam sobre os pacotescontendo 
menos quantidade de ração do que a norma estipulava 
e, eventualmente, a empresa começou a perder clientes. 
Após um breve período de tempo, os pacotes de ração 
foram descobertos por fiscais que encontraram diversos 
contendo menos que um quilograma, resultando em 
multas pesadas para a empresa. O gerente então decidiu 
implantar um gráfico de controle no processo de produção, 
especificadamente no ponto do enchimento dos pacotes(7).
Para a coleta de dados, decidiu-se utilizar amostras 
periódicas de hora em hora, cada uma com cinco 
mensurações (n = 5 elementos). Esse perfil de amostragem 
foi escolhido considerando as informações técnicas 
disponíveis na empresa. As indústrias normalmente possuem 
seus perfis para amostragem e, às vezes, devem seguir 
normas da agência reguladora. Por exemplo, na indústria 
química, diversas amostras são separadas em bateladas e 
o tamanho considerado é de um elemento. Essa técnica de 
amostragem será explicada mais adiante. Após dois dias 
de coleta de dados, foram separadas 18 amostras com 5 
mensurações cada, uma por hora, durante 3 turnos de 6 
horas cada. Os resultados estão na Tabela XI.
Tabela XI - Resultados de mensurações de 18 amostras horárias - Fonte: Adaptado Samohyl, R. W. (2009).
Amostras recolhidas de hora em hora (valores expressos em gramas)
1h 2h 3h 4h 5h 6h 7h 8h 9h
1º 1006 1009,69 1033,68 1051,89 963,31 1021 981,37 987,4 1030,14
2º 1005 1000 1001 1031 993,69 1023,78 1010,28 994,03 1034,07
3º 1006,04 985,31 1000 1027 1022,02 1020 990,56 990,67 973,01
4º 1032,35 1001 1016,9 1026,36 990,05 1046,87 990,46 1025,03 994,89
5º 1011,35 987,81 1033,01 1005,77 968,85 1009,24 954,43 1048,18 973,62
10h 11h 12h 13h 14h 15h 16h 17h 18h
1º 1024,88 1003 999 1015,25 978,48 1021,71 1038,32 1050 1040,13
2º 967,38 1031,54 1039,08 1020 995,55 1026 1013,77 1001,73 1025,99
3º 1018,81 1017,65 1034 1010 989,48 1065,55 1009,32 1045 985,04
4º 984 979,96 1001 1006,9 1006,95 1050 998,27 1023,59 1000
5º 1035,11 1013,52 999,11 1011,67 1002,07 1041,78 980,34 1036 1011
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
26
Sendo praticamente impossível tirar qualquer 
conhecimento dos dados presentes na Tabela XI, os 
mesmos são plotados e ilustrados em formato gráfico 
(Figura 5). Entretanto, embora o gráfico seja mais 
esclarecedor, ainda existem duvidas sobre a série.
Figura 5 - Todas as 90 mensurações (medidas) dos pacotes de ração. 
Fonte: Adaptado Samohyl, R. W. (2009).
Analisando o gráfico, existem vários pontos que se 
afastam do “alvo” 1000 gramas (g) ou 1 kg, mas será que 
os afastamentos são realmente grandes? Qual o critério 
que deve ser utilizado para medir esse afastamento? Onde 
é que devem ser colocados os limites de controle para 
assinalar a presença de causas especiais e melhorar o 
processo? A construção do gráfico de controle irá auxiliar 
na resolução deste problema. A linha central do gráfico é 
a média dos dados ou o alvo do processo. A média neste 
caso é 1010,62 gramas ( ). O valor parece alto, mas 
reflete o fato de que a empresa sofreu a perda de clientes, 
multas, e, dada a instabilidade do processo, está sentindo 
a necessidade de proporcionar ração de graça para os 
compradores.
No momento que o processo ficar mais estável a 
média tende a retornar para 1000 gramas, economizando 
despesas e melhorando os resultados.
Os limites de controle são iguais a três desvios padrão 
da média, ou três erros padrão, desde que na pratica , 
utiliza-se a amplitude média dos subgrupos racionais e os 
coeficientes de Shewhart presentes na Tabela IX(7). É muito 
comum na indústria utilizar o desvio padrão calculado 
com a média das amplitudes e com o coeficiente d2, um 
dividindo o outro, ( /d2).
Para converter o desvio padrão em erro padrão, basta 
dividi-lo pela raiz quadrada do número total de elementos 
da amostra, ou seja, ( /d2)/√n. Portanto, os limites de 
controle são três erros padrão acima e abaixo da média. 
De acordo com a Tabela XI, a coluna A2 corresponde a um 
coeficiente que facilita o cálculo dos limites de controle. 
Este coeficiente que se modifica com o tamanho da 
amostra, transforma a média das amplitudes em três erros 
padrão:
A utilização do coeficiente A2 facilita muito o cálculo 
dos limites de controle para o próprio operador no que está 
no “chão da fábrica”. Mesmo com as fábricas se tornando 
cada vez mais informatizada, os coeficientes do Shewhart 
sobrevivem como a base dos cálculos de variabilidade 
(dispersão)(7). Desse modo, os limites de controle são:
 e 
Onde é a média total (média das médias parciais) e 
representa a linha central do gráfico.
Voltando para nosso exemplo referente aos pacotes de 
ração, já foi calculada a média de 1010,62 gramas. O valor 
de A2 da Tabela XI é 0,577 para amostras de tamanho n=5, 
e o valor da amplitude média que consta na Tabela XII 
é 47,67. Portanto, o cálculo do limite de controle superior 
é 1010,62 + (0,577*47,67) = 1038,12 e o cálculo do 
limite de controle inferior é 1010,62 - (0,577*47,67) = 
983,11.
Com a tabela montada, basta plotar o gráfico de 
controle (Figura 6), construído por padrão, contendo as 
três linhas para facilitar a interpretação.
 
Controle Estatístico da Qualidade e Auditoria da Qualidade
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Figura 6 - Exemplo do gráfico de controle das médias - Fonte: Adaptado 
Samohyl, R. W. (2009).
O gráfico da Figura 6 contém os valores das médias 
dos 18 subgrupos, além dos limites de controle superior e 
inferior, e da média das médias (média total). Nota-se que 
o subgrupo de número 15 possui a média mais alta que 
o limite de controle, e, portanto, a média deste subgrupo 
é suficientemente afastada da média do processo para 
justificar uma investigação e eventual eliminação de uma 
causa especial.
O gerente analisou a situação e descobriu a presença 
de um operador substituto e quase sem treinamento 
no lugar do operador veterano que estava com médico 
marcado nesse horário. Com isso, ocorreu nos próximos 
dias um treinamento rápido para garantir o desempenho 
de todos os operadores nas tarefas mais importantes de 
toda a linha de produção. Quase sempre, os problemas 
na fábrica têm origem na gestão das operações. Se o 
operador foi ensinado de uma maneira inadequada, a 
culpa é da gerência e não do operador(7).
Os gráficos de controle devem ser atualizados 
periodicamente, uma vez por mês e novos limites 
deverão ser calculados. No entanto, jamais utilizarão nas 
atualizações os subgrupos que estavam sob a influência 
comprovada de causas especiais. Estes dados devem ser 
arquivados longe dos gráficos de controle, mas lembrados 
como parte da historia das melhorias e outras conquistas 
da empresa ao longo do tempo(7).
O gráfico da variabilidade
É muito importante construir um gráfico de controle 
para monitorar diretamente a variabilidade do processo, já 
que a variabilidade contribui para a qualidade do produto. 
Alguns especialistas defendem que o gráfico R é mais 
importante que o gráfico das médias. Na prática os limites 
de controle são calculados usando a teoria já discutida 
anteriormente a esta seção, além dos coeficientes de 
Shewhart (Tabela IX). Entre várias alternativas, o gráfico 
das amplitudes (R) é o mais comum para monitorar a 
variabilidade. A média das amplitudes ( ) é a linha central 
do gráfico e os limites de controle são:
 e
Tabela XII - Médias dos subgrupos, média total e média das amplitudes - Fonte: Adaptado Samohyl, R. W. (2009).
1 2 3 4 5 6
Média ( ) 1012,15 996,76 1016,92 1028,4 987,58 1024,18
27,35 24,37 33,68 46,11 58,7 37,62
7 8 9 10 11 12
Média ( ) 985,42 1009,06 1001,15 1006,04 1009,13 1014,43
55,85 60,77 61,06 67,72 51,58 40,08
13 14 15 16 17 18
Média ( ) 1012,76 994,51 1041,01 1008 1031,26 1012,43
13,09 28,47 43,83 57,98 48,26 55,09
Média Total ( ) = 1010,17 Média das amplitudes ( )