04. eq ineq modulares

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Valor absoluto ou módulo 
 
O valor absoluto ou módulo, denotado por |x|, é definido por: 
|x|=





0
0
xsex
xsex
 
 
|x| é sempre nulo ou positivo. 
 
Exemplos: |5|=5; |-5|=5; |0|=0 
 
Interpretação geométrica 
 
Sabemos que o número real x está associado a um ponto da reta. Podemos interpretar o 
módulo de x como sendo a distância do ponto que representa x ao ponto que representa o 
número 0. 
 
Exemplos: 
 
a)O número 3 está associado ao ponto A. O módulo de 3 é igual à distância entre A e O. 
 
b) No esquema seguinte, o número real -3 está associado ao ponto B. O módulo de -3 é 
igual a distância entre B e O. 
 
Propriedades: 
 
1) | a |=| -a | 
 
2) | a.b |=| a |.| b | 
 
Exemplo: |4.(-2)|=|4|.|-2|=4.2=8 
 
3) 
0;  b
b
a
b
a
 
 
4) | a |2 = a2 
 
 2 
5) | a | = 0  a = 0 
 
6) 
 
Exemplo: Seja a=5 então: 
 
 
 
Seja a= -5 então: 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Verifique se as afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F). 
 
a) | 4 – 7| = | 7 - 4 | 
b) | 4+5 | = | 4 |+| 5 | 
c) | (-3) + (-8) | = | -3 | + | -8 | 
d) | (-3) +(8) | = | -3 | + | 8 | 
e) | 4/5 | = | 4 |/| 5 | 
f) | (4)(5) | = | 4 |.| 5 | 
g) x - 3 < 0  | x - 3 | = - x + 3 
h) 2x + 4 ≥ 0  | 2x + 4 | = 2x + 4 
i) 
 
 2) Resolva as equações: 
 
a) | x | = 4 b) | x | = 0 c) | x | = -5 
 
3) Calcule: 
 
a) | 7 – 3 | 
b) | 3 – 7 | 
c) | - 4 + 6 | 
d) | (-5) + 2 – (-8) | 
e) | | 3 | - | - 9 | | 
f) | 4 – 7 | - | - 12 | 
 
Equações modulares 
 
Lembremos das propriedades do módulo dos números reais: 
 
 Para k>0 , |x|=k  x=k ou x=-k 
 | a | = | b |  a = b ou a = -b 
 | x | = a  x2 = a2 
 | x | = | y |  x2 = y2 
 
 3 
e, utilizando essas propriedades, vamos resolver algumas equações modulares. 
 
Exemplo1: Resolva |2x-1|=3 
 
1° modo: 
 
|2x-1|=3  





1312
2312
xx
ouxx
 
 
S={-1,2} 
 
2° modo: 
 
|2x-1|=3  (2x-1)2= 32  4x2 – 4x + 1 = 9  4x2 – 4x – 8 =0  x2 – x – 2 = 0 
 
S={-1,2} 
 
 
Exemplo 2: Resolva |3x-1|=|2x+3| 
 
1º modo: Lembrando da propriedade: |a|=|b| a=b ou a=-b 
 
Temos: |3x-1|=|2x+3|









5
2
3213
43213
xxx
ou
xxx
 
 
S={-2/5 , 4 } 
 
2º modo: Resolvendo (3x-1)2=(2x+3)2 
 
Assim, 9x2 – 6x + 1 = 4x2 + 12x + 9  5x2 - 18x - 8 = 0  x = 4 ou x= -2/5 
 
Exemplo 3: Resolva |x+1|=3x+2 
 
Devemos ter inicialmente 3x+2  0  x  -2/3 para que a igualdade seja possível 
 
Supondo x  -2/3 temos 
 
|x+1|=3x+2  







)(4/3231
2/1231
convémnãoxxx
ou
xxx
 
 
S = {-1/2} 
 4 
Exemplo 4: Resolva |x-1| + |x+6| = 13 
 
Primeiro faremos um estudo de sinais de x-1 e x+6. 
 
x-1: - 1 + 
 
 
x+6: 
 - -6 + 
 
 
Para x ≤ 1 temos x – 1 ≤ 0 e portanto | x – 1| = - x +1 
Para x ≥ 1 temos x – 1 ≥ 0 e portanto | x – 1| = x – 1 
Para x ≤ 6 temos x + 6 ≤ 0 e portanto | x + 6| = - x - 6 
Para x ≥ 6 temos x + 6 ≥ 0 e portanto | x + 6| = x + 6 
 
 
 
Temos 3 casos a considerar: 
 
1º) x ≤ - 6 
 
| x - 1 | = - x + 1 e | x + 6 | = -x – 6 
 
Portanto, a equação | x – 1 | + | x + 6 | =13 se transforma em 
 
- x + 1 – x – 6 = 13 
 -2x = 18 
 x = -9 
 
O valor x = -9 satisfaz a condição x ≤ - 6, portanto é solução. 
2º) – 6 ≤ x ≤ 1 
 
| x - 1 | = - x + 1 e | x + 6 | = x + 6 
 
Portanto, a equação se transforma em 
 
- x + 1 + x + 6 = 13 
 7 = 13 (absurdo) 
 
Portanto, não há solução no intervalo [ - 6; 1] 
 5 
3º) x ≥ 1 
 
| x - 1 | = x - 1 e | x + 6 | = x + 6 
 
Portanto, a equação se transforma em 
 
 x – 1 + x + 6 = 13 
 2x = 8 
 x = 4 
 
O valor x=4 satisfaz a condição x ≥ 1 e portanto é solução. 
 
Assim, S={ -9 ; 4 } 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6)Resolva as equações: 
 
a) |2x – 6| + |3x +4|=11 
b) | x +4| + |x + 7| = 3 
c) | x – 1| - |2x + 6| + 2|x-4| =13 
3) 
4) 
5) 
Respostas: 
 2) a)-1 b) 2 c)0 
 
 
 
 
 
6) a) {1 ; -9/5} 
 b) [-7 ; -4 ] 
 c) {28; -2} 
3) 
4) 
5) 
1) 
2) 
 6 
Inequações modulares 
 
Lembrando das propriedades de módulo dos números reais, para k>0: 
 
|x| < k  -k < x < k 
|x| > k  x<-k ou x>k 
 
e, utilizando essas propriedades, podemos resolver algumas inequações modulares. 
 
 
Exemplo 1: Considere a inequação |x| < 2. 
 
|x| < 2  - 2 < x < 2 
 
 
S=(-2, 2) 
 
Exemplo 2: Seja a inequação | x | > 2. 
 
|x| > 2  x < - 2 ou x > 2 
 
S= ( - ∞ ; - 2 )  (2 ; + ∞) 
 
 
Exercício 
 
Resolva as inequações: 
 
a) | x | > 3 
b) | x | ≥ 3 
c) | x | < 3 
d) | x | ≤ 3 
e) | x | ≥ 0 
f) | x | ≤ 0 
g) | x | > - 3 
h) | x | < - 3 
i) | x | < 0 
j) | x | > 0 
 
Exemplo 3: Resolva |2x+1|<3 
 
-3 < 2x+1 < 3  -4 < 2x < 2  -2 < x < 1 
 
Exemplo 4: Resolva |4x-3| > 5 
 
4x-3 > 5  x<-1/2 ou 4x-3<-5x > 2 
 
S={x  IR/ x<-1/2 ou x>2} 
 7 
Exemplo 5: Resolva |2x - 6| > x – 4 
 
Façamos duas hipóteses: 
 
1ª) 2x – 6 ≥ 0 
 2x – 6 ≥ 0  2x ≥ 6  x ≥ 3 
 
Portanto, para 2x – 6 ≥ 0, isto é, para x ≥ 3 temos: 
 
|2x - 6| = 2x -6 e a inequação se transforma em: 
 
2x -6 > x -4 
2x – x > -4 +6 
 x > 2 
 
Mas, estamos trabalhando com x ≥ 3, temos que uma solução é: 
 
S1={x  IR/ x ≥ 3} 
 
2ª) 2x – 6 < 0 
 
2x – 6 < 0  x < 3 
 
Assim, para x < 3, | 2x – 6|= -2x +6 
 
A inequação transforma-se em: 
 
- 2x + 6 > x – 4 
 - 3x > -10 
 x < 10/3 
 
Lembrando que estamos trabalhando com x<3 , temos que um outro conjunto de valores 
que satisfazem a inequação é: 
 
 
S2= { x  IR/ x < 3} 
 
 8 
Assim, o conjunto solução da inequação é: S= S1  S2 = IR 
 
 
Exemplo 6: Resolva | 3x -12 | + | 5 – x| < 12 
 
S=(5/4 ; 29/4) 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
 
 
 3) Resolva as inequações: 
 
a) 5|3x + 8| -6 < 1 
b) |2x – 3 | + | 2x – 5 | ≥ 6 
 
 
Respostas 
 
 
2) 
1) 
1) 
 9 
 
 
3) a) (-47/15 ; -11/5) 
 b) { x  IR | x ≤ ½ ou x ≥ 7/2} 
2)