Teorema do Limite Central

Prévia do material em texto

Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Amostra Aleato´ria
Definic¸a˜o: Dizemos que uma colec¸a˜o de v.a. X1, ...,Xn e´
independente e ideˆntica (i.i.d.) se Xi e´ independente de Xj , ∀i 6= j , e
Xi ∼ f , 1 ≤ i , j ≤ n. Aqui, f denota a distribuic¸a˜o comum de
X1, ...,Xn.
Definic¸a˜o: Uma amostra aleato´ria simples (a.a.) de tamanha n e´
uma colec¸a˜o de varia´veis aleato´rias X1, ...,Xn i.i.d.
Notac¸a˜o: Denotamos os vetores amostral e de observac¸o˜es por
X = (X1, ...,Xn) e x = (x1, ..., xn), respectivamente.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Estat´ısticas
Definic¸a˜o: Uma estat´ıstica T e´ uma caracter´ıstica exclusiva de uma
amostra aleato´ria X1, ...,Xn. Ou seja, se X1, ...,Xn e´ uma a.a.,
T = T (X) = T (X1, ...,Xn) e´ uma estat´ıstica.
Exemplos: Considere as seguintes estat´ısticas
1. T1 = X¯n =
1
n
n∑
i=1
Xi =
X1 + ...+ Xn
n
;
2. T2 = X(1) = min{X1, ...,Xn};
3. T3 = X(n) = max{X1, ...,Xn};
4. T4 = X(i) e´ o i-e´simo valor da amostra ordenada X(1), ...,X(n).
Obs.: Note que, uma estat´ıstica T e´ uma varia´vel aleato´ria. Certamente, e´
de interesse saber qual e´ sua distribuic¸a˜o.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Paraˆmetros
Definic¸a˜o: Um paraˆmetro θ e´ uma quantidade desconhecida de
uma populac¸a˜o ou de uma distribuic¸a˜o.
Exemplos:
(a) A altura me´dia θ1 = µp dos indiv´ıduos de uma populac¸a˜o;
(b) A variabilidade θ2 = σ
2
p dos pesos de indiv´ıduos adultos de uma
populac¸a˜o;
(c) A proporc¸a˜o populacional θ3 = p de mulheres; etc.
Obs.: As estat´ısticas sa˜o utilizadas para “estimar” os paraˆmetros
populacionais.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Estimadores
Definic¸a˜o: Um estimador Θˆ de uma paraˆmetro θ e´ uma estat´ıstica,
ou seja, Θˆ = Θˆ(X) = Θˆ(X1, ...,Xn).
Definic¸a˜o: Uma estimativa θˆ de um paraˆmetro θ e´ o valor do
estimador Θˆ obtido a` luz dos dados, ou seja,
θˆ = Θˆ(X = x) = Θˆ(x1, ..., xn).
Exemplo: Considere uma populac¸a˜o X com me´dia µ e variaˆncia σ2
e seja X1, ...,Xn uma a.a. de X . Enta˜o, a me´dia amostral
µˆ = X¯ =
n∑
i=1
Xi
n
e´ um estimador de µ e a variaˆncia amostral
σˆ2 = S2 =
n∑
i=1
(Xi − X¯ )2
n − 1 e´ um estimador de σ
2.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Estat´ısticas
Exemplo: Seja p a proporc¸a˜o de indiv´ıduos fumantes do Distrito
Federal.
1◦ Planejamento de Experimento: Obter uma amostra aleato´ria
simples X1, ...,Xn de tamanho n = 100;
2◦ Ao i-e´simo indiv´ıduo Xi da amostra, i = 1, ..., 100, sera´ associado o
nu´mero 1 se a pessoa for fumante e 0 se na˜o for;
3◦ Utilizar o estimador pˆ = X1+...+X100
100
(pˆ e´ a proporc¸a˜o amostral de
fumantes);
4◦ Experimento: Uma vez que os dados sa˜o coletados, pˆ assume um
valor p0, que estima p, ou seja, p0 = pˆ(x1, ..., x100).
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Distribuic¸a˜o Amostral
Observc¸a˜o: Note que, da maneira como o experimento do exemplo
anterior foi planejado, a estat´ıstica pˆ , e´ uma varia´vel aleato´ria, uma
vez que pˆ pode assumir valores diferentes para cada realizac¸a˜o do
experimento.
Genericamente, uma estat´ıstica T (na˜o necessariamente
pˆ = X1+...+X100100 ) possui uma distribuic¸a˜o, que sera´ chamda de
distribuic¸a˜o amostral de T.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Distribuic¸a˜o Amostral
Exemplo: Com o intuito de avaliar a honestidade de uma moeda,
planeja-se lanc¸a´-la 50 vezes, sendo cada lanc¸amento independente
dos demais. Seja,
Xi =
 1, se o resultado for cara,0, se o resultado for coroa,
onde 1 ≤ i ≤ 50. Consideres que p = P(Xi = 1). Assim, a varia´vel
Y =
50∑
i=1
Xi = nu´mero de caras nos 50 lanc¸amentos. Note que, Y e´
uma v.a. que pode assumir os valores {0, 1, 2, ..., 50}.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Distribuic¸a˜o Amostral
(continuac¸a˜o) Observamos que Y =
50∑
i=1
Xi ∼ bin(50, p), pois e´
uma soma de bernoullis independentes e ideˆnticas. Y sera´ a
estat´ıstica utilizada para avaliar a honestidade da moeda. Se a
moeda for honesta p = 12 .
Definimos, pˆ = Yn , e a` partir de pˆ, estimamos p.
Supondo que foram observadas 30 caras nos 50 lanc¸amentos,
p0 = pˆ(x1, · · · , xn) = 3050 = 0, 6.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Aplicac¸a˜o e Exemplos de Distribuic¸a˜o Amostral
(continuac¸a˜o) Qual a importaˆncia de saber a distribuic¸a˜o de Y ?
Para avaliar se a ocorreˆncia de 30 caras em 50 lanc¸amentos nos traz
evideˆncias da honestidade da moeda ou na˜o. Assumindo que a
moeda e´ honesta, ou seja, p = 12 , temos
P(Y = 30|n = 50; p = 0, 5) =
 50
30
 (0, 5)30(0, 5)20 = 0, 042.
Pode-se mostrar que, P(Y ≥ 30|n = 50, p = 0, 5) = 0, 08.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Distribuic¸a˜o Amostral
(continuac¸a˜o) Assim, se a moeda for honesta, a probabilidade de
ocorrer ao menos 30 caras em 50 lanc¸amentos e´ de
aproximadamente 8%.
Essa probabilidade e´ uma evideˆncia forte o suficiente contra a
honestidade da moeda?
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Distribuic¸a˜o Amostral
Proposic¸a˜o: Seja X uma populac¸a˜o com me´dia µ e variaˆncia σ2.
Seja X1, ...,Xn uma a. a. de X . Enta˜o,
(i) E
(
X¯n
)
= µ,
(ii) Var
(
X¯n
)
= σ
2
n
,
onde X¯n =
X1+...+Xn
n .
Exemplo: Seja X uma populac¸a˜o, X ∼ ber(0, 3). Sejam X1,X2,X3
a.a. de X . Enta˜o,
E
(
X¯3
)
= 3%;
Var
(
X¯3
)
= 0,213 = 7%
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Teorema Limite Central
Teorema (Teorema Limite Central) Seja X uma populac¸a˜o com
me´dia µ e variaˆncia σ2. Seja X1, ...,Xn uma a.a. de X . Enta˜o,
X¯n ∼ N
(
µ,
σ2
n
)
,
quando n for suficientemente grande (n ≥ 30).
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Teorema Limite Central
Exemplo: Seja X uma populac¸a˜o, com X ∼ exp(2). Considere uma
a.a. X1, ...,X100 de X . Enta˜o,
Xi ∼ exp(2): fXi (x) = 2e−2xI(x>0);
E (Xi ) =
1
2
;
Var (Xi ) =
1
4
.
Suponha que Xi e´ o tempo de vida de um transistor em horas.
Desejamos estudar o estimador X¯100. Sabemos que E
(
X¯100
)
= 12 e
Var
(
X¯100
)
= 1/4100 =
1
400 . Pelo T.L.C., temos
X¯100 ∼ N
(
1
2
, 1
400
)
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Teorema Central do Limite
Teorema (Teorema Limite Central-2◦ Versa˜o) Seja X uma
populac¸a˜o com me´dia µ e variaˆncia σ2. Seja X1, ...,Xn uma a.a. de
X . Enta˜o,
Z =
X¯n − µ
σ/
√
n
∼ N(0, 1)
se n e´ suficientemente grande (n ≥ 30).
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Estat´ısticas Paraˆmetros Distribuic¸a˜o Amostral TLC
Teorema Central do Limite
Exemplo (continuac¸a˜o): Retomando o exemplo dos transistores:
X¯100−(1/2)
(1/2)/
√
100
∼ N(0, 1)
Logo,
P
(
X¯100 ≤ x
)
= P
(
X¯100 − (1/2)
(1/2)/
√
100
≤ x − (1/2)
(1/2)/
√
100
)
= P (Z ≤ 10(2x − 10))
P
(
X¯100 ≥ x
)
= 1− P (X¯100 ≤ x)
= 1− P
(
X¯100 − (1/2)
(1/2)/
√
100
≤ x − (1/2)
(1/2)/
√
100
)
= 1− P (Z ≤ 10(2x − 10))Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
	Estatísticas
	Parâmetros
	Distribuição Amostral
	TLC