Aproximação da Distribuição Binomial pela Normal

Prévia do material em texto

Aproximac¸a˜o
Aproximac¸a˜o da Distribuic¸a˜o Binomial pela Normal
Consideremos uma populac¸a˜o X em que a proporc¸a˜o de indiv´ıduos
portadores de uma certa caracter´ıstica e´ p. Seja X1, · · · ,Xn uma
amostra aleato´ria de X , onde
Xi =
 1, se o indiv´ıduo i possui a caracter´ıstica,0, caso contra´rio,
ou seja, Xi ∼ ber(p), i = 1, 2, ..., n. Como as observac¸o˜es sa˜o
independentes, temos Sn = X1 + ...+ Xn ∼ bin(n, p)
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Aproximac¸a˜o
Aproximac¸a˜o da Distribuic¸a˜o Binomial pela Normal
Seja, pˆ = Snn , a proprc¸a˜o amostral dos indiv´ıduos portadores da
caracter´ıstica. Utilizando a distribuic¸a˜o exata de Sn (n pequeno),
podemos escrever,
P
(
pˆ = kn
)
= P
(
Sn
n =
k
n
)
= P (Sn = k) =
 n
k
 pk (1− p)n−k
k = 0, 1, ..., n·
Utilizando-se o T.L.C (n grande), temos
pˆ ∼ N
(
p, p(1−p)n
)
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Aproximac¸a˜o
Aproximac¸a˜o da Distribuic¸a˜o Binomial pela Normal
Exemplo: Seja p for a proporc¸a˜o de fumantes no DF. Supondo que
p = 0.2 e que tenhamos coletado uma amostra aleato´ria simples de
500 indiv´ıduos, onde
Xi =
 1, se o indiv´ıduo i e´ fumante,0, caso contra´rio.
Enta˜o, pˆ =
∑500
i=1 Xi
500 e, pelo T.L.C, temos
pˆ ∼ N (0.2, 0.2×0.8500 ) = N (0.2, 0.00032) ·
Logo, P (pˆ ≤ 0.25) = P (Z ≤ 2.795) = Φ (2.795) = 0.9974
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Aproximac¸a˜o
Aproximac¸a˜o da Distribuic¸a˜o Binomial pela Normal
Como pˆ = Snn , enta˜o Sn = npˆ. Quando n e´ grande o suficiente,
sabemos, pelo T.L.C., que pˆ ∼ N
(
p, p(1−p)n
)
·
Qual a distribuic¸a˜o de Sn quando n e´ grande o suficiente?
Proposic¸a˜o: Sejam X ∼ N(a, b) e Y = αX + β, α, β ∈ R. Enta˜o,
Y ∼ N(αa + β, α2b)·
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Aproximac¸a˜o
Aplicac¸a˜o: Consideramos uma populac¸a˜o X , com X ∼ ber(p), e
que X1, · · · ,Xn e´ uma amostra aleato´ria de X .
Seja Sn = X1 + ...+ Xn.
Pelo T.L.C. pˆ = Snn ∼ N
(
p, p(1−p)n
)
.
Pela proposic¸a˜o anterior, Sn = npˆ ∼ N (np, np(1− p)).
Resulatdo (Aproximac¸a˜o Normal da Binomial):
bin(n, p) ≈ N (np, np(1− p)) ,
quando n e´ grande o suficiente.
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
Aproximac¸a˜o
Aproximac¸a˜o da Distribuic¸a˜o Binomial pela Normal
Exemplo: Seja X ∼ bin(100, 0.4). Enta˜o,
E(X ) = 100× 0.4 = 40;
Var(X ) = 100× 0.4× 0.6 = 24.
Como, X ≈ N(40, 24), temos
P (X ≤ 50) = P
(
Z ≤ 50− 40√
24
)
≈ Φ
(
10√
24
)
= Φ (2.04) ≈ 0.9793
Notas de Aula do Prof. Lucas Moreira EST/UnB
	Aproximação